Уравнения дифференциальное основное

Для вывода основных дифференциальных уравнений фильтрации упругой жидкости в упругой пористой среде необходимо воспользоваться уравнением неразрывности потока, уравнениями состояния пористой среды и насыщающей ее жидкости и уравнениями движения. При этом используем подход, развитый в гл. 2, в соответствии с которым в качестве уравнения состояния среды и жидкости используются упрощенные эмпирические соотношения. Как показывают результаты лабораторных экспериментов на образцах пород-коллекторов, а также опыт разработки месторождений, в ряде случаев наряду с изменением пористости вследствие происходящих деформаций существенны изменения проницаемости пластов. Особенно это относится к глубокозалегающим нефтяным и газовым месторождениям. Это вызывает необходимость учета в фильтрационных расчетах как при упругом, так и при других режимах фильтрации изменений проницаемости с изменением пластового давления (см. гл. 2). Развитию теории упругого режима с учетом этого фактора посвящено большое число исследований. Однако изложение этого раздела в более общей постановке, предусматривающей также введение в уравнения фильтрации зависимости проницаемости от давления, заметно усложнит изложение, поэтому авторы считают целесообразным, сохранив традиционный подход, рекомендовать читателям обратиться к монографиям, посвященным этому вопросу. [c.134]

Это дифференциальное уравнение является основным ири расчете одномерных потоков. [c.63]

Дифференциальные уравнения являются основным математическим аппаратом при исследовании динамических свойств объектов, в частности переходных процессов. [c.347]

Этот пример иллюстрирует возможности решения основного кинетического уравнения при наличии моделей с относительно узкими ядрами, которые приводят к ленточной структуре матриц в системе дифференциальных уравнений. При расчете моделей с широкими ядрами, возможно, понадобятся более сложные методы аппроксимации интегралов. Однако при использовании более сложных кубатурных формул на процесс дискретизации уравнения должны быть наложены такие ограничения, чтобы дискретное уравнение сохраняло основные физические свойства непрерывного уравнения. [c.200]

О принимается в качестве главного практического критерия устойчивости схемы. Прежде чем применять этот критерий, схему подвергают некоторым преобразованиям. Сеточное уравнение, аппроксимирующее основное дифференциальное уравнение, линеаризуется. Для этого рассматриваются малые возмущения решения, вызванные малым возмущением начальных данных. Переменные коэффициенты линеаризованного уравнения замораживаются , т. е. заменяются их значениями в произвольной точке области определения решения исходной задачи. Краевая задача заменяется соответствующей задачей Коши. [c.44]

Указанные выше функции, описывающие поля названных величин, могут быть получены в результате интегрирования системы дифференциальных уравнений, выражающих основные физические за1<оны — закон сохранения и превращения энергии, второй закон динамики и закон сохранения массы. Если система уравнений записывается для каждой фазы в отдельности — а рассматривается именно такой подход, то одноименные поля требуют увязки, на границах раздела фаз такая увязка обеспечивается сформулированными математически условиями взаимодействия фаз. Постановка задачи дополняется условиями однозначности для всей системы в целом. [c.5]

Нестационарные процессы в промышленных установках, например в пароводяных испарителях, кипятильниках дистилля-ционных колонн, барабанных паровых котлах и ядерных реакторах с кипящей водой, можно с очень большим упрощением описать аналогичными дифференциальными уравнениями. Ниже основное внимание уделено анализу динамики именно такого пространства (принципиального типа, которое в первом приближении можно рассматривать как систему с сосредоточенными параметрами, применяя к ней простой способ решения динамических свойств объекта), который базируется лишь на двух основных физических законах — сохранении массы и сохранении энергии. [c.290]

Описание системы, состояшей из сотен элементов и связей, состоит из сложной системы алгебраических, дифференциальных и интегральных уравнений, поэтому основное средство системного анализа — электронные вычислительные машины, компьютеры. [c.230]

Описание системы, состоящей из сотен элементов и связей, -сложная совокупность алгебраических, дифференциальных и интегральных уравнений. Поэтому основное средство системного анализа - электронно-вычислительные машины, компьютеры. [c.177]

Рассмотрим кратко основные классы уравнений, встречающиеся в математических описаниях химико-технологических объектов. Для характеристики свойств разных объектов моделирования обычно применяют алгебраические и трансцендентные уравнения, обыкновенные дифференциальные уравнения, дифференциальные уравнения в частных производных и интегральные уравнения. Последний тип — интегральные уравнения — [c.15]

Широко используемые дифференциальные уравнения с основными решениями, представленными в общей форме, приведены в табл. 2.7. В табл. 2.8 перечислены общепринятые граничные условия для случая передачи тепла теплопроводностью. [c.41]

Рассмотренные условия подобия геометрических, физических и других характеристик образца и модели являются необходимыми, но недостаточными условиями для создания модели. Достаточные условия выявляются, исходя из того, что процессы в образце и модели должны описываться одними и теми же дифференциальными уравнениями. Вывод основных положений теории подобия рассмотрим на примере гидромеханических процессов. [c.71]

Полученное уравнение является основным дифференциальным уравнением диффузии в установившемся иотоке. [c.251]

Математическое моделирование представляет собой приближенное описание какого-либо класса процессов с помощью математических символов (обычно системы дифференциальных уравнений, связывающих основные параметры процессов). Такое описание называют математической моделью процесса. [c.11]

В специальной литературе [20] получены дифференциальные уравнения, учитывающие основные силы, действующие на каждую из взаимодействующих фаз, включая и силы межфазного взаимодействия дисперсной и сплошной вязкой сред. Одним из таких соотношений является уравнение неразрывности стационарного двухфазного потока [c.67]

Основные типовые виды теплоотдачи и конкретные результаты экспериментального исследования интенсивности теплообмена являются предметом подробного рассмотрения в последующих разделах настоящей главы. Предварительно же следует отметить, что и при экспериментальном изучении процессов теплоотдачи, и при интерпретации результатов исследования важную роль играет полученное дифференциальное уравнение конвективно-кондуктивного теплообмена (3.47). Это связано с тем, что в самом уравнении заключено основное, наиболее общее для всех случаев физическое содержание процессов теплообмена, т. е. закон сохранения теплоты и основные элементарные виды ее переноса. В частности, практически наиболее важная роль уравнения (3.47) состоит в том, что из него могут быть получены обобщенные переменные и обобщенные параметры, описывающие в общем случае процессы теплообмена. Использование таких обобщенных величин (критериев подобия) весьма значительно сокращает объем необходимой экспериментальной работы и позволяет представлять получаемые опытные данные по интенсивности теплообмена в компактном обобщенном виде - в виде связи между критериями подобия. Явный вид такого рода критериальных расчетных соотношений (см. да- [c.232]

Предложены и решены дифференциальные уравнения для основной модели и шести особых случаев. Расчеты производились на счетно-решающем устройстве. [c.270]

Этот закон находит применение в тех случаях, когда изменение концентрации вещества зависит от времени 1 и расстояния X от электрода. В частности, это уравнение является основным дифференциальным уравнением для линейной диффузии к плоскому электроду в большом объеме раствора. [c.23]

Большой заслугой статистической механики Гиббса явилось доказательство того, что средние по ансамблю, которые рассматриваются как статистические аналоги термодинамических величин, связаны между собой дифференциальными уравнениями такого же вида, как и общие уравнения термодинамики. Основные соотношения (П1,25) — (П1,М) записаны сразу через температуру Т, однако в своей первоначальной форме их следовало выразить через неопределенный параметр р из соотношения (П1,19). Для упрощения записей вместо р удобно использовать обратную ей величину [c.67]

Этот короткий рассказ можно начать с задачи о брахистохроне. Ее автором является Яков Бернулли, а решил ее, согласно математическому фольклору, сам Ньютон, отвлекшись на один вечер от повседневных забот директора монетного двора. В задаче требуется найти форму кривой скорейшего спуска в вертикальной плоскости, предполагая, что по этой кривой скользит без трения тяжелая точка. Метод, которым воспользовался Ньютон, оказался применимым к обширному кругу задач и положил начало вариационному исчислению и теории оптимального управления. Для нас, однако, важно, что Ньютон свел задачу о брахистохроне к решению некоторого дифференциального уравнения. Возникла ситуация, которую можно описать следующим образом. Были обнаружены задачи об оптимальном выборе функции, эквивалентные задачам о решении системы дифференциальных уравнений. Если основным объектом исследования являются дифференциальные уравнения (или их системы), то полезно помнить, что может существовать эквивалентная оптимизационная задача. Так, Лагранж показал, что в отсутствие трения все уравнения механики можно свести к одному типу оптимизационных задач. Это открытие получило название принципа наименьшего действия. Впоследствии данный принцип был распространен на уравнения Максвелла и на многие другие разделы физики. Таким образом, мы столкнулись с еще одним классом двуликих задач. [c.137]

Для описания процесса горения углерода Л. Н. Хитрин дает систему дифференциальных уравнений и основной группы условий, осуществляемых на границе раздела твердой и газообразной фаз.. [c.191]

Вообще возможно преобразовать волновое уравнение (Б-1), используя правила дифференциального исчисления, но более полезно вывести вновь уравнение из основных принципов. [c.58]

Отсюда получается основное условие, которому удовлетворяют линейные уравнения (дифференциальные, интегральные и др.), сумма частных решений уравнения есть также решение уравнения. [c.68]

Неустойчивость ламинарных течений. Стационарные решения различных задач о движении вязкой жидкости формально существуют при любых числах Рейнольдса [76]. Однако реально могут осуществляться лишь течения, обладающие устойчивостью по отношению к возмущениям, всегда присутствующим в потоке. Математически обычно исследуют устойчивость движения по отношению к бесконечно малым возмущениям. Для этого на стационарное решение уравнения Навье-Стокса накладывается аддитивное нестационарное малое возмущение. Подстановка возмущенного решения в уравнения, учет основного решения и линеаризация относительно малых возмущений позволяет получать для возмущений линейные дифференциальные уравнения в частных производных с числом Рейнольдса для основного течения в качестве параметра. Коэффициенты этих уравнений не зависят от времени и некоторых из пространственных координат, которые по отношению к уравнению называются циклическими. Это обстоятельство обусловливает экспоненциальный вид зависимости возмущенного решения от циклических переменных. Иными ело- [c.174]

Исходные дифференциальные уравнения для основных величин следуют, например, из уравнений (12.17), (12.19) [c.219]

В основе анализа физического процесса (или физической задачи) методом подобия лежит приведение его математического описания к безразмерному виду. Под математическим описанием здесь и дальнейшем понимается замкнутая система основных уравнений (дифференциальных, интегральных или интегродифференциальных), описывающих процесс, в сочетании с начальными и граничными условиями задачи. Математическое описание любого физического процесса отражает, как известно, не сам реальный физический процесс, а лишь его физическую модель. Ясно, что физическая модель процесса должна достаточно полно учитывать его особенности, существенные для изучаемой задачи, а ее математическое описание должно быть составлено математически корректно. Лишь при этих условиях система безразмерных чисел, полученная в результате анализа математического описания методом подобия, будет полной и корректной. [c.31]

Имеется еще способ представления турбулентного потока как ламинарного потока неньютоновской жидкости, свойства которой можно определить в каждой точке, решая специальные дополнительные дифференциальные уравнения. Опишем основные особенности модели. В табл. 7 представлены наиболее важные из них, а именно члены, выражающие генерацию и диссипацию трех переменных. Эта таблица в достаточной мере подчеркивает подобие Между выражениями для данных трех переменных. Рассмотрим сначала диссипативный член, который выявляет подобие наиболее ясно. Параметр 157 имеет размерность квадрата частоты, так что корень квадратный из нее имеет размерность, обратную времени. Поэтому 1мы отмечаем, что скорости диссипации к, g п W пропорциональны локальному значению соответствующей величины, умноженной на характерную локальную ско рость. Члены, выражающие генерацию, также имеют одинаковый ви . Каждый из них представляет произведение локальной эффективной вязкости среды и квадрата градиента учитываются соответственно градиенты средних по времени скорости, завихренности и концентрации. Сама эффективная вязкость пропорциональна [c.28]

Для усвоения метода решения дифференциальных уравнений и основных соотношений преобразования Лапласа читателю предлагается решить следующие задачи [c.483]

Мы выбрали наиболее элементарный метод вывода основных уравнений материального и теплового балансов реактора. Другой способ, который мы могли бы использовать, состоит в том, чтобы начать с дифференциальных уравнений в частных производных, описываюпщх процесс в элементе объема реактора, проинтегрировать их по всему объему и усреднить по турбулентным флуктуациям в результате мы получим те же обыкновенные дифференциальные уравнения. [c.158]

При изменениях основных переменных процесса только во времени - модели, описывающие такие процессы, называют моделями с сосредоточенными параметрами и представляют их в виде обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.9]

Модели табл. 4.4 записаны для нестационарных условий движения потоков. Приравнивая нулю производную по времени, можно получить модели для стационарных условий. При этом существенно упрощается и соответствующее математическое описание. Так, для ячеечных моделей вместо системы дифференциальных уравнений описанием будет система нелинейных алгебраических уравнений. В общем случае весьма трудно получить аналитическое решение системы уравнений модели. Поэтому основными подходами к разработке алгоритмов решения являются аппарат передаточных функций и методы вычислительной математики. Эти методы по классам уравнений (дифференциальным в частных производных, обыкновенным дифференциальным, системам алгебраических уравнений) достаточно разработаны и обычно составляют эиблиотеку стандартных программ для решения задач вычислительной математики. [c.121]

Хотя цифровые машины решают дифференциальные уравнения в основном методом последовательных приближений, для сложных систем уравнений существуют более тонкие методы численного интегрирования. Ошибка вычисления существует и при решении на аналоговых вычислительных машинах, и исследователь должен уметь оценивать точность получаемого решения, особенно при Ентегрпрова-нип, где ошибки также интегрируются. [c.39]

В книге на основании детерминистского подхода получены уравнения динамики основных процессов в теплоэнергетике и химии. Известно, что реальные производственные объекты являются стохастическими, и принятые в книге описания, естественно, довольно идеализированы. Поэтому очевидно, что приведенные уравнения выполняются в среднем и уточнение коэффициентов дифференциальных уравнений осуществляется в каждом конкретном случае по данным нормального функционирования объектов методами, разработанными в современной теории идентификации. В связи с этим редактор счел необходимым, кроме указанной в конце каждой главы литературы, привести дополнительную краткую библиографию отечественной и зарубежной литературы, по которой читатель может познакомиться с согременпыми методами теории и практики идентификации. [c.15]

Тбрмодияам Ическая теория, развитая для физической адсорбции (гл. XIV, разд. Х1У-12), конечно, прим-енима к хемосорбции. Как и в физической адсорбции, в хемосорбции термодинамичедкие уравнения в основн.о м служат для расчета теплот адсорбции, т. е. для нахождения 8 из данных, полученных при различных температурах. Найденные таким способом значения qst должны совпадать с калориметрическими дифференциальными теплотами адсорбции, отличаясь от последних не больше чем на ЯТ, вероятно, даже для неоднородных поверхностей. Правда, при исследовании хемосорбции всегда существует опасность несоответствия экспериментальных данных адсорбционному равновесию. Рассматриваемый в разд. ХУ-5 критерий Бика для поверхностной подвижности применим для предельной ситуации, когда только часть поверхности находится в равновесии с газовой фазой. Напомним, что в таких случаях величины не имеют ясного физического смысла. [c.515]

В случае материала фойхтовского типа, поведение которого-при объемных деформациях является упругим, Р = R = I, я напряжения fij могут быть выражены непосредственно через смещения щ. Во всех других случаях, чтобы получить выражения для напряжений, нужно решать обыкновенные дифференциальные уравнения. Частные интегралы этих уравнений, соответствующие правой части уравнения (6), дают псевдохарактеристические времена, которые будут обсуждаться позднее, а сопряженные функции, т. е. решения однородных уравнений, дают основные характеристические времена релаксации. Очевидно, что начальные условия нужно выбирать таким образом, чтобы решения этих обыкновенных дифференциальных уравнений были однозначны, т. е. их число должно равняться порядку р + г оператора PPR . [c.502]

Основная задача статистической теории, в частности теории жидкого состояния, состоит в расчете структуры и термодинамических свойств вещества по известным межмолекулярным силам. Математическое описание подобного рода связи приводит к интегро-дифференциальным уравнениям для корреляционных функций, определяющих термодинамические величины. Эти уравнения можно разбить на две группы. Первая — это точные уравнения типа уравнений Боголюбова, представляющие собой системы зацепляющихся интегро-дифференциальных уравнений [77]. Основная трудность решения этих уравнений состоит в отсутствие общего метода расщепления их в любом порядке. Вторая — это приближенные уравнения типа Перкуса—Иевика и сверхпереплетающих-ся цепочек [1, 3]. В последних двух случаях важным вопросом является физическое обоснование этих уравнений. [c.22]

Впоследствии Б. Б. Дамаскии, Г. А. Теодорадзе и другие представители школы А. Н. Фрумкина развили его теоретиче кие представления о кривых дифференциальной емкости в присутствии органического вещества. Основное уравнение для емкости двойного слоя при постоянной концентрации органического це-щества можно получить дифференцированием ио потенциалу уравиения (11.41) [c.247]

Уравнение (5.14)-основное дифференциальное уравнение упругого режима фильтрации. По предложению В. Н. Щелкачева оно названо уравнением пьезопроводности. Оно относится к уравнениям типа уравнения теплопроводности (уравнения Фурье), которое является одним из основных уравнений математической физики. [c.135]