Гармонический осциллятор нулевая энергия

В гармоническом приближении, как следует из общей механической теории колебаний, колебательное движение системы, имеющей Ркол степеней свободы, может быть представлено как наложение нормальных колебаний (см. гл. IX, 11). Совокупность ЗЫ связанных осцилляторов можно формально описать как совокупность ЗЛ/ независимых одномерных гармонических осцилляторов, так что для энергии будут справедливы выражения (IX. 168) в классическом приближении и выражение (IX. 169) в квантовом случае (число степеней свободы следует приравнять ЗК). В формулы входят ЗЫ величин V I = = 1,. .., ЗМ), собственных частот (частоты абстрактных линейных осцилляторов, с помощью которых мы описываем действительное движение атомов в системе). Формулы для статистической суммы и средней энергии одномерного гармонического осциллятора были получены ранее [формулы (IX. 107) и (IX. 110)]. Колебательная статистическая сумма кристалла, если включить в нее сомножитель, связанный с нулевой энергией колебаний, запишется в виде [c.320]

Таким образом, оказывается, что волновое число радиации, испускаемой или поглощаемой гармоническим осциллятором, равно волновому числу колебаний самого осциллятора, представляющего модель первого приближения колеблющейся молекулы. При этом не существенно, какие именно уровни комбинируются — нулевой с первым, первый со вторым и т. д. Здесь можно сослаться на рис. VI. 13, показывающий зависимость энергии гармонического осциллятора от межъядерного расстояния (парабола). На рисунке нанесены также равностоящие (эквидистантные) уровни энергии и переходы между ними, ведущие к поглощению или излучению квантов радиации одинаковой энергии, а следовательно, и частоты. [c.251]

Определим статистическую сумму гармонического осциллятора и колебательный вклад в термодинамические функции двухатомной молекулы.. При отсчете энергии от нулевого уровня кол = hvu = hem, где m = v/ — колебательное волновое число, выражаемое в см". [c.111]

Поглощение в ближней инфракрасной области определяется переходом молекулы с одного колебательного уровня на другой. Типичной частотой является частота, соответствующая максимуму полосы поглощения амид А — 3300 см (длина волны 3,0 мкм), что отвечает примерно Ю " с . Анализ инфракрасных спектров обычно начинается с рассмотрения валентных колебаний двухатомной молекулы. Представим, что два ядра молекулы соединены пружинкой. Колебательную энергию такой молекулы можно рассматривать как энергию гармонического осциллятора. Согласно квантовомеханическому подходу, энергия осциллятора принимает только дискретные значения, а соответствующие энергетические уровни располагаются на одинаковом расстоянии друг от друга, равном hv, где v — частота кванта света, поглощение которого повышает энергию до значения, соответствующего следующему энергетическому уровню. В основном (невозбужденном) состоянии молекула уже обладает энергией нулевых колебаний , равной половине энергии, необходимой для перехода на следующий уровень. [c.9]

На рис. 15.5, (2 показаны потенциальные кривые для основного и первого возбужденного состояний двухатомной молекулы ХУ. В возбужденном состоянии молекула имеет различную электронную структуру, и его потенциальная энергия выше. Равновесное межъядерное расстояние в возбужденном состоянии больше, чем в основном оно обладает разрыхляющим электроном, поэтому связано слабее и имеет меньшую энергию диссоциации. Когда молекула в основном состоянии поглощает излучение, то наиболее вероятно, что она находится при равновесном межъядерной расстоянии, как говорилось в разд. 12.15 для основного состояния гармонического осциллятора. Это несправедливо для более высоких колебательных уровней, так как по мере увеличения колебательной энергии мы приближаемся все более и более к тому хорошо известному положению, что наибольшую вероятность переходы имеют из поворотных точек. Согласно принципу Франка—Кондона, наиболее вероятен переход 0 2, так как возбужденная молекула в состоянии v = 2 не обладает значительной кинетической энергией при равновесном межъядерном расстоянии она имеет высокую вероятность колебательного нулевого уровня основного электронного состояния. Переходы на другие колебательные уровни возбужденного состоя- [c.469]

В качестве второго примера рассмотрим распределение энергии, между атомами в кристалле. Рассматривая кристаллы с тремя, пятью и семью атомами, действительно можно подсчитать возможные микросостояния и увидеть возникновение распределения Больцмана. Предполагается, что атомы в кристалле представляют собой идеальные одномерные гармонические осцилляторы, т. е. атом может обладать энергиями Ev, равными vhv, где и — колебательное квантовое число, к — постоянная Планка, а V — частота колебания. Эти энергии соответствуют тем значениям, когда нулевая энергия принимается за начало отсчета и энергии измеряются по отношению к этому нулевому уровню. [c.520]

Элементарный расчет энергии дисперсионного взаимодействия исходит из представления электронов гармоническими осцилляторами. Между двумя одинаковыми осцилляторами реализуется мгновенное диполь-дипольное взаимодействие, вследствие чего вместо первоначального колебания с частотой Ио возникают два нормальных колебания с частотами, которые отличаются от Ша тем больше, чем сильнее взаимодействие. Соответственно изменяется и нулевая энергия колебаний. В отсутствие взаимодействия она равна [c.57]

Результат квантовомеханического исследования поведения гармонического осциллятора, представленный уравнением (3.74), интересен в том отношении, что он указывает на невозможность нулевой энергии для осциллятора (при п = О его энергия Ео = =/lv/2, см. рис. 3.6). Этот результат связан с принципом неопределенности если бы осциллирующая частица имела нулевую энергию, то она имела бы нулевой импульс и находилась бы [c.31]

В этом отношении гармонический осциллятор подобен движению частицы в потенциальной яме, когда ряд допустимых значений квантового числа начинается единицей и оно никогда не равно нулю (см. стр. 24). Совершенно иными свойствами обладает ротатор (см. следующий раздел), который может занимать бесконечное число равновесных ориентаций на плоскости, и поэтому его основное состояние может отвечать нулевой энергии. [c.34]

Рассмотрим квантовомеханическую систему гармонических осцилляторов, находящихся в равновесии. Пусть N0 молекул имеют нулевую энергию, N1 молекул имеют колебательную энергию, соответствующую одному кванту N2 молекул обладают двумя колебательными квантами 2/гv и т. д. Рассмотрим далее газовую систему двухатомных осцилляторов, не обязательно находящихся в термическом равновесии, и попытаемся установить скорость, с которой система достигает равновесия. Независимо от того, находится ли система в состоянии термического равновесия, менаду числами осцилляторов и полными колебательными энергиями выполняются следующие соотношения [c.425]

Нулевой энергией молекулы называется энергия колебаний её ядер при абсолютном нуле температуры. Эта энергия зависит от масс атомов, входящих в молекулу и, таким образом, зависит от изотопного состава молекулы. Для двухатомной молекулы, образованной атомами с массами т и шг, частота её колебаний и (в приближении гармонического осциллятора) пропорциональна корню квадратному из величины, обратной приведённой массе /л V ОС (д) / , где (l/ ) = [ /т ) + (1/ш2). При этом Е = ки/2 [1,2]. [c.229]

Первые несколько уровней энергии и соответствующие волновые функции показаны графически на фиг. 5. Мы замечаем, что волновые функции являются попеременно симметричными и антисимметричными относительно начала координат. Особый интерес представляет тот факт, что, согласно квантовой механике, гармонический осциллятор не может иметь энергию, равную нулю низшее разрешенное значение энергии для него, называемое нулевой энергией, [c.106]

Влияние нулевой энергии вводится посредством допущения, что радиус максимальной плотности электронов, который определяется эффективным зарядом ядра Z, не фиксирован, а его распределение около средней величины описывается волновой функцией гармонического осциллятора. Полная волновая функция в таком случае записывается как 1 = 1(г1) X X Ф1 (Ж ), где [c.162]

Для отдельной СНг-группы веерные колебания можно приблизительно представить как колебания гармонического осциллятора с той же частотой —1300 лi" . Нулевую энергию осциллятора Ео (осциллятор в основном состояние) можно выразить также в виде [c.318]

При очень низких температурах Ео = Ыо 1 2) или о/Л о=е/2 = = средней энергии каждого осциллятора в основном состоянии. Но, как уже было показано [см. уравнение (8.14)], при О К все молекулы находятся в основном колебательном состоянии следовательно, величина е/2 представляет собой нулевой уровень энергии, или остаточную энергию гармонического осциллятора при О К. Таким образом, при температуре абсолютного нуля каждое колебание происходит с энергией, равной половине энергии колебательного кванта. Поэтому энергия У-го колебательного состояния определяется выражением гу=УЬ + У2 = [c.285]

Из дальнейшего обсуждения мы увидим, что для очень больших и очень малых межъядерных расстояний реальную молекулу нельзя аппроксимировать моделью гармонического осциллятора. Для гармонического осциллятора упругая восстанавливающая сила возрастает плавно и неограниченно с увеличением или уменьшением расстояния колеблющихся ядер от положения равновесия (см. рис. 12). Потенциальная энергия реальной молекулы будет возрастать с увеличением межъядерного расстояния более постепенно, чем это следует из уравнения (3-27). Это вызвано ослаблением на больших расстояниях (г) связи X — У (рис. 13). В конце концов сила, связывающая ядра, исчезает, связь рвется и потенциальная энергия достигает предельного значения. Эта энергия соответствует энергии диссоциации молекулы на рис. 13 она представлена асимптотой потенциальной кривой. Когда энергия системы почти равна энергии асимптоты, ядра на больших расстояниях друг от друга имеют нулевые скорости. Выше асимптоты кинетическая энергия ядер (которая не квантуется) возрастает. С другой стороны, при сближении ядер потенциальная энергия системы возрастает быстрее, нежели дает уравнение (3-27). Это вызвано внезапным быстрым увеличением кулоновского отталкивания с уменьшением межъядерного расстояния. [c.43]

Рис. 26. Суммарная энергия (Л ,) трехмерного гармонического осциллятора (кривые 1—5) и ее слагаемые нулевая (Ео) и тепловая ( тепл) энергии

Величина нулевой колебательной энергии может быть найдена из квантово-механического рассмотрения колеблющейся частицы. Рассмотрим простейший случай линейного гармонического осциллятора, моделью которого может служить шарик массы т, прикрепленный к цилиндрической пружине. Если шарик оттянуть вдоль оси пружины, то возникнет сила = —Лх. пропорциональная смещению х, если оно невелико. Коэфициент к характеризует деформируемость пружины. Как следует из элементарной механики , под действием этой силы шарик совершает гармонические колебания с частотой [c.52]

Самая грубая оценка некоторых диагональных силовых постоянных при выборе исходного нулевого приближения может проводиться по экспериментально наблюдаемым колебательным частотам при известном их отнесении. Для этого нужно квадраты частот просто поделить на соответствующие диагональные элементы матрицы кинетической энергии (О) /хц. Это понятно из аналогии с гармоническим осциллятором или колебанием двухатомной молекулы, где силовая постоянная дается выражением (Х1.1). С приведенной массой ц в уравнении (XI.1) можно сопоставить об-ратный коэффициент т,,, а л, = 4л с 1-о,-. [c.232]

Частоты либрационных колебаний молекул воды близки к Уо = 10 Гц. Спектр либрационных колебаний изолированных молекул в кристалле при невысоких энергиях хорошо аппроксимируется спектром гармонического осциллятора. Поэтому можно считать, что при комнатной температуре для данного заселен главным образом основной колебательный уровень, соответствующий нулевым колебаниям. [c.10]

Важнейший результат изменений частот колебаний — смеш,е-ние колебательных уровней молекулы (например, расстояние между уровнями простого гармонического осциллятора равно А V) эти изменения могут привести к двум следствиям. Во-первых, эффекты критической энергии нулевые энергии затронутых [c.297]

Из выражения (VH.20) следует, что энергия гармонического осциллятора, отсчитываемая от нулевого уровня е ол (0) = v/2, может принимать значения [c.252]

Расчет энергии каждого из указанных колебаний, отнесенных к минимуму потенциальной кривой, т. е. с учетом нулевой энергии, производился в приближении гармонического осциллятора по фор-.муле [c.64]

Уровни колебательной энергии для гармонического осциллятора также расположены иа равных расстояниях друг от друга. Однако они не эквидистантны, если в основу расчета потенциальной энергии положена функция Морзе (рис. 21). Здесь важно отметить, что самый низкий уровень энергии лежит на 1/о/г> выше, чем минимум потенциала. Эту энергию называют энергией нулевой точки-, она имеет важное значение при определении энергии диссоциации по экспериментально найденной кривой потенциальной энергии. [c.79]

По-видимому, нулевые энергии являются проявлением принципа неопределенности, отражающим неизбежные отклонения от полного покоя, которые имеются всегда, даже и в том случае, если система находится в состоянии с наинизшей возможной энергией. Мы должны ожидать, что любая частица, которая может находиться только в ограниченной области пространства, имеет отличную от нуля нулевую энергию. Это, конечно, действительно так в случае атома водорода и гармонического осциллятора. С другой стороны, нулевая энергия ротатора оказывается равной нулю. Это так потому, что в основном состоянии ротатора мы не знаем ничего [c.183]

Чтобы получить выражение для воличины кол, рассмотрим сгачала гармонический осциллятор, обладающий частотой v. Энергия уровней такой модели относительно нижнего состояния, энергия которого принимается за нулевую, равна hv, 2hv, 3/ v и т. д. Тогда [c.309]

Гармонический осциллятор даже на нулевом колебательном уровне совершает колебания с так называемой нулевой энергией оло. не исчезающей и при температуре О К. В классической механике осциллятор при самом низком энергетическом состоянии покоился бы. Различие квантовомеханического гармонического осциллятора и классического хорошо иллюстрируют графики волновых функций г цл и их квадратов 1 1>к0л1 (рис. 75). Последние указывают плотность вероятности того, что межъядерное расстояние равно г. В классической механике скорость ядер в точках возврата равна нулю, и вероятнее всего можно найти ядра именно в этих точках. В квантовой механике для нулевого колебательного уровня вероятность нахождения ядер в точках возврата очень мала, а наиболее вероятное положение ядер отвечает равновесному расстоянию (рис. 75). Для уровня с [c.158]

Из квантовомеханического 1)ассмотреиия гармонического осциллятора следует, что энергия колебаи ий атомов в молекулах не может принимать значения меньшего, чем Ч для каждого колебания (V — частота колебаний). Поэтому полная энергия системы в исходном состоянии не может быть меньне некоторой нулевой энергии [c.58]

Причина обозначения частоты как уо вскоре станет очевидной.) Заметим, что при п = О колебательная энергия все же отличается от нуля и равна /гуо/2. Эта величина называется энергией нулевых колебаний. Физический смысл этой энергии заключается в том, что квантовомеханический гармонический осциллятор никогда не находится в покое, а всегда колеблется по крайней мере с энергией нулевых колебаний. (Если бы осциллятор находился в покое, то это означало бы нарущение принципа неопределенности. При таком состоянии положение и импульс осциллятора были бы одновременно точно известны.) Применительно к двухатомной колекуле рассмотренная теория позволяет сделать вывод, что существование фиксированного, строго определенного межъядерного расстояния между ее атомами, строго говоря, невозможно. То, что называется межъ-ядерным расстоянием, на самом деле представляет собой среднее расстояние между атомами. [c.83]

Пример (попрос 13). Волновая функция основного состояния гармонического осциллятора массы т с силовой постоянной к пропорциональна е.хр( - а х-), где 1Л- = п10)//г и 1о =к, т. Подтвердим, что это есть решение п оно соответствует -анергии Ец= Какова величина энергии нулевого уровня в молекуле [c.449]

Волновая функция для низшего состояния гармонического осциллятора имеет вил функции Гаусса ехр( -ях -), где х — смешение от равновесного положения. Покажите, чго эта функцня уюплетпоряет уравнению Шредингера для гар.мопического осциллятора, и определите g через. массу т и силовую постоянную k. Какова энергия (нулевого уровня) осцнл.тятора прн такой волновой функции Какова его минимальная энергия возбуждения [c.470]

Колебательные уровни двухатомных молекул были рассмотрены в разд. 15.4. Если возбуждены очень высокие колебательные уровни, то при расчете суммы по состояниям следует принять во внимание ангармоничность, но в большинстве случаев достаточно использовать приближение гармонического осциллятора, так как заполнены только более низкие уровни. Для расчета суммы по состояниям колебательная энергия обычно отсчитывается от основного состояния (и = 0), а не от дна на кривой потенциальной энергии. Это упрощает уравнение, потому что отсутствует нулевая энергия Нхо12, где vo — частота основного колебания). Более подробно о точке отсчета при измерении энергии будет сказано в связи с расчетом констант равновесия. [c.537]

При значительных амплитудах колебаний двухатомную молекулу уже нельзя аппроксимировать гармоническим осциллятором, поскольку потенциальная энергия реальной молекулы будет возрастать с увелегтением меж-ядер ного расстояния более медленно, чем это следует из уравнения (5.98). Это вызвано тем, что на больших расстояниях сила связи между атомами в молекуле ослабевает и в конце концов исчезает, связь рвется п потенциальная энергия достигает предельного значения. Эта энергия соответствует энергии диссоциации молекулы. На рис. 5.4 она представлена асимптотой потенциальной кривой. Когда энергия системы почтп равна энергии асимптоты, ядра на больших расстояниях друг от друга имеют нулевые скорости. С другой стороны, прп сближении ядер потенциальная энергия системы возрастает быстрее, чем это дает уравнение (5.98), что вызвано внезапным быстрым увеличением кулоновского отталкивания с уменьшением межъядерного расстояния. [c.89]

В нулевую энергию. Например, в случае гармонического осциллятора с V = 1000 вклад в энтальпию равен 1,44 ккал моль при 300° К и только 20 кал1м6ль не входит в нулевую энергию. Однако у более сложных молекул число колебаний больше, и обший вклад таких колебаний в Я — о вполне может оказаться больше 1 ккалЫоль. [c.531]

Колебательная частота всегда кратна характеристической собственной частоте (см. рис. 3.8). Наинизшая колебательная энергия, энергия нулевого уровня, ол (0) = /гУкол/2 отлична от нуля (вследствие принципа неопределенности Гейзенберга). Эти положения справедливы для всех электронных состояний молекулы, в которых сохраняется связь между данными атомами. Точки пересечения с потенциальной кривой разрешенных согласно уравнению (3.7) уровней полной энергии (например, точки А, В на рис. 3.8) можно сопоставить в модели классического гармонического осциллятора с точками, соответствующими максимальной амплитуде. В этих точках вся кинетическая энергия осциллятора превращается в потенциальную. В других точках горизонтальных прямых кинетическая энергия отлична от нуля, состоит из кинетической и потенциальной частей, которые взаимосвязаны. На рис. 3.8 указано схематически также распределение плотности вероятности нахождения ядра Y на определенном межъядерном расстоянии, вычисленное квантовомеханически. Можно легко заметить, что при повышении колебательной энергии возрастает вероятность нахождения ядра вблизи потенциальной кривой, причем эта вероятность отлична от нуля да же за пределами интервала гху, ограниченного потенциальной кривой. Согласно классической теории это невозможно. Наибольшее отклонение от классической модели имеет место на уровне кол(0). Распределение плотности вероятности нахождения ядра представляет собой для этого уровня плавную кривую с максимумом при гху = о- [c.75]

Зависимость энергии гармонического осциллятора от межатомного расстояния имеет форму параболы (рис. 1.2). При переходах молекул с одного уровня энергии на другой с изменением колебательного квантового числа на единицу наблюдаются наиболее интенсивные полосы поглощения. Такие колебания называют основными. Когда молекула при поглощении излучения переходит с нулевого (у=0) на первый (У=1) уровень, частбта колебания равна характеристической колебательной частоте. Переход же с ну- [c.13]