Вывод основных дифференциальных уравнений

Для вывода основных дифференциальных уравнений фильтрации упругой жидкости в упругой пористой среде необходимо воспользоваться уравнением неразрывности потока, уравнениями состояния пористой среды и насыщающей ее жидкости и уравнениями движения. При этом используем подход, развитый в гл. 2, в соответствии с которым в качестве уравнения состояния среды и жидкости используются упрощенные эмпирические соотношения. Как показывают результаты лабораторных экспериментов на образцах пород-коллекторов, а также опыт разработки месторождений, в ряде случаев наряду с изменением пористости вследствие происходящих деформаций существенны изменения проницаемости пластов. Особенно это относится к глубокозалегающим нефтяным и газовым месторождениям. Это вызывает необходимость учета в фильтрационных расчетах как при упругом, так и при других режимах фильтрации изменений проницаемости с изменением пластового давления (см. гл. 2). Развитию теории упругого режима с учетом этого фактора посвящено большое число исследований. Однако изложение этого раздела в более общей постановке, предусматривающей также введение в уравнения фильтрации зависимости проницаемости от давления, заметно усложнит изложение, поэтому авторы считают целесообразным, сохранив традиционный подход, рекомендовать читателям обратиться к монографиям, посвященным этому вопросу. [c.134]

Дифференциальные уравнения сохранения массы и импульса могут быть получены либо феноменологически, т. е. исходя из общих соображений и известных физических законов, либо путем осреднения уравнений сохранения, описывающих однофазное движение на уровне отдельных частиц. Методы осреднения, используемые для вывода макроскопических уравнений сохранения, различны осреднение по времени, по физически малому объему, статистическое или ансамблевое осреднение. Как правило, уравнения, полученные различными методами, имеют в основном один и тот же вид. Число публикаций, посвященных выводу уравнений сохранения достаточно велико. Читатели, интересующиеся данным вопросом, могут воспользоваться библиографией, приведенной в работах [95-98]. [c.59]

Структура критериев теплового подобия может быть получена из основного дифференциального уравнения конвективно-кондуктивного теплообмена (3.47а) методом почленного деления отдельных слагаемых уравнения, имеющих отмеченный ранее физический смысл. Вывод проще выполнить на базе одномерного уравнения (3.50), так как физический смысл слагаемых не зависит от числа и вида пространственных координат. Так, деление конвективного слагаемого на кондуктивное дает выражение, которое называют критерием Пекле. Смысл критерия Пекле - это мера отношения интенсивностей конвективного и кондуктивного переносов теплоты в потоке теплоносителя [c.233]

Построим дифференциальные уравнения модели. Первым шагом должен быть вывод основных дифференциальных уравнений, описывающих зависимость пересыщения от расстояния вблизи плоской ступени бесконечной длины. На рис. 3.11 представлен фрагмент поверхности кристалла. Рассматривается интервал плоскости шириной Ау, в котором диффундируют частицы по направлению к ступени (в отрицательном направлении оси у). [c.268]

В предыдущем параграфе мы использовали в качестве исходного соотношения при выводе основных дифференциальных уравнений для смещения двухфазного равновесия при наличии искривленной поверхности разрыва фундаментальное уравнение (VII. 2), которое относится к поверхностному слою конечной толщины. Однако в качестве такого исходного соотношения может быть взято и уравнение адсорбции Гиббса (I. 106). Мы можем применить к этому уравнению все рассуждения предшествующего параграфа и прийти к уравнениям, аналогичным (VII.7), (VII.8), (VII. 10) — (VII. 13). Так, например, уравнениям (VII, 7) будут соответствовать уравнения [c.174]

При выводе основных дифференциальных уравнений двухфазного равновесия в главах И и VH мы предполагали, что каждый из компонентов присутствует в поверхностном слое и любой из сосуществующих фаз. Иными словами, мы предполагали, что в системе отсутствуют полупроницаемые перегородки или какие-либо другие ограничения, препятствующие полноте обмена веществом. Мы не делали каких-либо допущений относительно заряда компонентов, но полученные уравнения в равной степени применимы как к неионным, так и к ионным системам, поскольку при полноте распределения веществ состав каждой из фаз и поверхностного слоя может быть задан набором определенного числа нейтральных компонентов. [c.239]

Вывод основных дифференциальных уравнений. Теперь можно обратиться к конкретным законам сохранения (1.3) и заметить, что все они имеют вид (1) при специальных значениях / и (р. Для закона сохранения [c.30]

Критерии диффузионного (массообменного) подобия получаются из основного дифференциального уравнения (5.12) переноса массы компонента в однофазном потоке, которое для вывода из него критериев подобия записывается в упрощенной, одномерной форме с заменой обозначения пространственной координаты на I. Тогда вместо уравнения (5.12) запишем [c.358]

Во-вторых, далее Орлов математическим путем выводит из этих последних уравнений основные дифференциальные уравнения общего вида для сложных химических реакций [c.67]

Основное дифференциальное уравнение неравновесной хроматографии поддается линеаризации, если константа обмена К достаточно близка к единице, т. е. может быть представлена как где е — величина достаточно малая, чтобы можно было пренебречь по сравнению с Б. Для изотопов 8 составляет несколько процентов [1, 2]. Однако теоретические выводы можно применять с достаточной точностью пля разделения близких элементов в том случае, когда е<1. [c.8]

Обратимся теперь к выводу некоторых дифференциальных уравнений теории потенциалов. Они выводятся весьма просто. Воспользуемся основным уравнением химической термодинамики [c.236]

Сам Максвелл исходил в выводе формулы (1.6) из математической аналогии между теорией стационарного испарения и теорией потенциала (роль потенциала в теории испарения играет концентрация пара). Эта аналогия обусловлена тем, что основное дифференциальное уравнение Фика — Лапласа имеет в обоих случаях вид [c.10]

Основные теоремы подобия, а также критерии, которые выводят из дифференциальных уравнений, описывающих моделируемые процессы, подробно изложены в литературе [1, 2, 6, И, 19, 20, 30—33, 35—53]. Поэтому в данном разделе (см. табл. П.З, колонка 3) приведены только уравнения для масштабов величин, входящих в условия однозначности, которые получаются из определяющих процесс критериев. [c.72]

Даны вывод и интегрирование основного дифференциального уравнения. [c.19]

Теоретические исследования можно выполнять аналитическими или численными методами-, при этом предполагают, что возможен вывод основных уравнений (в дифференциальной или другой форме), описывающих физическую сущность процесса. Если удается дать полное аналитическое решение задачи, то результатом его является раскрытие количественных закономерностей, определяющих изучаемый процесс. Однако во многих случаях аналитические методы нельзя использовать из-за большой математической сложности [c.12]

Вводя понятие инвариантных соотношений для факторов эффективности, можно показать, что факторы эффективности независимых компонентов вычисляются по факторам эффективности ключевых веш еств и элементам матрицы итоговых уравнений [57]. Кроме того, нетрудно осуществить вывод уравнений физико-хими-ческих (реакторных) инвариантов для основных типов моделей химических реакторов, что позволяет сокращать размерность систем дифференциальных уравнений, используемых для описания реакторов [57]. [c.247]

Разумеется, проведенный расчет носит условный характер, так как не все принятые при выводе формул (202) —(209) условия можно реализовать на практике. В частности, проводимость газа Си существенно зависит от температуры, которая по длине канала изменяется. При переменных значениях основных параметров можно вести расчет численными или графическими методами непосредственно но дифференциальным уравнениям (201) и (204) и соответствующим соотношениям для плотности газа, температуры и плотности электрического тока. [c.246]

Примечание. Исходное основное кинетическое уравнение, которое мы сейчас аппроксимируем, обладает такими свойствами оно сохраняет положительность и все его решения стремятся к стационарным. Уравнение Фоккера — Планка второго порядка также обладает этими свойствами, однако, добавляя высшие производные, мы их утрачиваем. Предположим, мы удержали в (9.6. ) члены до порядка включительно, т. е. опустим все члены, обозначенные точками. Получившееся в результате дифференциальное уравнение четвертого порядка уже не обладает указанными двумя существенными свойствами. Это означает, что (9.6.1) неверно или бесполезно — просто из этого уравнения мы не должны делать выводов, включающих степени параметра более высокие, [c.256]

Далее в разд. 8.2 выведены основные динамические уравнения для простейшего проточного двухфазного (парожидкостного) пространства при использовании двух фундаментальных физических законов — сохранения массы и сохранения энергии. Применение полученных в этом разделе результатов изложено в разд. 8.3 на примере краткого анализа динамики барабанных паровых котлов с естественной циркуляцией. Разд. 8.4 посвящен выводу упрощенной системы обыкновенных дифференциальных уравнений динамики уровня пароводяной смеси в пространствах без перегревателя и с подсоединенным перегревателем. [c.280]

Обстановка в промышленном реакторе, как правило, значительно сложнее, чем в идеализированных моделях. Расчет промышленного реактора в большой степени базируется на экспериментальных данных и идеализированные модели служат лишь отправной точкой для наиболее полного использования опытных данных, для определения основных размеров реакторов. При исследовании работы реакторов составляется математическое описание (математическая модель реактора), под которой понимают систему уравнений, позволяющих определять изменение в нем концентраций, температуры, давления и других параметров режима. Эти уравнения выводят на основании балансов вещества, теплоты и количества движения для реактора в целом или для его бесконечно малого элемента в зависимости от режима работы. Ниже приведены дифференциальные уравнения балансов, рассчитанные на единицу времени работы реактора. [c.80]

Главное преимущество дифференциального метода состоит в том, что не требуется никаких предположений по поводу механизма реакции, так как дифференциальное уравнение скорости выводится непосредственно из эксперимента. Основной недостаток метода заключается в том, что исходные данные Сд—( нужно сначала перевести в данные V— Сд ( второе поколение экспериментальных данных). Как правило, экспериментальные кривые с—/ не записываются непрерывно, а строятся по отдельным точкам. Повысить точность метода можно с помощью графических редакторов на ЭВМ путем аппроксимации точек какой-либо кривой, описываемой известной функцией, с последующим ее дифференцированием. [c.339]

Мы выбрали наиболее элементарный метод вывода основных уравнений материального и теплового балансов реактора. Другой способ, который мы могли бы использовать, состоит в том, чтобы начать с дифференциальных уравнений в частных производных, описываюпщх процесс в элементе объема реактора, проинтегрировать их по всему объему и усреднить по турбулентным флуктуациям в результате мы получим те же обыкновенные дифференциальные уравнения. [c.158]

Для экспериментальной проверки полученных соотношений были рассчитаны спектры времен релаксации для образца блок-сополимера полистирола с полибутадиеном с содержанием полистирола 62%. Эксперименты были выполнены при различных больших деформациях [55]. Результаты расчета приведены в табл. 5.1. Видно, что при длительности релаксационного процесса 180 мин экспериментальные кривые описываются пятью временами релаксации. При этом времена п и Т2 практически не зависят от деформации е и составляют в среднем <Т1> = 12,8 с и (т2>= 1,34-10 с. Остальные времена релаксации качественно согласуются с найденными зависимостями (5.80), хотя наблюдается значительное количественное расхождение. Это объясняется принятыми при выводе этих формул допущениями и упрощением исходных дифференциальных уравнений. Таким образом, полученное решение показывает, что предложенная модель правильно передает ход экспериментальных кривых и позволяет объяснить закономерное появление спектра времен релаксации. На самом деле поведение системы может характеризоваться двумя основными временами релаксации. Остальные времена являются комбинацией этих двух основных времен и зависят от деформации и упругих характеристик полимера. [c.176]

