Нелинейное уравнение волн III

Можно уточнить вычисления несколькими способами. Все они дают одинаковый результат, так как рассматривают волны возмущения, описываемые уравнением z = х, у, т). Внутреннее трение уменьшает действие этих волн, приче тем значительней, чем меньше колебания. На первых стадиях волны возмущения малы и выражаются чистой синусоидой В os кх. Затем амплитуда начинает возрастать (практически с момента т = 0), и форма волны соответствует выражению В os кх h Qt. Подробное исследование этого нелинейного уравнения показывает, что более тяжелая жидкость проникает в виде длинного узкого клина в более легкую жидкость, а последняя — в виде короткого тупого клина в более тяжелую. Тяжелая жидкость от сообщаемого ей ускорения имеет амплитуду [c.33]

Для интегрирования системы нелинейных уравнений гиперболического типа широко используется метод характеристик. Решение рассчитывается с помощью характеристической сетки, выстраиваемой в процессе счета. Этот метод позволяет детально изучить физическую картину течения. Но его трудно применять при расчете сложных сверхзвуковых течений, когда внутри потока содержатся интерферирующие ударные волны, тангенциальные разрывы и другие особенности. [c.267]

Некоторые нестационарные решения уравнений гидромеханики псевдоожиженного слоя рассматривались в работах [67, с. 180 79], где предполагалось, что гидромеханические характеристики псевдоожиженного слоя зависят только от вертикальной координаты X, т. е. рассматривалась одномерная задача. При этом авторы этих работ искали решения уравнений гидромеханики псевдоожиженного слоя, которые являлись бы периодическими функциями от х—с1, где с — некоторая константа. Для нахождения решения в работах [67, с. 180 79] были сделаны некоторые предположения, ограничивающие применимость результатов этих работ. В частности, использовалась процедура линеаризации уравнения для определения порозности. В результате получены выражения для скорости распространения волны возмущения порозности и частоты флуктуаций порозности. Можно предположить, что в том случае, если скорость возмущений будет превышать некоторое критическое значение, образуются разрывы порозности, подобные ударным волнам в газовой динамике. Нелинейные уравнения гидромеханики псевдоожиженного слоя в работе [80] решались при помощи метода характеристик. В этой работе показано, что в псевдоожиженном слое могут возникать разрывы, подобные ударным волнам. В данном разделе будут изложены некоторые результаты этой работы. Здесь будем пренебрегать вязкими напряжениями в газовой и твердой фазах и членом в выражении для силы межфазного взаимодействия, учитывающим присоединенную массу газа. При сделанных предположениях система уравнений гидромеханики псевдоожиженного слоя будет иметь следующий вид [c.96]

Решение задачи о поведении во времени смеси нескольких газов, имеюш,их в начальный момент времени различные температуры, представляет большой интерес в связи с исследованием особенностей протекания химических реакций в низкотемпературной плазме и плазменных струях. Такое решение представляло бы принципиальный интерес и с более обш,ей точки зрения физической кинетики. В настояш,ее время аналитические методы решения задач такого типа сводятся к исследованию нелинейного кинетического уравнения Больцмана. Не говоря уже о математических трудностях, аналитические методы, сводящиеся так или иначе к замене нелинейных уравнений линейными (путем разложения функции распределения в ряд по малым параметрам), могут в некоторых важных случаях привести к неправильным физическим результатам. Например, более глубокий учет нелинейности в кинетической теории волн в высокотемпературной плазме позволил выявить тонкие эффекты, существенно изменившие представление о кинетической устойчивости плазмы. В то же время достигнуты серьезные успехи в решении равновесных задач статистической физики (в частности, теории жидкостей) при помощи метода Монте-Карло [1—7] (см. также обзор в монографии [8]). [c.66]

Решение нелинейного уравнений (6.49) с граничными условиями подробно рассмотрено в [1], где, в частности, получена полная информация о течении волновой пленки (распределение скоростей, изолиний функций тока) и ее характеристиках (амплитуды, длине волны, фазовой скорости и т. д.). Результаты расчета удовлетворительно согласуются с известными экспериментальными данными. При изменении физикохимических свойств жидкой пленки, например вязкости, практически на два порядка (7 = 2850. . 1,7) расхождение результатов расчета и эксперимента для амплитуды волны (а) колеблется в пределах нескольких процентов (рис. 6.14). [c.417]

Математически строгое исследование бегущих волн в нелинейных задачах с диссипацией было впервые предпринято в фундаментальной работе А. Н. Колмогорова, И. Г. Петровского и Н. С. Пискунова [57], выполненной в связи с биологической проблемой определения скорости распространения гена, имеющего преимущество в борьбе за существование. Для описания структуры переходной зоны вблизи границы областей обитания генов обоих типов ими было получено нелинейное уравнение диффузии [c.104]

Нелинейные уравнения, и в частности теория нелинейных волн, [c.262]

Это, можно сказать, канонические уравнения. В практических приложениях используется широкий спектр различных нелинейных уравнений, в том числе выходящих за рамки приведенной классификации. Особенно быстро растет число исследований, связанных с образованием нелинейных волн при лазерном воздействии на среду. Отметим волны фотодиссоциации в газах /45,46/, в [c.263]

Хотя косвенной проверке этой гипотезы служат профили волн, вычисленные на ее основании и хорошо совпавшие с фотографиями действительных профилей, но совсем не лишней является новая, аналитическая, проверка гипотезы, проделанная в двух вариантах — посредством оценки погрешностей по методу Н. Е. Кочина и путем интегрирования нелинейного уравнения на большой электронной счетной машине [14]. [c.273]

Задачи о течении разреженных газов представляют научный и прикладной интерес, но при решении большей их части провести линеаризацию невозможно. В качестве важнейшего примера подобных задач приведем нахождение поля течения вокруг тела (метеора или искусственного спутника) при входе его из космического пространства в атмосферу планеты. При таком течении основная часть газа движется со сверхзвуковой скоростью, причем вблизи тела поток характеризуется очень большими градиентами параметров газа, т. е. образованием ударных волн. Внутри ударной волны состояние газа настолько сильно отличается от равновесного и меняется настолько быстро, что единственный приемлемый подход для описания явления — использование нелинейного уравнения Больцмана. Прототипом этой задачи можно считать простейшую задачу нелинейной динамики разреженного газа, а именно расчет функции распределения внутри плоской ударной волны. К сожалению, несмотря на исключительно большое внимание к проблеме, результаты использования многих подходов для ее решения неудовлетворительны. [c.469]

Общая характеристика вопросов, которые обсуждаются в настоящей книге, дана во введении. Данная монография условно делится на две части. Первая часть посвящена некоторым проблемам гидрогазодинамики. Здесь ставятся задачи, относящиеся к поведению деформируемых оболочек с протекающей упругой средой. Особое внимание уделяется волновым процессам, связанным с изменением параметров состояния жидкости и газа в том или ином сечении оболочки. Здесь имеются в виду трубопроводные коммуникации компрессорных станций магистрального газопровода, элементы газоперекачивающих агрегатов, регулирующие органы и т.д. С этой же точки зрения излагаются общие закономерности поведения упругих волн в различных акустических ситуациях, позволяющие рассматривать поведение неоднородных волн в трубопроводах переменного сечения и изогнутых по окружности. Исследуется также проблема волн конечной амплитуды исходя из соотношений нелинейности уравнений газодинамики и уравнения состояния для сильно сжатых сред. [c.5]

Изучение движения пульсирующего потока в трубопроводных системах высокого давления равносильно задаче о распространении плоских волн конечной амплитуды. Поэтому вначале рассмотрим некоторые общие вопросы, относящиеся к исходной системе дифференциальных уравнений, а затем перейдем к вопросу о соотнощении нелинейности уравнений газодинамики и уравнения состояния для сильно сжатых сред. [c.67]

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ГАЗОДИНАМИКИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ОБ ИЗЛУЧЕНИИ ВОЛНЫ КОЛЕБЛЮЩИМСЯ ПОРШНЕМ [c.67]

Поскольку скорость перемещения точек профиля такой волны оказывается неодинаковой, то она по мере распространения деформируется. Найденные таким образом частные движения можно рассматривать как точные решения нелинейных уравнений движения для плоских волн в зависимости от начального состояния. [c.69]

Подводя итог, можно сказать, что нелинейные эффекты при распространении волн в газах вызывают три причины нелинейность уравнений неразрывности, уравнения движения и нелинейность уравнения адиабаты [15]. [c.76]

Из сравнения выражений для Дс, и ДСг следует, что на искажение формы волны для идеальных газов (к = 1,4+1,6) нелинейность гидродинамических уравнений влияет гораздо сильнее, чем нелинейность уравнения состояния. В этом случае мы имеем [c.79]

Отметим еще раз, что основными причинами нелинейных искажений волны являются, во-первых, нелинейность адиабаты, приводящая к тому, что местная скорость звука отличается от скорости звука в невозмущенной среде, во-вторых, нелинейность остальных гидродинамических уравнений. [c.79]

Ранее мы показали, что точные уравнения газодинамики нелинейны и перешли от них к линейным уравнениям акустики, в которых колебания плотности и давления приняты пренебрежимо малыми по сравнению с соответствующими параметрами в невозмущенном состоянии. Это позволило линеаризовать нелинейные уравнения и применить к ним принцип суперпозиции волновых полей, означающий, что каждая свободная волна распространяется независимо от всех остальных, и волновое поле в каждой точке - это просто сумма полей составляющих волн. [c.80]

Таким образом, метод последовательных приближений позволяет свести решение нелинейного уравнения (6.14) к бесконечной системе линейных уравнений. Отметим, что все эти уравнения первого порядка с правой частью. Применение их проще всего проследить на примере плоских одномерных волн, распространяющихся в трубах. Пользуясь уравнением (6.17), найдем решение уравнений первого приближения. Примем во внимание только колебания основного тона, полагая, что более высокими частотами при удовлетворительном гашении можно пренебречь. [c.148]

Для рассмотрения области нелинейной акустики проводят оценку порядка величин в дифференциальном уравнении движения, выбирая в качестве характерного масштаба расстояние, на котором происходит существенное изменение переменных, длину звуковой волны А., а в качестве характерного времени - период волны Г [7]. Тогда [c.54]

При переходе к системам с распределенными параметрами импульсное воздействие приводит к возникновению в среде волновых явлений акустических импульсов, ударных волн. Анализ импульсных волновых явлений и ударных волн в воде при давлении на фронте до 102 па может проводиться в линейном приближении, т.е. с использованием аппарата линейных гиперболических уравнений в частных производных. В общем же случае анализ ударных волн относится к классу нелинейных волновых явлений акустики и газодинамики и требует специального рассмотрения. В последнее время для этих целей широко используют представления волн в виде солитонов [34]. [c.65]

На рис. 2.6 приведены концентрационные зависимости уСк) для различных значений фактора нелинейности т. Ясно видно, как все более крутым становится фронт сорбционной волны с возрастанием т. Сравнение с численным решением показывает практически точное совпадение кривых, построенных по формуле (2.1.42) и полученных в [17], когда параметр т > 2,5. Некоторое расхождение при т, близких к единице, объясняется тем, что классическое решение линейного уравнения диффузии при т=1, из которого следует бесконечная скорость распространения возмущения, находится в противоречии с понятием о физическом механизме диффузионного процесса. [c.41]

Технологические эффекты акустического воздействия в большинстве случаев связаны со специфическими нелинейными явлениями. Для рассмотрения области нелинейной акустики проводят оценку порядка величин в дифференциальном уравнении движения, выбирая в качестве характерного масштаба расстояние, на котором происходит существенное изменение переменных, длины звуковой волны А,, а в качестве характерного времени — период волны Т [7]. Тогда [c.12]

Выведены теоретически дифференциальные уравнения, описывающие поведение пузырька в поле ультразвуковой волны [5, 16 — 18]. Эти уравнения являются нелинейными и их решение получено численными способами. На рис. 1.2 показано изменение размеров дорезонансного пузырька (К < Кр з). Значение для данной частоты звукового поля определяется по формуле [c.17]

Существенный недостаток количественных методов анализа тонкослойных хроматограмм, основанных на измерении пропускания света, был связан с нелинейной зависимостью сигнала оптического детектора от количества вещества в хроматографическом пятне. Эта нелинейность обусловлена специфическим законом прохождения света в рассеивающей среде, описываемым уравнением Кубелки — Мунка, и неоднородностью пластины по толщине слоя адсорбента. Последнюю можно учесть, измеряя оптические свойства подложки непосредственно в хроматографическом пятне. Использование двухволнового метода спектрофотометрического детектирования, когда излучение одной волны Л поглощается и веществом, и адсорбентом, а другой волны Лг — только адсорбентом, позволяет выделить сигнал, связанный с поглощением излучения только анализируемым веществом. Дальнейшая обработка сигнала детектора в соответствии с уравнением Кубелки — Мунка позволяет линеаризовать зависимость оптического сигнала от количества вещества в ТСХ. Поглощение света адсорбентом может быть учтено также при спектрофотометрическом сканировании пластины на просвет и отражение. Эти принципы реализованы в лучших современных зарубежных денситометрах — флуориметрах. Менее точным, но более простым решением является линеаризация зависимости сигнал — вещество с помощью двойного логарифмирования (с использованием ЭВМ). В результате этих усовершенствований воспроизводимость результатов в современной количественной ВЭТСХ приближается к 1%. Использование двухкоординатного сканирования в случае эллипсовидных пятен (двумерное размывание зон в ТСХ) и многошагового сканирования пятен неправильной формы (дву- [c.370]

Уравнения (9.17) и (9.26), описывающие одномерные процессы совместного течения двух несжимаемых фаз и известные как уравнения Рапопорта-Лиса, представляют собой нелинейные уравнения параболического типа второго порядка. Точные рещения этих уравнений получены лищь для некоторых сравнительно простых частных случаев [7]. Получены инвариантные решения (типа волны, движущейся с постоянной скоростью, и автомодельные), а также численные решения на ЭВМ [3, 33, 34, 51, 77]. [c.260]

Нервное волокно представляет собой возбудимую, или активную, среду. Распространение нервного импульса представляет собой распространение автоволны — сильно нелинейного образования, поскольку ее движение описывается нелинейными уравнениями типа (11.13). Скорость, форма и амплитуда импульса не зависят от начальных условий они, как мы видели, определяются свойствами среды. До и после прохождения автоволны участок волокна находится в состоянии покоя — автоволна локализована. Этим она отличается от обычной электромагнитной или звуковой волны. [c.374]

Зависимость высоты пика от концентрации — нелинейная (рис. Нам представляется, что эта закономерность, как и в случае анодной г ляризации ртути в сульфидных растворах [45], есть результат сложен трех эффектов, а именно псевдоемкости реакции, пропорциональной кс центрации серы, псевдоемкости адсорбции сульфида ртути, линейно В1 растающей с логарифмом концентрации, и эффекта торможения реакц переноса электронов пленкой сульфида ртути. Пик на емкостной крив раствора серы заметно ниже, чем на кривой раствора сульфида [45]. с значит, что пленка сульфида ртути тормозит перенос электрона при восс новлении сульфида ртути сильнее, чем при анодном растворении рт в сульфидных растворах. Уравнение волны серы [15] не может быть этому точным, хотя методом классической полярографии отклонения [c.404]

Следует, кроме того, иметь в виду, что в кристаллах из-за ангармонизма наряду с квантовыми объектами, образованными из малого числа квазичастиц, такими, как бифононы, биэкси-тоны и т. д., возможны, вообще говоря, также и элементарные возбуждения, отвечающие распространению в кристалле чисто классических нелинейных волн (типа солитонов для плазмы), являющихся решениями соответствующих нелинейных уравнений движения. Ясно, что анализ экспериментальных условий, при которых могут стать заметными процессы комбинационного рассеяния света на такого рода волнах, существенно [c.431]

Нелинейность уравнений гидродинамики может приводить и к другим весьма интересным эффектам, оставшимся вне поля рассмотрения в дайной книге, а именно к так называемым со-литонным решениям. Солитоны представляют собой уединенные волны, распространяющиеся без изменения своего профиля и убывающие в обе стороны на бесконечности. Онн существуют в средах без диссипации. Нелинейные эффекты, как и в случае механизма образования ударных волн, приводят к постепенному увеличению крутизны переднего фронта волиы. Вместо диссипации расплывание профиля происходит из-за дисперсии волн в рассматриваемой среде. Оба эффекта могут компенсировать друг друга, приводя к стационарности профиля солитонной волны. [c.217]

Замечательный пример представляют собой задачи нелинейного распространения волн на поверхности тяжелой жидкости, описываемые уравнением Кортевега—де Фриза. Имеются хорошо и давно известные решения, оцисывающие уединенные волны (иначе солитоны), распространяющиеся со скоростью, зависящей от амплитуды. Существуют теоремы, доказывающие устойчивость солитонов даже после их столкновения, и теоремы, определяющие асимптотическое поведение начальных распределений общего типа, превращающихся в последовательность солитонов. Подсказанные численными расчетами, эти свойства теперь строго доказаны аналитическими средствами необычайной красоты. В этих решениях проявляются все свойства идеального автомодельного решения второго рода. [c.8]

Приведенные в предыдущем параграфе соображения указывают на то, что для описания колебаний газовых столбов, лежащих Ч5лева и справа от зоны горения, можно но-прежнему пользоваться линейными уравнениями 4, в то время как для зоны горения а следует учитывать существенные нелинейности. Первое из этих утверждений хорошо подтверждается экспериментом эпюры стоячих волн давления, подсчитанные по линейной теории, хорошо согласуются с экспериментальными, снятыми при авто- [c.347]