Локальные дифференциальные уравнения

Если в уравнении теплопроводности (6.9) заменить локальное изменение температуры полным [согласно (6.41)], то в результате получим дифференциальное уравнение конвективного переноса тепла Фурье — Кирхгофа [c.134]

Система дифференциальных уравнений (3.128) решается численно с использованием метода локальной линеаризации [140] по процедуре, предложенной в работе [21]. Очевидно, что на каждом шаге линеаризации движение происходит не по траектории наискорейшего спуска, а по близкой к ней траектории. Поэтому при решении линейной системы дифференциальных уравнений можно следить не за аппроксимацией правой части исходного уравнения дифференциального спуска, а лишь за убыванием функционала. [c.87]

Локальные дифференциальные уравнения [c.31]

Из принципа наименьшего действия, используя математические приемы, можно вывести локальные дифференциальные уравнения движения. Но все же в его существовании есть нечто загадочное. Будто тело заранее знает, как оно должно двигаться, чтобы некая величина была минимальной. Некоторые, впрочем, считают, что никакой загадки нет, а есть парадоксальная, неожиданная формулировка закона Ньютона. [c.172]

Большинство работ выполнено по второй схеме. Величину D, определяют на основе измерения профиля концентрации по радиусу потока на некотором расстоянии от источника. Наиболее полное решение дифференциального уравнения (III. 19) для стационарного поля концентрации (дС/дх = 0), создаваемого локальным источником с учетом его размера, значения Di и влияния стенок аппарата, дано в работе [27]. [c.93]

Расчет трубчатых реакторов полного вытеснения проводится в соответствии с уравнениями (У1П-291) и (У1П-292). В том случае, когда в аппарате протекает несколько реакций, при расчете требуется решить систему дифференциальных уравнений типа зависимости (У1П-292). Если в результате сопротивлений потоку давление вдоль оси" реактора заметно понижается, для газовых реакций необходимо ввести в расчет также зависимость локального давления от степени превращения. При незначительных сопротивлениях потоку реакцию можно считать протекающей под постоянным давлением и скорость превращения определять для среднего давления в реакторе. [c.318]

Скорость реакции, характеризующая прирост или убыль реагента в точке мембраны, очевидно, зависит от неравновесного состава / ( i, Сг,. .., Сп) и изменяется во времени и по координате. Реагенты диффундируют в мембране, причем ввиду сопряженности процессов возможно ускорение, замедление массопереноса и даже активный перенос отдельных реагентов Кинетическая модель мембранной системы, в которой исключен конвективный перенос, представляет систему одномерных нелинейных дифференциальных уравнений локального баланса массы реагентов [c.29]

При расчете тензорных полей различают в основном два подхода. При первом подходе исходят из дифференциальных уравнений, описывающих поведение ФХС в локальной бесконечно малой области пространства. Другой подход состоит в формулировке вариационного экспериментального принципа для всей (глобальной) области, в которой ставится краевая задача. Здесь решение являет- [c.10]

Определение устойчивости по Ляпунову позволяет применить прямой метод анализа без интегрирования дифференциальных уравнений. Следует все же признать, что с точки зрения практического инженерного применения доказательство устойчивости в малом стационарного состояния недостаточно для инженера. Причина этого заключается в том, что информация о локальном поведении системы ничего не говорит о характере траектории в целом. [c.90]

Методы решения систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, использующие идею локальной линеаризации, имеют два аспекта 1) локальная линеаризация, т.е. способ приближения нелинейной систе мы ОДУ на шаге интегрирования линейной, и оценка величины возникающей при этом ошибки 2) выбор способа решения линейной системы. [c.142]

В заключение отметим, что в настоящее время методы локальной линеаризации становятся все более популярными для решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Особенно это касается решения жестких систем, в которых линейная задача во многом является определяющей. Большое распространение этих методов связано с тем, что они используют хорошо разработанный аппарат линейной алгебры. Это, в свою очередь, облегчает алгоритмизацию метода для программирования на ЭВМ. [c.147]

Рассмотрим сначала методы локального анализа чувствительности. Простейшим методом вычисления частных производных компонент решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений по параметрам является поочередное изменение каждого из параметров на некоторую величину и численное интегрирование системы ОДУ. Таким образом, для расчета разностной аппроксимации матрицы частных производных =Э/,7 требуется численно проинтегрировать систему ОДУ 7 + 1 раз. Другой путь состоит в представлении в качестве динамических коэффициентов и составлении для них задачи Коши [420] [c.156]

Решение дифференциального уравнения (63.15) при граничных условиях 6Г=0 при х=0 и х=2хо позволяет определить бГ, а затем фазор локального тока [c.325]

Роль первого постулата термодинамики необратимых процессов играет предположение о локальном равновесии во всех частях изучаемой системы. Согласно этому предположению неравновесную систему можно представить в виде совокупности макроскопически малых элементов объема, к каждому из которых допустимо применять обычные термодинамические методы — указать для них локальную температуру, давление, вычислить энтропию и т. п. Это позволяет задавать для неравновесной системы поле термодинамических интенсивных параметров (обобщенных сил) с указанием значений этих параметров в окрестностях каждой точки изучаемой системы. Неравновесность системы выражается в том, что в полях термодинамических обобщенных сил будут наблюдаться потоки соответствующих им координат состояний. Такие потоки описывают применяемыми в физике непрерывных сред дифференциальными уравнениями переноса. Это усложняет математическое описание неравновесной системы по сравнению с ее описанием в классической термодинамике. Однако общие методы термодинамики необратимых процессов можно проиллюстрировать на достаточно простых примерах, не усложняя разбор физического смысла проблемы сравнительно сложным аппаратом математической физики явлений переноса. [c.283]

В частных производных не сводятся к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Поэтому решения следует получать другими методами, например численными или методом локальной [c.184]

Эти дифференциальные уравнения в частных производных не образуют замкнутую систему, как это было показано в гл. 11. Чтобы преодолеть возникающие вследствие этого трудности, можно воспользоваться интегральными методами. На основании результатов экспериментальных исследований выбирается форма профилей скорости, температуры и концентрации (обычно в виде распределения Гаусса). Затем исходные уравнения интегрируются поперек рассматриваемой области течения для получения обыкновенных дифференциальных уравнений. И наконец, делаются предположения о скорости вовлечения жидкости из окружающего пространства (обычно в виде зависимости от локальной скорости на центральной линии факела). [c.171]

Можно составить уравнения баланса, свободные от допущений для всей хроматографической колонки. Очевидно, что для описания и объяснения формы фронтов следует составить соответствующие локальные дифференциальные уравнения баланса и решить их. Для этого необходимо не только иметь однозначные модели микромеханизма хроматографических процессов, но и математически удобное описание этих процессов. К сожалению, наши возможности в этом отношении очень ограниченны, и сравнительно простые и наглядные представления можно получить лишь за счет точности нри использовании очень грубых допун1ений. Очевидно, что необходимо исходить из трех величин, а именно концентрации сорбируемого вещества в свободном объеме колонки, количества сорбируемого вещества и, наконец, из скорости потока газа в виде функции времени и координат положения в колонке. Нами за основу принята модель, в которой допускается, что радиальное распределение этих трех величин в данном сечении колонки равномерно, что они являются, следовательно, функциями лишь двух независимых переменных, а именно времени t и координаты длины 2. [c.183]

Локальная скорость реакции, выраженная числом молей А, взаимодействующих за единицу времени в единице объема, составляет к2йЬ. Тогда дифференциальные уравнения процесса [c.118]

Таким образом, = к р К, и локальная скорость реакции А составляет кф — к хр) к а —р К). Дифференциальные уравнения процесса будут иметь вид [c.126]

