Метод обратных квадратов

МЕТОД ОБРАТНЫХ КВАДРАТОВ [c.38]

Метод наименьших квадратов. Наиболее обоснованным и дающим наилучшее приближение при расчете обратной задачи является метод наименьших квадратов. Применительно к рассматриваемому случаю он сводится к решению уравнения [c.159]

Применительно к решению обратной задачи для ступенчатого ввода трассера могут быть использованы метод наименьших квадратов в форме (3.78), (3.79), метод моментов и асимптотический метод. [c.166]

Сравнивая (И—66а) и (И—666), можно заключить, что коэффициенты матрицы нормальной системы уравнений (11—64) могут быть получены в результате умножения транспонированной матрицы коэффициентов (И—66а) на расширенную матрицу (И — 666). Таким образом, для решения задачи расчета коэффициентов зависимости (11—62) методом наименьших квадратов необходимо располагать тремя матричными операциями транспонирования, умножения и решения системы уравнений (или вычисления обратной матрицы). [c.332]

Для аппроксимирующей прямой (построенной методом наименьших квадратов. - Перев.) значение удельной смертности, соответствующей массе облака 1 т, составляет приблизительно 30. Тангенс угла наклона аппроксимирующей кривой почти точно равен 1, т.е. М и О- обратно пропорциональные величины. Это означает, что число погибших при превращении парового облака не зависит от его массы. Этот нетривиальный результат создает принципиальные трудности при попытке "в лоб" установить пороговые значения объемов хранения сжиженных горючих газов (лишь на основе статистического анализа исходных данных по поражению при превращении паровых облаков. - Перев.). [c.500]

В проблеме моделирования заданы как характеристика реактора, так и его поведение в данных условиях, а задача расчета состоит в определении соответствующей активности катализатора. Здесь нет поиска наилучшего решения, так как все условия фиксированы. На самом деле задача может быть даже переопределена, т. е. может иметься больше данных, чем необходимо для однозначного определения решения. В этом случае приходится прибегать к своеобразной обратной задаче оптимизации с использованием метода наименьших квадратов, чтобы сгладить более или менее противоречивые данные. [c.173]

По данным эксперимента строят график зависимости у = у(х), где y = F f—l)/f, а x = F /f. Каждый опыт (т. е. пара значений F и f) дает точку на этом графике, а серия опытов — прямую. Угловой коэффициент прямой соответствует значению гь а отрезок, отсекаемый на оси ординат, — значению гг с обратным знаком. Обычно прямую не строят, а производят расчет параметров прямой у = у х) методом наименьших квадратов. [c.44]

Необходимо отметить, что для получения достаточно объективных результатов из данных опытов совокупность определений величин, обратных времени исте-и соответствующие им перепады давления обрабатывались методом наименьших квадратов. По вычисленным уравнениям регрессии строили линии всех графиков. Здесь приводятся лишь две реологические линии [c.43]

Из уравнения (3) следует, что при прочих одинаковых начальных условиях отношение параметров И о(1)/ о(2) должно быть равно х Пз/ Уа П = где V — соответствующая кинематическая вязкость. Значения Wg, определенные по методу наименьших квадратов, их отношения И о(1)/ о(0 и отношения v /vl приведены в табл. 1. Как видно из таблицы, отношения о(1/ о(0 и v / l достаточно хорошо совпадают. Таким образом, при соблюдении постоянства всех начальных условий эксперимента скорость стекания уменьшается обратно пропорционально увеличению вязкости. В том случае, когда все начальные условия поддерживать одинаковыми невозможно, появляются значительные отклонения от указанной пропорциональности. Именно этой причиной и надо объяснить неравенство отношений /" 1 в опы- [c.306]

Система уравнений может решаться разными способами. Основными являются решение систем с квадратными матрицами и решение переопределенных систем методом наименьших квадратов. Система уравнений с квадратной матрицей соответствует случаю, когда число уравнений равно числу неизвестных. Для решения таких систем часто используется метод обратной матрицы, на элементы строк которой умножаются суммы характеристических пиков масс-спектра анализируемой смеси [c.335]

Из (7) следует, что максимуму правдоподобия соответствует минимум взвешенной суммы квадратов отклонений вычисленных значений концентраций от опытных, т. е. принцип Фишера сводится к известному методу наименьших квадратов. В качестве весов служат обратные значения дисперсий. Так как почти всегда дисперсии неизвестны, их приходится заменять выборочными значениями Su. В этом случае плотность распределения опытных данных будет характеризоваться законом Стьюдента [33]. Функция правдоподобия представится в виде [c.90]

Общепринятая модель основана на том, что количество вещества прямо пропорционально отклику датчика. Если допустить, что все необходимые условия для сохранения этой пропорциональности соблюдены, то полученная оценка логически справедлива. При прямом методе обработки для получения оценки нужно просто умножить полученное значение на коэффициент пропорциональности. Два разных наблюдения должны, всего вероятнее, дать две разных оценки, и более полная модель даст возможность определить окончательную ошибку, вызванную специфической причиной. При графическом анализе для получения оценки на основании ряда наблюдений строится прямая линия. Методом минимаксного оценивания определяется наилучшая прямая линия путем уменьшения максимальных отклонений. Этот метод требует по меньшей мере трех точек и не рационален в тех случаях, когда исследователь использует главным образом наблюдения с максимальными отклонениями. При исиользовании метода наименьших квадратов сумма квадратов абсолютных отклонений сводится к минимуму наблюдения взвешиваются в соответствии с обратной величиной их стандартных отклонений. Метод наибольшей вероятности более сложен, но в случаях, когда ошибка подчиняется закону распределения Гаусса, он дает те же результаты, что и метод наименьших квадратов. Этот метод можно неограниченно применять и для случаев с другими видами распределений. Основной особенностью байесовского метода, как уже упоминалось, является распределение истинных величин относительно измеренного наблюдения, а не распределение измерений относительно истинной величины [9]. Процедура вычислений при этом методе еще более сложна и утомительна. Выбор метода заключает в себе компромисс между сложностью математических расчетов и достижением желаемой точности результатов. [c.569]

Для получения лучших значений параметров ячейки можно воспользоваться методом наименьших квадратов, применив его к измерениям нескольких отражений, соответствующих одной и той же оси обратной решетки. Более точные значения параметров ячейки получаются из измерений при более высоких значениях угла 9. [c.71]

Если на дифрактометре установлен кристалл неортогональной системы, то параметры по координатным осям обратной решетки в плоскости, перпендикулярной оси вращения кристалла, а также угол между ними можно найти описанным выше способом, как для моноклинного кристалла, ориентированного по оси Ь. Один из путей получения точных размеров ячейки заключается в том, что данную процедуру повторяют для кристалла, ориентированного по каждой из трех осей. Другой путь основан на следующем применении метода наименьших квадратов [c.114]

Метод наименьших квадратов играет важнейшую роль при решении обратных задач моделирования (см. разд. 4). Он отвечает следующей постановке задачи. [c.66]

При расчете оптимальных температур и констант скоростей реакций необходимо знать параметры уравнения Аррениуса для прямой и обратной реакций. Расчет величин А к Е проведем методом наименьших квадратов (см. Приложение), причем предварительно прологарифмируем обе части уравнения [см. уравнения (34.17) и (34.18)]. При этом (а также в дальнейшем расчете) необходимо учесть точность исходных данных. Поскольку точность измерения температуры соответствует единице в третьем знаке, будем считать, что величина, обратная температуре и = Т" ), также имеет три значащие цифры. Точность констант к такова, что в величине у = lg верны два первых знака мантиссы, поэтому значение gk берем с двузначными мантиссами. [c.193]

Параметры решетки а 10.91 0.04. Ь 5.39 0.01. с 11,19 0.03 А. р 106 0.1°, 2 = 2. Р21/С. Структура определена на основе данных развертки нулевой (ккО) и первой (Ай1) плоскостей обратной решетки. Уточнение проведено методом наименьших квадратов в анизотропном приближении. Я (Л 1) = 0.074. [c.38]

При определении динамики по температурным каналам возмущение наносилось изменением задания регулятору температуры сырого рассола с -f 42 °С до +21 °С, причем расходы потоков сырого и обратного рассола и температура последнего были стабилизированы. Экспериментальные данные обрабатывались методом наименьших квадратов с использованием таких приближенных методов отыскания параметров как линеаризация. [c.160]

Таким образом, при стационарном вводе логарифм, относительной концентрации трассера пропорционален расстоянию от места ввода трассера до места отбора пробы в направлении, обратном движению потока. Желательно проводить отбор проб в нескольких точках. Тангенс угла наклона прямой (4.41) может быть найден графически или методом наименьших квадратов. [c.156]

Массивными профилями обычно называют профильные изделия с треугольным, квадратным и т. д. поперечным сечением, относительные размеры которого не позволяют использовать для расчета уравнения теории одномерных течений. Интегрируя уравнение Навье—Стокса для случая двумерного течения, как это приходится делать при расчете массивных профилей , необходимо прежде всего определить граничные условия, которые учитывают форму профилирующего отверстия в матрице. Поскольку решения этих уравнений приходится искать в виде рядов Фурье или бесселевых функций, содержащих экспоненциальные коэффициенты, метод обратного расчета оказывается очень сложным, а иногда и совсем неосуществимым. Дальнейшее осложнение обусловливается тем, что в большинстве случаев расплавы являются неньютоновскими жидкостями. При попытке применить степенной закон для описания двумерных течений дифференциальные уравнения в частных производных превращаются в нелинейные уравнения с дробными показателями. В опубликованной литературе можно найти только уравнения, описывающие течение ньютоновских жидкостей через отверстия сравнительно простой формы квадрат, равносторонний треугольник, эллипс, прямоугольник и некоторые другие. [c.318]

Рассмотренные методы демонстрируют различные подходы к определению силовых постоянных. Всем этим методам присущи как определенные преимущества, так и некоторые недостатки. Основной проблемой, которая не решена ни одним из перечисленных методов, остается неоднозначность решения обратной спектральной задачи. Так в методе проб и ошибок (метод вариации) вообще может быть потеряно оптимальное решение. В методе наименьших квадратов в том виде, как его обычно применяют, окончательное решение будет зависеть от исходного приближения 11о и от отнесения частот всех молекул, входящих в расчет. В методе скорейшего спуска множественность решений связана с нелинейностью уравнений (так как уравнений оказывается недостаточно для определения всех силовых постоянных). Решения также зависят от исходного приближения матрицы /7о- Ряд других методов для отыскания силовых постоянных с помощью матриц преобразования координат также не позволяет найти единственное решение. Дополнительная информация по т, и т. п. также не дает достаточного количества исходных данных для однозначного определения силовых постоянных. [c.375]

В методе наименьших квадратов на каждом итерационном шаге на матрицу К помимо тех связей, которые обусловлены выбором исходного приближения Ро, накладывается ряд дополнительных ограничений, вытекающих из того факта, что часть силовых постоянных не варьируется. Фиксирование значительной части силовых постоянных связано с необходимостью получения числа линейных уравнений, достаточного для применения метода наименьших квадратов. Однако такая процедура в большинстве случаев не имеет необходимого физического обоснования, так как приходится фиксировать не только силовые постоянные дальних взаимодействий, что соответствует принимаемой обычно модели силового поля, но и некоторые постоянные, которые по физическим соображениям следовало бы включить в вариацию. Фиксирование этих силовых постоянных приводит к видоизменению соотношений между силовыми постоянными в матрице Р, вначале обусловленных лишь выбором Ро. Следует заметить, что фиксирование ряда силовых постоянных, необходимое в методе наименьших квадратов, не делает обратную спектральную задачу существенно более определенной ни в отношении самой ее постановки, ни в отношении физической интерпретации полученных силовых постоянных, в особенности недиагональных. Задача при этом становится лишь математически разрешимой в терминах метода наименьших квадратов. [c.110]

Полученные уравнения, несмотря на свою кажущуюся простоту, еще более сложны для решения, чем рассмотренные в предыдущих пунктах. По аналогии с тем, что делается в обычной процедуре метода наименьших квадратов при решении обратной колебательной задачи, их можно решать в линейном приближении, предполагая, что начальное приближение достаточно близко к истинному. Последовательность операций будет выглядеть следующим образом. [c.138]

Метод обратных квадратов часто используется для построения характеристических кривых эмульсии в оптической спектроскопии [41] и чрезвычайно редко в рентгеновской. Он предполагает использование острофокусных рентгеновских трубок, интенсивность излучения которых регистрируется в течение строго постоянного времени экспозиции на серии фотопленок, расположенных на различных расстояниях от источника. При изменении расстояния от источника до фотопластинки интенсивность излучения должна изменяться обратно пропорционально квадрату этой вели- [c.38]

Экспериментальные данные, обработанные методом наименьших квадратов, привели к зависимостям задержки от скоростей газа и жидкости, представленным на рис. XVIII-4 (на оси ординат отложена величина glU , обратная средней скорости пузыря параметром является величина Ug). [c.664]

Как и в случае одномерной модели, метод наименьших квадратов бьш применен в комбинации с методом Левенберга-Маркуорда. Данный алгоритм решения обратной задачи ТК обеспечил погрешность определения глубины залегания и поперечных размеров дефектов на уровне 10%. [c.127]

Поскольку измерения осложнены случайным шумом, параметризацию обычно проводягг с помощью неоднократно упоминавшегося метода наименьших квадратов. Соответствующие выкладки дпя обычного случая линейного графика весьма просты, и на большинстве ЭВМ, а также на некоторых микрокалькуляторах реализуются посредством стандартных программ. Отметим важный модифицированный вариант, так называе-кшй взвешенный МНК. Каждой экспериментальной точке в этом случае приписывают некоторый статистический вес, обратно пропорциональный дисперсии измерения. При проведении искомой линии регрессии вес данной точки используется как мера ее надежности. [c.437]

Близкая к описанной в работе импульсная методика применялась нами для изучения связи характеристик удерживания легких газов с параметрами микропористой структуры активных углей (АУ). В частности, были измерены удельные удерживаемые объемы метана при различных температурах на образцах активных углей. По зависимости 1пУд от обратной температуры были вычислены теплоты адсорбции Q. Одновременно были определены значения параметров и уравнения Дубинина. Исходя из того, что Е = я Q = к + Ef а, п, Т) (где а — величина адсорбции, п — постоянная, Я — теплота конденсации, р — коэффициент аффинности), можно сделать вывод о линейной связи между и при постоянных значениях а, и и Г. С целью нахождения статистически состоятельных значений параметров корреляционной связи были сопоставлены величины Q ти Е для 50 образцов АУ (см. рисунок, линия а). Расчет по методу наименьших квадратов приводит к линейному уравнению [c.337]

Определение геометрических параметров молекул Га / и амплитуд колебаний 1ц представляет обратную задачу газовой электрони-графии, т. е. расшифровку электронограмм. Общим методом ее решения является метод наименьших квадратов, в котором формулируется поиск минимума квадратичного функционала [c.151]

Кристаллы Хер4 помещали в ква-рцевые капилляры и фотографировали методом качаний в потоке -излучения молибдена. Фотографии обратных решеток [эти решетки параллельны плоскостям (111) обратной решетки] h, h — I + п, I) с n от О до 4 были сняты с кристалла в форме пластинки, имеющей размеры 1 X 1 X 0,3 мм. Большая грань кристалла была приблизительно параллельна пленке для каждой экспозиции, так что поправка на поглощение была примерно одинаковой для каждой решетки. Поскольку в расчет уточнений по методу наименьших квадратов вводили факторы пересчета, ошибки, вносимые поглощением, должны были быть небольшими. В процессе проведения работы кристалл оставался устойчивым и не увеличивался в размерах, несмотря на то что в капилляре были и другие, меньшие кристаллы. Во всяком случае спустя 3 месяца размеры кристалла сохранились прежними. Более подробно экспериментальная часть описана в работе [1]. [c.247]

Итерационный метод наименьших квадратов был испытан при решении нескольких задач. Первая из них заключалась в классификации по наличию кислорода в органических соединениях с небольшим молекулярным весом, уже исследовавшихся ранее. Эту задачу решали обучением с отбором признаков и исправлением ошибок через обратную связь. Число признаков было сокращено от 132 до 31. Обучающаяся система безошибочно распознавала все объекты обучающей выборки прогнозирующая способность на объектах контрольной выборки составила 93,9%. [c.119]

На примере ионов К+ и Li+ показана [133] возможность использования обратного осмоса для определения координационных чисел гидратации. В основе метода лежит явление прекращения перехода раствора через ацетатцеллюлозную мембрану, когда концентрация электролита превышает границу полной гидратации. Опыты проводили на лабораторных ячейках с перемешиванием раствора. В предварительных экспериментах было подтверждено определенное ранее значение границы полной гидратации для Na l, равное 3,96 моль/л воды. Исходя из принятого на основе литературных данных значения координационного числа гидратации пыа+ = 6 (см. таблицу в разд. 4.3) было определено ИсГ = 8. После этого была изучена зависимость проницаемости мембран от концентрации КС1 и Li l в разделяемом растворе. Обработка зависимостей G = f(xi) с помощью метода наименьших квадратов показала, что проницаемость мембраны обращается в нуль при концентрации-K l, равной 3,46 моль/л воды, Li I — 3,97 моль/л воды. Принимая эти значения соответствующими границе полной гидратации и исходя из гсг = 8, получили значения координационных чисел гидратации /гк +=8 и /гы+ = 6, что полностью согласуется с литературными данными. [c.119]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология