Системы линейными и нелинейным

В случае линейной системы величина ступенчатого возмущения не влияет на устойчивость системы. Для нелинейных же систем размер ступени может оказаться очень серьезным фактором устойчивости. [c.100]

Обилие подобных систем наводит на мысль, что химические процессы гораздо чаще бывают нелинейными, чем линейными. В данном случае описание системы линейным законом обычно обосновывают рядом допущений, согласно которым линейная аппроксимация не приводит к большим ошибкам. [c.105]

Автоколебательные процессы не могут быть описаны линейными дифференциальными уравнениями в этом смысле можно сказать, что автоколебательные системы принципиально нелинейны. [c.134]

Поиск оптимальной стратегии решения линейных, нелинейных или трансцендентных систем уравнений математических моделей ХТС вида (П 6), (И, 7) или (И, И) осуществляют путем исследования топологических свойств ДИГ, отображающих характеристические особенности этих систем уравнений. Стратегию решения систем уравнений ХТС методом декомпозиции и разрывов при некотором наборе выходных переменных отображают в виде ациклического или циклического информационного графа. Оптимальным циклическим информационным графом системы уравнений называют такой циклический граф, для которого размер максимального замкнутого контура графа наименьший. Если символическая математическая модель ХТС представляет собой совместно замкнутую систему уравнений, то информационный граф является циклическим. [c.98]

Таким образом, в основе метода решения системы нелинейных уравнений лежит многократное решение системы линейных уравнений. [c.271]

Следовательно, для решения нелинейной системы дифференциальных уравнений необходимо на каждом шаге интегрирования многократное применение алгоритма решения системы линейных алгебраических уравнений. [c.272]

Первый подход подразумевает формирование некоторой гло-бальной системы, в общем случае линейных, нелинейных или интегродифференциальных уравнений, описывающих работу ХТС в целом, с последующим совместным (одновременным, параллельным) решением. [c.588]

В гл. 1 было показано, что математическое описание типовых процессов обычно выражается определенным классом уравнений (конечные системы уравнений, системы дифференциальных уравнений и т. д.), решение которых возможно с единых методологических позиций. Примерами такого подхода являются методо-ориентированные пакеты прикладных программ, в основе которых используется определенный метод, обладающий достаточным быстродействием и уверенной сходимостью. В примерах 1—4 (см. гл. 1) показано, что центральным звеном пакета, позволяющего решать системы дифференциальных и конечных уравнений, является метод решения системы линейных алгебраических уравнений. При этом нелинейные уравнения некоторым образом приводятся к ли-нейному виду и решаются с использованием итеративных схем. [c.301]

Если получены матрицы преобразования для отдельных технологических операторов, то расчет ХТС сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений. Если математические модели отдельных ТО нелинейны, то решается система нелинейных алгебраических уравнений. Выбор формы представления математических моделей технологических операторов ХТС связан с каждым конкретным исследованием системы. [c.99]

Автоматизированный вывод системы дифференциальных, интегральных или конечных уравнений (линейных, нелинейных, с сосредоточенными или распределенными параметрами). Эта процедура реализуется на основании характеристических функциональных соотношений диаграммных элементов. 2. Автоматизированное построение блок-схем вычислительных алгоритмов математического описания ФХС на основании специальной системы блок-схемных эквивалентов соответствующая система формализаций ориентирована на применение современных операционных систем и языков программирования (например, типа РЬ-1). 3. Построение сигнального графа ФХС (если это необходимо) на основании специальной системы сигнал-связных эквивалентов. [c.21]

Прежде всего представим нелинейную систему дифференциальных уравнений (8.42) в форме системы линейных и квазилинейных интегральных Зфавнений. Как уже отмечалось, это можно сделать либо путем разложения в степенной ряд решения нелинейного дифференциального уравнения по специальным образом введенному параметру [8 ] (этот метод подробно изложен также в работе [15]), либо с помощью специальной замены переменных [15]. В данном случае к цели быстрее приводит второй метод. Последовательно преобразуем каждое из уравнений системы (8.42) к интегральному виду. [c.485]

Линейные процессы обладают одним в высшей степени полезным свойством. Если в системе совместно протекает несколько независимых линейных процессов, то вся система в целом реагирует на возмущение как линейный процесс. Кроме того, общую реакцию этих совместно протекающих в системе линейных процессов можно исследовать изучением реакции каждого процесса в отдельности. Указанным свойством аддитивности нелинейные процессы не обладают. Следовательно, нелинейные процессы и системы необходимо исследовать только в целом , а их общие характеристики нельзя предсказать на основании знания параметров отдельных проходящих в данной системе процессов. Поэтому изучение линейных процессов получило наибольшее распространение. Отметим также, что решение задач, связанных с нелинейными процессами, во-первых, значительно сложнее, а во-вторых, требует индивидуального подхода в каждом конкретном случае. [c.249]

Расчет блоков с математическим описанием в неявной форме (реактор идеального смешения, ректификационная колонна) в общем случае требует применения итерационных процедур для решения систем нелинейных уравнений. Для расчета же соответствующих сопряженных блоков при этом понадобится решить системы линейных уравнений. Поэтому можно ожидать, что здесь величина ку окажется меньше, чем в исследованном выше случае. [c.162]

Как уже отмечалось, жесткость — это свойство задачи Коши, возникающая при описании систем с существенно различными временными характеристиками процессов. Жесткость задачи может быть выявлена при исследовании локального поведения решения системы уравнений. Для этого система уравнений линеаризуется, т.е. заменяется линейной системой с матрицей Якоби. Если в некоторой окрестности решения матрица Якоби меняется незначительно, то локально линейная система описывает нелинейную. [c.131]

Систему нелинейных однородных уравнений (4.62) можно свести к системе линейных однородных уравнений с помощью процедуры самосогласования. [c.112]

До сих пор в этой книге рассматривались процессы, при моделировании которых получались системы линейных и нелинейных алгебраических и обыкновенных дифференциальных уравнений. Примеры подбирались таким образом, чтобы основные параметры ведения процесса были функцией только одной независимой переменной либо времени, либо наиболее характерной пространственной координаты (длины аппарата, радиуса и т. д.). [c.220]

В ряде работ [1—4] принцип максимума формулируется как необходимый признак оптимальности для процессов, описываемых системами нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, Показано, что если процесс характеризуется системой линейных уравнений, принцип максимума является достаточным условием оптимальности. [c.310]

Суш ественным преимуш еством метода является то, что он позволяет свести сложную задачу оптимизаций нелинейного соотношения к решению системы линейных алгебраических уравнений. Кроме того, в результате вычисления чисел б сразу определяется минимальное значение критерия оптимальности без вычисления значений переменных доставляющих этот минимум. [c.147]

Таким образом, система нелинейных уравнений приводится к системе уравнений, линейных относительно поправок. Решение системы линейных уравнений позволяет определить поправки к неизвестным и уточнить значения корней. Расчет ведется. методом последовательных приближений. Подробное изложение машинных методов расчета и необходимая библиография приведены в [1.1]. [c.19]

При аналитическом решении системы десяти нелинейных дифференциальных уравнений, приведенных в разд. 13.3, некоторые авторы, используя предположения 1, 4, 5, 7, 9а и 10, приводят ее к системе линейных уравнений. Кроме этих предположений, используют также предположения 2, 6, 8 и 12, но это не обязательно. Поскольку приведенные предположения, особенно 9а, 5 и 7, очень грубые, результаты решения уравнений получаются с большой ошибкой. [c.465]

Одним из главных элементов этой схемы является расчет механических характеристик шин, который включает почти все виды математического аппарата системы линейных и нелинейных уравнений, векторный анализ, обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными, краевые задачи, случайные процессы и математическая статистика, численные методы и т. п. Важным является то, что имея математическую модель можно проводить машинные эксперименты по оптимизации конструкции покрышки, по изучению влияния изменений исходных данных на характеристики шины и автомобиля. В результате расчетов можно получить следующие характеристики шины данной конструкции в зависимости от условий эксплуатации, механических и термических свойств конструкционных материалов прочность и долговечность, сопротивление качению, выходные характеристики, материалоемкость, шум и другие экологические характеристики, ремонтопригодность. [c.476]

Решать систему уравнений (2.10) при фиксированных температурах и плотности вследствие ее нелинейности и достаточно большой размерности целесообразно численными методами. Использование метода Ньютона для решения приводит к еле дующей итерационной схеме, сводящейся в основном к решению системы линейных уравнений относительно поправок А/, [c.28]

Считается, что метод решения систем линейных уравнений известен при наличии лишь нескольких переменных пользуются детерминантами, а в общем случае — матричным методом. По методу Ньютона — Рафсона систему нелинейных уравнений с исходными переменными сводят к системе линейных уравнений, выраженных через поправки к исходным переменным. Возьмем, чтобы не усложнять задачу, систему уравнений с тремя неизвестными [c.562]

Если состояние системы далеко от равновесного и нельзя ограничиться линейной реакцией системы (сильные внешние поля), то отклик системы характеризуется нелинейной восприимчивостью, которая выражается через корреляции более высокого порядка. [c.495]

Глобальная система линейных, нелинейных, пнтегродифференциаль-ных уравнений [c.590]

Замечание4. Обратим внимание на выбор нижних оценок функции Р (г, ж), У > 0. Для всех задач исследования ХТС, сводящихся к системам линейных, нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений и неравенств, нетрудно доказать, что( ) = = 0, Уt 0. Для общей задачи исследования ХТС в виде задач математического программирования с известной оценкой минимума це гевой функции Р t) = 0, У > 0. Для других случаев оценки Р ( ) задаются априорно и уточняются в процессе решения эквивалентной задачи. [c.328]

FIRE Моделирование работы печи для сжигания жидкого топлива 13,8 Автоматически генерируемые системы линейных и нелинейных уравнений 2 1,5 0,5 [c.611]

Нелинейная система уравнений (4.34) для каждого механизма зародышеобразования была линеаризована около стационарного состояния [ о, 1, 2> з]=П>0 1,0 1,0 1,0], и полученная система линейных уравнений использовалась для исследования устойчивости стационарного состояния [20]. Так, на рис. 4.4 указаны границы устойчивости для механизма зародыщеобразования, описываемого соотношением (4.27), когда скорость вторичного зародышеобразования зависит от частоты столкновений кристаллов. Заштрихованная область характеризует зону устойчивости в системе поряд- [c.338]

Вся процедура описания экспериментальных данных может быть существенно механизирована с помощью обычных численных методов, которые становятся все более популярными по мере распространения быстродействующих ЭВМ. Обычно как критерий описания выбирается метод наименьших квадратов, но применяемое аналитическое определение нельзя использовать, так как теоретическая зависимость параметров нелинейна. При наличии большой вычислительной машины минимизация среднеквадратичного отклонения может быть выполнена непосредственно численным методом [104]. Если такие вычисления невозможны, то используется аналитический метод последовательных приближений [183—1836]. Первое приближение для параметров потенциала берется, например, из графического метода, затем относительно этих параметров производится разложение в ряд Тейлора. При сохранении первых членов разложения относительно корректирующих поправок к параметрам потенциала получается система линейных уравнений. Если первое приближение параметров оказывается слишком грубым, то всю процедуру можно повторить, начиная со второго приближения, полученного в первом цикле. Уолли и Шнейдер [183а] применяли этот метод для определения параметров потенциала из вторых вириальных коэффициентов, а также в расчетах для некоторых инертных газов. Этот же метод расчета применялся для метана и закиси азота [1836]. [c.247]

Методы решения систем нелинейных уравнений можно р азбить на три группы. К первой относятся метод простой итерации и его модификации, а также методы, ускоряющие сходимость простой итерации (методы DEM [22], GDEM [23]) ко второй — метод Вольфа и его модификации [3, с. 35 1, с. 84] к третьей — квази-ньютоновские методы. Здесь мы рассмотрим только метод Ньютона и квазиньютоновские методы решения систем нелинейных уравнений, идейно очень близкие к методу Ньютона и квазиньютоновским методам оптимизации. В дальнейшем будем говорить, что метод обладает р-шаговым свойством линейного окончания, если он обеспечивает решение системы линейных уравнений при числе шагов, не превышающем р. [c.29]

Нелинейные системы. Решение нелинейной системы (II, 8), в отличие от линейной, не будет получено за п шагов. Поэтому итерационный процесс, определяемый формулами (II, 14), (II, 23), (II, 90) и (И, 91) должен быть продолжен при I > п. Однако в соответствии с равенством (II, 94) матрица К п становится нулевой при I = п и формула (II, 91) теряет смысл. Здесь можно поступить следующим образом. Мы можем считать, что в результате п шагов закончен некоторый цикл и мы получили некоторое приближение На к матрице далее в качестве начального значения Яо используется полученное значение Я , а матрицы К берутся равными единичным. В конце этого цикла опять проделывается та же процедура, и т. д. Чтобы выразить математически эту процедуру, для матриц Не, К1 удобно ввести второй индекс I (номер цикла) и записывать их в виде Я,, Тогда внутри каждого цикла индекс I (номер шага) будет меняться от 1 до л, а индекс I будет изменяться на единицу через каждые п шагов. Тогда итерацнонный процесс, определяемый формулами (II, 14), (II, 23), (II, 90), (И, 91) можно представить состоящим из циклов. Внутри цикла матрицы Я ,/, К 1,1 преобразуются в соответствии с формулами (11,90), (11,91), а в начальной точке каждого цикла матрицы Я,-, , I определяются следующим образом [c.46]

При решении уравнений фильтрации используются два метода (по выбору). По умолчанию используется полностью неявный метод решения, обеспечивающий устойчивость вычислений при больших временных шагах. При использовании этого метода обеспечивается заданная точность решения нелинейных уравнений, и погрешность материального баланса сохраняется пренебрежительно малой. Для решения нелинейных уравнений используется метод итераций Ньютона, при этом матрица фильтрационных коэффициентов разложима по всем переменным, что обеспечивает квадратичную (высокую) скорость сходимости. При решении сильно нелинейных задач используются различные методы ускорения сходимости. Система линейных уравнений на каждой ньютоновской итерации решается методом Nested Fa torisation с ускорением за счет применения метода Orthomin. [c.178]

Сложные химико-технол. системы анализируют методом декомпо.чиции, позволяющим расчленить ис.ходную систему на ряд подсистем меньшей сложности. При этом каждая из подсистем может рассматриваться как самостоят. система, а окружающая среда включает в себя остальные подсистемы. Количеств, связь выходных переменных с входными, возмущающими и yпpaвляющи ц представляет собой матем. модель системы и отображается системой ур-ний (линейных, нелинейных, дифференциальных), называемой матем. описанием. Алгоритм решения системы ур-ний матем. описания относнтельио выходных переменных наз. алгоритмом моделирования. [c.254]

Строго говоря, каждая реальная система всегда нелинейна, если рассматривать сколь угодно большие области изменения отдельных величин. Реальная система может быть линейной только в определенном ограниченном диапазоне величин. Некоторые нелинейные системы в достаточно малом диапазоне изменения отдельных величин можно заменить линейными системами. Часто такое приближение справедливо только в бесконечно малой окрестности начального состояния, а при конечных отклонениях от этого состояния оно выполняется лишь приближенно. О такой системе говорят, что она линеаризуема в отличие от существенно нелинейных систем, которые нельзя заменить линейной системой даже в сколь угодно малой окрестности начального установившегося состояния. В качестве примера существенной нелинейности можно привести зависимость [c.24]

Неравновесная термодинамика рассматривает процессы, при которых систе.ма проходит через неравновесные состояния. К чи J y постулатов неравновесной термодинамики, называе.мой линейной, относятся соотношения Онсагера, характеризующие линейную связь между потоком и термодинамической силой в системе. Линейная неравновесная термодинамика рассматривает процессы, которые близки к равновесным. Таких процессов много, но еще больше неравновесных процессов происходит в открытых систе.мах, далеких от равновесия. Дальнейшее развитие нелинейной неравновесной термодинамики открытых систем связано с именем бельгийца русского происхождения, лауреата Нобелевской премии И.Р. Пригожина. [c.65]