Построим модель аппарата фонтанирующего слоя. В каждой зоне рассмотрим многоскоростную многотемпературную среду с учетом принятых допущений. Первая фаза (несущая) — газ, поднимающийся вверх со скоростью Vi и имеющий температуру Т,, г-фаза — включения (капли), объемы которых находятся в пределах от г до r+dr, движущиеся со скоростью Оз и обладающие температурой Т2. Используя систему уравнений термогидромеханики (1.58) для описания процессов с фазовыми переходами (с учетом полидисперсности включений) в локальной точке аппарата, запишем дифференциальное уравнение сохранения массы несущей фазы в зоне ядра фонтана в проекции на оси аппарата [c.193]

Информационная насыщенность и функциональная емкость элементов и связей ФХС в сочетании с эвристическими приемами построения топологических структур ФХС, понятием операционной причинности, правилом знаков, формально-логическими правилами совмещения потоков субстанций в локальной точке пространства и правилами объединения отдельных блоков и элементов в связные диаграммы позволяют создать эффективный метод построения математических моделей ФХС в виде топологических структур связи (диаграмм связи). Топологическая модель ФХС в форме диаграммы связи, во-первых, наглядно отражает структуру системы и, во-вторых, служит ее исчерпывающей количественной характеристикой. Путем применения чисто формальных процедур диаграмма связи без труда трансформируется в различные другие формы описания ФХС в форму дифференциальных уравнений состояния в форму блок-схемы численного моделирования (или вычислительного моделирующего алгоритма) в форму передаточных функций по различным каналам (для линейных систем) в форму сигнальных графов. Каждая из этих преобразующих процедур реализуется в виде соответствующего вычислительного алгоритма на ЭВМ и будет подробно рассмотрена в книге (см. гл. 3). [c.9]

Рассмотрим основные процессы переноса теплоты сточки зрения их использования при проектировании тепло-обмениикоз. Приведенные в предыдущем параграфе уравнения позволяют на.ходить мгновенные локальные значения потоков. Для расчета полного потока через поверхность теплообменника необходимо выполнить интегрирование по временной и пространственным координатам. Такое ннтегрнрованне, если проводить его строго, требует совместного решения взаимосвязанных дифференциальных уравнений. Это можно сделать только с помош.ью ЭВМ. Б настоящее время для решения подобных задач разработано несколько программ. Наряду с численным подходом в конструкторской практике используются также и приближенные аналитические методы, позволяющие получать разумное первое приближение, во многих случаях обеспечивающие достаточно точные результаты. [c.72]

Предлагаемый алгоритм численного решения системы дифференциальных уравнений основан на методе локальной линеаризации [140]. На каждом шаге интегрирования исходная ППЭ аппроксимируется квадратичной формой, возникающая при этом новая система дифференциальг ных уравнений является линейной и, следовательно, допускает точное решение. Улучшая аппроксимацию, можно добиваться сходимости нового решения к решению исходной задачи на всем интервале интегрирования. Так как близкие поверхности определяют практически одинаковые модели, то в смысле "траекторной нормы решения должны сходиться. Сохранение аддитивных интегралов движения исходной задачи на численных решениях обеспечивается специальным выбором аппроксимирующей ППЭ. [c.79]

Это есть формальная процедура локального разделения на подсистемы с различными характерными временами. Таким образом, решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений большой размерности, обладающее свойством жесткости, может быть сведено к последовательному решению нескольких нежестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений меньшей размерности. [c.134]

Основу всех методов локальной линеаризации составляют методы интегрирования систем линейных дифференциальных уравнений, т.е. они так или иначе связаны с приближенным вычислением матричной экспоненты. В работе [95] предложено однополюсное дробно-рациональное приближение экспоненты в комплексной области. Известно, что неявные методы Рунге—Кутта при интегрировании линейной системы дифференциальных уравнений приводят к дробно-рациональной аппроксимации Падэ и, следовательно, трудоемки, так как фактически требуют обращения матричных многочленов. Неявные линейные многошаговые методы дают аппроксимацию ехр(Аг) главным корнем р(Аг) характеристического [c.146]

В случаях, когда решаемая численно система жестких обыкновенных дифференциальных уравнений существенно нелинейна, наиболее оправданным, по-видимому, является применение разностных методов, из которых в настоящее время наиболее эффективным является метод Гира. В случаях, когда спектр якобиана содержит большие положительные собственные значения, целесообразно использовать методы локальной линеаризации. [c.147]

С вычислительной точки зрения решение рассматриваемой прямой кинетической задачи отличалось рядом особенностей. Во-первых, при расчете зависимости концентраций от времени в силу сильной зависимости особенностей протекания процесса от удельного энерговклада очень трудно выделить кваэистационарную подсистему, поэтому в данном случае необходимо решать полную систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Во-вторых, уравнения для колебательной и поступательной температур имеют достаточно сложный вид, поэтому не удается вычислить аналитически якобиан системы. В связи с этим приходится отказаться от тех численных методов интегрирования жестких систем, которые сильно чувствительны к точности вычисления якобиана (методы Розенброка, методы локальной линеаризации). Так как якобиан системы в рассматриваемом случае не имеет больших по модулю положительных [c.151]

В феноменологической термодинамике необратимых процессов определенным логическим завершением теории является вывод термогндродинами-ческих дифференциальных уравнений, которые дают полное физико-математическое описание неравновесных процессов. Можно отметить, что при феноменологическом подходе не используются молекулярно-кинетические модели, и в этом случае такие положения, как, например, принцип локального равновесия, линейные законы играют роль основных постулатов теории, целесообразность использования которых при определенных условиях вытекает из многих экспериментальных данных. [c.128]

Поскольку давление парогазовой смеси, как и скорость, при указанных выше условиях определяется уравнениями движения и сплошности (а не рассчитывается как irepMO-динамический параметр по уравнению Клапейрона для парогазовой смеси), то в таком варианте задача не является переопределенной. При этом уравнение состояния парогазовой смеси p—pRT, где р=р - -рг, р=Рп- -рг R=pnRn/p+ +Рг г/Р, будет удовлетворяться автоматически, ибо -оно есть следствие использованных ранее уравнений состояния для каждого компонента смеси. Представленные соотношения позволяют рассчитать локальный состав парогазовой смеси и, как следствие этого, определить физические параметры смеси, входящие в дифференциальные уравнения. Если, полагать, что состав смеси задан массовыми долями efn=pn/p air=pr/p E n+ r=l, то физические параметры смеси определяются зависимостями вида Х=Х(Хл, Хг, gr) ц=ц( 1п, 1г, gr) D=D D , Dr, gr) a =ay a .n, Ovr, gr) [c.29]

Метод локального потенциала позволяет решать несамосопряженные системы дифференциальных уравнений с помощью приближенных методов вариационного исчисления, который в частном случае самосопряженных уравнений сводится к классическому методу Релея—Ритца. Конечно, существуют и другие методы построения функционалов, дающих стационарное решение заданной несамосопряженной системы дифференциальных уравнений. Для этого строятся лагранжианы, содержащие дополнительные неизвестные функции, не входящие в первоначальные уравнения. Общий обзор таких методов и особенно методов, относящихся, к ассоциированным функциям, дан Шехтером [166] этот автор рассматривает также трудности, которые могут здесь возникнуть. Методы, основанные на ассоциированных функциях, не следует путать с методом локального потенциала. Как мы видели, метод [c.148]

Как следует из (10.28), метод Галеркина и метод локального потенциала приводят к одним и тем же уравнениям Эйлера — Лагранжа. Основное достоинство метода Галеркина заключается в его большой общности [87]. Он может быть использован в решении и несамосоиряженных и нелинейных систем дифференциальных уравнений. К сожалению, этот метод не имеет вариационной природы и потому не содержит никакого минимального свойства, позволяющего решить задачу о сходимости последовательных приближений (разд. 10.5—10.7) Именно в этом пункте метод локального потенциала вносит существенное дополнение к методу Галеркина, так как заранее постулирует свойство минимума. Кроме того, во всей области, где справедливо предположение о локальном равновесии, минимальное свойство допускает очень интересную физическую интерпретацию. Как показано в гл. 8, этот минимум соответствует наиболее вероятному состоянию, что согласуется с формулой Эйнштейна для флуктуаций около неравновесного состояния. [c.149]

Если Ф = Ф (/, т)), во Т = Т (т)), получим полное по скорости, но локальное по температуре приближение. Соответствующее ему дифференциальное уравнение есгь [c.54]

Более высокие уровни усечения уравнений известны под названием методов локальной неавтомодельности. Они также сводятся к получению обыкновенных дифференциальных уравнений и локально-независимых решений. Но в уравнениях сохранения остаются неавтомодельные члены. В конце концов в выведенных дополнительных уравнениях выборочным образом отбрасываются различные члены, что необходимо для упрощения этих уравнений. В уравнения входит переменная аналогичная автомодельной переменной г] и зависящая от продольной координаты х. Переменная рассматривается как параметр численного решения. Точность метода улучшается с повышением уровня усечения и поэтому возникает метод оценки точности. В статьях [104, 102] обсуждается использование этого метода в задачах о естественной конвекции. Напомним полученные этим методом результаты Чжэня и Эйчхорна [9], описанные в разд. 3.11. Более подробно этот метод изложен в разд. 5.2. В следующих главах представлены также результаты исследования различных течений этим методом. [c.167]

Для получения уравнений в виде обыкновенных дифференциальных уравнений можно применять и другие методы, аналогичные описанным выше. Тогда можно получить решение одним из стандартных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Но следует заметить, что точность всех таких методов часто остается неопределенной и в общем случае они требуют подтверждения сравнением с результатами других аналитических или численных методов или с экспериментальными данными для изучаемых течений. Например, в статье [62] сравниваются результаты, полученные конечно-разностным методом и методом локальной неавтомодельности, и показано, что при малых значениях существует хорошее согласие, а при [c.167]

Минкович и Спэрроу [25] повторили исследование изотермической поверхности цилиндра методом локальной неавтомодельности, чтобы получить распределения скорости и температуры в потоках, где можно ожидать большие отличия от результатов, найденных для плоской поверхности. Определяющие уравнения преобразованы в обыкновенные дифференциальные уравнения путем отбрасывания неавтомодельных членов в уравнениях высших порядков точности. Найдены закономерности, аналогичные обсуждавшимся выше, и при Рг=0,72 получено хорошее согласие с прежними результатами Спэрроу и Грегга [38], упомянутыми ранее. [c.189]

Обосновывается необходимость получения локальных тепловых и гидродинамических характеристик при исследовании процесса конденсации паров и парогазовых смесей, движущихся в каналах. Наиболее полную информацию о процессе можно получить путем решения конечно-разностных аналогов дифференциальных уравнений, описывающих процесс. Например, для решения задачи о конденсации иа парогазовой смеси был применен метод Патанкара—Сполдинга. Для создания упрощенной методики необходима дополнительная информация, например о гидродинамике при конденсации паров, как правило, получаемая экспериментально. На основании полученных данных о локальных характеристиках процесса могут быть построены уточненные методики расчета проточных конденсаторов. Лит. — 10 назв., ил. — 7. [c.215]

В уравнении (5.17) первое слагаемое правой части выражает поток тепла внутри влажного материала за счет теплоироводности. Последнее слагаемое соответствует внутреннему источнику (стоку) тепла за счет выделения тепла при конденсации пара или расходования тепла при локальном исиарении жидкости. Конвективный перенос тепла жидкой и паровой фазами внутри капиллярно-пористых тел при сушке оказывается пренебрежимо малым. Таким образом, для определения нестационарных полей влагосодержания и температуры внутри капиллярно-пористопэ влажного тела необходимо анализировать систему дифференциальных уравнений (5,16) и (5.17), которые при постоянных значениях коэффициентов переноса будут иметь вид [c.244]