Преобразование функций к линейному виду

Преобразование функций к линейному виду [c.29]

Таким образом, динамика процесса абсорбции в насадочном аппарате в режиме идеального вытеснения без труда может быть описана с помощью формул, аналогичных уже полученным для противоточного теплообменника. Значительно сложнее исследовать динамику насадочного абсорбера в том случае, когда нельзя пренебречь продольным перемещиванием. При использовании одно-параметрической диффузионной модели абсорбер описывается уравнениями (1.2.30), (1.2.31) с граничными условиями (1.2.37) (считаем, что расходы по жидкости и газу постоянны). Как и раньше, будем полагать, что функция 0 (0 ) имеет линейный вид 0д = Г01. При этом функциональный оператор А, задаваемый с помощью уравнений (1.2.30), (1.2.31), граничных условий (1.2.37) и нулевых начальных условий будет линейным. Но поскольку уравнения математической модели являются уравнениями в частных производных второго порядка, исследовать этот линейный оператор очень трудно. С помощью применения преобразования Лапласа по t к уравнениям и граничным условиям можно получить выражение для передаточных функций. Однако они будут иметь столь сложный вид по переменной р, что окажутся практически бесполезными для описания динамических свойств объекта. Рассмотрим математическую модель насадочного абсорбера с учетом продольного перемешивания при некоторых упрощающих предположениях. Предположим, что целевой компонент хорошо растворяется в жидкости, и поэтому интенсивность процесса массообмена между жидкостью и газом пропорциональная концентрации целевого компонента в газе. В этих условиях можно считать 0 (0 ) 0. Физически такая ситуация реализуется, например, при хемосорбции, когда равновесная концентрация поглощаемого компонента в газовой фазе равна нулю. При 0а(0 ) = О уравнение (1.2.30) становится независим мым от уравнения (1.2.31), поскольку в (1.2.30) входит только функция 00 (л , t) При этом для получения решения о(а , t), системы достаточно решить одно уравнение (1.2.30) функцию QL x,t), после того как найдена функция можно найти [c.206]

Рассмотрим преобразование функции к линейному виду на примере эмпирического уравнения изотермы адсорбции [c.31]

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУНКЦИЙ К ЛИНЕЙНОМУ ВИДУ [c.33]

Проводя преобразование к линейному виду, следует иметь в виду, что оно уместно лишь в том случае, когда уравнение содержит не более двух констант. В общем случае константы уравнений могут быть найдены аналитическими методами. Например, подставим в выражение (2.1) сначала экспериментальные значения Яь Сь затем Яг, Сг. Получим систему из двух уравнений, решив которую, вычислим постоянные Яо и /Сдисс-Если формула содержит три константы, составляют и решают систему из трех уравнений, взяв три пары значений функции н аргумента, и т. д. [c.26]

Этот же вывод справедлив и для всей нелинейной системы (С). Действительно, как бьшо показано, РМП-1 инвариантна относительно любых неособенных преобразований функций, . .., (Рдг. Следовательно, и операторы р и Р остаются неизменными при любом неособенном преобразовании орбиталей ( 1,. .., pJ , т.е. р и Р определяются подпространством Ем орбиталей pl,. .., а не конкретным видом отдельных орбиталей. Поэтому если система (С) решена каким-либо образом и найдены, . .., а значит, и Ем, то любые N линейно независимых функций из подпространства Ем также будут являться решением системы (С). [c.97]

Преобразование Лапласа линейной функции (/( )=а , где — посто- янная) имеет простой вид [c.30]

Представления, которые образуются одно из другого путем линейных преобразований функций (в частности, координат) их базиса, называются эквивалентными. Эквивалентные изменения базиса важны потому, что в некоторых случаях после соответствующего преобразования матрица Ап( г) может принять квазидиагональный вид [c.77]

Если в результате проверки оказывается, что линейная зависимость невозможна, то пытаются преобразовать результаты в удобную форму. Во многих случаях целесообразно логарифмическое преобразование На полулогарифмической бумаге тогда будет показательная функция у = a , а также обратная ей функция в виде прямой в зависимости от того, какая из осей имеет логарифмический масштаб, ордината или абсцисса Двойная логарифмическая бумага линеаризует функции типа у = ах" В особых случаях можно также пользоваться и другими преобразованиями (например, обратные температуры при измерении давления пара) Для простоты в обращении всегда будут стремиться получить линейную зависимость с помощью удобного преобразования переменных. Одна- ко важно помнить, что после подобных преобразований необходимо критически перепроверить условия для вычисления регрессии и что только тогда полноценная регрессия может привести к надежным результатам (см разд 9 3.3). [c.170]

В спектроскопии теорема о свертке играет центральную роль и сама по себе оправдывает применение фурье-преобразования. Эта теорема означает, что любой процесс фильтрации, который может быть выражен в виде свертки в соответствии с формулой (4.1.8), можно преобразовать в произведение в сопряженном представлении. В большинстве случаев проще произвести фурье-преобразование и вычислить произведение, чем вычислять непосредственно интеграл свертки (или соответствующую сумму свертки). Это упрощение основывается на том факте, что фурье-преобразование эквивалентно разложению по собственным функциям линейной, не зависящей от времени системы [см. (4.1.13)]. [c.130]

Ниже описан способ [125] экспериментального определения времен релаксации сложных реакций в проточном реакторе непрерывного действия путем отыскания нулей и полюсов передаточной функции реакционной системы. Из теории автоматического регулирования известно, что передаточная функция линейной динамической системы — это отношение преобразованных по Лапласу выходной величины системы к входной величине. В данном способе в качестве входной величины используются вынужденные возмущения в виде синусоиды с частотой м величины объемной скорости потока, проходящего через реактор, а в качестве выходной величины — ответные изменения концентрации реагирующих веществ. [c.193]

Преобразование функций к линейному виду. При обработке опытных данных часто возникает вопрос какой эмпирической формуле отвечают полученные данные [5, 14, 15, 17] [c.627]

Матрицы приводимого представления при помощи некоторого линейного преобразования функции базиса могут быть приведены к виду, в котором отличные от нуля матричные элементы располагаются внутри некоторых квадратов по диагонали, вне которых все элементы равны нулю [ср. с уравнением (V. 22)]. [c.59]

В довольно широких предположениях вариант амплитудного уравнения предложили Кросс [51] и Кузнецов и Спектор [52]. Кросс рассматривал слой, симметричный относительно средней плоскости, допуская как свободные, так и жесткие граничные условия на обеих границах слоя. Кузнецов и Спектор учли асимметрию слоя. Нижняя граница слоя считалась либо жесткой, либо свободной, но не деформируемой. Верхняя поверхность была свободной, и либо на ней допускался термокапиллярный эффект (температурная зависимость поверхностного натяжения), либо учитывалась ее деформация. Кроме того, вязкость могла зависеть от температуры. Авторы работ [51, 52] не пользовались модифицированным (модулированным) нейтральным решением, а оперировали фурье-преобразованием по ж и / для низшей (по г) гармоники каждой физической переменной (считая к близким к с)- Уравнение получается путем проектирования исходной системы на низшую собственную функцию линейной задачи с инкрементом (2.39). Для симметричного слоя оно имеет вид [c.44]

Преобразование функций к линейному виду. При расчетах часто возникает вопрос о преобразовании более сложных функций в линейные. [c.31]

Значение масштабов при графическом определении постоянных. Рассмотрим еще пример преобразования функции к линейному виду на примере эмпирического уравнения изотермы адсорбции [c.34]

Общим свойством любой из используемых в практике рентгеноспектрального анализа преобразованных функций почернения является существование в широком интервале изменения интенсивности излучения линейной связи между значениями этой функции и lg/. Независимо от конкретного вида Р-функции должно иметь место соотношение Р = в котором Чр и 1р — постоянные величины. Пусть известны [c.79]

Суть квазигеострофического приближения состоит в преобразовании уравнений движения. Дополнительное соотношение, связывающее друг с другом w и р, было использовано ранее в предыдущих главах. Оно получалось с помощью комбинирования уравнения для функции плавучести и гидростатического соотношения. В линейном виде оно представлено формулой [c.275]

Нахождение оптимума функции (V,5) при нелинейных ограничениях (V,6a) связано со значительными вычислительными трудностями, которые осложнены наличием булевых переменных (V,66). Поэтому желательно нелинейные ограничения заменить ограничениями в виде линейных неравенств, что позволит использовать некоторые методы дискретного линейного программирования. Для этого необходимо осуществить следующие преобразования в приведенной ниже последовательности. [c.205]

Вначале исследуется гидродинамическая часть общего технологического оператора — основа будущей модели. Эта часть оператора отражает поведение так называемого холодного объекта, т. е. объекта без физико-химических превращений, но с реальными нагрузками на аппарат по фазам. Важно подчеркнуть, что соответствующий элементарный функциональный оператор здесь, как правило, линеен и представляет собой либо линейные дифференциальные уравнения, либо линейные интегральные преобразования с ядром в виде функции распределения элементов потока по времени пребывания в аппарате. [c.200]

Точные методы решений, как показано на рис. 5.6, образуют небольшую группу и основаны на применении интегральных преобразований Лапласа. Класс точных решений анализировался в работе 1П5], где было показано, что такие решения могут быть получены только для ядер, являющихся линейными функциями по каждому из аргументов в отдельности, т. е. для ядер вида [c.95]

Физический смысл этих математических преобразований следующий. Существование г линейно независимых функций вида [c.119]

Таким образом, хотя преобразуются те же самые объекты — в данном случае две координаты — вид матрицы оказывается другим. Разница между этими матрицами, конечно, не настолько существенна, как при переходе от двухмерного описания к трехмерному или от координат к функциям. В данном случае выполняется линейное преобразование базиса типа (IV, 1). Так, если базисом являются функции, например атомные орбитали, вместо АО берутся их линейные комбинации. [c.77]

Проводя преобразование к линейному виду, следует иметь в виду, что оно уместно лишь в том случае, когда уравнение содержит не более двух констант. В общем случае константы уравнений могут быть найдены аналитическим методом. Например, подставим в выражение (24) сначала экспериментальные значения кх, с , затем Л а, С2-Подучим систему из двух уравнений, решив которую, вычислим постоянные А>о и Я дисс- Если формула содержит 3 константы, составляют и решают систему из трех уравнений, беря три пары значений функции и аргумента, и т. д. Такой метод расчета менее удобен, чем графический. Экспериментальные данные всегда имеют ббльшую или меньшую погрешность, поэтому и значения констант, вычисленные аналитическим методом, будут содержать некоторую ошибку. Применение графических методов позволяет значительно уменьшить эту ошибку, так как проводя прямую между экспериментальными точками и беря значения координат точек, расположенных на этой прямой, мы производим операцию сглаживания погрешностей. В связи < этим ясно, что в графических расчетах большое значение имеет -Зпиение правильно провести соответствующую прямую или кривую. Чем больше экспериментальных данных имеется в нашем распоряжении, тем точнее это можно сделать. Для проведения прямой линии с целью нахождения физико-химических констант необходимо иметь не менее 4—5 точек, для проведения кривой число точек должно быть не менее 6—7. [c.28]

Функция / 1 1 не зависит от азимутального угла ip, значок 7 указывает знак квантового числа т дпя т Ф О, двум возможным проекциям т соответствуют значки 7 = . В линейных молекулах симметрию многоэлектронных функций определяют квантовым числом Л = [М, где М проекция полного момента количества движения на ось г, для 2-состояний указывают дополнительно закон преобразования функции при отражении в плоскости симметрии, что отмечается соответственно 2 , 2 (см. гл. 1, 4). Для построения молекулярных термов явный вид функ-ции I несуществен, классификация полной волновой функции может быть выполнена путем задания угловой зависимости одноэлектронных функций [c.201]

Функции, полученные из уравнения с помощью операций фактор-группы, являются функциями подобного же вида, принадлежащими разным местам элементарной ячейки, заданным одним из значений индекса . Линейные комбинации уравнения (19) и его преобразований могут быть составлены так, чтобы они принадлежали представлениям фактор-группы. Пример будет приведен ниже . Даже если вектор к не равен нулю, может, однако, случиться, что он инвариантен по отношению к определенным операциям фактор-группы. Эти операции образуют подгруппу фактор-группы, названную Бокартом и др. [5] группой волнового вектора. Из функций [уравнение (19)], принадлежащих к-му представлению группы трансляций, тоже могут быть составлены такие комбинации, которые обладают свойствами представлений группы волнового вектора. В качестве примера для простого кристалла нафталина и антрацена (Р21/й) уже было показано, что для к = О волновые функции кристалла преобразуются подобно представлениям фактор-группы. Сг/г, приведенным в табл. 1. Существуют два занятых места, пронумерованных 1 и 2, и /2 молекул в каждом наборе молекул, связанных трансляцией. Из операций фактор-группы, приведенных в табл. 1, как вращение, так и отражение переводят набор 1 в набор 2 и наоборот. Инверсия переводит каждый набор сам в себя, а представления фактор-группы должны иметь те же самые характеры ( или и), что и волновые функции молекулы. Прежде чем рассматривать другие операции, следует найти соотношение между системами координат молекул в этих двух местах. Это делается следующим образом. Предположим, что прямоугольная правовинтовая система осей совмещена с осями симметрии молекулы в месте 1 элементарной ячейки при выбранном произвольно положительном направлении. Тогда расположение осей для молекулы в месте 2 будет определяться преобразованием исходных осей с помощью операций 0/1. Теперь преобразование функции при помощи каждой операции симметрии фактор-группы фиксировано, а следовательно. [c.521]

Первичная информация о ММР при использовании ГПХ получается в форме кривых распределения концентрации макромолекул анализируемой пробы по удерживаемым объемам (хроматограммы). Эти кривые представляют собой трансформанты некоторых функций — в лучщем случае непосредственные преобразования функций ММР, в которые запрятаны искомые характеристики. Переход от интегрального распределения по удерживаемым объемам V к ММР в простейшем случае заключается в замене переменного У на молекулярную массу -с помощью калибровочной зависимости и соответствующего алгоритма. Переход от интегрального распределения по V W V), к М) очень прост он сводится к замене оси абсцисс V на ось IgЛI по калибровочным соотношениям. Калибровочная зависимость представляет собой зависимость между экспериментально определяемым параметром хроматограммы (удерживаемый объем V) и молекулярной массой этого полимера. Для эмпирического описания ее в виде lgM = Сх — С2 проводят независимую серию опытов определения узких стандартных образцов с разными молекулярными массами. Для дифференциальдого ММр справедливо соотношение (при линейной калибровке) [106, с. 247] [c.90]

Физический смысл этих математических преобразований следующий. Существование г линейно независимых функций Сг вида (УII.34) означает, что в неравновесной системе имеется г независимых друг от друга процессов. Когда система неравновесна, каждый такой процесс представляет собой нормальную реакцию — химический поток ti Каждый такой поток сопряжен с термодинамической силой (сродством Л г), которая при постоянных внешних переменных зависит только от одной нормальной координаты Как будет видно из дальнейшего изложения, во многих случаях непосредственно доступны экспериментальному исследованию именно такие независимые потоки — нормальные реакции. Задача состоит в том, чтобы, изучая нормальные реакции, установить те естественные элементарные процессы вида (УП.1), сочетание которых дает нормальные реакции. Для решения этой задачи прежде всего надо располагать методами нахождения матриц преобразования X или . [c.244]

Преобразованием зависимых переменных Томасу Ibi ] удалось привести уравнения (10.29) и (10.30) к линейному виду. Его решение для адсорбционных граничных условий, наложенных на функции с х, t ) и q х, t ), т. е. с условиями с(0, t) = Со = = onst и q (х, 0) = О, может быть записано следующим образом [c.583]

Существенное значение для практического применения характеристической кривой имеет продолжительность прямолинейного участка [см. формулы (3.21) п (3,22)]. В связи с этим разными авторами предложен ряд таких математических преобразований характеристической кривой, которые позволяют представить ход функции на участках недодержек и нормальных почернений в виде единой прямой линии. С пересчитанными таким образом значениями почернений можно обращаться как со значениями интенсивности излучения. Такие преобразования обычно называют по имени их автора — Зейделя, Кайзера, Бекера, Сэмпсона, Боуманса и др. Если эти преобразования все-таки не обеспечивают полной линейности, применяют дополнительную аппроксимацию уже преобразованной характеристической кривой уравнениями 2- и 3-го порядков. При сравнении разных методов преобразования затруднительно выделить какой-нибудь из них как наилучший для всех условий. [c.78]

Топологическая модель в форме диаграммы связи, во-первых, наглядно отражает структуру системы и, во-вторых, служит ее исчерпывающей количественной характеристикой. Построенная диаграмма связи технологического процесса является исходной для всех дальнейших формальных процедур преобразования диаграммы в другие формы описания объекта в форму дифференциальных уравнений состояния, в форму блок-схем численного моделирования, в форму передаточных функций по различным каналам (для линейных систем), в форму сигнальных графов и др. Каждая из этих преобразующих процедур реализуется в виде соответствующего вычислительного алгоритма на ЦВМ и будет подробно рассмотрена в книге. [c.4]

Мы уже указывали, что возможны сомнительные толкования термина устойчивость . Однако при линейных системах подобная проблема не возникала, поскольку очень просто систематизировать возможности в соответствии с той формой, которую принимают решения. При А = onst члены (si—А) линейны по s и, как следствие, члены (si — А) имеют полиномиальные числители и знаменатели, причем наивысшая степень знаменателя равна порядку матрицы А. Однако полиномы в s после обратного преобразования становятся экспоненциальными временными функциями. В целом, решение имеет следующую структуру. Различным собственным значениям соответствуют слагаемые, экспоненциально изменяющиеся со временем. Кратные собственные значения вносят в решение вклад в виде произведения степенной функции времени на экспоненту с действительным или комплексным показателем степени. [c.70]

Таким образом, если известно формульное (в виде конечной формулы) решение некоторой задачи теории упругости, то ре-шепне соответствующей задачи линейной теории вязкоупругости может быть получено с помощью следующих операций а) заменой в формуле упругого решепия упругих модулей надлежащей комбинацией трансформант ядер ползучести и релаксации, а внешних воздействий — пх преобразованиями (внешние воздействия необходимо, конечно, знать как функции времени) [c.113]

Матрицы [Щ и [Л] симметричны и положительно определены, следовательно, существует иевырожденпое линейное преобразование (замена искомых функций в данном случае), приводящее эти матрицы одновременно к диагональному виду. Предположим, что такое преобразование произведено, тогда система 9 [c.131]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология