АЛГЕБРА ЛИ ГРУППЫ

Так как алгебра Ли группы SU(2) X SU(2) изоморфна алгебре группы 0(4), полезно построить четырехкомпонентные величины [c.480]

Пример 2.2. Пусть Lj — групповая алгебра группы G Q примера 2.1. Тогда (Т рР, (я) = / (qP ) (Р> < 6 Q) ее характеры — обычные непрерывные характеры группы, а изложенные выше утверждения — хорошо известные факты. Оператор обобщенного сдвига для четной подсистемы этой г. с. согласно (2.22) имеет вид [c.338]

Обе книги могут быть полезными для преподавания предметов Математика и Физика , так как выделяют те разделы этих предметов, которые важны для химиков. Так, кроме дифференциального и интегрального исчисления химику, активно использующему физические методы в своей работе, необходимы разделы линейной алгебры, теории групп и интегральных преобразований. Для решения обратных задач методов особое значение имеют вычислительные методы. С точки зрения преподавания физики важно уделить внимание вращательному движению, магнитным явлениям и, конечно, квантовой механике, ее приближенным методам решения уравнения Шредингера, особенно методу теории возмущений. Некоторые задачи физического практикума также могут ориентироваться на дальнейшее использование в практике физических методов исследования в химии. [c.264]

Ранее было сказано, что для молекулы воды существуют четыре операции симметрии, однако пока были упомянуты только три. Четвертая операция важна, хотя и тривиальна. Это тождественное преобразование, т. е. операция, оставляющая молекулу неподвижной. Ее обозначают буквой Е (или иногда /). На первый взгляд эта операция может показаться излишней. Необходимость ее введения обусловлена тем, что на основе теории групп можно построить алгебру операций симметрии молекулы воды. Чтобы выразить тот факт, что последовательное выполнение двух операций поворота вокруг оси Сг оставляет молекулу в исходном положении, нужна тождественная операция. Алгебраически это можно представить в впде [c.137]

Математическое описание действия операций группы на вырожденные функции можно дать лишь на основе аппарата матричной алгебры. Для читателей, знакомых с ним, заметим, что выражения (7.19) и (7.20) можно объединить в одно матричное [c.149]

Имеется ряд теорем теории групп, облегчающих решение этой задачи, Одиако оии не будут применены в данной книге, поскольку требуют знакомства с матричной алгеброй. [c.171]

Одним из самых важных вопросов, относящихся к векторам и матрицам цепи и вообще к математическому описанию и методам расчета потокораспределения, является их рациональная декомпозиция (разложение, расщепление) на части с выделением тех или иных групп переменных и блоков в матрицах. Именно с этим прежде всего и связаны такие теоретически и практически важные вопросы, как строгое математическое описание преобразований основных переменных к контурным или узловым величинам, сокращение размерности задач о потокораспределении и анализ общих свойств их решений, получение замечательных соотношений между матрицами и векторами, учет специфических особенностей сетевых задач при применении численных методов линейной и нелинейной алгебры и др. [c.55]

В терминах алгебры Ли всегда можно переформулировать любую квантовомеханическую проблему так, чтобы в явном виде-рассматривать только связные группы [4а-и]. Такой подход приводит к групповому разложению экспоненциального типа, в котором эффект несвязных групп учитывается лишь неявно. Так, вместо того, чтобы изучать разложение для самой примитивной функции Ф, можно попытаться разложить логарифм этой функции [c.67]

Роль конформных преобразований в теории фазовых переходов была выяснена А. М. Поляковым [49]. С по мощью конформной группы удается доказать своеобразные соотношения ортогональности в алгебре флуктуирующих величин. Роль обычного скалярного произведения здесь играет коррелятор двух величин. Мы докажем, что такое среднее отлично от нуля только в том случае, если масштабные размерности сомножителей (речь идет о скалярных величинах) совпадают. Рассмотрим случай двух скалярных величин А и В. Коррелятор Кав(х — у) = = <4(х)5(у)>, как было показано раньше, ведет себя как jx — у Дл-Дв. При конформных преобразованиях (4.3) и (4.15) интервал конечной длины х —у [ претерпевает изменение [c.78]

Теория групп в той форме, в которой она представляет для нас интерес, использует в значительной мере матричные обозначения, так что мы сначала изложим элементы матричной алгебры,, причем сделаем упор на матрицы, связанные с линейными преобразованиями координат. [c.229]

Математич. аппарат для рассмотрения свойств С. м. дается теорией групп — разделом высшей алгебры, позволяющим получать общими методами все результаты, касающиеся этих свойств. Часть результатов легко получается и из наглядных геометрич. соображений. [c.437]

Пусть О есть г-параметрическая матричная группа Ли и, как и прежде, уа, сс=1,. .., г —базис алгебры Ли группы О. В предыдущем параграфе мы видели, что любая матрица Г 1-форм связности группы О принимает значения в алгебре Ли этой группы. Таким образом, любая такая матрица Г принадлежит множеству [c.29]

Когда элемент Г из отображается на у с помощью некоторого выбранного элемента группы О, он принимает значения в алгебре Ли неточных 1-форм Га. Соответственно Га удовлетворяет условиям [c.31]

Обозначим через а матрицы констант, определяющих базис представления алгебры Ли группы 50(3)о (3X3)-матрицами. При нарушении однородности действия группы 50(3)о (т. е. при замене = Ах(Х ) на х Х ) = [c.50]

Хорошо известно, что овладению современной теорией химической связи и строения молекул широкими кругами химиков в значительной мере препятствует недостаточная математическая подготовка. Однако редко серьезно обсуждается вопрос о том, какие именно разделы математики необходимы в первую очередь для устранения разрыва между теми математическими познаниями, которые химик получает в, высшей школе, и теми сведениями, без которых нельзя обойтись при изучении теории. Если бы эта проблема была поставлена раньше, то уже давно в курс математики для химиков, а также в число книг, обязательных для современного культурного химика, были бы включены разделы и книги, посвященные линейной алгебре и в первую очередь таким ее частям, как теория матриц и теория групп. Это связано не только с особенностями расчетных методов, применяемых в настоящее время в квантовой химии, но и отражает тот факт, что теория групп применяется для изуче-. ния и использования такого важнейшего свойства 1 молекул, как их симметрия. Поэтому при любом усовершенствовании идей и методов квантовой химии I теория групп всегда останется одним из основных элементов, на которых строится учение о строении ( молекул. Именно это обстоятельство явилось причи- [c.5]

В гл. 4 рассматриваются трансляции и вращения молекулы при соответствующих операциях симметрии. При этом читатель знакомится с такими понятиями, как тип симметрии и таблица характеров , а также с классификацией нормальных колебаний и моле кулярных орбиталей. Для тех, кто не изучал векторной и матричной алгебры или хотел бы освежить свои знания в этой области, в гл. 4 включено элементарное обсуждение векторов и матриц, которое, однако, не выходит за рамки минимума сведений, необходимого для качественного понимания теории групп. [c.9]

X — г- Аналогично I X = С и Сз X = < что легче всего проверить, используя описанный ранее метод изменения знаков координат точек при действии операций симметрии. В рассмотренной здесь группе порядок умножения безразличен, т. е,, используя для операций обозначения рис. 32, видим, что АХВ = С и ВХА = С. В алгебре такое умножение (когда АХВ = ВХА) называется коммутативным. (Группы, подобные рассматриваемой, для которых справедливо коммутативное умножение, называются абелевыми по имени математика Генрика Абеля.) [c.46]

Герман Вейль (1885—1955) — величайший математик нашего века. Исследования Вейля посвящены теории чисел, алгебре, геометрии, основаниям математики. Для научного творчества Вейля характерен глубокий интерес проблемам теоретической физики и химии. Ряд его работ посвящен разработке теории химической связи с точки зрения теории групп. [c.117]

В физике для описания свойств собственного углового момента элементарных частиц используются специальные унитарные группы SU(n), где п равно 2/+ 1- Специальная унитарная группа — это группа всех унитарных матриц (т. е. таких, для которых обратная матрица совпадает с сопряженно-транспонированной) размерности п с детерминантами, равными - -1- В такой группе собственный угловой момент (спин) отдельной частицы преобразуется по первому нескалярному неприводимому представлению группы (т. е. первому с размерностью больше единицы). Правильно симметризованные совокупности одинаковых частиц преобразуются по представлениям высших размерностей. [Группа трехмерных вращений R(3) является подгруппой всех групп SU(n).] Существуют две равноправные схемы обозначения представлений для групп SU(n) обозначения из симметрических групп S(yV), а также обозначения, связанные с угловым моментом. Эти соображения, а также то обстоятельство, что алгебра групп -SU(n) хорошо развита, делают удобным использование групп SU (п) для описания спиновых свойств. [c.355]

Здесь e — малый параметр (малое положительное число) и, таким образом, первые т реакции имеют высокие коэффициенты скорости, а группа (т + 1,. . ., Л) реакций имеет низкие значения коэффициентов скорости. Первая подсистема называется подсистемой быстрых реакций (быстрой подсистемой), а вторая — подсистемой медленных реакций (медленной подсистемой). В асимптотике е = О и система (3.59) вырождается в алгебро-дифферен-циальную. [c.155]

Операторы к образуют так называемый центр групповой алгебры. Алгебраические методы исследования конечных групп подробно рассмотрены в книге Баннаи Э., Ито Т. Алгебраическая комбинаторика. М., Мир, 1987. [c.195]

Имеется строгая математическая теория, рассматриваюш,ая свойства симметрии она использует понятия и методы раздела высшей алгебры, называемого теорией групп. С помощью теории групп находят выражения для волновых функций молекулярных орбиталей в комплексных соединениях. В данной книге невозожно привести это математическое рассмотрение. Мы изложим лишь его результаты для случая октаэдрического расположения лигандов вокруг центрального атома, которое характерно для многих комплексных соединений. [c.227]

Пусть 17 — непустое компактное метризуемое пространство и ж т — представление группы Ъ " гомеоморфизмами пространства Г2 (г° — тождественное преобразование и = г г ). Обозначим через банахову алгебру (Г2) непрерывных действительных функций на Г2 с равномерной нормой. Вероятностные меры на ft (называемые также состояниями) образуют выпуклое компактное метризуемое подмножество слабо дуального к пространства ( состоит из действительных мер на i2 и снабжено слабой, топологией). Множество I инвариантных относительно т состояний выпукло, компактно и является симплексом Шоке (см. приложение А.5.5). Крайние точки множества I называются эргодичеекими состояниями, и так как I — метризуемый симплекс, каждое состояние а I допускает единственное разложение на эргодические состояшм, называемое эргодическим разложением, (см. приложение А.5.6). [c.133]

Рассмотрим унитарные преобразования — действия унитарных операторов X I—> иХиУ Такое действие ие меняется при домиожении U иа число, равное по модулю единице, поэтому группа унитарных преобразований имеет вид UT(H- ") = U(H- ")/U(l). Отметим, что унитарные преобразования — это в точности автоморфизмы -алгебры [c.132]

С. включает как теоретич. представления, так и эксперим. методы. В области теории она широко использует аппарат квантовой химии, а также таких мат. дисциплин, как теория групп, алгебра, теория графов, топология (см. Топология в химии), теория множеств. С. использует все инструментальные методы исследования особое место занимают хироптич. методы (дисперсия оптич. вращения и круговой дихроизм и др.), а также спектроскопия ЯМР, в к-рой установлены спец. эффекты, имеющие чисто стереохим. [c.433]

Таблица связности может быть использована для представления связей углерода с гетероатомом, аксиальных заместителей в циклогексановом кольце, кольцевых связей и т. д. По отношению к наборам можно использовать все операции булевой алгебры ( и , или , исключающее или и нет ). Например, если нужно идентифицировать карбонильную группу в структуре нашего кетона, в программе осуществляется операция и между наборами, отвечающими DBONDAT и OXYGEN (поскольку нам известно, что в ЦС присутствуют только атомы углерода и кислорода) . [c.35]

Книга посвящена систематическому изложению современной теории фазовых переходов. В ней изложены теоретические представления, необходимые для описания взаимодействующих критических флуктуаций (гипотеза подобия, алгебра флуктуирующих величин, конформная инвариантность, ренормгрушха). Теория применяется для описания конкретных явлений. Проводится сопоставление с экспериментом. Особое внимание уделено системам с непрерывной группой симметрии (сверхтекучая жидкость, гейзенберговский магнетик), свойства которых при всех температурах ниже точки перехода определяются сильными гидродинамическими флуктуациями. Книга содержит много оригинальных результатов. Большинство вопросов, затронутых в книге, никогда не излагалось в систематической форме. [c.2]

Дальнейпше члены разложения по Я формулы (10.2) приведут к эффективному изменению величины X, фигурирующей в формуле (10.3). При этом наиболее важными являются те конфигурации, в которых точки делятся на две группы, одна вблизи yi, а другая вблизи уг. Кроме того, возникнут итерации гамильтониана (10.8). Разумеется, мы реально ничего не добавляем к старому гамильтониану взаимодействия (9.1). Введение добавки (10.5) позволяет воспользоваться для вычисления индексов уже известными алгебраическими соотношениями для произведений двух величин <р и бН. Необходимо вычислить коэффициент а в алгебре [c.111]

Сначала, в 59—65 будет дан критический обзор анализа размерностей. К анализу размерностей обычно обращаются, когда нужно обработать результаты экспериментов с моделями, и он обладает тем преимуществом, что для него не требуется математических сведений сверх курса элементарной алгебры, но зато и тем недостатком, что необходимо вводить добавочные постулаты, физическую надежность которых приходится проверять особо. В 60—61 эти постулаты даны в теоретико-групповой формулировке в терминах группы подобия всевозможных чзменений основных единиц. [c.118]

Это было высказано Ehrenfest [61], стр. 26I, во ве привлекло внимания, так как она не указала никаких приложений. Элементарные сведения о группах см. в [45], гл. VI об ортогональных матрицах см. там же, гл. VIII. [См. также Курош А. Г., Теория групп. М.—Л., 1963 Мальцев А. И., Основы линейной алгебры. М.—Л., 1948. —Ярил. ред.]. [c.137]

Приведенный случай служит иллюстрацией нашего отношения к этому вопросу. Когда физик желает изучигь новые теоретические достижения своей науки, одним из самых больших препятствий является необходимость применения новой математической техники, с которой он не знаком. Теория относительности привела к необходимости изучения тензорного исчисления и римановой геометрии. Квантовая механика заставила более тщательно изучить граничные задачи и матричную алгебру. Поэтому, если бы мы могли свести до минимума новые разделы математики, которые должен изучать физик для понимания новой области, мы оказали бы реальную большую услугу. Возражения Вейля Дираку применимы, конечно, и к этой книге. Однако в той же мере применим и ответ Дирака. Многое из того, что изложено в книге, можно было бы упростить, если бы теория групп уже вошла в обычный математический аппарат физиков. Но поскольку этого нет, представляется более разумным [c.18]

Под епочкой понимается последовательность слов или знаков, которым предписываются дополнительные условия. Язык запросов в части наименований совместим со словарным составом ИПЯ АИДОС, т, е, для индексирования поступающих в систему сведений и запросов используется один и тот же словарный состав. Для формулировки поискового предписания обязательно используются тезаурус, а также, сли есть в системе, систематическая классификация и профиль групп фактов. Для связи терминов поискового предписания используются логические операторы булевой алгебры конъюнкция, дизъюнкция и отрицание. Регулирование приоритета связок может производиться путем использования скобок. [c.102]

Матричные методы расчета колонн многокомпонетной ректификации. Выделение этой группы методов возможно и несовсем правомерно, т,ак как, например, при использовании релаксационных методов задача также может быть сведена к решению систем линейных алгебраических уравнений методами матричной алгебры [227—250]. Впервые матричные методы в расчетах процессов ректифик,ации были использованы в работах [227, 228, 229], при этом системы уравнений, описывающие распределение температур, составов и величин потоков пара и жидкости по ступеням (разделения, решались независимо друг от друга методом Гаусса [238—243]. Матричные методы р,асче-та в свою очередь. различаются по двум основным признакам— методу решения систем уравнений математического описания, записанных б матричной форме, и используемым методом снижения размерности реш,аемой системы уравнений. Так был предложен метод сведения нелинейной системы уравнений к линейной, что вполне возможно при использовании метода Тилле—Гедеса для расчета распределения составов и метода Ньютона—Рафсона для определения температур на ступенях разделения [239]. Следует отметить, что реал.из,ац ия матричных методов, особенно в сочетании с методом Ньютона—Рафсона, требует использования ЭВМ с колоссальным объемом оперативных запоминающих устройств (необходимость хранения матриц коэффициентов систем уравнений и матриц величия частных производных от системы уравнений м,атематического описания по всем итерируемым переменным). Некоторое сокращение-размерности системы уравнений математического описания возможно лишь для случая расчета процессов ректификации идеальных смесей [228], но введение учета неидеальности смеси приводит к увеличению размерности задачи до первоначальной. Предлагалось также в сочетании с матричным методом расчета использовать концепцию реальной ступени разделения при введении заданной постоянной величины к. п. д. Мерфри [230]. Позднее матричные методы получили развитие в целом ряде работ [230—245]. В связи с широким использованием в расчетах процессов химической технологии методов квазилинеаризации эти методы нашли широкое применение и в расчетах процессов ректификации многокомпонентных смесей [241, 238, 239]. Так, например, метод квазилинеаризации позволяет существенно улучшить характеристики сходимости матричных методов расчета [237]. В пос- [c.56]

Когда химики от частных случаев химических систем перешли к системам с произвольными химическими превращениями, оказалось, что математическое описание их естественно проводить па языке линейной алгебры. В различных статьях по химическим равновесиям и кинетике представлены некоторые приемы линейпо-алгебраического описания, которые удобны для решения конкретной группы задач одним избранным методом. Работ, претендующих на общность подхода, немного. Это статья Арпса [1], основные идеи которой вошли в монографию Н. ф. Степанова и др. [2]. В упомянутых работах построение аксиоматики стехиометрии начинают с введения векторов, выражающих атомный состав молекулярных частиц. Операции над векторами-молекулами кажутся излишне формальными, поскольку смутно определен физический смысл суммы векторов, отвечающих частицам, и произведения вектора на число. Далее реакции определяют как функционалы на пространстве молекулярных частиц, однако область их значений задана недостаточно четко. [c.3]

Матрицы связности Га, ае 1,2,3,4 , не столь произвольны, как это может показаться. Соотношение (2.3.9) показывает, что они принимают значения в алгебре Ли О, со-ответствуюш,ей группе Ли О, генераторы которой являются постоянными матрицами уа, а — I, 2,. .., г. Следовательно, каждая из матриц Г может быть выражена через базис алгебры О [c.26]

Ориентированная матрица полной системы внешних форм получается из решения интегрального уравнения Римана — Гревса (2.5.6) и, следовательно, однозначно определяется формой Г. С другой стороны, здесь существует очевидное сходство между (2.5.4) и (2.4.2), за исключением того, что в (2.4.2) Г принимает свои значения в алгебре Ли калибровочной группы О. Исходя из этого, предположим, что форма Г в полной системе внешних форм также принимает значения в алгебре Ли калибровочной группы О. В этом случае решение интегрального уравнения Римана — Гревса (2.5.6) будет определять ориентированную матрицу, принадлежащую О. Предположим, что О действует на V и Г согласно следующим правилам [c.34]

В следующем параграфе будет показано, что выбор А = = I эквивалентен требованию записи элементов матрицы связности Г, которая входит в структурные уравнения Картана, в виде неточных 1-форм. Это напоминает рассуждение, проведенное в 2.4, согласно которому произвольная форма из Г в может быть отображена в элемент Фу с помощью действия калибровочной группы. В дальнейшем мы надеемся на появление новых аргументов ( 3.6) в пользу того, что Г принимает значения в алгебре Ли калибровочной группы О = 80(3) [> Т(3) и что В(=г) и Г преобразуются при действии группы О согласно (2.5.10). В силу того что структурные уравнения Картана (2.5.1) являются калибровочно-ковариантными, мы можем заменить Г на Г без потери общности, выбирая соответствующую неточную калибровку. Как только мы найдем решения с А=1, мы сможем всегда осуществлять калибровочное преобразование, действуя элементом АеО и тем самым получая решения с различными калибровками. Следует, однако, отметить, что матрицы Га, т] и X не будут иметь одного и того же физического смысла в различных калибровках. Ввиду этого только при неточной калибровке диффеоморфизм х может быть отождествлен с функцией деформации, связанной с текущим состоянием, т. е. В = А х + т1-Я(Га с с1АфО не может иметь [c.47]

А Х )х Х )) мы должны ввести матрицы 1-форм компенсирующих полей Янга — Миллса принимающие значения в алгебре Ли группы 50(3). Это позволяет нам выразить Ту в виде [c.50]

Такое свойство элементов симметрии точечных групп позволяет применить для расчета различ1П 1х свойств молекул и кристаллов математическую теорию групп, линейную алгебру, матричное исчисление. Это чрезвычайно важно для современной Х1змии. [c.21]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология