Водород волновое уравнение

Качественный анализ уравнения Шредингера для атома водорода. В связи с большими математическими трудностями точное решение уравнения Шредингера осуществлено пока только для наиболее простого атома — атома водорода. Волновое уравнение для атома водорода можно записать в виде [c.11]

Теперь, когда мы рассматриваем движение двух частиц в атоме водорода, волновое уравнение принимает вид [c.58]

V Главное квантовое число. Энергетические уровни. Согласно условиям квантования электрон в атоме может находиться лишь в определенных квантовых состояниях, соответствующих определенным значениям его энергии связи с ядром. Так, волновые функции, получаемые решением волнового уравнения для атома водорода, соответствуют только таким энергиям, которые задаются выражением [c.14]

Привести волновое уравнение Шредингера (не для запоминания), дать понятие о волновой функции i (пси), что квадрат этой функции есть вероятность нахождения электрона в данном объеме атома. При решении этого уравнения используется три квантовых числа (для атома водорода) и четыре квантовых числа для более сложных атомов. Так как при изучении темы Химическая связь нужно иметь представление о квантовых числах, то этот материал следует осветить наиболее полно и четко. Говоря о квантовых числах, наибольший упор сделать на пределы их изменений, за какие параметры электрона они отвечают, о скачкообразном изменении их и, соответственно, о скачкообразном изменении параметров, которые они отражают. [c.171]

Одно из главных достижений квантовой механики заключается в том, что существование дискретных уровней энергии автоматически вытекает из волнового уравнения Шредингера и не требует введения каких-либо дополнительных условий, к которым был вынужден прибегать Бор для атома водорода. [c.58]

Проблема, естественно, заключается в том, чтобы решить урав-ние Шредингера, составленное для атома водорода. До сих пор мы записывали уравнение Шредингера в форме [см. ур. (2-13), которая оказалась удовлетворительной для движения одиночной частицы с массой т. В атоме водорода две частицы электрон и ядро. Для такой системы волновое уравнение удобно записать в виде [c.58]

Общая энергия Е в волновом уравнении состоит из двух частей энергии трансляционного движения атома как целого и энергии электрона по отношению к протону. Интересной является именно последняя составляющая энергии. И опять возникает проблема разделения переменных. Для того чтобы получить желаемое уравнение, необходимо выделить и отбросить трансляционную составляющую общего волнового уравнения. Чтобы осуществить такое разделение, необходимо ввести новую систему переменных — х, у и Z, которые являются декартовыми координатами центра массы атома водорода, н переменных л, 9 и ф, которые являются полярными координатами электрона по отношению к ядру. Координаты центра массы системы в общем случае задаются уравнением [c.59]

Так как квантовые числа I, т и не вносят ничего в энергию электронного состояния, то все возможные состояния в данном) радиальном уровне энергетически равны. Это значит, что в спектре будут наблюдаться только единичные линии, такие, как предсказывал Бор. Однако хорошо известно, что в спектре водорода существует тонкая структура, изучение которой было толчком к развитию теории Бора — Зоммерфельда для атома водорода. Очевидно, что простая форма волнового уравнения не вполне адекватно описывает атом водорода, и, таким образом, мы находимся в-положении, лишь немного лучшем того, когда опирались на модель атома Бора. [c.70]

Одним из важных следствий электрон-электронного отталкивания является снятие орбитального вырождения, предполагаемого решением волнового уравнения для атома водорода. В то вре- [c.72]

Энергия связи находится при решении волнового уравнения Шредингера. В качестве примера рассмотрим молекулу водорода. Чтобы вычислить энергию связи двух атомов молекулы На, нужно определить их потенциальную энергию [/(Я) как функцию расстояния между центрами атомов. Эта энергия складывается из энергии кулоновского отталкивания ядер и энергии электронов Е(Я), которая зависит от расстояния между ядрами и поэтому входит в потенциальную энергию взаимодействия двух атомов. Искомая энергия равна [c.123]

Решение волнового уравнения дает плотность вероятности, характеризующую вероятность того, что электрон находится в данной малой области пространства. На рис. 2.9 показана вероятность обнаружить электрон на расстоянии г от ядра атома водорода в основном состоянии. Максимальная ве- [c.43]

Атом первого элемента в Периодической системе — водорода — обладает наипростейшим строением. Он состоит всего из двух частиц протона и электрона, — между которыми существуют лишь силы притяжения. Не случайно именно для атома водорода оказалась успешно применимой первая квантовая теория — теория Бора, и только для этого атома волновое уравнение Шредингера имеет точное решение. [c.292]

Так, волновые функций, получаемые решением волнового уравнения для атома водорода, соответствуют только таким энергиям, которые задаются выражением [c.21]

КВАНТОВЫЕ ЧИСЛА. Мы уже знаем, как возникла необходимость в четырех числах для описания любого электрона даже до появления волновой механики. В связи с этим следует отметить, что попытка решить волновое уравнение для водорода также требует введения четырех квантовых чисел п (основное, или главное, квантовое число), I (азимутальное квантовое число), т (магнитное квантовое число) и 8 (спиновое квантовое число). [c.16]

Одно из главных достижений квантовой механики заключается в том, что существование дискретных уровней энергии автоматически вытекает из волнового уравнения и не требует введения каких-либо дополнительных условий, которые был вынужден вводить Бор в его более ранней теории. Особенно удачным оказалось то обстоятельство, что в случае атома водорода, применительно к которому боровская теория полностью согласовалась с экспериментом, новая теория также привела к полному согласию с экспериментальными данными. В случае атома гелия теория Бора дала неправильные значения энергии новая же теория позволила вычислить их с той степенью точности, [c.29]

Метод изучения многоэлектронного атома уже обсуждался на стр. 28. Мы должны записать соответствующее волновое уравнение и затем решить его. Записать это уравнение легко (ом. гл. 3), но точно решить его, подобно тому как это было сделано для атома водорода, содержащего только один электрон, совершенно невозможно. Основная трудность заключается в том, что каждый электрон взаимодействует по кулоновскому закону со всеми остальными электронами поэтому движение любого выбранного электрона зависит от движения всех других электронов. Именно невозможность разделения переменных в уравнении Шредингера составляет основное затруднение в решении проблемы, но в то же самое время позволяет найти некоторый выход. [c.43]

Молекулярный ион водорода Нг . Запишем волновое уравнение для простейшей молекулы — иона водорода, в котором один электрон движется в поле двух фиксированных центров притяжения А я В (рис. 3.2). В этом случае [c.61]

Поскольку вариационный метод весьма важен, целесообразно иллюстрировать его примером. Правда, для выбранного примера волновое уравнение решается точно, и в сущности нет необходимости пользоваться приближенными методами. Рассмотрим атом водорода, гамильтониан которого имеет вид [см. (3.13)] [c.71]

Для описания положения электрона в атоме нужны три переменные, тогда волновое уравнение для атома водорода имеет вид (если считать ядро фиксированной точкой) [c.22]

В действительности волновое уравнение для атома водорода всегда записывается не в декартовых координатах х, у, г), а в полярных сферических координатах (г, 0, ф), [c.23]

Детальное изучение атомных спектров в течение первой четверти двадцатого века привело к выводу, что поведение электрона в атоме может быть полностью описано совокупностью из четырех квантовых чисел. Полное решение волнового уравнения для атома водорода привело к трем из этих квантовых чисел, совершенно идентичным соответствующим эмпирическим квантовым числам старой квантовой теории (за исключением некоторых деталей). Развитие теории показало необходимость введения четвертого квантового числа спинового квантового числа). Четыре квантовых числа определяют не только энергию электрона, но также и характер волновой функции, описывающей его орбиту — ее размер и форму. [c.32]

Хотя для более сложных атомов точное решение волнового уравнения невозможно, результаты, полученные для атома водорода, могут быть распространены и на такие системы при введении некоторых изменений. Для электрона в любом атоме оказались справедливыми следующие выводы [c.32]

Атом водорода. Для основного волнового уравнения двух взаимодействующих частиц было получено точное решение. Для более сложных систем точного решения волновых уравнений не найдено. В этих случаях применяются приближенные математические методы с использованием в качестве модели протона и электрона водородного атома. В основе этих приближенных методов лежит предположение, что решения для более сложных систем похожи на точное решение волнового уравнения для водородного атома. Для наших целей более важен тот факт, что чисто качественное обсуждение электронных взаимодействий в атомах и молекулах может вестись в духе использования водородоподобных функци . [c.108]

Многоэлектронные атомы. Поскольку волновые уравнения многоэлектронных атомов не решены, приходится обратиться к водородному атому, как к модели, чтобы получить приближенно более сложные решения для других систем. Предполагается, что каждый электрон описывается волновой функцией но форме, подобной функции, применимой к атому водорода. Так, два электрона гелия занимают 1х-орбиту, и каждый обладает различной спиновой функцией. [c.109]

Эти затруднения, по-видимому, имеют принципиальный характер. Точно так же как геометрическая оптика, не учитывающая явлений дифракции, принципиально не в состоянии объяснить существования предела разрешающей способности микроскопа. Указанные выше трудности можно преодолеть с позиций более широкой (универсальной) теории, а именно теории, основанной на теории волн вещества, так называемой волновой механики. Основы волновой механики заложены в 1924 г. де-Бройлем, а вскоре после этого (в 1926 г.) Шредингер использовал ее для построения теории атома водорода. В соответствии с этой теорией движение материальных частиц, например электронов, описывается волновыми уравнениями, совершенно аналогично тому, как в волновой теории света описываются световые лучи. [c.114]

Создание подлинно фундаментальной теории строения атомов оказалось возможным лишь после того, как было установлено, что элементарные частицы, в том числе и электроны, подчиняются законам не классической, а квантовой (волновой) механики. Решение волнового уравнения для системы, состоящей из протона и электрона, позволило получить точную количественную теорию атома водорода, находящуюся в полном соответствии с экспериментальными данными. [c.27]

Следует, однако, сразу отметить, что расчет атол а водорода —единственный пример задачи из области квантовомеханической теории атомов и молекул, для которой может быть получено точное решение волнового уравнения. [c.28]

Давно известно, что квантовомеханическое волновое уравнение Шредингера описывает все химические события. Однако до сих пор квантовая механика использовалась в химии только для качественного описания или в рамках очень грубых приближений, поскольку уравнения слишком трудно разрешимы (исключение составляют лишь простейшие молекулы типа Нг и Нг). Современные компьютеры коренным образом изменили положение. Сегодня они позволяют точно, без приближений, рассчитывать строение и устойчивость любых молекул, содержащих элементы трех первых периодов (углерод, азот, кислород, фтор) и, кроме того, различное число атомов водорода. Эта возможность дает химикам способ изучать многие ситуации, которые не могут быть исследованы [c.152]

Наиболее прост спектр атома водорода. Волновые числа линий в спектральных сериях водорода могут быть выражены уравнением [c.14]

Решения уравнения Шредингера, пригодные для описания поведения электрона в атоме, должны удовлетворять целому ряду требований (условие конечности и непрерывности волновой функции, однозначности решения и др.). В силу этих требований уравнение Шредингера можно решить точно лишь для очень простых систем, например для атома водорода. Волновые функции, для которых уравнение Шредингера имеет решения, удовлетворяющие необходимым требованиям, называются собственными функциями. Каждое из них описывает состояние (орбиталь), в котором в атоме могут находиться два электрона. Число решений указывает, сколько существует орбиталей с данной энергией. Орбитали определяются набором квантовых чисел п, I и т. [c.17]

Не составляет труда записать волновое уравнение Шрёдингера для атома лития, состоящего из ядра и трех электронов, или атома урана, состоящего из ядра и 92 электронов. Однако, к сожалению, эти дифференциальные уравнения невозможно решить. Нет ничего утешительного в том, что строение атома урана в принципе может быть найдено путем расчетов, если математические (хотя отнюдь не физические) трудности препятствуют получению этого решения. Правда, физики и физикохимики разработали для решения уравнения Шрёдингера множество приближенных методов, основанных на догадках и последовательных приближениях. Проведение последовательных приближений существенно облегчается использованием электронно-вычислительных машин. Однако главное достоинство применения теории Шрёдингера к атому водорода заключается в том, что она позволяет получить ясную качественную картину электронного строения многоэлектронных атомов без проведения дополнительных расчетов. Теория Бора оказалась слишком упрошенной и не смогла дать таких результатов, даже после ее усовершенствования Зом-мерфельдом. [c.374]

Какую роль играют граничные условия при решении волнового уравнения В чем заключается их физический смысл Какие граничные условия накладываются на решения задачи о колебаниях скрипичной струны Каковы граничные условия, накладываемые на решения уравнения Шрёдингера для электрона в атоме водорода [c.378]

О вероятностях. Даже если преподаватель решил не останавливаться на подробном обсуждении волнового уравнения Шрёдингера (как бывает, если решено не делать упор на молекулярные орбитали), можно ввести представление о квантовых числах как индексах атомных орбиталей и продемонстрировать взаимосвязь этих чисел с размерами, формой и ориентацией орбиталей. Если эти соотношения удается сделать понятными применительно к атому водорода, их распространение на многоэлектронные атомы обычно не вызывает затруднений у студентов. [c.574]

Следует отметить резкое отличие найденного результата от картины, наблюдаемой для частицы, движение которой описывается законами классической механики. Энергия классической частицы может принимать любые значения. Как видно из уравнения (I, 27), энергия частицы, для которой справедливы законы квантовой механики, может принимать только ряд строго определенных значений, характеризуемых целочисленным коэффициентом п. Таким образом, энергия электрона, движущегося относительно ядра, оказывается квантованной. При этом параметр п может быть отождествлен с главным квантовым числом атома в теории Бора. Введение главного квантового числа и предположение о квантовании энергии является одним из основных постулатов в теории Бора. В квантовой же механике это положение служит необходимым условием решения радиальной части волнового уравнения Шрёдингера. Поскольку в уравнении (1,27) п не может равняться нулю, то =5 0, т. е. минимальная энергия атома водорода отвечает значению п== [c.18]

Как отмечалось выше, уравнение Шрёдингера точно решается только для атома водорода, содержащего один электрон. Отдельный электрон в атоме, содержащем несколько электронов, находится под воздействием общего поля, создаваемого ядром и остальными электронами. Результирующее поле теряет сферическую симметрию, точное решение волнового уравнения становится невозможным н возникает необходимость в поисках приближенных решений. Наиболее эффективным приближением оказался метод самосогласованного поля (ССП), разработанный независимо английским физиком Д. Р. Хартри и советским физиком В. А. Фоком. Идея метода состоит в сведении мно-гоэлектронного уравнения Шрёдингера к одноэлектронному уравнению типа (П1.2) с использованием некоторого усредненного потенциала. Для этой цели берется набор заведомо приближенных АО и вычисляется средний потенциал, действующий на каждый электрон. Исходя из этого потенциала вычисляются новые более точные АО, которые, в свою очередь, дают улучшенные значения усредненных потенциалов. Такая процедура повторяется циклически вплоть до достижения самосогласования, т. е. состояния, в котором некоторый набор АО дает тот же потенциал, с помощью которого он был получен. Плодотворная идея ССП, созданного для многоэлектронных атомов, была с успехом перенесена на молекулы в рамках метода молекулярных орбиталей. [c.169]

Вычисления по методу самосогласованного поля Ха-ртри-Фока довольно сложны и громоздки. Кроме того, получаемые при этом атомные орбитали трудно интерпретировать, поскольку их находят в численной, а не в аналитической форме. Поэтому были предложены приближенные атомные функции, заданные в аналитической форме и представляющие собой по сути волновые функции одного электрона в центральном поле ядра с эффективным зарядом ге. Наибольшее распространение нашли функции, предложенные Дж. Слейтером в 1931 г. Они являются, в сущности, видоизмененными АО (атомными орбиталями) атома водорода [см. уравнения (38) и (39) и табл. 1]. Для всех орбиталей Слейтер предложил способ расчета предэкспоненциального множителя и в уравнениях (38) и (39)] и множителя в показателе экспоненты (1/Го и 1/2го в тех же уравнениях). Оба множителя целиком и полностью определяются величиной 2-8, где 5 — постоянная экранирования. Слейтер сформулировал также правила расчета постоянной экранирования для всех электронных структур. Расчеты по методу Слейтера гораздо более просты и наглядны, чем по методу Хартри-Фока, и дают вполне удовлетворительные результаты по крайней мере для орбиталей с главным квантовым числом, равным 1, 2 и 3. [c.98]

Далее можно ввести предположение об усреднении потенциала по всем направлениям в пространстве таким образом, получается сферически-симметричный потенциал У (г,) (здесь п уже не векторная величина). Эти два предположения позволяют найти волновые функции для сложных атомов в такой же форме, как и для атома водорода. Соответствующее уравнение Шрёдингера имеет вид [c.174]

Упомянутые здесь методы определения структуры до сих пор ие привели к особенно точным значениям электронной плотности, длин связей и валентных углов. Дело в том, что картина распределения электронной плотности показывает ложные подробности 1из-за обрыва ряда Фурье. Если структурные амплитуды F hkl) измерялись с помощью излучения с длиной волны X, то семейства плоскостей с dряда Фурье оказываются исключенными члены с межплоскостным расстоянием, меньщим, чем Х/2. Влияние этого обстоятельства на картину распределения электронной плотности вполне аналогично влиянию ограниченной разрешающей силы на образование изобра-)жения в микроскопе атомы видны в окружении дифракционных колец поочередно положительной и отрицательной электронной плотности, которые маскируют все подробности и смещают соседние максимумы. Один из методов исправления заключается в том, что рассчитывается не электронная плотность, а разность между последней и теоретической плотностью, получаемой суперпозицией плотностей изолированных атомо В в таких положениях, при которых эта разность минимальна. В качестве теоретических в индивидуальных атомах принимаются плотности, получаемые при приближенном рещении волнового уравнения. Поэтому разность плотностей можно использовать для уточнения атомных координат путем устранения ошибок, связанных с ограниченностью ряда окончательная картина должна обнаружить любые детали, не включенные в теоретическое распределение (например, атомы водорода). Другой метод увеличения точности, который можно более легко запрограммировать для вычислительных машин, заключается в систематической вариации атомных координат так, чтобы была минимальной величина типа [c.184]

Особенно большие успехи в этом направлении достигнуты Гримом, Колбом и Шеном [8]. Контуры линий водорода они рассчитали с учетом уширяющего действия электронов, тогда как статистическое уширяющее действие ионов они вычислили с помощью функции Эккера [9], учитывающей корреляцию ионов и экранирующее действие электронов. Цикл работ [10] по сопоставлению контуров линий водорода, излучаемых дугой и ударной трубкой, с теорией Грима, Колба и Шена выявил вполне удовлетворительное соответствие теории с экспериментом, показав тем самым справедливость этой теории и обосновав возможность надежного измерения плотности заряженных частиц в области концентраций от 10 до 10 uohI m . Нижняя граница измеримых концентраций определяется тем, что при температурах порядка 10 000° К и iV- <10 кок/сж форма линий водорода в основном определяется эффектом, Допплера, тогда как верхняя граница устанавливается областью применимости теории Грима, Колба и Шена. Это связано с тем, что при iV > 10 uohI m неприменимы как приближение, принятое при решении волнового уравнения Шредингера для атома водорода, возмущенного столкновением с электроном, так и распределение Эккера для статистических полей, создаваемых ионами. [c.6]