Дифференциальные уравнения теплопроводности и диффузии

Дифференциальные уравнения теплопроводности и диффузии [c.46]

Закон Фика и дифференциальное уравнение диффузии сформулированы как аналоги соответствующих закона Фурье и дифференциального уравнения теплопроводности [c.15]

В процессах экстрагирования частицы инертных материалов, из которых извлекается целевой компонент, чаще всего имеют округлую форму, поэтому рассмотрим дифференциальное уравнение нестационарной диффузии для частицы шаровой формы. При этом воспользуемся полученным в главе 5 общим соотношением (5.13) конвективно-диффу-зионного переноса компонента, в котором применительно к диффузии в неподвижном растворе внутри частицы все компоненты скоростей равны нулю, а оператор Лапласа для тела центрально симметричной сферической формы содержит два слагаемых (см. раздел о нестационарной теплопроводности в главе 3) [c.488]

В расчетных схемах по плавлению скрапа в чугуне в работах И. В. Белова совместно решались дифференциальные уравнения теплопроводности и диффузии. Для тел правильной формы эти уравнения совместно с начальными и фаничными условиями записываются в следующем виде (см. рис. 11.8). [c.433]

Исторически сложилось так, что движущей силой диффузии долгое время считали градиент концентрации вещества, что вообще говоря, неточно. Например, возможны условия, в которых диффузия происходит в направлении роста градиента концентрации вещества. Тем не менее, обычно используют традиционную формулировку законов диффузии, принимающую за движущую силу диффузии градиент концентрации вещества и позволяющую применять для анализа результатов готовый мощный математический аппарат решения дифференциальных уравнений теплопроводности. [c.202]

Особенности распространения фронта реакции в совмещенном процессе. Исследования фронтальной полимеризации проводились на основе теории горения конденсированных систем [226—227]. При этом, предполагая, что распределение температуры является одномерным, распространение фронта реакции описывали дифференциальным уравнением теплопроводности с источником при соответствующих начальных и граничных условиях. Волновые процессы в стационарном или автоколебательном режимах, описываемые таким образом, подробно исследованы применительно к распространению пламени, к задачам диффузии, а также в других системах с различными источниками. [c.149]

Полуэмпирическая теория турбулентности нашла свое отражение в так называемых косвенных методах определения коэффициента турбулентного обмена, использующих упрощенные дифференциальные уравнения теплопроводности, движения или диффузии или частные решения этих уравнений. [c.440]

Прежде всего для непрерывных систем с помощью дифференциальных уравнений, описывающих необратимые процессы переноса (уравнения теплопроводности, диффузии и т. д.), можно непосредственно доказать лишь соотношение [c.187]

В последнем уравнении, называемом уравнением Фика, учтен перекос массы только концентрационной диффузией. Это уравнение аналогично дифференциальному уравнению теплопроводности (1-29) прл gv=0 Если для температуры и концентрации ввести одинаковые обозначения, то уравнения по внешнему виду не будут отличаться друг от друга [c.335]

Два описанных выше метода работы аналогичны граничным условиям постоянной температуры стенки и постоянного теплового потока в теплообменных системах. Мы видели ранее в этой главе, что дифференциальные уравнения молекулярной диффузии веш ества и теплопроводности подобны. Мы видели также, что в массообменных системах, в которых скорость, нормальная к стенке, мала в сравнении со скоростью свободного потока, закономерности массопередачи аналогичны закономерностям теплопередачи при отсутствии переноса веш ества. Вследствие этого результаты по теплопередаче в трубе, приведенные в гл. 24, могут быть использованы для расчета коэффициентов массопередачи простым замещением числа Нуссельта числом Шервуда, а числа Прандтля числом Шмидта в решениях для теплопередачи. Решение для местного числа Шервуда может быть получено по рис. 24. 3 либо для однородного потока, либо для однородной концентрации у стенки для потоков с плоским и параболическим профилями. Решения для среднеарифметической и среднелогарифмической движуш ей силы можно получить из рис. 24. 4. [c.496]

Если пренебречь термодиффузией кт = О, О = 0), то из уравнения (16) получим дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье с источником тепла. Дифференциальное уравнение диффузии массы (15) аналогично дифференциальному уравнению теплопроводности Фурье. Поэтому все решения, полученные для нестационарных задач теплопроводности, можно применять к расчетам нестационарной диффузии массы. [c.24]

Состояние сплошной движущейся среды описывается системой дифференциальных уравнений (включающей уравнения неразрывности, движения, энергии и диффузии) при определенных начальных и граничных условиях. Для каналов мембранных элементов граничные условия, помимо геометрических факторов, характеризуют входные профили скорости, концентрации и температуры, а также условия массопереноса через мембрану и пористую подложку. Кроме перечисленных соотношений, используют термическое уравнение состояния газовой смеси, а также дополнительные соотношения, позволяющие рассчитать коэффициенты вязкости, теплопроводности и диффузии как функции температуры, давления и состава смеси. [c.121]

Заметим, что при изучении явления перемешивания твердой фазы в псевдоожЕ-женном слое (эффективные значения вязкости, коэффициента диффузии, теплопроводности, температуропроводности) многие исследователи базируются на дифференциальных уравнениях, принятых для капельных жидкостей. [c.479]

Соотношение (3-27) позволяет оценивать коэффициенты переноса в турбулентном потоке. Для расчетов переноса можно использовать выражения, относящиеся к молекулярным процессам и приведенные в предыдущих параграфах (выражения для тепловых и диффузионных потоков, дифференциальные уравнения диффузии, теплопроводности, движения). При этом соответствующие молекулярные коэффициенты О, а я V заменяются турбулентными коэффициентами и При сопоставимом влиянии турбулентного и молекулярного переносов вводят суммарные коэффициенты. [c.80]

Итак, молекулярная диффузия описывается дифференциальным уравнением в частных производных второго порядка в виде (113), которое носит название уравнение теплопроводности. [c.110]

Выше было показано (см. стр. 17), что такие различные по природе явления, как трение жидкости, теплопроводность, диффузия, поток электричества и другие описываются одинаковыми дифференциальными уравнениями, т. е. выражают изоморфность математических моделей разных процессов. Таким образом, пользуясь указанной. аналогией математических описаний, уравнения физикохимических процессов можно решать как электриче( кие уравнения при помощи аналоговой вычислительной техники. В этом смысле процесс, протекающий в химическом реакторе, аналогичен решению математической модели его на АВМ. Исследуя процесс на аналоговой машине, можно получить такие же результаты, как если бы мы воспроизводили работу реактора. [c.84]

Из такой записи видно, что только временные производные в правых частях точно соответствуют величинам, которые даются уравнениями баланса массы п энергии возмущенного движения (уравнения баланса для приращений, гл. 7), а множители 6Т , б(/ Г- ) и б( ..1у7 ) непосредственно связаны с граничными условиями. Действительно, дифференциальные уравнения в частных производных, выведенные из этих уравнений баланса и феноменологических законов, содержат градиенты или этих величин, или величин, непосредственно с ними связанных (например, уравнение теплопроводности, уравнение диффузии). [c.74]

Вследствие подобия этих уравнений и решение их должно быть подобным. Таким образом, решение дифференциального уравнения теплового потока может послужить решением уравнения массообмена для этого необходимо лишь вместо температуры t подставить массосодержание н вместо коэффициента температуропроводности а— коэффициент диффузии О. Существует также аналогия между общим уравнением теплопроводности (без диссипативного члена) и уравнением переноса массы с постоянными свойствами [c.573]

Существенно отметить, что полученные дифференциальные уравнения фильтрования (31) и (32) с математической точки зрения тождественны уравнениям теплопроводности и диффузии. [c.458]

Заметим, что при изучении явления перемешивания твердой фазы в псевдоожиженном слое (т. е. при определении таких эффективных характеристик, как теплопроводность, температуропроводность, вязкость, коэффициент диффузии) многие исследователи базируются на дифференциальных уравнениях из теории капельных жидкостей — см., например, работы [27, 58, 181, 395, 533], а также главу VI. [c.375]

Диффузия в неподвижной среде, обусловленная лишь тепловым движ нием самих молекул (т. е. молекулярная диффузия) описывается следующим дифференциальным уравнением, аналогичным уравнению Фурье для молекулярной теплопроводности [c.251]

Отмеченные особенности непрерывных систем предопределили и порядок изложения материала настоящей главы. В первых разделах введены дифференциальные уравнения баланса для обобщенных координат и других экстенсивных свойств, выражения для плотностей производства энтропии и диссипативной функции, линейные феноменологические уравнения и соотнощения взаимности Онзагера. На этой базе в последующих разделах дано описание процессов в непрерывных системах, обусловленных переносом масс компонентов, энтропии, электрических зарядов, и реализующихся в виде диффузии, седиментации, теплопроводности, электропроводности. Кроме того, рассмотрены некоторые стационарные состояния непре- рывных систем и связи между отдельными процессами переноса. [c.234]

Однако даже в этом упрощенном случае математическое решение задачи о вычислении нормальной скорости горения возможно только путем численного интегрирования уравнений теплопроводности и диффузии. Поэтому до создания ЭВМ, применение которых сделало возможным-строгое численное решение задачи нри любой степени сложности химического механизма реакции горения (при условии, что константы скорости И коэффициенты диффузии известны с достаточной точностью), различными авторами делались попытки на основании тех или иных допущений получить аналитическое решение этой задачи, сведя систему дифференциальных уравнений к одному уравнению. В настоящее время все эти попытки представляют в значительной мере исторический интерес, хотя наглядность получаемых при этом аналитических выражений нормальной скорости горения в ее зависимости от параметров, характеризующих молекулярные и химико-кинетические свойства горючих смесей (при приемлемости сделанных при этом упрощающих допущений), делают их не лишенными определенных преимуществ по сравнению с результатами численных решений задачи. [c.490]

Эти выражения для и он использует при решении трех основных дифференциальных уравнений, уравнения теплопроводности и двух уравнений диффузии [c.610]

Сложность химических процессов и многообразие влияющих на их протекание факторов затрудняют прямое моделирование процесса в целом. Химический процесс не может быть описан простыми дифференциальными уравнениями. Законы кинетики химических реакций несравненно сложнее чем законы теплопроводности или диффузии.Обычно мы имеем дело со сложными реакциями, протекающими в несколько последовательных стадий. Эти реакции могут быть обратимыми, и тогда наряду с кинетикой для их протекания будут существенны и условия равновесия. Поскольку мы говорим о процессах гетерогенного катализа, задача исследователя осложняется еще и адсорбционными явлениями. Ясно, что полностью учесть столь сложные и многообразные зависимости посредством полного моделирования очень трудно. И действительно, такое полное прямое моделирование химического процесса вместе со всеми осложняющими его физическими процессами удается только в отдельных частных случаях. [c.363]

Изложенные выше данные позволяют сделать заключение, что поверхностные водные слои вблизи твердых минеральных частиц обладают аномальными физическими свойствами при толщине слоев до 1 мкм наибольщие их отличия при толщине пленок менее 0,5 мкм. Значительная упорядоченность молекул вблизи твердых гидрофильных поверхностей обусловливает повышенную вязкость, аномальную электропроводность, пониженную диэлектрическую проницаемость, уменьшенный коэффициент диффузии и увеличенную теплопроводность связанной воды. Таким образом, при анализе электрических, диффузных, тепловых и других процессов в горных породах (и решении соответствующих им дифференциальных уравнений) необходимо принимать во внимание изменение удельной электропроводности, диэлектрической проницаемости, плотности, коэффициентов диффузии и теплопроводности поверхностных слоев по их толщине. Это имеет важное значение при петрофизическом моделировании и в конечном итоге при интерпретации геофизических аномалий. [c.32]

НИЮ фаз могут быть выделены модели дисперсные, слоистые и слоисто-дисперсные. Среди дисперсных пород и их моделей следует различать матричные и статистические, которые могут быть рассчитаны путем решения дифференциальных уравнений для электропроводности, диффузии, теплопроводности и других параметров с соблюдением граничных условий для потенциальных функций на поверхностях раздела фаз. Этот способ расчета моделей назван нами потенциальным. Потенциальный способ расчета электропроводности моделей горных пород заключается в том, что путем решения дифференциальных уравнений Лапласа или Пуассона определяется распределение потенциальных полей в каждой из фаз горных пород. При этом учитывается [c.53]

Дифференциальные уравнения. Законы природы, которые управляют течением химически реагирующей жидкости, можно разделить на два класса законы сохранения и законы для потоков. Первый класс включает первый закон термодинамики, принцип сохранения массы и закон сохранения индивидуальных химических элементов второй класс включает закон теплопроводности Фурье и закон диффузии Фика. Здесь будем пользоваться той же системой обозначений и теми же приемами, что и в предыдущей статье Л. 50], и сосредоточим внимание на двух дифференциальных уравнениях для стационарного течения газа со средними скоростями без учета эффектов гравитации, электрического, магнитного и электромагнитного полей. Это дает [c.186]

Явления переноса (диффузия, теплопроводность, вязкость и многие другие) в стационарных условиях подчиняются так называемому первому закону Фурье. Второй закон Фурье, который описывает теплопроводность в нестационарных условиях, когда температура в данной точке зависит от времени, представляет собой систему дифференциальных уравнений в частных производных. [c.45]

Конкретная форма исходного дифференциального уравнения и конкретная форма его решения сушественно зависят от формы исследуемого тела. Решения уравнений теплопроводности и диффузии получены для некоторых тел простой идеализированной формы шара, цилиндра, параллелепипеда, конуса, а также для некоторых других задач. Реальные тела обычно имеют неправильную форму, которую часто можно рассматривать как результат некоторой деформации тела простой формы. При относительно небольшой деформации решение уравнения диффузии для соответствующего тела простой формы можно рассматривать как приближенное для тела искаженной формы, становящееся более точным для областей тела, более удаленных от места искажения формы. [c.215]

Зависимость между давлением пара и температурой при наличии и системе молекулярной диффузии и теплопроводности может быть выведена исходя из общих дифференциальных уравнений диффузии и теплопроводности [c.134]

Хотя гидродинамические эффекты во многих случаях кристаллизации играют не менее важную роль, чем теплопроводность и диффузия, все же количественных исследований в этой области проведено, по-видимому, несравненно меньше, чем по диффузионной задаче Стефана и другим аналогичным задачам. [Впрочем, к исследованию влияния перемешивания на некоторые кристаллизационные процессы часто прибегают в химической промышленности (см., например,[280, 281]).] Такую недооценку можно объяснить несколькими причинами. Во-первых, если в опытах жидкая фаза специально не перемешивается, то о возможности естественной конвекции часто забывают. Во-вторых, если существование потоков жидкости при росте кристалла и учитывалось, то громоздкость дифференциальных уравнений удерживала исследователей от попыток определить аналитически или хотя бы полуколичественно распределение таких потоков. В-третьих, в опытах по росту кристаллов часто невозможно наблюдать за распределением потоков жидкости, особенно если последняя непрозрачна. [c.511]

Дифференциальное уравнение диффузии, описывающее распределение парциальных давлений (концентраций) при диффузии, получается из баланса диффузионных потоков для дифференциального элемента объема. Вывод аналогичен выводу дифференциального уравнения теплопроводности. Если пренебречь термодиффузией и воспользоваться для случая бинарной смеси выражением (3-17) (с заменой для трехмерной диффузии dpjdx на grad р ), то для стационарных условий получим [c.75]

Процесс диффузии в неоднородном температурном поле называется термодиффузией. Наложение диффузии и теплопроводности приводит к возникновению двух явлений эффекта Соре —возникновения градиента концентраций вследствие разности температур и эффекта Дюфора — появления разности те.мператур в результате диффузии компонентов. Дифференциальное уравнение для диффузии при наличии градиента температуры имеет вид [c.253]

Сделав предположение о том, что во всех точках зоны реакции сумма тепловой и химической эиергии на единицу массы смеси постоянна, Льюис и Эльбе [24] тем самым избежали проблемы совместного решения дифференциальных уравнений теплопроводности и диффузии. При этом температура определялась химическим составом и теплопроводность не входила явно в систему уравнений. В более поздних работах Зельдович, Франк-Каменецкий и Семенов [14—17] приняли то же самое предположение, хотя оно было выражено в иной математической форме они ириравпивали диффузионный поток химической энтальпии от го])Ючего газа к продуктам сгорания кондук-тивиому потоку тепла в противоположном направлении. Такой способ выражения постоянства суммы тепловой и химической энергии в единице массы также хорошо служит цели упрощения задачи. Обе группы авторов избегали проблемы учета взаимной диффузии веществ, особенно диффузии активных центров, нри помощи соответствующих предположений, устанавливающих связь локальных концентраций активных центров и реагирующих веществ. В работе Хиршфельдера, Кёртиса и др. [3, стр. 124—140 27—29] таких предположений не делалось, а чтобы преодолеть математические трудности задачи, пришлось прибегнуть к счетным машинам. [c.202]

Процессы паровой и пароуглекислотной конверсии проводятся в реакционных цилиндрических трубах с неподвижным слоем катализатора. Реакционные трубы являются реакторами вытеснения в общем случае с продольной и поперечной диффузией и теплопроводностью, и процесс конверсии в них описывается системой дифференциальных уравнений в частных производных [c.149]

Значения функций распределения к и ф для диффузионной модели могут быть получены решением дифференциальных уравнений переноса вещества с конвективным членом (эти уравнения аналогичны изучаемым в курсе теплопередачи и массопередачи уравнениям теплопроводности и диффузии). В случае однонаправленного переноса вещества, как это следует из (1.22) в отсутствие Источников и Стоков, [c.637]

На основе указанной особенности в теории ламинарного горения разработаны методы, позволяющие существенно упростить описание явления. В самом деле, зону химических реакций можно рассматривать как некоторый пограничный слой. Тогда решение этой внутренней задачи (т.е. распределения концентраций и температуры в зоне реакций) находится с помощью сравнительно простых методов, поскольку в уравнениях диффузии и теплопроводности перенос тепла и вещества вдоль фронта пламени несуществен, и, следовательно, достаточно, проинтегрировать систему обыкновенных дифференциальных уравнений. При решении внешней задачи химические реакции можно не учитывать, а сращивание внутреннего и внеишего решений позволяет определить положение фронта пламени. [c.8]

В заключение отметим, что в нашей постановке задачи о сушке топлива горячими газами расчетные уравнения отличаются от системы уравнений Иыкова (7.50) тем, что в них пренебрегается диффузией влаги и расход тепла на испарение влаги относится к границе испарения. При этом мы считаем, что при большой интенсивности сушки топлива горячими продуктами сгорания скорость сушки определяется подводом тепла к зоне испарения за счет теплопроводности куска топлива, а выход влаги в впде пара не лимитирует этот процесс. Лыков [445] указывает, что строгое аналитическое решение данной им системы дифференциальных уравнений (7.50) не всегда возможно. Он приводит следующую формулу для скоростп сушкп [c.451]

Если речь идет о переносе какого-либо вещества в т рдую частицу (или переносе какого-либо вещества из твердых частиц в поток газа), то говорят о внешней и внутренней диффузии. Поскольку перенос тепла или массы вне твердых частиц и внутри твердых частиц описывается при помощи дифференциальных уравнений с частными производными (уравнения теплопроводности или диффузии), возможность описания тепло- и массообмена между твердыми частицами и потоком газа при помощи обыкновенных дифференциальных уравнений удается обосновать далеко не всегда. Среди проблем, которые возникают при теоретическом анализе тепло- и массообмена твердых частиц с омывающим их потоком газа, можно отметить следующие. [c.254]

Предметно-математическое моделирование основано на иден- дидности формы уравнении и однозначности соотношений между переменными в уравнениях оригинала и модели. Частным случаем такого моделирования является аналоговое математические модели при этом исследуют с помощью аналоговых, цифровых и гибридных вычислительных машин. Наиболее часто при аналоговом моделировании с помощью дифференциальных уравнений исследуют процессы электропроводности, теплопроводности, распространения упругих волн, диффузии жидкостей, фильтрации жидкостей в пористых средах. [c.5]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология