Теорема деля

Теорема И [276]. Для существования целочисленного решения линейного диофантового уравнения необходимо, чтобы свободный член уравнения делился нацело на НОД чисел, стоящих у неизвестных членов уравнения. [c.79]

Интересное историческое приложение из теоремы вириала в данной форме было сделано Максвеллом [1]. Максвелл показал, что давление газа обусловлено прежде всего кинетической энергией молекул, а не силами отталкивания между ними, как это предположил Ньютон. Важность вывода Максвелла на ранних этапах развития кинетической теории трудно переоценить. В самом деле, если давление создается в основном за счет отталкивания молекул, т. е. последним членом в уравнении [c.27]

Тогда получим результат, аналогичный уравнению (2.5) для классической системы. Последний члён уравнения (2.26) обращается в нуль для системы в стационарном состоянии, как уже упоминалось в предыдущем разделе. Там же было сказано, что уравнение (2.26) соответствует классической теореме вириала (2.7) с заменой величин, усредненных по времени, соответствующими вероятностными величинами. Однако из предыдущего вывода следует, что это не совсем так. В самом деле, важный статистический щаг усреднения по времени и ансамблю опущен, а без него не может появиться немеханическая переменная температура. Уравнение (2.26) соответствует скорее теореме Эренфеста [5], чем теореме вириала. Это уравнение можно усреднить по времени и сделать последний член сколь угодно малым, выбрав достаточно больщой интервал времени, как в классическом выводе. Тогда получаем [c.31]

Таким образом, по уравнениям (Х.45), (Х.47), (Х.48) и (Х.50) — (Х.Й) мы можем вычислить любое равновесие, а также и сродство реакции. Но, как уже отмечалось, для этого надо знать помимо термических величин QI, Да, Др, Ду константу интегрирования, которую можно определить только опытным путем, измерив равновесие хотя бы при одной температуре. Между тем, исследование химических равновесий при всей их важности является чрезвычайно трудным делом. Потребность теоретических расчетов равновесий была удовлетворена лишь теоремой Нернста, благодаря которой и оказалось возможным вычислить величину /, а следовательно, не прибегая к сложным экспериментальным исследованиям, вычислить любое равновесие при любой температуре из простейших термических данных. [c.252]

Используя теоремы, описывающие свойства представления и его характера, можно найти характеры, не определяя матриц представления. В самом деле, для каждой группы легко найти число неприводимых представлений г и их размерности п . Учитывая также свойство (IV, 7), можно по- строить характеры неприводимых представлений группы. [c.80]

Так как в результате торможения кинетическая энергия корабля делается меньше, чем это необходимо для соблюдения теоремы Вириала, центробежная сила становится слабее, чем это следует для противодействия гравитационному всасыванию корабля, идущему от земли корабль сдвигается в направлении последней — он как бы проваливается на большую глубину потенциальная энергия его при этом уменьшается, а кинетическая возрастает. В конце концов корабль стабилизуется на новой круговой орбите меньшего размера, для которой теорема Вириала опять соблюдается половина уменьшения потенциальной энергии идет на разогревание от трения о воздух, а вторая половина отвечает увеличению кинетической энергии. На новой орбите корабль имеет более низкую потенциальную энергию, более высокую кинетическую и более низкое общее значение энергии (из-за потери на нагревание воздуха) по сравнению с первоначальной орбитой. [c.158]

Доказанная в 1.30 для случая турбулентного течения теорема о потере напора при внезапном расширении русла в случае ламинарного течения несправедлива. Дело в том, что в этом случае уже неприемлемы те допущения, которые делались при доказательстве этой теоремы, а именно, предположения о равномерном распределении скоростей в сечениях 1—1 и 2—2, о постоян- [c.120]

Ранее в курс "Процессов и аппаратов" (и не только химической технологии) достаточно обширным разделом входила "Теория размерностей" с отдельным понятийным аппаратом, теоремами и методами исследования. Эта теория нередко использовалась для перехода к обобщенным переменным искомую величину выражали как функцию (предпочтительно — степенную) набора других величин, выбираемых исходя из имеющегося научно-производственного опыта и здравого смысла (т.е. феноменологически) сопоставление размерностей позволяло сформировать безразмерные критерии (см. разд. 1.8), контролирующие технологический процесс. С течением времени и развитием аналитических методов область применения этих подходов сушественно сузилась, уступив место иным приемам. Дело в том, что надежда на "здравый смысл" не всегда оправдывалась — были вскрыты ошибочные решения задач, обусловленные недостаточностью феноменологических представлений, возможной субъективностью в выборе переменных и т. д. (в истории науки известна "ошибка Рэлея", упустившего влияние одного из факторов и получившего деформированные [c.42]

В рассматриваемом случае рекристаллизации необходимо пользоваться обобщенной теоремой Вульфа, так как мы имеем дело с высокодисперсными кристаллами, где относительная роль реберной энергии велика. [c.42]

Уравнение (IV,28) относится к концентрационному треугольнику и представляет собой уравнение (IV, 4) для п = 3, в котором числа особых точек записаны с указанием типа особой точки, как это делалось в предыдущих случаях. Уравнение (IV, 29) относится к комплексу ребер и, в сущности, учитывает, что, согласно теореме Пуанкаре [54], на замкнутом контуре число максимумов температуры кипения должно быть равно числу минимумов. Соотношение (1 ,20) вытекает из того, что комплекс вершин треугольника содержит три точки. [c.91]

Правило сумм в виде (8.118) и (8.119) есть чисто теоретическая конструкция, исходящая из справедливости теоремы Зигерта и потенциальной картины. Для того чтобы придать смысл интегрированию по всем энергиям в правиле сумм, требуется исследование всех механизмов ядерного фотопоглощения, имеющих отношение к физике дела. [c.333]

Обратное заключение также справедливо. В самом деле, пусть на рассматриваемой изотерме существует состояние, в котором давление имеет экстремум. Вследствие этого изотермическому переходу системы в бесконечно близкое состояние соответствует dp = О, и поэтому элементарное изменение должно считаться изобарноизотермическим. Из [21-А] же следует, что при этом составы обеих фаз должны быть одинаковыми. Таким образом, мы получили прямую и обратную теоремы Гиббса - Коновалова [c.450]

Вероятностное описание физических систем, состоящих из большого. числа более или менее одинаковых микроэлементов (молекул газа, звеньев полимеров и т. п.), возможно потому, что предельные теоремы описывают ситуации, в которых мы имеем дело с последовательностью событий в достаточно хорошо воспроизводимых условиях. Искусство использования вероятностных методов при этом сводится к навыку в установлении соответствия между физической моделью изучаемого объекта и математической вероятностной моделью с последующим использованием результатов этой, теории. [c.6]

Покажем, каким образом безгранично делимые распределения могут возникать в механизмах, упомянутого выше типа. Пусть в формулах (3.35) — (3.36) п оо и все -> 0. Мы имеем дело, таким образом, с ансамблем максвелловских механизмов, каждый из которых вносит исчезающе малый вклад в ансамбль, но число которых стремится к бесконечности, и требуется вычислить сумму бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых — типичная задача о вычислении интеграла, рассматриваемая в предельных теоремах теории вероятностей. Будем считать в соответствии с постановкой задачи зависящими от ге и положим [c.121]

Теорема //. Сумма плоскости зеркального отражения и наклонной к ней трансляции tn есть плоскость скользящего отражения а, Ь, с, п или й, параллельная данной и отстоящая на нее на половину проекции ta на нормаль к заданной плоскости (рис. 2.11,6). Разложение на 4 и Ь приводит к теореме I, а наличие ta делает полученную плоскость симметрии плоскостью скользящего отражения. [c.57]

Теорема Лагранжа имеет простой геометрический смысл (рис. 51) на графике от Л до Б функции у = /(ж) есть внутренняя точка (7, такая, что касательная к нему в точке С параллельна хорде АВ. В самом деле, левая часть равенства (3) — угловой коэффициент хорды АВ, а правая — угловой коэффициент касательной к графику в точке С. [c.82]

В заключение еще раз напомним, что соотношение неопределенностей непосредственно связано с законом 3. В самом деле, согласно закону 3, для отсутствия разброса значений L нужно, чтобы волновая функция , описывающая состояние системы, была собственной функцией оператора L. Если мы хотим, чтобы в том же состоянии не было разброса значений и величины М, необходимо потребовать, чтобы была собственной функцией оператора М. Но, согласно теореме 4 (см. 4 гл. I), это выполняется как раз тогда, когда операторы L и М коммутируют. [c.69]

Попытки кинетического обобщения термодинамики делались с начала XX в. Начиная с работ Онзагера (1931 г.) можно уже говорить о систематическом построении новой термодинамики необратимых процессов, интенсивно развиваемой в настоящее время. Основными постулатами этой теории, применимыми лишь к небольшим отклонениям от равновесия, являются 1) утверждение о линейной зависимости обобщенных термодинамических потоков от обобщенных потенциалов 2) соотношение Онзагера, выражающее равенство перекрестных коэффициентов этой зависимости 3) теорема Пригожина о минимальности производства энтропии. [c.36]

Допустим, что это не так. Допустим, что среди изотермических процессов, переводящих систему из состояния 1 в 2, имеются два равновесных процесса (а и ), для осуществления которых требуется сообщить системе неравные количества тепла. Пусть процесс а требует большей затраты тепла, чем процесс Ь. Переведем систему из / в 2 по пути а и затем возвратим ее в исходное состояние 1 по пути Ь. Чтобы вернуть систему ш 2 в 1 посредством осуществленного в обратном направлении процесса Ь, надо, очевидно, отнять у системы как раз то количество тепла, которое надлежало бы сообщить системе в прямом процессе 2 - —2, т. е. надо отнять теплоту, которая по] сделанному условию меньше теплоты, затраченной на осуществление первой части цикла 2—положительная разность теплот ( д — должна оказаться превращенной в работу. Заметим, что вследствие изотер-мичности цикла система будет забирать тепло у среды, с которой система неизменно находится в тепловом равновесии, и отдавать ей тепло. Мы видим, что если бы существовала допущенная нами для процессов а и разность теплот, то описанный цикл позволял бы некомпенсированно превращать теплоту, заимствованную системой у среды, в работу. Значит, Qa =Qb. Таким образом, делается очевидным, что сколь бы велико ни было число независимых параметров, характеризующих состояние системы, это не вносит никаких осложнений в формулировку теоремы о минимальной теплоотдаче. [c.89]

Здесь дано упрощенное толкование причины понижения полной энергии системы. На самом деле, при образовании молекулы из атомов имеет место сложная картина изменения потенциальной и кинетической энергии электрона. Однако согласно так называемой теореме аириала в системе, где действуют ку. лоновские силы, средняя потенциальная энергия частиц и равна взятой с обратным знаком удвоенной средней кинетической энергии частиц К -У = —2К, т е. А и = —2А К. Поскольку полная энергия Е = и К, ее изменение [c.46]

Уравнения (1.115) представляют собой уравнения на собственные функ-г и и собственные значения одного и того же оператора Р. Так как Р - линейный оператор, то нормировка функций достигается путем умножения функции на подходящий нормировочный множитель. Так как Р - эрмитовский оператор, то в силу известной теоремы собственные функции либо автоматически ортогональны, либо (в случае вырождения) легко делаются ортогональными. [c.46]

Расчет процессов с помощью энтропии довольно громоздок, так как требует знания изменения энтропии всех тел, участвующих в процессе. Кроме того, теорема о неизменности энтропии в обратимом процессе и о ее возрастании в необратимом процессе относится к изолированным системам, в которых U, v = onst, тогда как протекание химических реакций обычно связано с тепловыми эффектами. Все это не только значительно усложняет расчет, но часто делает его практически невозможным из-за необходимости учесть изменение энтропии теплового источника. Поэтому в расчетах химических процессов предпочитают чаще пользоваться изобарным потенциалом ( 46). [c.104]

Теорема Лиувилля — результат приложения законов механики к описанию движения роя изображающих точек ансамбля изолированных систем или систем, находящихся в постоянном внешнем поле. Для каждой системы ансамбля число частиц N, энергия Е и все внешние параметры а ,. .., а, фиксированы. Обычно мы будем рассматривать только потенциал, создаваемый стенками сосуда, и учитывать только один внешний параметр — объем сосуда V. Таким образом, для системы ансамбля заданы параметры Е, N, V. При строгом условии Н (p,q) = Е = onst фазовые точки, изображающие состояния систем, движутся по гиперповерхности постоянной энергии, наблюдается распределение этих точек по поверхности. Чтобы иметь дело с объемным распределением, смягчим условие постоянства энергии и запишем его в виде [c.49]

Квадратный циклобутадиен (С Н ) имеет четыре тг-орби-тали связывающую орбиталь, две вырожденные несвязывающие орбитали и разрыхляющую орбиталь. На этих четырех орбиталях необходимо разместить четыре электрона два могли бы занять связывающую орбиталь и по одному с параллельными спинами - вырожденные несвязывающие орбитали (правило Гунда). Такое предположение ошибочно, потому что нет никаких причин ожидать, что циклобутадиен будет квадратным на самом деле более низкой энергией, вероятно, должна обладать продолговатая форма с четырьмя л-электронами на двух изолированных двойных связях (теорема Яна-Теллера). Эксперимент подтверждает, что циклобутадиен ведет себя как очень напряженный циклоолефин, а не как бирадикал. [c.92]

Согласно теореме Хоенберга-Кона, для основного состояния молекулы Э. п. отражает всю специфику молекулы. Напр., при I г ->оо Э. п. экспоненциально спадает, причем показатель экспоненты пропорционален потенциалу ионизации. Делаются попытки соотнести энергию молекулы с величиной р(г) в рамках к.-л. из вариационных методов (т. наз. методы функционалов плотности), одним из первых вариантов к-рых можно считать приближение Томаса-Ферми иногда к этим методам относят самосогласованного поля метод. [c.442]

Однако никакого противор>ечия на самом деле не существует Теорема Ирншоу справедлива для совокупности точечных постоянных зарядов Если расстояния между ядрами изменяются, то электронное облако меня- [c.64]

В самом деле, рассмотрим линию ВВ (рис. 55). На изотерме аЬ йр<0, на изобаре ас й1 > 0 точки с и 6 лежат правее ВВ. Применив к изобаре ас положение [10-Д], а к изотермеа6 положение [10-Д ], получим первую часть [10-Е]. Таким же образом можно подтвердить справедливость второй части теоремы [10-Е], рассмотрев на линии АВ изотерму аЬ и изобару ас (рис. 57). [c.227]

В новой теорииУраствор полимера не рассматривается более как однородная среда. Дело в том, что величина г>2 в разбавленном растворе макромолекул теряет физический смысл — между макромолекулами она равна нулю, а в пределах каждой макромолекулы имеет определенное значение, не зависящее от разбавления. Поэтому в теории Флори—Кригбаума величина второго вириального коэффициента А рассчитывается путем рассмотрения попарного взаимодействия всех растворенных макромолекул друг с другом. Основной результат этой теории мы получим более простым методом, воспользовавшись одной из общеизвестных теорем статистики — теоремой вириала Клаузиуса, которая записывается следующим образом [c.91]

Имеются также два других квантовых числа главное кван товое число и спиновое квантовое число. Из рис. 2.3 и 2.4 или аналитических выражений типа (2.10) нетрудно видеть, что АО подразделяются на типы s, р, d,. .. в зависимости от их формы, например на сферически симметричные, гантелеобразные и т. д. Что касается главного квантового числа п, то оно определяет общий размер зарядового облака. Это означает, что число попределяет энергию атома. В самом деле, полная энергия Е любого дозволенного состояния складывается из средней кинетической энергии Т и средней потенциальной энергии V. Из теоремы ви-риала следует, что для системы частиц, связанных силами, обратно пропорциональными квадрату расстояния между частицами, отнощение Т а V равняется постоянной величине. Таким образом, энергия Е пропорциональна V. Но для электрона, движущегося вокруг положительно заряженного ядра, потенциальная энергия зависит от среднего расстояния электрона от ядра. Чем ближе находится электрон к ядру, тем больще V по абсолютной величине. Поэтому если зарядовое облако имеет небольшой объем, то среднее расстояние электрона от ядра мало и энергия связи электрона с ядром велика. Если же зарядовое облако имеет большой объем, то среднее расстояние электрона от ядра становится значительным и энергия связи уменьшается. Это общее соображение об увеличении энергии связи электрона с ядром при сжатии зарядового облака одинаково применимо как к атомам, так и к молекулам. Из вышеизложенного следует, что для больших квантовых чисел п п — положительное целое) размер зарядового облака велик и энергия связи мала. [c.39]

Отмстим также, что р в уравнении [5] имеет ясный физический смысл, связанный с межмолекулярпым силовым взаимодействием. В самом деле, согласно теореме о вириале, [c.402]

Следующим этапом должно быть нахождение метода определения 5(7 о). Это делается путехМ применения третьего начала термодинамики энтропия всех чистых индивидуальных кристаллических простых веществ стремится к нулю, когда температура стремится к абсолютному нулю. Отсюда следует, что энтропия реакции между чистыми кристаллическими твердыми телами, протекающей при абсолютном нуле, равна нулю. В такой форме третье начало термодинамики называют тепловой теоремой Нернста. [c.246]

Теорема Нернста позволяет вычислить сродство на основании одних термических данных и определить постоянную I на основании изменения давления пара с температурой. Она делает возможным установление состава любой газообразной смеси при любой температуре. Для экспериментальной проверки своей теоремы Нернст должен был ввести тонкие методы определения удельных теплоемкостей при низких и весьма высоких температурах, он определял газовые равновесия и, в случае твердых тел, электродвижущую силу даже в самых крайних условиях. Вакуумный калориметр для самых низких температур и метод взрыва для очень высоких температур позволили экспериментально доказать справедли- [c.407]

Итак, мы ознакомились со свойствами наиболее широко применяемых кинетических уравнений. В главе V дано решение уравнения Больцмана методом Чепмена — Энскога и методом Грэда. В заключение вновь исследуется проблема релаксации к равновесию макроскопических систем как в духе классической статистической механики, где мы опять сталкиваемся с ансамблями в Г-пространстве, так и методом эргодической гипотезы. Первый, априорный подход, опирается на постулат равных априорных вероятностей, тогда как при втором (апостериорном) подходе делаются попытки доказать эргодическую гипотезу. Оба метода исследуют необратимое приближение к равновесию макроскопических систем. Они представляют собой статистическо-механиче-ский эквивалент метода теории кинетических уравнений, в котором с помощью ( -теоремы изучается та же самая проблема. [c.257]

В аналитической работе как при рассмотрении ошибок воспроизводимости, так и при рассмотрении методических ошибок мы имеем дело с большим количеством независимых переменных факторов законы распределения этих переменных нам неизвестны, но мы можем полагать, что по крайней мере для хорошо отработанных методик и в хорошо организованных лабораториях, как правило, должны отсутствовать доминирующие факторы,—это дает возможность полагать, что аналитические ошибки должны, вообще говоря, подчиняться нормальному распределению. Но в то же время в аналитической работе, естественно, могут встретиться случаи, когда нарушаются условия, вытекающие из центральной предельной теоремы Ляпунова, и тогда неизбежно появляются неслучайные отклонения от нормального распределения. В некоторых случаях приходится даже констатировать появление распределений, существенно отличающихся от нормального распределения. В силу этого обстоятельства в литературе, посвященной проверке гипотезы нормальности в аналитической работе, имеются весьма противоречивые сведения. В работе Клэнси [67] было изучено 250 распределений для различных аналитических методов, включающих в общей сложности 50 ООО отдельных определений, и показано, что с практической точки зрения только в 10—15% [c.122]

Очевидно, что делать какие бы то ни было выводы о поведении так понимаемой супраэнтропии мира обычная термодинамика не может это являлось бы сферой компетенции особой надзвездной термодинамики . Но если бы даже, соблазняясь аналогией, мы предположили, что в надзвездной термодинамике верна теорема о возрастании супраэнтропии, то и тогда мы не имели бы права строить пессимистические заключения о тепловой смерти мира. Мы могли бы только прийти к выводу, что состояние мира либо должно стать термодинамически равновесным в смысле супратермодина- [c.141]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология