Метод комплексной плоскости

Рис. 9. Определение Яэ и Рпл методом комплексной плоскости

Метод комплексной плоскости [c.108]

Первый способ состоит в линеаризации (2.4.55) с последующим аналитическим решением линейной системы [70]. Однако получаемый при этом характеристический определитель равен (4 4-4т), где ш — число ходов по трубному пространству, что исключает возможность аналитического решения. Аппарат аппроксимации трансцендентных передаточных функций не может быть использован, поскольку сами функции весьма трудно получить. Методы сведения дифференциальных уравнений в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений аппроксимацией изображения координат в комплексной плоскости ортогональными функциями не облегчают задачу, так как получаемая система обыкновенных дифференциальных уравнений не может быть решена аналитически ввиду ее высокой размерности. [c.81]

К ВПТ-С тесно примыкает метод комплексной плоскости, основанный на изучении зависимости реактивной составляющей импеданса 2 (или его обратной величины — адмитанса) цепи ячейки от активной составляющей Еа при изменении частоты, концентрации или потенциала [13]. Этот метод позволяет изучать кинетику сопутствующих химических реакций, адсорбцию различных веществ на электроде и другие процессы. Зависимость 2г/2д от потенциала используют для анализа -в методе так называемой фазовой вольтамперометрии переменного тока (Ф-ВПТ). При концентрации ЭАВ менее 10 Л4 отношение /аА я представляет собой угол сдвига фаз между активной составляющей тока ячейки (или поляризующим переменным напряжением) и полным током ячейки с погрешностью, не превышающей 7 %. Величина этого угла при потенциале пика прямо пропорциональна концентрации. Ф-ВПТ позволяет определять очень низкие концентрации ЭАВ [2-10 М цинка (II)] [14]. Однако практического применения для лабораторных анализов этот метод пока не нашел. Имеются лишь отдельные приборы промышленного изготовления, применяющиеся для непрерывного контроля технологических процессов, типа Фаза [3]. [c.35]

Часто пользуются методом комплексной плоскости. При этом параметры импеданса 1ф, Яэ м Сдв определяются в одном опыте. [c.78]

Пользуясь методом комплексной плоскости [19], определить емкость двойного слоя, сопротивление раствора, сопротивление перехода и ток обмена, принимая число электронов п=. [c.90]

Следует указать, что измеряемый на переменном токе полный импеданс электрода наряду с емкостью двойного слоя содержит импеданс, отражающий конечную скорость процессов диффузии, адсорбции и электрохимической реакции. Поэтому, строг говоря, для определения численных характеристик адсорбируемости ингибиторов требуется обрабатывать данные измеренного импеданса, например методом Эршлера—Рэндлса или методом комплексной плоскости. Но в данном случае нужно было определить относительное влияние степеней деформации на изменение адсорбируемости ингибитора, качественно отражаемое изменением измеряемой дифференциальной емкости электрода. [c.157]

Зона контакта выбирается такой, чтобы она была мала по сравнению с радиусом моноволокна. Поэтому можно считать, что осуществляется контакт между двумя полубесконечными телами, и применить классическое решение Герца для сжатия изотропного цилиндра [20]. В этом решении перемещение цилиндра внутри зоны контакта предполагается параболическим, а граничные условия выполняются только вдоль граничной плоскости. С математической точки зрения для аналитического решения задачи о нахождении величины Ь удобнее использовать метод комплексных переменных Мак-Ивена [20]. Найдено, что [c.219]

Сущность метода состоит в интегрировании уравнения (1.45) по одной из переменных после умножения на соответствующее ядро интегрального преобразования. Так, при умножении на ехр(—рт), где р — некоторое произвольное комплексное число, и интегрировании по времени от нуля до бесконечности (преобразование Лапласа) уравнение (1.45) преобразуется в уравнение в полных производных, но относительно некоторой новой искомой функции — изображения искомой концентрации, которое оказывается функцией только координаты. После аналогичного интегрального преобразования граничных условий определяется вид дифференциального уравнения для изображения и его правая, неоднородная часть, получающаяся из функции, соответствующей неравномерному начальному распределению концентрации в твердом теле. Неоднородное уравнение решается, после чего совершается обратный переход от изображения к искомой концентрации целевого компонента. Основная трудность при использовании метода интегральных преобразований состоит в математической процедуре этого обратного перехода. Правда, в большинстве стандартных случаев оказывается возможным использовать существующие таблицы обратного перехода, но в общем случае необходимо совершать операцию вычисления контурного интеграла на комплексной плоскости [5]. [c.54]

При строгом подходе к исследованию локальной устойчивости основной этап решения задачи — составление линеаризованной нестационарной модели системы, построение передаточной функции ХТС и анализ расположения ее особых точек в комплексной плоскости [23]. На последнем этапе обычно используют амплитуднофазовый метод и метод О-разбиений [193]. [c.324]

Упрощенная структурная схема прибора, реализующего этот метод, показана на рис. 2.137. Плоский пьезоэлемент 3 преобразователя через слой контактной смазки прижимают к контролируемой многослойной конструкции I, в которой возбуждают продольные волны. Пьезоэлемент 3 через резистор 5 соединен с генератором б синусоидального напряжения постоянной частоты (100. .. 350 кГц). Электрический сигнал с пьезоэлемента усиливают блоком 4 и обрабатывают в микропроцессорном блоке 7. Происходящее в зоне дефекта 2 изменение нагружающего преобразователь механического импеданса Z ОК вызывает определенное изменение входного электрического импеданса Zj пьезоэлемента. Результаты контроля представляют на дисплее 8 в виде изображающей точки на комплексной плоскости. Конец вектора Zj, соответствующего бездефектной зоне, изображается точкой А в центре дисплея. [c.326]

Другой прямой метод не требует даже преобразования матрицы А к какой-либо специальной форме. Он основан на том, что все собственные значения матрицы А на комплексной плоскости расположены внутри окружности с центром в точках и с радиусами, равными [c.88]

Это естественно, так как локальное поведение исходной задачи в первом приближении определяется решением линейной задачи с матрицей, являющейся якобианом исходной системы. В теории используется также понятие абсолютной устойчивости метода. Метод называется абсолютно устойчивым, когда для заданного фиксированного шага интегрирования полная погрешность метода 1 —/(ij)l остается ограниченной при S В такой постановке задачи для каждого метода можно указать область на комплексной плоскости Л/), в которой данный метод обладает свойством абсолютной устойчивости. [c.131]

Метод О-разбиения пространства параметров основан на том, что каждому сочетанию значений коэффициентов характеристического уравнения (4.10) соответствует вполне определенное расположение корней этого уравнения на комплексной плоскости. Изменение коэффициентов уравнения вызывает перемещение его корней иа комплексной плоскости, причем при некоторых значениях коэффициентов один из корней попадает в начало координат или пара корней попадают на мнимую ось. В этом случае значения коэффициентов должны удовлетворять уравнению [c.121]

Техника вычислений, аналогичная методу Крамерса, приводит к выражению статистического интеграла через сложного вида интеграл в комплексной плоскости, вычисляющийся методом быстрейшего спуска. [c.7]

В другом варианте в контролируемой многослойной конструкции с помощью плоского пьезопреобразователя возбуждают продольные упругие волны фиксированной частоты. Дефекты регистрируют по изменению входного электрического импеданса 2, пьезопреобразователя. Импеданс 2э определяется входным акустическим импедансом контролируемой конструкции, зависящим от наличия и глубины залегания дефектов соединения между ее элементами. Изменения Zэ представляют в виде точки на комплексной плоскости, положение которой зависит от характера дефекта. В отличие от методов, использующих изгибные волны, преобразователь контактирует с изделием через слой контактной смазки. [c.213]

Сравним результаты компенсации при помощи двух указанных выше методов. Передаточная функция разомкнутой системы при пропорционально-интегральной компенсации имеет полюс в начале координат комплексной плоскости s. Этот полюс находится перед точкой суммирования вращающих моментов. Следовательно, кривая статической характеристики регулятора данного типа не обнаруживает спада в условиях поддержания постоянства момента от нагрузки. То обстоятельство, что асимптотическая кривая l m a z, показанная на рис. 61, (см. стр. 164), приближается к —оо дб при ->О, подтверждает указанное свойство статической характеристики. Коэффициент усиления системы /Стах Ч п.д. будет одинаковым для регулятора с компенсацией пропорционально-интегрального типа и пропорционального регулятора, у которого отсутствует компенсация. [c.163]

ОБРАЩЕНИЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕМ В КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ МЕТОД ВЫЧЕТОВ [c.152]

Математические вопросы этого и последующих разделов сложны, и здесь будут рассмотрены только основные аспекты. Детали можно найти во многих учебниках (см., например, [33]). Альтернативный метод выполнения обратного преобразования Лапласа (5.44) или (5.45) основан на использовании интеграла в комплексной плоскости [c.152]

Определение 2. Метод (П7.4) называется устойчивым для данного ЛЛ, если для него выполняется неравенство Q Xh) < 1. Область К комплексной плоскости называется областью устойчивости метода (П7.4), если (П7.4) устойчив при всех Хк К. Пересечение области устойчивости с действительной осью называется интервалом устойчивости. [c.274]

Теперь этот интеграл по комплексной плоскости можно взять обычными методами. Впрочем, оказывается, что величина его такая же, как и у вещественного интеграла [c.214]

Таким образом, получаем задачу об отыскании комплексного потенциала течения х (г), когда в потоке жидкости присутствуют вихри. Достаточно определить х (г) в одной полосе, ограниченной пунктирными линиями (рис. 3.8), так как функции, входящие в комплексный потенциал, являются периодическими с вещественным периодом В (рис. 3.9). Построение комплексного потенциала X (г) будем проводить в физической плоскости г методом суперпозиции особенностей, представив его в виде [c.176]

Определенным шагом вперед в развитии методов обработки данных по электрохимическому импедансу явился метод комплексной плоскости, предложенный Слюйтерсом [45]. Чтобы пояснить сущность этого метода, напомним, что импеданс, как и всякое комплексное число, можно представить точкой в координатах l/d) s, Bs- При изменении частоты переменного тока эта точка [c.108]

За последние годы при изучении стереохимии оптически активных веществ получили развитие различные спектрофотометрические методы исследования, основанные на явлениях, связанных с поляризацией света. Оптическая активность комплексных соединений проявляется в том случае, когда расположение лигандов в координационной системе хирально , т. е. в ней отсутствует зеркально-поворотная ось, вращение вокруг которой переводит молекулу в соответствующий стереоизомер. Линейно-поляризованный свет можно представить себе как совокупность двух циркулярно-поляризованных волн с одинаковыми частотами и амплитудами. Тогда оптическая активность обусловлена тем, что право- и левополяризованный свет распространяется, в веществе с разной скоростью. Угол поворота плоскости поляризации а пропорционален разности коэффициентов преломления право- и левополяризованного света [c.129]

Тогда исходную пространственную задачу можно свести к решению двух плоских задач течению нефти в горизонтальной плоскости к линейному стЬку (очень тонкой пластине) и притоку нефти в вертикальной плоскости к точечному стоку в полосе шириной А. Суммарная производительность горизонтальной скважины рассчитывается как суперпозиция соответствующих решений этих двух плоских задач. Для решения каждой из плоских задач может быть использован метод отображения источников и стоков (см. 3), метод эквивалентных фильтрационных сопротивлений ( 4) или часто более удобный метод комплексного потенциала (гл. 4, 8). [c.127]

Мы уже пользовались описанным методом для поиска нуля непрерывной функции внутри интервала, на концах которого она принимает значения разных знаков (см. 7.2). Рассмотрим более сложный случай. Пусть С — некоторый замкнутый несамопересекающийся контур в комплексной плоскости, а f z) — какая-либо функция, аналитичная на этом контуре и во всех точках внутри него. Необходимо узнать, есть ли внутри контура С нули данной функции и если есть, то сколько. Теория аналитических функций дает ответ на оба вопроса. Вот предлагаемое ею решение. Заставим точку г обежать контур С против часовой стрелки. При этом вектор = / г) опишет в комплексной плоскости некоторую замкнутую кривую, сделав п [п = О, 1, 2,. ..) полных оборотов. Искомое число нулей и равно числу п оборотов вектора w. Для более точного определения положения рассматриваемых нулей вспомним о льве и разделим на две части область, ограниченную контуром С. Вторично применяя описанный прием, найдем число нулей в каждой из них. [c.138]

Метод анализа импеданса на комплексной плоскости пригоден лишь при условии применимости рис. 20 с независимой от частоты, однако он вовсе не требует независимости от объемных концентраций реагирующих частиц. Слюйтерс и сотр. [537, 561], при менявшие этот метод анализа импеданса к электродным системам как при наличии, так и в отсутствие специфической адсорбции, за ключили, что для систем со слабой специфической адсорбцией реагентов (или вовсе без нее) нефарадеевская емкость по существу не зависима от частоты. Примерами таких систем являются d(Hg)l и Zn(Hg) Zn в растворе K l [533, 534], а также Tl(Hg) Tl в растворе KNO [535]. [c.247]

При исследованиях на частотах 10 Гц и выше возможно несколько альтернативных подходов. Амплитуды радиочастотного напряжения на поверхности электрода в уравнениях (120) и (122) можно заменить на 0 = 0 1 1- абсолютная величина элекчродного импеданса, а - амплитуда радиочастотного тока, которую легко измерить. В свою очередь импеданс Z можно представить в виде точной функции С , (г р) , а, 0 , 0 и со, а не просто приравнивать величине 1,/(соС ), как делалось ранее. В полученных уравнениях для можно определить путем измерения импеданса на более низких частотах в присутствии реагентов, например методом анализа на комплексной плоскости. При этом предполагается, что измеренное при наличии реагирующих частиц значение не зависит от частоты. После этого значения ( ) и а в выражениях для АЁ находят путем сравнения с этим уравнением экспериментальных данных по АЁ /(/ ) , полученных при разных частотах и желательно при различных отношениях концентраций частиц О и К. Этот подход обсуждался Де Ливи и др. [151], которые также описали численные и графические методы определения ( ) , и а. [c.262]

Так как требование устойчивости накладывает в случае интегрирования жестких систем стандартными методами большие ограничения на шаг интегрирования, то естественно попытаться найти метод, обладающий большей областью устойчивости.Численный метод называется А устойчивы л (по Далквисту), если его область абсолютной устойчивости содержит всю левую полуплоскость комплексной плоскости Xh. Примером такого метода яъ-ляется обратный метод Эйлера [c.14]

Соотношение [6, 7] является интегральным уравнением 1-го рода с ядром Ф (уД). Интегральные уравнения 1-го рода лишь в немногих частных случаях допускают решение по известным формулам обращения определенного интеграла (формулы обращения Фурье, Лапласа, Ханкеля). В большинстве же случаев приходится находить решение специальным методом, используя особенности данного интегрального уравнения. В нашей задаче требуется, кроме того, такое решение интегрального уравнения [6, 7], которое допускало бы нахождение функции W Щ по экспериментальным данным /( ). Так, например, если в уравнение [6, 7] подставить по формуле [5, 7] вместо Ф2( Л) функцию Гинье, то уравнение [6, 7] будет иметь вид формулы преобразования Лапласа, допускающей, как известно, обращение. Однако в обращенной формуле требуется знать функцию /( ) на комплексной плоскости, что, очевидно, невозможно. [c.54]

В настоящее время различными химическими и физическими методами твердо установлена плоская структура 4-координацион ных комплексов платины (II), а также комплексов Рс1 , N1 , Ag Си и Ли . Однако нужно указать, что совсем недавно были получены веские доказательства того, что большинство, если не все плоские квадратные комплексы, в действительности следует рассматривать как тетрагональные, т. е. можно считать, что они имеют пятую и шестую группы, координированные, или, вероятно, следует сказать, расположенные на большем расстоянии от центрального иона, чем четыре лиганда, находящиеся в плоскости. Например, вполне вероятно, что для плоских квадратных ионов в растворе или в твердой фазе, полученной из раствора, молекулы растворителя или даже другие анионы могут занимать пятое и, возможно, шестое координационное место, дополняя искаженный октаэдр вокруг центрального иона. Это подтверждается спектро скопическими данными, полученными для ионов [Рс1С1б1 н [Ni( N)Б] ". Кроме того, были выделены твердые комплексы типа [М(ЛЛ)2Х]С104 (где М — Р(1 или Ы X—С1, Вг или I). Данные по электропроводности растворов этих комплексных соединений в нитробензоле доказывают однозарядность катиона и аниона Даже для Ли , изоэлектронного с Р1 , наблюдали образование [c.236]

Если параметры задачи допускают экспоненциально растущие вниз по потоку решения, при обратном преобразовании Фурье по волновым числам а необходимо ввести принцип обхода полюса в комплексной плоскости а [188]. При рассмотрении непараллельного пограпичного слоя в 8.1, 8.2 эта проблема не возникала. Как ужо отмечалось во введении к данной главе, в случае плоскопараллельных пограничных слоев принцип выбора контура интегрирования в комплексной плоскости а может быть строго обоснован ири исследовании задачи о вибраторе, который начинает колебаться от состояния покоя. Эти результаты [188—190] позволили автору [194] применить метод разложения решений линеаризованных уравнений Павье — Стокса по биортогональной системе векторов к -задачам о локализованном воздействии па дне плосконараллельного пограничного слоя. [c.178]

В тесной связи с последним способом х зображения процесса колебаний стоит вопрос о способе аналитической записи соответствующих выражений. Переменную величину, имеющую амплитуду и фазу, можно изобразить в виде вектора. Аналитически вектор можно записывать, пользуясь методами векторного анализа пли плоскостью комплексного переменного. В дальнейшем изложении будут использованы оба эти способа записи переменных. При этом надо всегда иметь в виду, что если сумма или разность двух комплексных чисел вполне может быть заменена суммой или разностью соответствующих векторов, то этого, как известно, нельзя сказать об их произведении. Следовательно, особую осторожность надо проявлять тогда, когда приходится рассматривать произведение переменных или произведение переменного на некоторый коэффициент, если последний изменяет не только величину, но и фазу. [c.24]

НОМ распределеппп скорости на оси угловая точка возникает в полюсах продолженной в комплексную плоскость начальной функции. В случае сжимаемой жидкости столь просто установить координаты угловой точки не удается, хотя такая точка всегда существует. Для получения распределения скорости (3.12) методом источников и стоков необходимо в точке х = 0, г = поместить [c.118]

Для решения линейнего дифференциального уравнения методом преобразований Лапласа находят отображение действительных функций на комплексную плоскость по формуле, называемой прямым преобразованием Лапласа [c.704]

В методе НПО используются два пучка света — поляризованного нормально и в плоскости падения. Коэффициенты отражения определяют из уравнений Фрезнеля (уравнения (1,9), (I, 10)). Общий коэффициент отражения находят по уравнению Друде (I, 11),(1, 12). В выражение для ) (уравнение (1,13)) входит комплексный показатель преломления N раствора или адсорбционного слоя, измеряемый [c.17]