Дифференциальные уравнения, записанные относительно двух компонент перемещений, заменяются разностными уравнениями, которые выводятся при помощи вариационного метода, основанного на минимизации полной потенциальной энергии. При этом граничные условия в напряжениях, обычно затрудняющие решение задачи, становятся естественными, они входят в выражение для энергии и автоматически удовлетворяются при ее минимизации. Полная потенциальная энергия тела равна сумме энергий для всех ячеек сеточной области. При этом можно считать, что все функции и их производные остаются постоянными в каждой ячейке. Сетка может быть как равномерной (регулярной), так и неравномерной. Конечно-разностные функции для ячеек имеют, кроме того, весовые коэффициенты для учета неполных ячеек, примыкающих к наклонной границе. Получающаяся система алгебраических уравнений относительно узловых значений перемещений оказывается симметричной и положительно определенной и имеет ленточную структуру. В работе [8] дополнительно к основной, сетке строится вспомогательная и перемещения определяются в точках пересечения этих сеток. В результате этого нормальные деформации и напряжения вычисляются в центре ячеек основной сетки только через центральные разности. [c.55]

Рассмотренные условия подобия геометрических, физических и других характеристик образца и модели являются необходимыми, но недостаточными условиями для создания модели. Достаточные условия выявляются, исходя из того, что процессы в образце и модели должны описываться одними и теми же дифференциальными уравнениями. Вывод основных положений теории подобия рассмотрим на примере гидромеханических процессов. [c.71]

Таким образом, можно сделать вывод, что простота уравнения Ньютона (9.8) только кажущаяся, поскольку Ок зависит от большого числа переменных. Вследствие этого невозможно получить простое уравнение для расчета потока тепла, пригодное для всех случаев теплоотдачи. Однако путем обработки экспериментальных данных методом теории подобия можно получить зависимости, справедливые для данного класса явлений, в пределах которого возможно обобщение данных отдельного опыта. Из дифференциальных уравнений, описывающих конвективный теплообмен, с помощью теории подобия получают определенные комплексы, в которые входят тепловые величины, характеризующие основные случаи переноса тепла. Эти ком- [c.115]

Для вывода основных уравнений теории изотермического вальцевания рассмотрим схему движения, приведенную на рис. IX. 3. Дифференциальные уравнения движения материала записываем в форме уравнения Стокса без учета массовых сил (считаем, что жидкость несжимаема, траектории частиц материала мало отличаются от параллельных, квадратичными членами инерции пренебрегаем) [c.368]

В основной программе после описания массивов переменной N присваивается значение 2 и тем самым задается размерность системы дифференциальных уравнений. Вместо одного начального условия теперь вводится N начальных условий, по одному для каждого дифференциального уравнения системы. Это осуществляется в строках 300—600. Еще одно отличие в основной программе касается вывода данных, поскольку для системы уравнений надо выводить не одно, а N значений (строки 1400—1440). [c.233]

Если все выражения для скорости элементарных стадий выведены на экран, то основная программа вызывает подпрограмму 13000, которая составляет дифференциальные уравнения. Эта подпрограмма состоит из цикла по I, в котором поочередно рассматривается каждое из 8 веществ (строки 13040—13240). В него вложены два последовательных цикла по I (строки 13080—13120 и 13180—13220) для поиска всех исходных веществ (первый цикл) и продуктов (второй цикл). Если найдено исходное вещество, которое совпадает с 1-м веществом, то на экран выводится — К(1) (строка 13100) и соответственно для продукта -f-R(J) (строка 13200). После окончания этой подпрограммы заканчивается также и основная программа. В качестве примера рассмотрена кинетическая схема, которую мы проанализировали вручную. [c.315]

В подпрограмме 10000, исходя из кинетической схемы, рассчитываются значения производных, т. е. правых частей дифференциальных уравнений. Подпрограмма 11000 рассчитывает элементы матрицы I - А-Д/, а подпрограмма 50900 обращает эту матрицу. Для построения на экране кинетических кривых после расчета координат соответствующих точек вызывается подпрограмма 15000. Подпрограмма 20000 выводит результаты расчета в числовой форме. Участок программы до строки 999 служит для ввода исходных данных и подготовки вывода графической информации. Единичный шаг итерации реализован в подпрограмме 1100. Эта подпрограмма вызывается из основной программы, которая начинается со строки 5000. Интервалу времени соответствует переменная ВВ. Итерационная процедура проводится N1 раз с шагом DD/N1. Если при удвоении числа шагов N1 решение удовлетворяет требованиям точности, то итерационная процедура заканчивается (строка 5240). В противном случае N1 опять удваивается. Если N1 станет больше 50, то интервал времени ВО делится на 1000 и итерационная процедура начинается заново (строка 5160). Если требуемая точность достигается при N1 = 2, то интервал времени ВВ увеличивается в два раза. После каждого итерационного шага N1 уменьшается примерно в два раза (строка 5420). Переменный шаг интегрирования, организованный довольно простыми программными средствами, необходим здесь потому, что на начальном этапе вьшолнения программы (т. е. при очень малых степенях превращения) за очень малые промежутки времени концентрации промежуточных продуктов существенно меняются, тогда как изменение концентраций других веществ в начальной стадии реакции происходит гораздо медленнее. В строках 5430 и 5440 ограничивается длина шага интегрирования, поскольку кинетические кривые, построенные при слишком большой длине шага, будут выглядеть на экране слишком грубыми. Кроме того, эти строки позволяют приостановить вьшолнение программы, когда достигается заданная граница временного интервала. [c.403]

При решении кинетических задач используется весь математический аппарат ОТ. Если поле интенсиалов является одномерным, тогда интегрируются непосредственно уравнения основных законов и найденные интегралы согласуются с соответствующими условиями однозначности. При неодномерном поле интенсиалов приходится выводить специальные дифференциальные уравнения переноса, они могут быть получены также в качестве частных случаев из уравнений динамики. [c.294]

Теоретические исследования можно выполнять аналитическими или численными методами при этом предполагают, что возможен вывод основных уравнений (в дифференциальной или другой форме), описывающих физическую сущность процесса. Если удается дать полное аналитическое решение задачи, то результатом его является раскрытие количественных закономерностей, определяющих изучаемый процесс. Однако во многих случаях аналитические методы нельзя использовать нз-за большой математической сложности задач введение допущений, упрощающих их решение, приводит к неточным или неправильным результатам. В подобных случаях можно применять числепг[ые методы, позволяющие получать решения с любой заданной точностью однако, давая конкретные количественные соотношения в заданной области, эти решения не отражают общей картины явления. [c.12]

Функция Аи t, т) имеет конечные значения, причем она отлична от нуля в прямоугольнике, одна сторона которого равна бесконечно малой величине 6т, а другая — конечной величине Эту функцию можно назвать < линейчатош> вариацией по аналогии с шгольчатой вариацией, которая являлась основным элементом при выводе принципа максимума для случая систем обыкновенных дифференциальных уравнений [c.169]

В феноменологической термодинамике необратимых процессов определенным логическим завершением теории является вывод термогндродинами-ческих дифференциальных уравнений, которые дают полное физико-математическое описание неравновесных процессов. Можно отметить, что при феноменологическом подходе не используются молекулярно-кинетические модели, и в этом случае такие положения, как, например, принцип локального равновесия, линейные законы играют роль основных постулатов теории, целесообразность использования которых при определенных условиях вытекает из многих экспериментальных данных. [c.128]

Структура книги и метод изложения требуют некоторых пояснений. Чтобы как можно скорее приступить к изложению основного материала, я исхожу из того, что читатель обладает основами знаний, необходимыми для понимания теории горения. Предполагается знание математики (главным образом полное понимание дифференциальных уравнений, обг.гкновенных и в частных д роизводных), термодинамики, статистической механики, химической кинетики и теории явлений переноса. Чтобы помочь читателю, недостаточно хорошо ориентирующемуся в этих областях, а также для того, чтобы освободить текст от детального вывода исходных уравнений, книга снабжена подробными дополнениями, в которых содержится обзор сведений по термодинамике и статистической механике, по химической кинетике, по уравнениям гидродинамики и явлениям переноса. [c.12]

В результате исследований кинетики реакций расширялись также и рамки катализа. Уже работы Меншуткина (см. гл. V), показавшие, что скорость реакции может изменяться при перемене растворителя в несколько сот раз, не могли не привести к выводам о каталитической роли растворителей. Изучение широко распространенных химических процессов, которые не удавалось описать основными кинетическими уравнениями первого, второго и третьего порядков, привели Орлова [3] к выводам о существовании особых усложненных реакций. В этих реакциях промежуточные или конечные продукты играли роль положительных или отрицательных катализаторов. Предложив дифференциальные уравнения для такого рода реакций (см. [14]), Орлов впервые дал математическое описание явлений отрицательного катализа . Кинетические исследования процессов жидкофазного окисления посредством перманганата калия привели Шилова, Скрабаля и других химиков к выводу о существовании сопряженных реакций [4, 11]. Таким образом, была вскрыта каталитическая природа новой группы весьма распространенных химических процессов. [c.368]

Н. К. Харакас и К. О. Битти дали правильное, хотя и формальное, объяснение наблюдаемым отклонениям, предположив, что при увеличении диаметра частиц и уменьшении теплопроводности газа условная протяженность температурного поля становится сравнимой с размерами элементарного объема ячейки, который при выводе дифференциального уравнения (1) должен быть по крайней мере, не меньше диаметра частицы. Так как для кипящего слоя характерно кратковременное пребывание пакета частиц вблизи поверхности теплообмена, использование дифференциального уравнения сплошной среды (1) неприемлемо начиная с некоторого диаметра частиц для количественного анализа. Вероятно, поэтому модель X. С. Миклей и Д. Ф. Фейербенкса и основанное на ней соотношение (3) широко используют обычно лишь для качественных иллюстраций. А. П. Баскаковым было сделано, по нашему мнению, недостаточно физически оправданное предположение, что основная причина расхождения опытных и рассчитанных по соотношению (2) данных состоит в невозможности осуществления плотного контакта с пакетом, принимаемым за сплошное тело, из-за прослойки газа между поверхностью теплообмена и первым рядом частиц. Эта прослойка, толщина которой зависит от диаметра частиц, создает между стенкой и пакетом дополнительное контактное сопротивление. [c.183]

Хотя многократное рассеяние происходит по тем же законам, что и однократное, расчет интенсивности света, прошедшего через плотное облако, представляет значительные математические трудности. Эта проблема исследовалась в разных направлениях и известна как проблема переноса излучения (Чандрасекар. Точное решение получено только для весьма идеализированных условий, в основном для изотропного рассеяния и для случаев точечного источника света и сферических рассеивающих систем, а также плоского источника и плоскопараллельных систем. Практическая важность этой оптической проблемы и аналогичной проблемы рассеяния нейтронов плотными материалами способствовала разработке нескольких приближенных теорий. Можно получить решение некоторых задач, используя упрощенные методы расчета индикатрисы однократного рассеяния. Чу и Черчилль предложили шестипоточную модель, в которой индикатриса рассеяния одной сферой представлена в виде суммы шести компонент направленной вперед, направленной назад и четырех равных боковых. Интегродиф-ференвд1альное уравнение, описывающее интенсивность излучения в рассеивающей среде, сводится при этом к системе обычных дифференциальных уравнений, и решения, пригодные для численных расчетов, могут быть получены для различных геометрических конфигураций источника света и рассеивающей системы. В некоторых случаях можно использовать двухпоточную модель, в которой боковые компоненты приравниваются нулю. Опубликованы такие расчеты для многократного рассеяния плотной суспензии, имеющей частично отражающие границы. Экспериментально исследовано прохождение света через многократно рассеивающие суспензии частиц латекса и изучено влияние расстояния между частицами на многократное рассеяние 2. Согласно выводам авторов, слой плотного гидрозоля толщиной в несколько миллиметров может применяться для моделирования рассеяния в грубодисперсных атмосферных облаках с размерами порядка нескольких километров. [c.128]

При выводе (2.93) и (2.94) мы сделали ряд упрощающих предположений пренебрегли концентрацией R- по сравнению с концентрацией ROg-, приняли [RH] = onst и т. п. Более строгое решение может быть получено методом численного интегрирования на ЭВМ системы дифференциальных уравнений, учитывающих как основные, так и надежно установленные второстепенные стадии процесса. Следует напомнить, что свойства полимера быстро изменяются в ходе его окисления, и уже на неглубоких стадиях окисления полимер становится непригодным для большинства практических целей. [c.92]