График решения дифференциального уравнения

График решения дифференциального уравнения [c.341]

Графики, изображенные на рис. У1П-3, могут быть получены экспериментально. Однако обычно их получают из дифференциальных уравнений системы как частное решение при ступенчатой входной функции. Исходя из природы математического изображения ступенчатой функции, основные уравнения системы обычно решаются (в том случае, если все [c.100]

Аналитическое решение дифференциального уравнения массопроводности в виде (11.74) имеется для простейших тел неограниченной пластины, неограниченного цилиндра, шара, архимедова цилиндра и куба. Функциональная зависимость представлена в виде бесконечных рядов. Для упрощения расчетов применительно к трем первым из перечисленных тел составлены графики, дающие возможность по критериям В1д и Род определить для каждого тела три представляющие наибольший для практики интерес безразмерные концентрации [c.277]

Для каждой из задач в предпоследней колонке таблицы дается ссылка м соответствующую схему рис. 3-2 под заголовком (тип задачи) и на графические результаты иод заголовком [графические результаты]. Во второй и третьей колонках помещены постоянные параметры и параметры, на которые наложены частичные ограничения, в известной степени характеризующие задачу. Параметры, на которые не наложено никаких ограничений, помещены в четвертой колонке. Графики построены в независимой системе координат, позволяющей представить реакцию на изменение параметров на входе ( реакцию нестационарности ) в виде зависимой переменной. Некоторые из приведенных в табл. 3-1 решений являются чисто аналитическими, наиример решения 7—10, 17, 18. Остальные были получены либо решением дифференциальных уравнений, представленных в конечных разностях, на вычислительных машинах (решения 3 и 4), либо на основании экспериментов с использованием методов электромеханической аналогии (решения I, 2, 5, б и 11—16). [c.59]

Очень важно понимать, что как задачи, так и алгоритмы имеют иерархическую структуру. Поясним с помощью примера, что мы имеем в виду. Решение дифференциального уравнения часто удается получить в виде интеграла или ряда. Затем возникает задача вычисления полученного интеграла (или ряда). Ее решение может иметь вид формулы или итерационного процесса. Для получения окончательного результата — числа, таблицы, графика или программы для компьютера — требуется ручной или машинный счет или программирование. В рассматриваемом примере участвуют задачи трех разных уровней. Верхний уровень — решение дифференциального уравнения. Следующий уровень — вычисление интеграла или ряда. Самый нижний уровень в этом примере — получение численных результатов. Можно надстроить еще один уровень — сведение физической (лучше сказать, прикладной) задачи к дифференциальному уравнению. [c.62]

До сих пор мы исходили из постоянного коэффициента сопротивления для выведения кинематических величин при движении частицы. Это справедливо только для частиц, имеющих острую грань обтекания. Для округленных частиц у которых коэффициент I зависит от числа Рейнольдса, интегрирование дифференциальных уравнений затруднительно, так как есть еще одна переменная, а именно коэффициент зависящий от числа Рейнольдса. Эта зависимость выражена в виде таблицы или графика (рис. 4 и табл. 2). Аналитические выражения, выведенные различными авторами, относящиеся к определенным областям чисел Р нольдса, сложны, и решение дифференциальных уравнений движения в этом случае затруднительно. Очень простое решение возможно при использовании зависимости Стокса для коэффици- [c.21]

Стохастические модели популяций. Рассмотренные нами выше модели популяций были детерминистическими. Однако в реальной жизни система может подвергаться случайным воздействиям, что связано с флуктуациями численности видов или значений параметров системы. Кроме того, сами процессы размножения и гибели, по сути, носят вероятностный характер. При большом числе особей детерминистическое описание совпадает со стохастическим, т. е. данные о численности видов, полученные при решении дифференциальных уравнений, совпадают с соответствующими математическими ожиданиями. Однако учет стохастического характера экологических процессов становится особенно важным при небольших размерах популяций. В этом случае среднее квадратичное отклонение численности отдельно взятой популяции от математического ожидания может быть довольно значительным. Это приводит к тому, что при рассмотрении какой-либо определенной популяции график роста обнаружит значительные колебания, характеризуя тем самым флуктуационную изменчивость данного процесса и его отклонение от теоретических кривых (фазовых траекторий), задаваемых детерминистической моделью. Пусть, например, в некоторой точке фазовой траектории модели хищник-жертва какая-либо переменная (хг) не очень велика, тогда случайные флуктуации могут привести к тому, что изображающая точка уйдет с фазовой траектории на одну из осей (ось Хг), т.е. численность одного из видов (вид хг) обратится в нуль, а вид (хг) вымрет. Таким образом, стохастическая модель предскажет в конечном счете вымирание одного из видов. Подчеркнем еще раз, что эти эффекты проявляются при небольших численностях популяций. [c.63]

Следующей леммой устанавливается, что график решения у(. ) уравнения (31) не может иметь высоких пиков , то есть при достаточно малом и не зависящем от радиусе 8 окрестности точки величина у(. ) не может с обеих сторон от принимать слишком малые по сравнению с I у ( о) I значения. Доказательство этой леммы по своему характеру близко к доказательству известных дифференциальных неравенств С. А. Чаплыгина. [c.276]

В печах для термической обработки часто задается нагрев с определенной скоростью повышения температуры поверхности металла, например 100° в час. Это значит, что температура поверхности металла должна изменяться по прямой. В этом случае задача заключается 1) в определении времени нагрева центра тела путем теплопроводности и 2) в определении температуры печи, необходимой для осуществления заданного графика нагрева поверхности. Математически задача сводится к решению дифференциального уравнения теплопроводности при следующих краевых условиях 1) температура тела в начале нагрева по всему сечению равна нулю 0 = О и 2) температура поверхности изменяется со скоростью к град час, т. е. — fe т. [c.46]

После интегрирования уравнения скорости выражение интеграла может оказаться настолько сложным, что не удастся определить константу скорости реакции по экспериментальным данным построением любых графиков. В таких случаях легче обрабатывать опытные данные при помощи дифференциальных уравнений. Рассмотрим, например, уравнение (И,65). Предположим, что мы располагаем в качестве экспериментальных данных зависимостью Лг, от времени. По этим величинам можно рассчитать производную йп (И. Если два ряда данных (1П(,1(И, П), и t) подставить в дифференциальное уравнение, можно определить неизвестные и 2, решив полученную систему уравнений. В настоящем примере числовое решение найти нелегко, но оно все же может быть получено методом последовательных приближений [уравнение <ХП 17), стр. 390]. [c.75]

Аналитические решения вида (6.95) дифференциального уравнения теплопроводности имеются для неограниченной пластины, бесконечно длинного цилиндра и шара , причем даже для этих простейших случаев функциональные зависимости представляются в виде бесконечных рядов. Для упрощения расчетов применительно к перечисленным трем случаям составлены графики, позволяющие по критериям В и Ко определять представляющие наибольший интерес для практики безразмерные температуры [c.155]

В случае, если на валу закреплена лишь одна сосредоточенная масса, то корни и частотного уравнения можно определить, решив дифференциальное уравнение (24.21) по методу акад. А.Н. Крылова. На рис. 24.12, а, б для ускорения практических расчетов по формулам (24.24), (24.25) приведены результаты этого решения в виде графиков [c.697]

Основным условием использования Сводки решений (табл. 3-1) и связанных с ней графиков является понимание значения использованных безразмерных параметров. Так как известна совокупность определяющих дифференциальных уравнений и граничных условий [Л. 2], то можно установить достаточную систему безразмерных параметров чисто формальными методами. Действительно, существует много подобных систем, обратимых одна в другую. Конкретные параметры, выбранные для системы, имеют следующие преимущества 1) их легко понять и дать им наименование [c.59]

Решением системы дифференциальных уравнений (4), характеризующих процесс синтеза в адиабатическом слое катализатора, на электронной счетной машине ин-14, найдена зависимость температуры от количества превращенной окиси углерода по длине слоя от условного времени контакта. Графически найденная зависимость представлена на рис. I. Этот график позволяет легко найти основные характеристики по - [c.94]

Чтобы найти решение при х = 1, в формулу для g (с) вместо аргументах подставляют его числовое значение и получают = 1,648721. Однако получить функцию, удовлетворяющую заданному уравнению и начальному условию, в аналитическом виде удается лишь в очень редких случаях. В общем случае надо найти значение функции я (г) в точке х = 1 (и, разумеется, при всех других интересующих нас значениях х). Таким образом, численные методы дают рещение дифференциальных уравнений не в виде аналитических функций, а в виде набора заданных значений х и соответствующих им приближенных значений у. Откладывая значениях и у на диаграмме, по этим данным можно построить график искомой функции. [c.218]

Прямые измерения температуры, которая в керне достигает значений не менее 2800 °С, в агрессивной среде печи практически невозможны. Поэтому для исследования условий формирования теплового поля печи была разработана математическая модель, основанная на дифференциальном уравнении теплопроводности с внутренним источником тепла и алгоритме его численного решения конечноразностным методом при разбиении всего объема печи на элементарные объемы. Параметрами модели являются геометрические характеристики печи и схема ее загрузки, график ввода электрической мощности, теплоемкость и теплопроводность футеровки печи и каждого компонента ее загрузки, коэффициенты теплоотдачи в окружающую среду. Электрические и тепловые характеристики задаются в виде коэффициентов полиномов, аппроксимирующих соответствующие временные и температурные зависимости. [c.106]

Было получено несколько точных решений для работы неподвижного слоя, где диффузия является фактором, ограничивающим скорость. Во всех случаях изотерма равновесия принимается как линейная. В настоящее время наиболее полная обработка была дана Розеном [П], который учитывал как внутреннюю, так и внешнюю диффузию. Им было выведено интегрально-дифференциальное уравнение, которое затем было решено аналитическим путем. Решение это исключительно полезно, но крайне трудно поддается вычислению. Пользуясь быстродействующей вычислительной машиной, Розен сделал вычисления для широкого интервала параметров [12]. Свои результаты он представил в виде таблиц и графиков. [c.224]

В табл. 26 приведен механизм модельной вырожденно-разветвленной реакции, дифференциальное уравпение для накопления промежуточного продукта, формула, описывающая кинетику накопления продукта, график скорости накопления Р и кинетика его накопления. При решении соответствующих дифференциальных уравнений принимается, что начальная скорость зарождения цепей Wg очень мала по сравнению со скоростью вырожденного разветвления цепей в развившейся реакции и там, где это возможно, может быть заменена на [Р] = WJk или (РГо/ зЮН]) ". [c.135]

Вторая производная от функции представляет собой просто скорость изменения наклона при изменении независимой переменной. Если наклон функции не постоянен, графиком функции является кривая значение d -y/dx-является при этом мерой кривизны решения. Вследствие этого дифференциальное уравнение второго порядка можно рассматривать как выражение кривизны его решений, подобно тому как дифференциальное уравнение первого порядка может рассматриваться как выражение наклона его решений. [c.29]

Рис. 53. Графики решения системы дифференциальных уравнений (9) ва ЭВМ Наири для Со = 2-10 моль тс/моль ПВХ при f i = 1,2 X хЮ 6 и различ-

При малых е ФО решение (10.70) близко к Тдрос всюду вне -окрестности точки = 1. В окрестности точки = 1 график изменения температуры резко изгибается, чтобы наклон кТ/сК, = у сменился на величину dT d( = ТН, соответствующую краевому условию (рис. 10.5). Такое поведение решения объясняется образованием у подошвы залежи теплопроводного пограничного слоя и характерно для решений дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной (как в уравнении (10.68)). [c.329]

Обтекание пластинки с теплообменом и без теплообмена изучалось также для чисел М до 10 и л = 0,76 [54], для М до 3,16 при Рг = 0,733 и и = 0,768 [53], при Рг = = 0,725 и п=1,5 1,0 0,75 0,5[48], при Рг=1 и произвольном п и при произвольных числах Рг и п = 1 [56], при Рг = 0,7б и и = 0,89 [57], при Рг = 0,75 и зависимости вязкости от температуры по Сэзерленду [58[. Особенный интерес представляют результаты работ [59, 60]. В первой из них данные для трения и теплоотдачи получены с учетом действительного изменения свойств воздуха от температуры для широкого диапазона чисел М от 1 до 20. Во второй работе расчеты трения и теплопередачи по уравнениям газодинамического пограничного ламинарного слоя проведены при помощи счетных машин для решения дифференциальных уравнений. Расчеты охватывают числа М от 1 до 20 с учетом изменения с температурой вязкости, числа Рг и других п араметров воздуха на основе экспериментальных данных до 1000° К и при температурах от 1000 до 1700°К, — на основе расчетов по кинетической теории газов. В области высоких температур воздух предполагался диссоциированным, исходя из чего учитывалось и влияние диссоциации на изменение свойств воздуха с температурой. Результаты подобного рода расчетов даны в виде таблиц и графиков. Из них видно, что при больших [c.265]

Рассмотрено решение дифференциальных уравнений неизотермической абсорбции на аналоговой электронно-вычислительной машине. Результаты решения представлены в виде графика, на котором изображена заии-симость между концен-ррацией жидкости, ее температурой и числом единиц переноса. Значения с графика снимаются посредством специального транспаранта. [c.125]

Решение дифференциального уравнения (19) с учетом исходных данных и при задании начальных условий (18) выполнено численными методами (5). Результаты расчетов приведены на рис. 1 и 2 в виде графиков. Как показали расчеты, темпы снижения пластовых давлений в обоих пластах сильно отличаются. Первый пласт, обладающий лучшей продуктив- [c.149]

Важный вопрос о соответствии значений констант скоростп реакций эксперпментальным данным вынесен в этой главе в упражнения. Сделано так потому, что, с одной стороны, этот вопрос относится скорее к области чистой, чем прикладной кинетики, и, с другой стороны, его решаюш,ее значение для всей проблемы расчета химических реакторов не вызывает сомнений. Если кинетические зависимости изображаются прямыми линиями, как на логарифмическом графике для реакции первого порядка в упражнении У.2, то оценка точности найденных значений констант скорости реакций может быть получена из отклонения экспериментальных данных от прямой линии, наилучшим образом оиисываюш ей ход процесса. Если дифференциальные уравнения, описывающие систему реакций, должны с самого начала интегрироваться численно, то провести оценку значений констант скорости и их точности значительно труднее. В простейших случаях уравнения можно решать с помощью аналоговой вычислительной машины, где константы скорости представляются переменными сопротивлениями. Эти сопротивления можно изменять вручную, пока не будет достигнуто наилучшее возможное соответствие между расчетными и экспериментальными данными. Если решение проводится на цифровой вычислительной машине, следует использовать метод проб и ошибок. Предположим, [c.116]

При t = О все точки кривой (л ), для которых s имеет значения, большие и меньшие i = 1 — 5 , где остаточная нефтенасы-щенность, начнут перемещаться в пласте, как следует из (8.17), со скоростями, пропорциональными/ (i). Поэтому если известно f (s) для каждого значения s, то известна и скорость каждой точки движущейся кривой s(x). Как видно из рис. 8.2,6, кривая f (s)-ue монотонная функция, а имеет максимум в точке П. Это означает в соответствии с (8.17), что на движущейся кривой i(x) некоторые промежуточные значения насыщенности будут перемещаться быстрее, чем значения насыщенности большие или меньшие. И спустя определенный промежуток времени после начала вытеснения форма профиля насыщенности будет иметь вид, подобный графику f s) на рис. 8.4. Из рисунка видно, что для любого значения х насыщенность становится неоднозначной (имеет три различных значения). Такое положение физически невозможно и, следовательно, начиная с этого момента времени, невозможно непосредственное применение уравнения (8.18). Это заставляет нас вспомнить, что уравнения, описывающие совместное течение воды и нефти, были получены при подразумеваемом предположении, что решение для профиля насыщенности-непрерывная и гладкая функция X и г. Поэтому дифференциальное уравнение (8.12) не применимо в области, где профиль насыщенности или тангенс угла его наклона (т. е. os/ox) терпит разрыв или имеет скачок. [c.235]

Преимущества графических методов. Каждая из перечисленных диаграмм (Найквиста, Бодэ и Эванса) может быть вычерчена исходя непосредственно из дифференциального уравнения, без проведения полного решения, необходимого для определения переходной характеристики. Одинаковые формы линейных дифференциальных уравнений всегда дают графики одного вида, независимо от природы системы, для которой они построены. [c.104]

Б случае, если на валу закреплена лишь одна сосредоточенная масса, то корни а и частотного уравнения можно определить, решив дифференциальное уравнение (3,21) по методу акад. А. Н. Крылова [18]. На рис. 3.12, а, б для ускорения практических расчетов но формулам (3.24), (3.25) приведены результаты этого решения в виде графиков = гПэ, 1 гПц1- -/ 1 для консольного и 1 = / / а. пр/(" л )1 ДЛЯ однопролетного валов, где Шз.пр —масса закрепленных на валу элементов, приведенная у однопролетного вала к его середине и у консольного вала к краю его консоли. [c.168]

Уравнение Шрёдингера—это дифференциальное уравнение, и его решения сами представляют собой уравнения, но уже не дифференциальные, а простые, и для них можно построить графики. Эти графики служат трехмерным изображением электронной плотности и называются орбиталями или электронными облаками. Большинству студентов известны формы 5- и р-атом-ных орбиталей (рис. 1.1). Каждая р-орбиталь имеет узловую [c.15]

Рассмотрение графика позволяет также определить границу применимости классического дифференциального уравнения теплопроводности Фурье, решение которого для случая плоской поверхности представлено на графике в виде прямой сплошной линии. Как следует из графика, экспериментальные значения Мпэф весьма близки к расчетным по (2), (6) при значениях Роэф>0,2-=-0,3. Для цилиндра диаметром 4 мм соответствующее значение Роэф равно 0,5—0,6. [c.7]

Для расчета параметров, используемых при выводе на экран изображения траекторий, выбран несколько другой, чем в программе КИНЕТИКА , путь. Сначала вызывается подпрограмма 5000 для решения системы дифференциальных уравнений, причем исходный интервал делится на 1000 частичных интервалов (N1 == 1000). Заранее установлено, что такого количества частичных интервалов достаточно, чтобы решение имело 3 верные значашие цифры. После окончания вычислений на каждом частичном интервале в строке 5760 вызывается подпрограмма для вывода графической информации. Значения переменных А, Е и N1 выбраны такими потому, что решение системы дифференциальных уравнений требует значительно больше времени, чем вывод соответствующего графика на экран. [c.349]

В ряде случаев решение системы дифференциальных уравнений не может быть получено в аналитической форме, и тогда используются приближенные численные методы. Этот подход в последние годы широко развивается в связи с появлением и актив-ньгм применением в химической кинетике ЭВМ, которые позволяют исследователям решать задачи, ранее неразрешимые ввиду математических сложностей. Однако в методологическом плане химико-кинетическое исследование сохраняет свою логику и при напользовании ЭВМ. Отличие заключается лишь в том, что в случае ЭВМ решение получается не в виде уравнения, связывающего переменные и параметры системы, а в виде функции, заданной таблицей или графиком. [c.7]

Калибровочные графики строились в координатах Ср —D и были рассчитаны на основании экспериментальных данных методом наименьщих квадратов. Для расширения предела определяемых концентраций использован метод двусторонней дифференциальной спектрофотометрии. Решением системы уравнений выявлен следующий вид калибровочной кривой у = -0,576+ + 1,1083Х. [c.77]

Следует упомянуть о теоретически найденной зависимости для скорости (шльтрования с учетом сжимаемости осадка и фильтровальной перегородки 27]. Эта зависимость выражена в виде безразмерного дифференциального уравнения, которое решается точно с помощью вычислительных машин и приближенно путем разложения в биноминальный ряд. На основе точного решения дан график в координатах Рф.пЩ]—А, где Д — расхождение в процентах в толщине осадка, рассчитанной с учетом и без учета сжимаемости. Из графика следует, что расхождение возрастает по мере уменьшения отношения (1——г), где г — показатель сжимаемости перегородки. [c.42]

MnepaTypa реакции изменяется во времени по заданной программе T t). Это вызывает изменение константы скорости k химической реакции, которая связана с температурой зависимостью k T). Следовательно (П1,84)—линейное дифференциальное уравнение с переменным коэффициентом к. Требуется найти решение этого уравнения на аналоговой машине в виде графика функции Са = С а(0> т. е. изменение концентрации реагента А в процессе реакции. [c.129]

Для того чтобы сделать возможный определение коэффициентов внутренней диф узии, когда последние маскируются внешней диффузией, а также для описания диффузии в неоднородной среде, автором был предложен новый подход к описанию процессов диффузии /5/, заключающийся в теоретическом вычислении связи среднего времени десорбции с коэф циентами диффузии в ионите и растворе, размером частиц ионита, толщиной эффективного диффузионного слоя в растворе на границе с частицей и другими параметрами. Для экспериментального определения среднего времени десорбции X, как легко видеть, должна быть вычислена площадь на графике зависимости -5 1 от времени, где а(0) - начальное количество ионов в зерне ионита перед десорбцией < )- количество ионов, оставшихся к моменту времени t после начала десорбции. (Начальное распределение ионов предполагается равномерным). Для теоретического вычисления X можно использовать два метода решение уравнения для среднего времени достижения границы, либо метод стационарного потока. Оба метода приводят к решению обычного дифференциального уравнения (в то время как для определения хода кинетики сорбции или десорбции требуется решение более сложного уравнения.в частных производных). Методом стационарного потока эта задача была решена в работе /б/. Здесь мы дадим более простой вывод. Представим себе стационарный процесс диффузии, при котором по всему объему сферической частицы ионита вводятся ионы (а ионов на I см /сек), которые поглощаются на внешней стороне диффузионной пленки. Распределение концентрации тяоъ(с) описывается тогда [c.41]

Рис. 52. Графики решения системы дифференциальных уравнений (3) на ЭВМ Наири для Со = 2-10- моль ТС/лоль ПВХ (а) и с = 1-Ю моль ТС/лмль ПВХ (б) при f i = l-10 б сек-1 и различных [в моль ПВХ/(моль сек i)l

На рис. 54 показаны графики машинного решения систем дифференциальных уравнений (11) и (12) — варианты III й IV — в зависимости от 3 и /Сз, количественно характеризующих меру воздействия П или ТС на реакцию дегидрохлорирования ПВХ. Как и ранее, здесь приведены кривые только для тех к , начиная с которых скорость накопления полностью определяется значениями к и к kl). Видно, что кривые накопления П и расходования ТС отличаются от соответствующих кривых, приведенных на рис. 52 и 53. В случае варианта III кривые накопления П имеют вид, характерный для автокаталитической реакции. В случае варианта IV скорость накопления П падает по мере превращения ТС. После полного израсходования ТС выделение свободного НС1 идет с константой скорости к (вариант IV), либо = / 1 + kg g (вариант III). [c.233]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология