Слой Лапласа

Дг — оператор Лапласа, б — толщина пленки, 1 б — определяется по уравнению (6.29), Ц б" — толщина слоя жидкости, Ц 81.....Ё5 — экспоненты [c.11]

Рассмотрена [284] модель пористого слоя с продольным перемешиванием в проточных порах и переносом вещества из поперечных пор в проточные. Дано численное решение математического описания с использованием преобразования Лапласа. Рассмотрена [285] предыдущая модель с модификацией применительно к процессам адсорбции — десорбции. Выполнено [286] экспериментальное исследование в соответствии с математическим описанием. [c.258]

Из (23) можно получить условную вероятность р( , т о, 0) обнаружить частицу в момент т в точке с координатой , если в момент т = О она находилась на о. Это решение, полученное в [24] в преобразованном по Лапласу виде, содержит полную информацию о случайном движении частицы. По нему можно построить функцию автокорреляции, спектральную плотность распределения мощности колебаний по частотам, вероятность найти частицу в заданной области слоя в течение определенного времени, распределение вероятностей времени первого достижения границы и др. Например, автокорреляционная функция Д(т) выражается через условную вероятность так ь ь [c.55]

L z L + Hi) свободные пространства, прилегающие к слою, через Q2 = Wпотенциальные функции Ф удовлетворяют уравнению Лапласа [c.151]

Движение жидкости в перемещающемся слое описывается уравнением Лапласа, компонеты скорости жидкости находятся с использованием уравнения Дарси-Герсеванова. [c.140]

Если в системе силы тяжести полностью уравновешены силами диффузии, наступает так называемое седиментационное равновесие, которое характеризуется равенством скоростей седиментации и диффузии. При этом через единицу поверхности сечения в единицу времени проходит вниз столько же оседающих частиц, сколько их проходит вверх с диффузионным потоком. Седиментационное равновесие наблюдается не только в коллоидных растворах, но и в молекулярно-дисперсных системах. Это равновесие характеризуется постепенным уменьшением концентрации частиц в направлении от нижних слоев к верхним. Распределение частиц в зависимости от высоты столба жидкости подчиняется гипсометрическому (или барометрическому) закону Лапласа в применении к золям при [c.307]

В соответствии с уравнением Лапласа действие силового поля искривленной поверхности на соприкасающиеся фазы аналогично действию упругой пленки с натяжением а, расположенной в поверхности натяжения. При этом следует помнить, что свойства поверхностного слоя принципиально отличаются от свойств упругой пленки поверхностное натяжение а не зависит от ее площади 5, тогда как натяжение упругой пленки растет по мере ее деформации [c.31]

Решение краевых задач теории нестационарного диффузионного пограничного слоя на внешней или внутренней поверхностях капли в принципе может быть получено разными методами. Так, для определения диффузионного потока к поверхности капли в установившемся стоксовом потоке при внезапном включении реакции в [61] было использовано преобразование Лапласа по времени. Анализ конвективной теплопередачи к криволинейной стенке при потенциальном обтекании проводился в [183] при помош и синус-преобразования Фурье по поперечной координате. Однако наиболее удобным и быстро ведущим к цели является метод введения вспомогательных функций координат и времени в качестве новых переменных. Эти функции выбираются таким образом, чтобы удовлетворялись определенные дифференциальные соотношения. В результате для отыскания зависимости искомого поля концентрации или температуры от вспомогательных функций получаем более простое, по сравнению с исходным, дифференциальное уравнение. Очевидно, что в каждой конкретной задаче число этих функций и сами они могут выбираться по-разному — важно лишь, чтобы как промежуточные дифференциальные соотношения, так и итоговое уравнение для искомой функции имели достаточно простую структуру. [c.276]

Вне двойного слоя раствор электронейтрален, поэтому там потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа [c.204]

Рассмотрим сначала влияние вязкости жидкости на затухание плоских капиллярных волн на глубокой воде. Будем считать жидкость маловязкой, поэтому вязкие эффекты проявляются только в тонком пограничном слое возле межфазной поверхности. Следовательно, вне пограничного слоя движение жидкости потенциальное, причем потенциал описывается уравнением Лапласа, а возле поверхности движение жидкости описывается уравнениями пограничного слоя с условием равенства нулю касательного вязкого напряжения на свободной межфазной поверхности. Решение этой задачи можно найти в [2]. Основное отличие от случая невязкой жидкости состоит в том, что в выражении для возмущений вертикального перемещения поверхности появляется коэффициент вида ехр (-[3, О, где [c.460]

Гипотеза о том, что агрегирующим фактором, вызывающим ожижение паров, являются силы притяжения, действующие внутри жидкости, впервые была высказана Юнгом и Лапласом. Она получила развитие главным образом на физической основе в работах Ван-дер-Ваальса и его школы и долго не пользовалась признанием со стороны химиков. Однако рост наших знаний в области строения атома и молекулы и развитие волновой механики приводят к все более ясному пониманию природы межмолекулярных сип и механизма их действия. Они являются, несомненно, результатом существования силовых полей вокруг поверхности молекулы, которые обусловлены наличием электронных структур атомов, входящих в ее состав. Хотя нормальная молекула всегда электрически нейтральна, ибо заключенные в ней положительные и отрицательные заряды равны по величине, но распределены эти заряды неравномерно. Отрицательные электроны мы представляем себе движущимися снаружи атома в ряде концентрических слоев, положительные лте заряды концентрируются в ядре. Такая структура не может не отразиться на распределении силовых полей, существующих за пределами самой молекулы. Другими словами, несмотря на то, что молекула в целом электрически нейтральна, заряды на поверхности ее могут быть локализованы в разных точках. Для ясности можно воспользоваться простой аналогией. Два магнита с одинаковой силой полюсов расположены, как показано на рис. 4, так, что в общем достигается полная нейтрали- [c.20]

Пусть первоначально поверхность гидрофобна. Поместим на плоскую поверхность каплю раствора ПАВ. Вследствие адсорбции на межфазной границе Т—образуется адсорбционный слой молекул (ионов) ПАВ, обращенных неполярной частью к поверхности твердого тела, а полярной (гидрофильной) частью в воду. Образование такого монослоя вызывает гидрофилизацию первоначальной поверхности. Межфазное натяжение на границе Т—Зтж понижается, и, согласно уравнению Лапласа, смачивание увеличивается [c.162]

Решение данной системы уравнений, выполненное с использованием преобразования Лапласа [22], позволило получить выражение для движущей силы массопередачи в любой точке барботажного слоя [c.225]

В силу уравнения неразрывности для твердой фазы псевдоожиженного слоя потенциал скорости и функция тока удовлетворяют уравнению Лапласа [c.152]

При выводе этого уравнения учтено, что функция ф/ удовлет-воряет уравнению Лапласа, а также использовано уравнение для функции т(жГ /, которое может быть получено из (5.3-4), (5.3-5). Предполагается, что концентрация целевого компонента меняется в пределах тонкого диффузионного пограничного слоя. Тогда [c.196]

В этом определении фигурируют диффузионный слой вблизи электрода, где происходят концентрационные изменения, и глубина раствора, где концентрации постоянны. Омическое падение потенциала вычитается из измеряемой величины, так что концентрационное перенапряжение не зависит от положения электрода сравнения в глубине раствора. Отметим, что вычитаемое омическое падение потенциала относится не к реальному раствору с переменными концентрациями, а к воображаемому раствору с постоянными концентрациями при том же распределении тока. Это позволяет рассчитать вычитаемое напряжение путем решения уравнения Лапласа, проанализированного в гл. 18. Тем самым удается избежать строгого рассмотрения концентрационных изменений вблизи электрода, которые делают уравнение Лапласа непригодным в этой области. Как это происходит, мы увидим в следующей главе, где будут рассматриваться токи, составляющие заметную долю предельного тока. [c.416]

Мы рассмотрим здесь системы с вынужденной конвекцией, когда распределение скоростей можно считать известным. Если число Пекле Pe = i/L/Dк (где и — характерная скорость, а Ь — характерная длина) велико, то конвективный перенос преобладает над диффузией, за исключением тонкого диффузионного слоя вблизи поверхности электрода. Вне диффузионного слоя, т. е. в глубине раствора, концентрация однородна, и потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа (разд. 115). Для обозначения потенциала и тока в этой области будем пользоваться знаком тильда . Таким образом, имеем [c.425]

На частично погруженном вертикальном образце имеется область, где кислород может приблизиться к металлу, не пересекая слой Лапласа (или по меньшей мере не пересекая всю толщину слоя) и не проходя через зоны 2, 3 и 4. Полоска, которая расположена столь благоприятно для быстрого усвоения кислорода, о чень узка, и коррозия частично погруженного вертикального образца не обязательно должна быть более быстрой в сравнении с полностью погруженным горизонтальным образцом. Однако на частично погруженном 01бразце скорость коррозии будет определяться частотой распределения точек в зоне узкого мениска, особенно благоприятной для катодной реакции и эта частота будет меняться в зависимости от сорта железа (или цинка) 1. [c.274]

В работе Крупичкибыла сделана попытка вычислить эффективную теплопроводность при помощи аналитического решения п сопоставления результатов с экспериментальными данными, полученными другими авторами. За основу автор принял модель слоя из цилиндров, установленных друг на друге (порозность слоя е = 0,215), а также модель из шаров (порозность слоя е = 0,476). Целью работы было получение более точного решения без упрощающих допущений о направлении движения тепла. Для этого необходимо было определить распределение температур путем решения уравнения Лапласа и найти эффективную теплопроводность. [c.76]

Лаплас вывел уравнение (4.16) в 1806 г. несколько иным способом. Его вывод позволяет интерпретировать капиллярное давление как изменение молекулярного давления в жидкости, что приводит к противоположному знаку АР. Относительно недавно, в 1958 г., Щербаков окончательно разъяснил этот остававшийся долгое время неясным момент в теории капиллярности. Он показал, что Б выводе Лапласа неправильно отождествляются молекулярное и внешнее (например, гидростатическое) давления. В действительности при новом состоянии равновесия, которое возникает в результате искривления поверхности, изменяется как внешнее, так и молекулярное давление. Эти изменения описываются двумя уравнениями того же типа, что и уравнение Лапласа. Капиллярное давление связано только с изменением внешнего давления, а чтобы можно было судить о соответствующем изменении молекулярного давления, нужно располагать методами его измерения. Следовательно, молекулярное давление, определяемое межмолекулярными силами и имеющее очень важное значение для молекулярнокинетической теории жидкости, не может быть лзучено путем исследования капиллярных явлений в макрогетерогенных системах. Далее мы покажем, что это оказывается возможным только при исследовании свойств микрогетерогенных систем, например очень тонких слоев жидкости. [c.85]

Из ряда работ Б. В. Дерягина с сотрудниками было найдено, что для воды в пристенных слоях толщиной от 10 до 10 см обнаруживается сильное увеличение вязкости под влиянием поверхностных сил, обусловленных ориентацией диполей воды к образованием структур, обладающих прочностью на сдвиг. В работе Б. В. Дерягина и М. М. Кусакова, где пузырек воздуха в воде прижимался к стеклянной плоской поверхности, было установлено, что пристенные слои чистой воды, обладающие сдвиговой прочностью, достигают размеров 1 10 см. Эти наблюдения позволили авторам предположить наличие расклинивающего давления в зазоре между пузырьком газа и стенкой, которое оценивалось по известному уравнению Лапласа [c.87]

Для борьбы с коррозией на гетерогенных смешанных электродах, особенно при внутренней коррозии резервуаров и сосудов сложной формы, как и вообще при применении электрохимической защиты, представляет интерес распределение тока. На основании законов электростатики можно определить первичное распределение тока путем интегрирования уравнения Лапласа (div grad ф=0) [8, 12]. При этом сопротивления поляризации у электродов не принимаются во внимание. Распределение тока обусловливается исключительно геометрическими факторами. При учете сопротивлений поляризации следует проводить различие между вторичным и третичным распределением тока, когда действуют только перенапряжения перехода, обусловленные прохождением иона через двойной слой, или перенапряжения перехода в сумме с концентрационными. Это может представлять интерес, например, в гальванотехнике для получения равномерного осаждаемого слоя металла [13]. Под влиянием сопротивлений поляризации распределение тока становится более равномерным, чем первичное [2, 8, 12, 13], Для оценки условий подобия вводится параметр поляризации [c.60]

В 19 в. установлены осн. количеств, закономерности П. я. закон капиллярного давления (П. Лаплас, 1806), постоянство краевого угла смачивания (Т. Юнг, 1804), зависимость давления насыщ. пара жидкости от кривизны пов-сти (У. Томсон, 1870) первые термодинамич. соотношения-ур-ние изотермы адсорбции Гиббса (1878), зависимость поверхностного натяжения от электрич. потенциала (Г. Липман, 1875), сформулирован принцип минимума площади пов-сти жидкости (Ж. Плато, 1843). Среди важнейших П. я.-наличие капиллярных волн на пов-сти жидкости (У. Рэлей, 1890), двухмерное состояние и независимость действия адсорбц. слоев на пов-сти раздела фаз (И. Ленгмюр, 1917), адсорбц. понижение прочности (П. А. Ребиндер, 1923), расклинивающее давление в тонких жидких пленках (Б.В. Дерягин, 1935). [c.591]

Много внимания кинетическим токам уделяли П. Делахей и его сотрудники [69—73], которые применили для решения системы дифференциальных уравнений преобразование Лапласа. Результаты этих работ во многом близки к решениям, полученным ранее Коутецким, однако в некоторых случаях Делахеем были допущены ошибки, в частности он неправильно формулировал понятие о толщине реакционного слоя. Критике ранних работ Делахея и защите приоритета чехословацких ученых в области развития теории кинетических токов была посвящена заметка Р. Брдички и Я. Коутецкого [74]. Близость результатов, полученных обоими методами, не вызывает удивления, потому что, как показал М. Смутен [75], методы безразмерных параметров и преобразования Лапласа взаимосвязаны. Общая теория кинетических токов и многочисленные примеры ее приложения приведены в работах Я. Коутецкого и И. Корыты [76], а также Р. Брдички, В. Гануша и Я. Коутецкого [77]. [c.18]

Применения преобразования Лапласа отнюдь не исчерпываются стандартной схемой операторного метода. С помощью более тонких математических приемов удается в ряде случаев получать, применяя то же преобразование, аналитические решения сложных нелинейных задач. Однако для таких задач нет уже общего метода решения его приходится находить заново в каждом конкретном случае. С одним из подобных примеров применения преобразования Лапласа мы встретимся в главе V, где будет показано, как с его помощью Шамбре и Акривосу удалось решить задачу диффузионной кинетики для ламинарного пограничного слоя. [c.139]

При выводе используются величины, приведенные на рис. 39, причем рассматриваются скорости в промежутках между частицами . Порозность слоя е принимается постоянной, поэтому объемный расход жидкости, приходящийся на единицу сечения слоя, равен произведению скорости, нормальной к этому сечению, на величину е. Фильтрующаяся жидкость иредиолагается несжимаемой, так что применимы уравнения (А.1) и (А.З). В соответствии с законом Дарси скорость в любом направлении в —К раз больше градиента давления в этом иаправлении. Но аналогичным свойством обладает и функция ф, поэтому выражения (А.6) и (А. 10) могут быть использованы при решении задачи о фильтрации, если функцию ф заменить величиной —Кр, где р — давление. Комбинируя эти уравнения с соответствующими уравнениями неразрывности (А.1) или (А.З), можно убедиться, что уравнение Лапласа применимо к решению задачи о фильтрации ири замене ф величиной р. Итак, выражение (А.7) может быть использовано применительно к двухмерной задаче, а выражение (А.11)—для осесимметричного движения, причем и в этих соотиошеииях следует подставлять р вместо ф. [c.151]

Анализ тепловых условий сделан Майерсом, несомненно, с наибольшей полнотой. Однако введение им суммарной теплопроводности в слое в виде оператора Лапласа чрезвычайно усложняет решение и вместе с тем не выясняет роли тепловых условий совместно с физико-химическими факторам . ]1риведенное нами упрощенное решение этой задачи и его анализ на основе онределенных представлений о суммарных константах скоростей реакций и характера теплообмена в слое посредством лучеиспускания и конвекции дает возможность выяснить взаимосвязь этих факторов (см. стр. 390). Кроме излишней сложности решения Майерса, его работа имеет еще следующие недостатки [c.455]

Распределение скорости Ша оттока газа по высоте фонтана может быть найдено путем решения задачи ламинарного фильтрования газа в плотном слое дисперсного материала. Если принять постоянное значение коэффициента фильтрации/(д в законе Дарси W = —/Сд grad Р, то распределение давлений в периферийной зоне описывается уравнением Лапласа, которое может быть решено аналитически в системе координат, где переменные интегрирования разделяются. С этой целью верхняя и нижняя границы фонтанирующего слоя приближенно заменяются [70] на цилиндрические поверхности 5 (рис. 5.23) тогда уравнение фильтрования оказывается возможным записать в цилиндрических координатах [c.342]

Вне диффузного слоя раствор электрически нейтрален, течение жидкости подчиняется уравнению Навье—Стокса (94-4) и уравнению неразрывности (93-3), а электрический потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа (71-4). В цредположении, что диффузный слой тонок по сравнению с радиусом частицы, уравнения механики жидкости следует решать при следующих граничных условиях на бесконечности скорость становится однородной, суммарная сила воздействия жидкости на частицу, включая двойной слой, равна нулю и скорость скольжения жидкости на поверхности связана с тангенциальным электрическим полем согласно уравнению (63-40) [c.230]

Во многих электролитических ячейках концентрации изменяются в тонких диффузионных слоях вблизи электродов. Вне этой области по-прежнему справедливо уравнение Лапласа. Это означает, что диффузионный слой и глубину раствора можно рассма гривать по отдельности. Поскольку диффузионный слой тонок, к объему раствора по существу относится все пространство между стенками ячейки и электродами, заполненное раствором. В этой области потенциал определяется как решение уравнения Лапласа, удовлетворяющее некоторому граничному распределению плотности тока. Концентрации в диффузионных слоях ищутся из уравнений переноса, записанных в нужной форме. В качестве дополнительных условий рассматриваются потоки массы на стенках, соответствующие распределению тока на электродах, а также приближение концентрации к объемному значению по мере удаления от электродов. Распределения тока и концентрации на поверхности электрода должны устанавливаться так, чтобы получающаяся картина согласовалась с изменением перенапряжения, найденным из расчета потенциала в глубине раствора. Решения задач о потенциале и концентрации сопрягаются через граничные условия. [c.424]