Модель Монте-Карло

В соответствии с природой рассматриваемого процесса -детерминированной или стохастической - различают следующие математические модели аналитическую жесткую численную жесткую аналитическую вероятностную численную вероятностную (модель "Монте-Карло"), [c.9]

Исходя из основного положения о том, что механические свойства полимеров определяются их молекулярной массой, можно полагать, что разрыв одной химической связи в макромолекуле не должен привести к падению молекулярной массы и соответственно к изменению механических характеристик волокон из таких полимеров. Заметное уменьшение молекулярной массы, происходящее под действием тепла, гидролиза и других факторов наблюдается при одновременном разрыве противоположных химических связей в одном цикле, что менее вероятно, чем разрыв одной связи. Кроме этого, вероятность рекомбинации радикалов благодаря эффекту клетки в случае лестничных полимеров оказывается выше, чем в случае одноцепных макромолекул. Эти предположения подтверждаются сравнением стабильности лестничного полимера при гидролизе со стабильностью полимера с одинарной цепью, проведенным на примере двухцепного и одноцепного полиэфиров (рис. 4.37). Теоретическим расчетом с использованием модели Монте-Карло было также показано, что молекулярная масса линейного полимера при деструкции должна уменьшаться значительно быстрее, чем [c.157]

Метод Монте-Карло является по существу математическим экспериментом. В ряде случаев он состоит в конструировании искусственного случайного процесса таким образом, чтобы среднее значение случайной переменной соответствовало решению системы интегродифференциальных уравнений. Кроме того, он может заключаться также в сведении исходного вероятностного физического процесса к модели, допускающей практическую реализацию на ЭВМ [64]. Важнейшим преимуществом метода Монте-Карло перед аналитическими и другими численными методами является возможность построения моделей, обходящих серьезные, часто непреодолимые трудности, стоящие в ряде задач перед аналитическими методами. Метод Монте-Карло может привести к успеху даже в таких случаях, когда отсутствует возможность формулировки соответствующих уравнений. [c.201]

Рассмотрим теперь вопросы применения метода Монте-Карло к задачам химической кинетики. Система разбивается на "среду" и ансамбль "пробных частиц", причем среда описывается феноменологически через такие параметры, как концентрации отдельных компонент, температура и др. Учитывается только взаимодействие пробных частиц со средой. Если обратиться к задачам кинетики, то можно сделать вывод, что с помощью такого метода можно изучать системы, состоящие из небольшой примеси молекул интересующего нас газа к молекулам основного газа, являющегося "термостатом". Соотношение концентраций примеси и термостата должно быть таково, чтобы можно было учитывать только столкновения молекул примеси и частиц термостата. Естественно, что в ряде случаев на такие упрощения можно и нужно согласиться. Принципиальным является вопрос о построении нелинеаризованной модели. Такая возможность в принципе имеется и состоит в использовании идеи "периодических граничных условий". [c.201]

Метод Монте-Карло получил широкое применение для решения разнообразных задач кинетической теории газов. Одним из перспективных подходов к решению уравнения Больцмана лля многокомпонентного химически реагирующего газа является метод нестационарного статистического моделирования. Этот подход основан на результатах Каца [296] о существовании статистических моделей, асимптотически эквивалентных уравнению Больцмана. Суть методики состоит в построении случайного процесса, моделирующего решение кинетического уравнения. Вместо непосредственного решения уравнения Больцмана построенный случайный процесс многократно моделируется на ЭВМ, и по полученной статистике определяется искомая функция распределения. В работа) [70, 71] с помощью метода нестационарного статистического моделирования рассматривались процессы максвеллизации смеси газов, электронное возбуждение атомов, установление ионизационно-рекомбинационного равновесия. Метод предъявляет не слишком высокие требования к памяти и быстродействию ЭВМ, однако с его помощью, по-видимому, невозможно описывать кинетические процессы с существенно различными характерными временами и системы с большим числом уровней. В монографии Г. Берда [18], посвященной моделированию кинетических процессов методом Монте-Карло, приведен ряд полезных программ для ЭВМ. [c.204]

При наличии достоверных данных по сечениям процессов результаты, получаемые с помощью метода Монте-Карло, вполне могут претендовать на сравнение с экспериментом, а в ряде случаев и заменить его. Однако даже при отсутствии таких данных возможно получение целого ряда важнейших качественных результатов на основе простых физических моделей. [c.204]

Все численные расчеты проводились при помощи метода Монте-Карло на основе модели непрерывного пространства скоростей. Система состояла из 108 частиц. Для каждого варианта генерировалось 20 цепей с последующим усреднением результатов в отдельные моменты времени. Статистическая ошибка полученных результатов не превышала примерно 2%. [c.206]

Следует отметить, что ограничения, накладываемые на физическую систему такой моделью, не являются необходимыми с методической точки зрения. Возможны модификации метода Монте-Карло, позволяющие решать подобные задачи при любом соотношении начальных концентраций молекул и атомов инертного газа. В данном случае эти концентрации были взяты равными друг другу. Однако модель термостата обладает следую- [c.209]

Конкретная модель, принятая в описанных расчетах, соответствует так называемой элементарной теории диссоциации. В рамках метода Монте-Карло можно без принципиальных затруднений рассмотреть более совершенные модели. В значительной степени этот прогресс сдерживается отсутствием данных по сечениям химических реакций. С другой стороны, основной целью проведенного исследования являлось установление главных закономерностей нарушения максвелловского распределения молекул при интенсивных реакциях, протекающих в системе, и обратного влияния такого нарушения на скорость этих реакций. Выводы, полученные в результате выполненных расчетов, не зависят, по-видимому, от конкретных видов молекулярных моделей [55]. [c.213]

На рис. П.33 приведены результаты расчета тем же методом Монте-Карло для значения критерия Ре = 2,82. Для сравнения на тех же графиках приведены результаты расчета по однопараметрической диффузионной модели, т. е. при Ре = 0. Примесь импульсно подавалась равномерно по всей левой стенке реактора [c.107]

При большом числе плановых задач по определению оптимального способа организации работ и использования оборудования применяют имитационные модели, воспроизводящие экономические и производственные условия с помощью ЭВМ. Из методов статического моделирования применяют метод Монте-Карло, сетевые модели и др. [c.128]

На практике возникает большое количество плановых задач, где необходимо определить оптимальный способ организации работ и использования оборудования. В этом случае используется статическое моделирование, заключающееся в имитации экономических и производственных условий на ЭВМ путем воспроизведения элементарных явлений и актов процесса, в последовательности, отражающей реальные связи и взаимозависимости. Из методов статического моделирования используется метод Монте-Карло, сетевые модели. Содержание, назначение и методика составления последнего рассматриваются в главе ХН, 3. [c.89]

С другой стороны, величина а для разбавленного раствора может быть найдена и расчетным путем. В этом отношении хорошо зарекомендовали себя методы, основанные на положениях статистической термодинамики и использующие либо модели структуры раствора, либо модели межмолекулярного взаимодействия. При использовании последних связь между характеристиками меж.молекулярного взаимодействия и величиной а устанавливается по результатам численных расчетов, для проведения которых с успехом применяется так называемый метод Монте-Карло, являющийся одним из методов численного эксперимента моделирования на ЭВМ поведения изучаемой системы для заданной модели потенциала межмолекулярного взаимодействия и дающий практически точные результаты расчета. Поэтому в дальнейшем ограничимся рассмотрением одного из способов расчета коэффициента разделения а, в основе которого лежит использование метода Монте-Карло. [c.36]

В теории строения вещества в настоящее время достигнуты большие успехи и, как выше уже отмечалось, некоторые свойства индивидуального вещества можно предсказать, если известны параметры взаимодействия его молекул между собой, и, наоборот, эти параметры можно определить исходя из тех же свойств, если последние известны. Вследствие обычно имеющего место отличия характеристик реального межмолекулярного взаимодействия от предсказываемых моделью Леннарда — Джонса определяемые значения его параметров будут зависеть от выбранного свойства. Совершенно очевидно, что точность расчета величины а при этом должна быть выше, когда параметры межмолекулярного взаимодействия определяются исходя из свойств, наиболее близких к коэффициенту разделения по физическому смыслу — давлению насыщенного пара Р рассматриваемого компонента и его плотности рж в жидком состоянии на линии насыщения. Соответствующие температурные зависимости, полученные на основании расчетов методом Монте-Карло можно представить в виде следующих интерполяционных формул [c.38]

Для описания межмолекулярного взаимодействия в расчетах методом Монте-Карло использовали потенциал Роулинсона [343]. В модели Роулинсона (КШЬ) на атомах водорода воды располагаются положительные заряды, отрицательные заряды помещаются на линии, проходящей через атом кислорода перпендикулярно плоскости молекулы. Дипольный момент молекулы в этой модели равен 1,85 Д. Энергия связи димера воды 22,6 кДж/моль при равновесном расстоянии 0,269 нм. [c.122]

Рис. 3.12. Подробный расчет электронных траекторий для модели однократного рассеяния методом Монте-Карло в медной мишени, Ео=30 кэВ. Пересекающие поверхность траектории соответствуют отраженным электронам.

Последовательность столкновений для отдельного электрона изображена на рис. УП.З. В начальном положении электрон имеет энергию Ео и движется под углом 90° к поверхности бесконечно толстого слоя [8]. Первое рассеянне происходит на поверхности. Углы отклонения 0о и Фо, а также длина шага До вычислены по методу Монте-Карло. Построением множества моделей (точки 1, 2, п, п+1,. .., оо) получают распределение траекторий (см. рис. УП.2) и распределение поглощенной энергии, из кото- [c.216]

Эта модель, использующая зависимость глубины проникновения г от дозы излучения, дает возможность вычислить энергию Е в точке гелеобразования, зная дозу излучения в этой точке, и предсказать зависимость дозы в точке гелеобразования от ускоряющего напряжения что хорошо согласуется с экспериментом. Найденные значения т) также согласуются с величинами, вычисленными по методу Монте-Карло [12]. Таким образом, с помощью модели обратного рассеяния можно вычислить долю 00 в любой точке простой дополнительной модификацией плотности РМУ в виде /о(1 +ч)- [c.220]

Результаты, полученные с помощью аналитических моделей и метода Монте-Карло, хорошо коррелируют, из чего можно сделать несколько обобщающих заключений. [c.220]

Разложение Л. п. связано с разрывом не менее двух простых связей в одном цикле, в то время как для разложения. линейного полимера достаточно разрыва одной связи. Теоретич. рассмотрение возможных путей деструкции по закону случая карбоциклич. Л. п. и построение с использованием статистич. модели Монте-Карло кривых изменения мол. массы полимера во времени показали след. 1) полимеры с идеальной лестничной структурой должны быть более термостойки, чем полимеры, содержащие конденсированные полициклич. фрагменты, разделенные линейными участками 2) идеальный Л. п., построенный из шестичленных циклич. звеньев, должен быть более термостоек, чем Л. п., построенный из четырехчленных циклов 3) блоклест- [c.31]

Включс1М1е модели [23] в метод Монте-Карло проводится в следующем порядке. Каждая поверхность параметризуется введением оптических констант п к к для граней и углом распределения наклонов (Х ,= 1/с. При желании можно зафиксировать к -=п и рассчитать полусферическую отражательную сн собность шероховатой поверхности, далее использовать измеренное зна-чепио этой величины, чтобы таким обра.зом установить пик для данного о- В [24[ предлагается находить о на основе дополнительных измерений пропускательной способности щелевого канала. Когда в методе Монте-Карло при построении хода луча встречается стенка с фиксированными оптическими константами и параметром шероховатости о, необходимо получить еще три числа из генератора случайных чисел. Первое, назовем его Р), необходимо для установления а при помощи предварительно рассчитанных и подготовленных таблиц, занесенных в память компьютера (таким же образом используются представленные в табл, 1 2.9,1 доли анергии интегрального излучения абсолютно черного тела для нахождения длины волны) [c.483]

Добродумов А. В., Ельяшевич А. М. Имитация хрупкого разрушения полимеров на сетчатой модели методом Монте-Карло.— Физика твердого тела, 1973, т. 15, № 6, с. 1891—1893. [c.93]

При правильной реализации метод Монте-Карло позволяет получить точные, в пределах статистической ошибки, результаты для исходной модели межмолекулярных взаимодействий. Расчеты по этому методу имеют исключительную ценность для проверки аналитических теорий. Действительно, сопоставление теоретических результатов с опытом часто недостаточно для того, чтобы оценить качество самой теории. Причиной расхождений могут быть и нестрогости теории, и неточность исходной потенциальной функции, для которой проводились расчеты. В то же время сопоставление с результатами расчетов по методу Монте-Карло для той же потенциальной функции позволяет судить об адекватности именно теории, о заложенных в ней погрешностях. [c.206]

Чрезвычайно полезно использование метода Монте-Карло для проверки различных теорий, дающих приближенную статистическую трактовку той или иной модели. Сопоставление с опытом в данном случае часто непоказательно, так как трудно оценить относительную роль ошибок, обусловленных приближенным характером модели и приближенным сгюсобом обработки модели. В то же время метод Монте-Карло может дать строгий результат для рассматриваемой модели. Так, результаты, полученные по методу Монте-Карло для системы твердых шариков, послужили критерием оценки качества суперпозиционного приближения, интегральных уравнений Перкуса — Йевика, ги-перцепного и др. В настоящее время методом Монте-Карло исследован ряд систем с потенциалом взаимодействия Леннард-Джонса (в частности, жидкий аргон) и получены результаты, хорошо согласующиеся с экспериментом. Изучены некоторые системы, образованные частицами несферической формы, полярными молекулами, приведены расчеты для одной из самых сложных жидкостей — воды. Широко используется метод Монте-Карло для расчетов модели Изинга, рассмотренной в предыдущей главе, и других моделей. С развитием машинной вычислительной техники этот метод получает все более широкое применение. [c.395]

Для расчета молекулярно-массовых характеристик авторы [108] использовали метод, по существу эквивалентный подходу теории ветвящихся процессов. Область его применимости ограничена лишь решеткой Бете, для которой были вычислены а) точное значение статистической суммы и кривая сосуществования фаз б) средневесовая степень полимеризации и граница области гелеобразования. Характерной особенностью последней, как видно из рис. 1.29, является наличие максимальной температуры Гтах, выше которой геле-образование невозможно даже при ф = 1 вследствие слишком малого количества химических связей. Для всех типов растворителя, т. е. значений энергии Z7, имеется температура (лежащая ниже критической температуры смешения Гс), при которой линии сосуществования фаз и гелеобразования пересекаются. Если в интервале температур Гс < Г < Гтал система гомофазна (хотя при достаточно больших ф в ней может образоваться бесконечная сетка геля), то при 7 р<Г<Гс (см. рис. 1.29) происходит расслоение на две фазы. Они или обе содержат гель-фракцию (см. рис. 1.29, е), или обе не содержат ее (см. рис. 1.29, а) в зависимости от типа фазовой диаграммы. При Т <.1 только в одной из двух фаз, а именно в той, которая обеднена растворителем, образуется полимерная сетка геля. Фазовые диаграммы, качественно похожие на изображенные на рис. 1.29, получены путем расчета по методу Монте-Карло полимерной системы в рамках той же самой модели, но уже на трехмерной кубической решетке [109]. [c.187]

Эффекты исключенного объема, проявляющиеся на коротких расстояниях, могут быть объяснены с помощью блужданий конечного порядка. Такое блуждание порядка т определяется как не имеющее периода из т последовательных шагов, проходящих через любую точку решетки дважды. Описаны модели второго порядка [6, 7] при использовании метода так называемой матрицы переноса (или в математической терминологии — метод цепей Маркова ), Соответствуюшие модели блужданий второго порядка приобрели очень большую популярность в химии полимеров, будучи известными как модель поворотной изомерии . В таких моделях при Л — 00 и любом фиксированном порядке т сохраняются [8, 9] те же экспоненты у = 1 и V = 1/2. Исследования с помощью метода Монте-Карло показывают [10], как изменяется предэкспоне-нциальный множитель А в уравнении (2) в зависимости от т, и переход к различным экспонентам рекомендуется, если т считается сравнимым с N в пределе при N — оо. [c.484]

Модель с исключением объема лишь недавно была исследована с использованием эвристических соображений [32, 33], методов теории поля [34, 35], методов ренормализационной группы [36, 37] и выборки по методу Монте-Карло [38]. Найдено, что V = 0,6 для б/ = 2 и р = 0,5 или около того для <1 = Ъ [35, 38]. Первые оценки [37] для /3 и б дали 0,583 и 0,147 при (1=2. Таким образом, исключение объема вновь проявляется качественно. [c.489]

В работе Буайона и др. [37] реакция окисления СО на Р1 изучалась как возможная экспериментальная иллюстрация модели Такудиса и др. [191] (см. разд. 3.5.10). Результаты расчета этой модели способом Монте-Карло сравнивались с результатами расчета цифровым методом. [c.116]

Как видно из расчетов, проведенных методом Монте-Карло, электроны пучка в общем случае проникают на некоторое расстояние в твердое тело, прежде чем произойдет значительное число актов упругого рассеяния, в результате чего направление их движения изменится на обратное и они отразятся от объекта. Таким образом, выходящие отраженные электроны несут информацию о природе объекта, усредненную по глубине. Глубина, с которой переносится информация отраженными электронами, может быть оценена из экспериментов со слоистыми образцами [40] и с помощью расчетов [19]. Эта глубина гпстав-ляет приблизительно 0,3 от длины пробега, рассчитанной по модели Канайи — Окаямы. Из гистограмм глубин выхода отраженных электронов, полученных методом Монте-Карло (рис. 3.25), становится ясно, что эта глубина сбора информации не может быть точно определена с помощью одного числа, поскольку имеет место плавное распределение без резкой границы. Использование глубины выхода для получения информации на изображении сильно зависит от конкретной природы объекта. [c.57]

Силы структурного взаимодействия могут бх ть достаточно строго рассчитаны для простых жидкостей в рамках модели твердых сфер. Это удается сделать, применяя методы численного счета Монте-Карло или молекулярной динамики. Давление Р такой жидкости (обычно с леннард-джонсовским потенциалом межмолекулярных сил) на стенки плоской тонкой прослойки рассчитывается либо непосредственно, либо как производная от свободной энергии ансамбля молекул по ширине прослойки к. При этом предполагается, что тонкая прослойка находится в равновесии с объемной жидкостью, давление в которой равно Р . Тогда по разности Р Ь) — можно вычислить (за вычетом сил молекулярного притяжения Пт < 0) значение структурной составляющей расклинивающего давления П к) = Р К) — Р — П к) и построить теоретическую изотерму П (к) для простой жидкости [109, 163-165]. [c.228]

Начальная форма полипептидной цепи с участками вторичной структуры получена Танакой и Шерагой с помощью эмпирических правил и механико-статистической обработки однонитчатой модели Изинга. Аминокислотные остатки представлены в виде сфер основной цепи (-HN- H-С0-) и сфер боковых цепей определенных ван-дер-ваальсовых радиусов Из анализа 25 белков известной структуры найдены частоты контактов между всеми парами остатков [к и I) и для каждого типа пар определены константы равновесия Кц и свободная энергия Гиббса АСц образования контакта между остатками к и / Процедура поиска конформации белка состоит в следующем. На стадии А цепь представляется порядком символов /г, и с, характеризующих области правой а-спирали, -структуры н клубка. Остатки, идентифицированные с помощью предсказательного алгоритма, помечаются только одним символом h или ), а неотнесенные остатки - тремя (И, , с) Для свертывания цепи используется процедура Монте Карло при последовательном введении средних (этап В) и дальних (этап С) взаимодействий и произвольном варьировании значений углов ф. / в выбранных областях /г и у отнесенных остатков и символов Л, , с, а при каждом символе - значений углов ф, V у неотнесенных на этапе А остатков По ходу счета через определенные промежутки времени отбирались конформации, в которых отсутствует перекрывание жестких сфер [c.486]

Конформационные изменения решетчатой модели производились методом Монте Карло с различными относительными весами дальних и ближних взаимодействий и с вариацией соотношения между их специфическими и неспецифическими составляющими. Полученные результаты позволили авторам сделать следующие выводы феноменологического характера. Во-первых, решетчатая модель описывает равновесный переход свертывания и развертывания цепи как типичный двухфазный процесс (и, следовательно, полагают авторы, модель отвечает поведению реального белка) только при определенном соотношении между специфическими дальними взаимодействиями и всеми другими взаимодействиями. Во-вторых, скорость процесса свертывания и развертывания цепи существенно зависит от соотношения специфических и неспецифических взаимодействий. Специфические взаимодействия способствуют образованию у модели локальных нативноподобных структур, объединение которых, в конечном счете, приводит к искомой конформации белковой молекулы. Неспецифические взаимодействия ведут к созданию у модели менее стабильных, флуктуирующих состояний. Решетчатая модель представляет свертывание белковой цепи в нативную конформацию как процесс инициации и постоянного увеличения популяции нативноподобных локальных структур относительно популяции мигрирующих и распадающихся состояний структур развернутой цепи. При увеличении влияния неспецифических взаимодействий модель вырождается в статистический клубок, а при переоценке влияния специфических ближних взаимодействий - в [c.491]

Успехи и, одновременно, трудности моделей локального состава вызвали интерес к проблеме теоретической обоснованности этих моделей. Действительно, вывод ряда моделей локального состава нельзя признать теоретически вполне последовательным и ясным. Форма связи локальных и средних концентраций частиц в растворе (VII. 116) и сам способ ввода локальных составов в уравнения для могут рассматриваться в значительной мере как гипотетические. Для проверки основных положений моделей привлекался аппарат корреляционных функций и интегральных уравнений [2301, теория возмущений [2311, численное моделирование методами Монте-Карло и молекулярной динамики [2321. Результаты теоретического анализа и численных расчетов показывают, что основное предположение концепции локального состава о независимссти относительного различия локальных и средних концентраций Xj /Хг 1)/(- /- г) от состава, выражаемое уравнением (VII.116), в общем случае не выполняется. Найдено, что отношение (Xj 11x1 ) для смеси заданного состава зависит не только от параметров )iJ и как в модели Вильсона, но также и от параметра Сделан вывод, что модель Вильсона преувеличивает влияние энергетических различий на локальные составы и недооценивает фактор упаковки молекул в конденсированной фазе. Детальное обсуждение этих работ можно найти в монографии [1451 и обзоре [2331. Основное значение работ состоит в создании предпосылок для вывода более обоснованных полуэмпирических моделей растворов. [c.210]

Предсказание профиля резиста требует моделирования экспозиции и проявления. Для количественного описания распределения энергии в полимерном слое, помещенном на подложку, наиболее часто используется метод Монте-Карло. Он состоит в моделировании траектории электронов в системе резист — подложка на ЭВМ. Взаимодействие электрона со средой представляет собой ряд последовательных отражений, при которых происходит изменение направления движения электрона и потеря им энергии. В большинстве подходов используют модель с одним отражением, направление которого случайно. При этом предполагается, что направление движения электрона изменяется в результате его упругого отражения от атомного ядра, причем угол столкновения может быть вычислен из приближенных решений уравнения Шре-дингера, предложенных Борном [7]. Угловое распределение рассеянных электронов зависит от потенциала. Чаще всего используют потенциал Томаса — Ферми, рассчитываемый в предположении, что на движущийся электрон действует атомный заряд близлежащего ядра, величина которого корректируется с учетом электронной оболочки атома. Предполагается также, что между двумя упругими столкновениями электрон движется по прямой с длиной, равной среднему свободному пути, и теряет энергию. Потерю энергии электроном обычно рассчитывают в соответствии с приближением постепенного понижения (метод СЗОА) по уравнению Бете [c.216]

Для получения надежных статистических результатов прн использовании метода Монте-Карло необходнмо рассчитать траектории нескольких тысяч электронов, что требует большого машинного времени. По этой причине на практике для предсказания рассеяния электронов используют аналитические модели, в которых предполагается, что потеря энергии в результате рассеяния складывается из трех составляющих рассеяния под малым углом (РМУ) нз пучка в полимере, рассеяния под большим углом (РБУ) в подложке и обратного отражения (00) в полимере. Для определения РМУ в резисте используют две аналитические модели. Гринейх и Ван Дузер [10] построили свою модель на основе теории рассеяния Ленца, по которой угловое распределение рассеянных электронов определяется интегрированием уравнения Больцмана по всему пространству. В упрощенном подходе используют [c.217]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология