Лагранжа определение

Согласно методу Лагранжа (определение максимума при дополнительных условиях) следует к функции, экстремум которой определяется, добавить уравнения, описывающие эти условия, умноженные на постоянные (а и р), и находить экстремум построенной таким образом функции Ф. При этом вместо W удобно ввести п , функцию, растущую с W. [c.146]

Поскольку решение уравнений Эйлера — Лагранжа само по себе неустойчиво, нужно непрерывно решать систему уравнений для существующих в реакторе условий и рассчитывать новый путь до того, как предыдущ,ий достиг своей точки отклонения. Учитывая, что для определения условий работы реактора и его системы управления требуется 14 уравнений, при современной [c.120]

Аналитический метод оптимизации предусматривает аналитическое задание соответствующих функций и определение производных от них. На значения переменных, однако, могут накладываться ограничения, связанные с конструкцией, характером работы, стоимостью и т. п. В случае наличия таких ограничений, касающихся переменных величин, полезным может оказаться хорошо известный в математике метод множителей Лагранжа, [c.362]

Для решения экстремальной задачи уровня Л,- — задачи определения оптимального варианта резерва ХТС — используют метод неопределенных множителей Лагранжа (см. раздел 8.2.2). [c.226]

Вследствие определения функции Лагранжа [c.318]

Заметим, что многочлен Лагранжа, построенный по этим же точкам, совпадает с многочленами Ньютона. Следовательно, если дана га + 1 узловая точка, то независимо от способа построения многочлена степени не выше п проходяш его через заданные точки, последний определен однозначно в пределах ошибок округления. [c.308]

Протекание одной или нескольких побочных реакций, приводящих к потере сырья, значительно усложняет проблем технической оптимизации. Основной причиной этого является необходимость использования более чем одной переменной концентрации для определения состава смеси и применение нескольких взаимосвязанных уравнений материального баланса. К математическому аппарату, посредством которого можно решить задачу оптимизации, относится способ множителей Лагранжа (см. стр. 223). [c.216]

Величины и Ср можно рассчитать по известному составу на входе п по материальным балансам можно также оценить целевую функцию М (с дг, т) для этого неоптимального каскада. Далее для определения направления изменения основных переменных должны быть известны частные производные функции М или. . . т ,,. . . Т[см. уравнение (VI.19)] при ранее принятых условиях. С целью нахождения этих производных применяют способ. Лагранжа в виде уравнений ( 1,24) и (VI,25). Из этой системы уравнений определяют величины Рп т которые затем под- [c.233]

Параметрические методы доопределения системы моментных уравнений, несмотря на их очевидность и логическую простоту получения решения, базируются на очень сильном исходном предположении о виде искомого распределения, которое обычно выбирают волевым методом. Этот недостаток в выборе доопределяющих уравнений можно устранить, если воспользоваться непараметрическими методами интерполяции для определения связей между целыми и дробными моментами на интервале времени и, Переходя к безразмерным переменным при помощи нормирования всех моментов на их значения в начале интервала, запишем интерполяционный полином Лагранжа [120] для оценки дробного момента в виде [c.103]

Классические методы решения экстремальных задач. К числу классических математических методов определения экстремума функции многих переменных относятся 1) метод поиска оптимума путем решения системы нелинейных уравнений, полученных при приравнивании нулю частных производных минимизируемой функции по оптимизируемым параметрам 2) метод неопределенных множителей Лагранжа. В математическом плане оба метода достаточно хорошо известны, поэтому основ- [c.122]

Определение экстремальных точек функции многих переменных для весьма важного случая наличия дополнительных связей между оптимизируемыми параметрами может быть осуществлено с использованием классического математического метода множителей Лагранжа. Пусть имеем функцию цели хг, Хп), экстремум которой требуется найти, причем имеют место дополнительные условия [c.124]

Для определения множителей Лагранжа X, ц получим систему уравнений (где Я, > 0) [c.224]

Практическое применение метода допустимых состояний связано с определенными трудностями. При решении локальных задач (У.181) допустимая область параметрически зависит от и меняется. Поэтому трудно определить начальные точки поиска. Кроме того, решение задачи координации (У.182) возможно только с помощью безградиентных методов (см. разд. У.3.1, У.З.2). Эти трудности можно преодолевать путем применения метода декомпозиции на основе модифицированной функции Лагранжа. [c.227]

Следовательно, метод декомпозиции на основе модифицированной функции Лагранжа при определенных условиях обладает свойствами других методов нелинейного программирования. [c.228]

Преобразования у х) (р), определенные с помощью приведенных уравнений, называются преобразованиями Лежандра. V (р) — результат преобразования Лежандра функции у х). Преобразования Лежандра являются частным случаем преобразований прикосновения. Они встречаются в классической механике при переходе от формулировок Лагранжа к формулировкам Гамильтона. Важными для нас являются следующие свойства. [c.88]

Метод штрафов . Если метод множителей Лагранжа можно трактовать геометрически как метод касательных (к границе Л) плоскостей, а метод уровней — как метод соприкасающихся сфер (или эллипсоидов), то традиционный метод штрафных функций можно назвать методом соприкасающихся параболоидов. В этом методе решения задачи (IV,1), ( ,3), (IV,5) рассматривается следующее однопараметрическое семейство определенных на Л функций [c.150]

Применяя метод множителей Лагранжа, сведем задачу к определению экстремума функции [c.77]

Уравнения сопряженного процесса в общем случае получаются с помощью обобщенной техники множителей Лагранжа. Существенное внимание при этом уделяется определению структурной характеристики указанных уравнений (топологической структуры сопряженного процесса), посредством которой удается представить систему уравнений сопряженного процесса в более обозримом виде, удобном для практического использования. [c.142]

Подставляя это значение Е ъ д условий (И,83), получим уравнения для определения множителей Лагранжа [c.40]

Для определения координат оптимума (для определенности будем находить максимум) решаем задачу методом множителей Лагранжа [c.100]

Для определения стационарных точек функции Ф(а), переменные которой связаны условием Р](а) =0 ( = 1, 2,..., т), применяют метод множителей Лагранжа. [c.218]

Для решения задачи I уровня оптимизации—для определения оптимального варианта поэлементного резервирования — используется метод неопределенных множителей Лагранжа, отличающийся от других возможных методов (наискорейшего спуска, динамического программирования и других) сравнительной простотой реализации на ЭВМ. Для решения задачи II уровня оптимизации— выбора оптимальной величины надежности БТС — применяется метод сканирования по ряду предварительно задаваемых значений надежности системы. Математической моделью, устанавливающей влияние изменений в технологической топологии БТС за счет ввода резервных элементов на величину ее надежности, является параметрический граф надежности (п. г. н.) [c.174]

В настоящее время для решения оптимальных задач применяют в основном следующие методы 1) методы исследования функций классического анализа 2) методы, основанные на использовании неопределенных множителей Лагранжа 3) вариационное исчисление 4) динамическое программирование 5) принцип максимума 6) линейное программирование 7) нелинейное программирование. В последнее время разработан и успешно применяется для решения определенного класса задач метод геометрического программирования (см. главу X). [c.29]

Лагранжев коэффициент корреляции. / /,L(T) между двумя значениями скорости газа на интервале времени т при однородной турбулентности по определению равен ч [c.88]

Задачи определения оптимальных управлений системами с закрепленными и свободными концами траекторий относятся к классическим вариационным задачам Лагранжа, Больца и Майера [381. Применение решений этих задач может встретить трудности, если управление описывается кусочно-постоянной функцией. Моменты переключения при таком управлении удобно находить на основе принципа максимума, сформулированного Л. С. Понтрягиным в 1956 г. 1421. [c.228]

Легко видеть, что система (15а — 15в) является дискретным аналогом уравнений Лагранжа — Эйлера. Система (15а — 15в) является разностной системой уравнений. Зная значение переменных % , и , можно при помощи уравнений (15а — 15в) подсчитать значения и т. д. Правда, необходимо отметить, что для определения М приходится постоянно решать систему линейных алгебраических уравнений. [c.31]

При выводе формулы (6) целесообразно воспользоваться уравнением (3), а не предельным соотношением (5), и, кроме того, ввести переменные Лагранжа [ ]. Пусть отдельные частицы произвольного континуума К характеризуются тремя параметрами ддд определенности предположим, что — пространственные координаты частиц континуума К в некоторый фиксированный момент времени д. При этом координаты любой частицы af в произвольный момент времени о задаются функциями 1), которые предполагаются однозначными и по крайней мере дважды непрерывно дифференцируемыми по каждой из своих переменных [c.537]

Действительно, легко проверить, что приращение А Р по членам второго порядка содержит положительно. определенную квадратичную часть, зависящую от диссипации, а линейные члены взаимно уничтожаются, как в приведенных примерах. Следовательно, функционал Г, заданный уравнением (10.86), пригоден в качестве локального потенциала для уравнения (10.80). С помощью элементарных преобразований можно показать, что в пределе малых градиентов и внешних сил, т. е. когда система близка к равновесию, Ф становится функционалом от одной функции и сводится к лагранжиану для линейной области необратимых процессов (см. также разд. 10.2). Такие лагранжианы тесно связаны с производством энтропии, выраженным здесь через функцию распределения, а не через термодинамические средние [131]. Однако в общем случае из уравнения (10.86) все же можно получить обобщенный вариационный принцип, пригодный для определения функции распределения в нелинейной области, что соответствует первому приближению Чепмена — Энскога (см. работу [30]). [c.148]

Эти два выражения подставим в (11.54), Тогда уравнения Эйлера — Лагранжа, соответствующие этому вариационному принципу, получаются приравниванием нулю коэффициентов при независимых приращениях O0, 60, биг, бн/, бЭ, бЭ. Группируя члены в (11.54) и используя определение (11.33) для числа Релея, получим следующее. [c.163]

Иногда бывает удобно ввести еще один множитель. Лагранжа, который соответствует исследуемой на экстремум функции. Его обычно обозначают Ло. Так как из системы для определения (х. А ] неопределенные множители Лагранжа могут быть онреде. ены с точностью ди постоянного множителя, то множители Л, можно подчинить какому-либо условию нормировки, например. [c.32]

Таким образом, для определения координат точки условного минимума требуется решить систему зфавиений (111,62), (111,106) н (111,2). Мы приходим к известному правилу множителей Лагранжа определения координат точки условного минимума. Действительно, рассмотрим функцию Н (см. стр. 73). В точке условного минимума. в соответствии с уравнениями (111,62) и (111,106) производные этой функции по всем координатам равны нулю (а это и есть правило множителей Лагранжа). При этом величины в уравнениях (И1,62) и (111,106) называются множителями Лагранжа. Величины Я в зфавнениях (111,61) и (111,62) мы также для простоты будем называть множителями Лагранжа. [c.87]

Для лагранжиана , определенного (3.8.14), из (3.12.7) следует, что [c.78]

Как правило, нельзя рекомендовать какой-либо один метод, который можно использовать для решения всех без исключения задач, возникающих на практике. Одни методы в этом отношении являются более общими, другие — менее общими. Наконец, целую группу методов (методы исследования функций классического анализа, метод множителей Лагранжа, нелинейное программирование) иа определенных этапах реикния оптимальной задачи можно применять в сочетании с другими методами, например динамическим программированием и принципом максимума. [c.29]

Как было отмечено выше (см. стр. 265), неопределешп ш множители Лагранжа можно применять в задачах динамического програм-мпрования, если на управляющие воздействия наложены ог раниче-ния типа равенств [уравнение ( 1,51)]. В данном случае введение фиктивных стадий (рис. 1-37) для входа и выхода рецикла позволяет сформулировать оптимальную задачу для Л -стадийного процесса с одним управляемым рециркулируемым потоком, как задачу оптимизации (7 / 4- 2)-стадийного процесса без рецикла, в котором на управляющие воздействия, определенные для фиктивных стадии, наложено ограничение [c.296]

Статьи Гоулда с сотр. затрагивают проблему оптимизации управления реактором как нелинейной системы. В работе Бичера и Гоулда обсуждается возможность динамической оптимизации при помощи цифровых машин. Пользуясь методами вариационного исчисления, они вывели систему уравнений Эйлера— Лагранжа, решаемую для определения оптимального пути, по которому должен следовать процесс в реакторе после внесения возмущения. [c.120]

Метод максимального элемента имеет преимущества по сравнению с другими методами оптимизации, применяемыми для определения оптимального состава резерва ХТС (например, метод неопределенных множителей Лагранжа, градиентный метод и др.), так как позволяет декомпозировать задачу поиска опти- [c.228]

Программа метода наименгших квадратов. Если число экспериментальных точек равно п + i n — степень полинома), то для определения коэффициентов полинома можно воспользоваться интерполяционными формулами Лагранжа, Ньютона (глава 11, стр. 302), если же число точек больше степени полинома, то наиболее распространенным способом оценки коэффициентов является метод наименьших квадратов (см. глава И, стр. 319). [c.442]

Остановимся подробнее на применении формул (II, 101), (II, 102) или (II, 103), (II, 104). В них имеется произвольный вектор . Единственное условие, которому должен удовлетворять этот вектор, состоит в том, чтобы знаменатель в выражениях (II, 101), (II, 102) был отличен от нуля. В работе [33] в качестве С рекомендуется поочередно выбирать столбцы единичной матрицы / . Однако более правильно выбирать , чтобы улучшить сходимость и предотвратить появление нежелательных явлений. Для выбора здесь могут быть привлечены те же самые соображения, что и при выборе вектора и в формуле (II, 70). Можно выбирать так, чтобы знаменатель в выражениях (II, 101), (II, 102) был максимальным, что будет препятствовать его стремлению к нулю. В этом случае определение вектора i будет подобно решению задачи (II, 71), (II, 72). По аналогии с формулой (II, 73) ее решение будет иметь вид = —KiHiI K (X — множитель Лагранжа). Подставляя это значение в выражения (II, 101), (II, 102), найдем [c.44]

II W VW 4ij обозначен элемент матрицы W EW, стоящей на пересечении i-той строки и /-Г0 столбца. К сожалению, в данном случае условие (V,25) не удается так же просто учесть, как условие (V, 16) в предыдущем случае, поэтому каждое соотношение должно быть учтено в функции Лагранжа с помощью соответствующего множителя Лагранжа. В этом случае задача определения множителей Лагранжа становится трудоемкой, поскольку требует решения системы линейных уравнений большой размерности. Причем чем сильнее будет разреженность гессиана, тем больше будет условий типа (V, 25) и Teivi сложнее будет определение множителей Лагранжа. В связи с этим был предложен следующий подход [114]. Пусть, как и прежде, Mi характеризует множество нулевых элементов, а Aij — пустое множество. Вначале найдем обычным путем матрицу В, которая обеспечивает хорошую работу квазиньютоновского метода пусть, например, это будет матрица (III, 80). Для простоты обозначим ее через В. Естественно, что структура матрицы G в ней не будет отражена, и, вообще говоря, она не будет содержать нулевых элементов. Поставим теперь задачу найти матрицу В, определяемую формулой [c.177]

Определение, Пусть имеется фуикция v, заданная на S, и MHOHie TBO S Р-разрешимо Р-интерполяцией Лагранжа функции V -В Т будем называть функцию (яу)(х)еР, для которой [c.198]

В связи с применением критерия (5.51) отметим следующее. На этом этапе при определении корреляционных связей чаще всего применяют метод наименьщих квадратов. Однако необходимо напомнить, что метод наименьших квадратов не гарантирует неотрицательности искомых значений, а критерий (5.51) гарантирует. В работе [58] вывод об этом сделан только после проведения соответствующих выкладок с применением лагранжиана. В данном случае необходимости в этом нет. Дело здесь в том, что квадратическая функция определена на всей области Л", а логарифмическая — только на т. е. только при положительных значениях переменных. Поэтому в первом случае следует ожидать оптимального решения любого знака и к ограничениям типа (5.52) добавлять ограничения на неотрицательность искомых значений переменных, а во втором в этом необходимости нет. Следовательно, критерий (5.51) надо признать технологически оправданным, тем более, что основное требование для функций, применяемых для этих целей, обладание острым экстремумом — выполняется. [c.168]

Определение функции распределения по кинетическому уравнению— основная задача как в статистической механике, так и в кинетической теории. В линейной области, соответствующей малым отклонениям от локального равновесия, можно с успехом использовать вариационный метод [131]. Заметим, что при рассмотрении несамосопряженных задач вдали от локального равновесия (область нелинейности, система во внешнем поле и т. п.) уже невозможно вывести кинетические уравнения из лагранжиана. В этом разделе будет показано, что понятие локального потенциала, введенное ранее в макроскопической физике, можно использовать для определения функции распределения, по крайней мере методом последовательных приближений [124—126, 153]. [c.146]

Итак, в результате таких операций мы получили, что системам уравнений (34), (36) должны удовлетворять как величины Хк (А = 1,.,., т), так и значения независимых переменных х, (г = 1.,..,п), при которых функция / имеет ус,повный экстремум. Заметим, что переменные должны также удовлетворять системе исходных ограничений (30). Таким образом, мы получили п + т уравнений для определения п + т неизвестных величин, а именно, п значений Х , в которых достигается условный экстремум функции / и т соответствующих этому экстремуму значений множителей Лагранжа Х . [c.29]

При решении предложенным. методом задачи условной оптимизации становятся известными не только значения независимых переменных г, , при которых функция / достигает условного экстремума, но и значения множителей Лагранжа Л(t, соответствующие найденному экстремуму. Фактически знэ.чен.и.я мно.жмтелей ьЧагранжа не н .. -кны в окончательном ответе и поэтому задача может ставиться и как задача не только нахождения условного экстремума, но и как задача исключения из окончательного ответа множителей Лагранжа. Один из способов, который может теоретически обеспечить исключение из окончательного ответа множителей, /Тагранжа, состоит в том, чтобы посмотреть на соотношения (38) как на уравнения для определения 1,-в виде некоторых функций от неопределенных множителей Лагранжа. Р1, если это в конце когщов удается сделать, представить [c.30]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология