Фазовое пространство пространство

Возвращаясь к основным уравнениям (1.505), представим как обыкновенные координаты в многомерном пространстве, а сами уравнения (1.505)—как определяющие семейства кривых (траекторий). По аналогии со статистической физикой назовем это пространство фазовым пространством частицы, g —фазовыми координатами, а уравнения (1.505) — уравнениями движения фазовых координат. Подмножество координат х и назовем внешними и внутренними фазовыми координатами. Теперь точка, зафиксированная в фазовом пространстве, представляет в общем случае мгновенное состояние частицы. Через каждую такую точку мы можем (решив (1.505)) провести траекторию, которая показывает, как это состояние меняется во времени. Если взять все частицы в технологической системе и зафиксировать их состояние в некоторый момент, то определится группа точек в фазовом пространстве. Представим группу частиц достаточно большой, такой, что можно считать их состояние в любой момент времени как континуум, заполняющий часть фазового пространства и текущий со скоростью поля, определяемой функциями Wi. Введем плотность этого потока, протекающего через фазовое пространство, как групповую плотность/( , t) частиц в фазовом пространстве, так что [c.132]

Микросостояние системы удобно изображать точкой в 2/-мерном евклидовом пространстве, построив 21 осей и откладывая на них значения координат и импульсов. Это пространство называется фазовым пространством, а точка, изображающая микросостояние, —фазовой точкой. С течением времени состояние системы будет изменяться, и фазовая точка будет описывать в фазовом пространстве линию, которая называется фазовой траекторией. Движение частиц происходит в обычном пространстве, а фазовое пространство применяется для графического изображения микросостояния системы. [c.286]

Для квантовомеханической системы, заключенной в конечном объеме, доступен дискретный набор состояний, и можно говорить о числе квантовых состояний AI2 в заданном интервале значений энергии или других физических параметров. Для гармонического осциллятора, например, квантовая механика допускает изменения энергии, лишь кратные величине hv. В квазиклассическом вариа нте это соответствует тому, что фазовые траектории осциллятора (эллипсы на рис. 6) располагаются дискретным образом, причём площадь между соседними эллипсами равна, в согласии с соотношением (П.46), величине h. Эту площадь можно считать элементарной ячейкой, отвечающей в фазовом пространстве осциллятора одному квантовому состоянию. Для AQ квантовых состояний выделится площадь (фазовый объем) Ау = AQ/г. Аналогичные соотношения получаются и для других видов движения (см. гл. VH, 3). В общем виде связь между числом квантовых состояний AQ и соответствующим фазовым объемом Ау в х-пространстве определится квазиклассическим приближением следующим образом [c.41]

I + 6,1 в точке фазового пространства х + V (11, V + f 1(11) окажутся лишь те молекулы г-го сорта, которые в момент Ь находились в точке (зс, V). Следовательно, подсчитывая все молекулы сорта г в элементе фазового пространства (1х, г>), получим 1) [c.540]

В любой момент времени состояние системы описывается точкой в фазовом пространстве. Эта точка называется изображающей точкой. Совокупность координат изображающей точки дает траекторию в конфигурационном или фазовом пространстве, которая при определенных начальных условиях параметрически задает поведение системы во времени. Зная траекторию системы в конфигурационном пространстве, можно перейти к траектории движения по поверхности потенциальной энергии. [c.92]

С целью дальнейшего анализа задачи необходимо обратиться к некоторым вопросам теории хаотических колебаний. При математическом исследовании динамических систем отображением называют временную выборку данных л (т1),д (т2),..., д-(т ),. ..,х(т у) , для которой вводят обозначение х = х х ). Простое детерминированное отображение имеет вид =/(х ). Понятие отображение обобщается и на большее число переменных, в частности на две. При хаотичном движении частицы, отображенном в фазовой плоскости [л (т), л (т)], траектория стремится заполнить некоторую область фазового пространства. Если фиксировать ее динамические характеристики только в отдельные моменты времени, то движение будет представлено последовательностью точек фазовой плоскости. Если х = х(х ) VI у = х(т ), то эта последовательность точек фазового пространства представляет собой двумерное отображение х =/(х , у ), у +у = ф , у ). [c.681]

Фазовое пространство динамической системы может содержать аттракторы (притягивающие множества), которыми являются, в частности, устойчивые стационарные точки и устойчивые предельные циклы. Каждый аттрактор имеет свою область притяжения, определяемую как совокупность тех точек в фазовом пространстве, из которых выходят траектории, стремящиеся с течением времени попасть на аттрактор (т. е., например, прийти в соответствующую устойчивую стационарную точку или намотаться на устойчивый предельный цикл). [c.138]

Пусть ансамбль из М систем распределен в фазовом пространстве с плотностью р р, д), которая может изменяться во времени за счет перемещения в фазовом пространстве каждой из точек, изображающих состояния каждой системы. Математическая сторона проблемы — 4то рассмотрение движения в фазовом пространстве совокупности точек. При М оо это переходит в задачу о движении некоторой фазовой жидкости с плотностью, пропорциональной р (р, д), зависящей от координат избранной точки в Г-пространстве. [c.54]

Это означает, что плотность вероятности р p,q) является величиной постоянной вдоль фазовых траекторий и не зависит от импульсов и координат ри и qu, если последние изменяются в соответствии с уравнениями движения. Если в фазовом пространстве выделить некоторый объем ДГ, заключающий некоторое число фазовых точек, то через определенный период времени эти точки займут новые положения. Однако по теореме Лиувилля этим точкам будет отвечать объем, численно равный ДГ. Поэтому говорят о сохранении фазового объема при движении систем, принадлежащих ансамблю Гиббса, хотя при таком движении и происходит деформация объема АГ. Сказанное не означает, что плотность вероятности — величина постоянная во всем фазовом пространстве. При движении молекул по законам механики постоянными остаются некоторые функции от импульсов и координат, которые называют интегралами движения. Важнейшим из таких интегралов движения является полная энергия. Поэтому из (111,5) вытекает только, что для систем, подчиняющихся общим уравнениям механики в стационарном состоянии, все области Г-пространства, отвечающие одинаковой энергии, являются равноправными [c.55]

Гораздо более интересный и более общий подход был развит еще в 1937—1939 гг. Е. Вигнером [178—180]. В этих работах три рекомбинирующих атома рассматриваются как члены канонического ансамбля. Объем фазового пространства, в котором могут находиться эти три частицы, можно разделить на две области область рекомбинации, в которой два атома рекомбинируют в присутствии третьего, и свободную область, в которой все три атома сосуществуют независимо. Задача состоит в следующем если в нулевой момент времени три атома находятся в свободной области, то какова вероятность того, что по истечении некоторого времени частицы будут находиться в области рекомбинации фазового пространства. Поскольку траектории трех атомов представляют собой линию в фазовом пространстве, скорость реакции можно представить как число траекторий, которые из свободной области входят в область рекомбинации. Математически скорость реакции можно определить, зная плотность точек в фазовом пространстве и соответствующую компоненту скорости изображающей точки, т. е. мгновенные значения полон ения и импульса атома в смысле механики Гамильтона. [c.364]

Траектории частиц в фазовом пространстве не пересекаются в некоторый заданный момент времени. Это следует из того факта, что начальные условия и время однозначно определяют последующее движение. Таким-образом, если бы две траектории пересекались, то они имели бы одинаковые значения р и <7 в какой-то момент времени и их дальнейшее движение было бы тождественным. В следующем пункте мы увидим, что если гамильтониан не зависит от времени, то (1.2) не будет явно зависеть от времени. В этом частном случае траектория в фазовом пространстве не зависит от времени и траектории не могут пересекаться в двумерном фазовом пространстве. Очевидно, что обобщенное фазовое пространство, у которого в качестве третьего измерения выбрана ось времени, даже если гамильтониан зависит от времени, не содержит пересекающихся траекторий. [c.9]

Преимущество диаграммы в фазовом пространстве заключается в том, что изобилие пересекающихся лучей в конфигурационном пространстве в фазовом пространстве размазывается так, что траектории остаются раздельными. Также очевидно, что существует преобразование (хотя не обязательно реализуемое), которое преобразует фазовое пространство в плоскости изображения либо в сфокусированное изображение, либо в фазовое пространство, которое минимизирует произведение максимального положения и угловых разбросов. [c.122]

В классической механике удобно описывать движение частиц с помощью траекторий в шестимерном пространстве, координатами в котором служат три компоненты вектора г и три проекции импульса р. Это пространство называется фазовым пространством одной частицы, или 11-пространством, Состояние системы из N одинаковых частиц можно определить, задавая координаты каждой из частиц в /х-про-странстве тогда система в целом будет описываться множеством N точек в -пространстве. С другой стороны, можно приписать каждой частице координаты г,.,/> (/= 1, 2, Н) и рассматривать бЛ -мерное фазовое пространство, образованное координатами х, = (г,, / ), /= = 1,2,. .., 7 . В этом пространстве, называемом Г-пространством, состояние системы задается единственной точкой, а изменение состояния во времени описывается единственной траекторией. Эта траектория в свою очередь определяется классическими уравнениями движения для наших целей наиболее удобна система уравнений Гамильтона (см. [80]), имеющая вид [c.45]

Итак, коль скоро уравнение Больцмана необратимо, существуют две возможности либо поведение функции распределения, описывающей состояние газа в фазовом пространстве ( -пространстве), при неопределенно, либо она неким образом приближается к предельной функции. Если функция распределения приближается к предельной функции, то состояние газа должно эволюционировать к равновесному состоянию. Вопрос, который будет нас интересовать в этом параграфе, заключается в том, существует ли величина, измеряющая степень приближения к равновесию в кинетическом масштабе времен. [c.80]

Классификация задач по группам с числом независимых переменных, большим и меньшим трех или равным трем как характеристика размерности задач с большим и малым числом переменных, разумеется, весьма условна и в данном случае выбрана скорее из соображений наглядности графического изображения пространства изменения переменных задачи — фазового пространства. (При числе переменных большем трех графическое изображение фазового пространства отсутствует.) Тем не менее, такая классификация до некоторой степени все же отражает действительные трудности, возникающие при решении задач с размерностью выше трех. [c.34]

При использовании понятия фазового пространства критерий оптимальности можно считать функцией переменных х,- и определенной в (н / )-мерном пространстве. этих переменных, значение которой зависит от положения точки в данном пространстве, или функционалом (см. главу V) с величиной, обусловленной выбором траектории, соединяющей две точки, или в более общем случае две области фазового пространства. [c.55]

Траектория в фазовом пространстве, характеризующая промежуточные состояния процесса при его переходе из начального состояния в конечное, обычно называется т р а е к т о р и е 1[ процесса в данном пространстве. Задание в фазовом [c.192]

Переменные л , г можно рассматривать как координаты фазового пространства для распределения частиц с объемами в интервале (У, У+йУ). Поскольку частицы могут исчезать и появляться в элементе фазового объема в результате процессов дробления и коалесценции частиц, уравнение неразрывности в этом пространстве запищется в виде [c.81]

Дополнительные возможности по управлению положением стационарных точек в фазовом пространстве открывает анализ влияния на координаты как отдельного, единственного, так и неединственных стащюнарных состояний макрокинетических параметров адиабатических моделей, зависящих, в частности, от пространственных координат В этом случае возможностей перемещения стационарных точек в фазовом пространстве сущестиенно больше. Следовательно, открываются новые возможности в организации каталитического процесса с целью его интенсификации. [c.117]

Понятие фазового пространства можно использовать для определения устойчивости в большом и малом. Систему называют устойчивой в малом, если не все фазовое пространство является областью притяжения единственной особой точки. Систему называют устойчивой в большом, если все фазовое пространство является областью притяжения единственной особой точки. Задача об устойчивости в малом и большом возникает только при исследовании нелинейных систем, так как линейная система либо устойчива, либо неустойчива во всем фазовсм пространстве. [c.185]

Фазовое пространство в статистич. механике-многомерное пространство, осями к-рого служат все обобщенные координаты и сопряженные им импульсы , ( = 1, 2,. .., М) системы с М степенялш свободы. Для системы, состоящей из N атомов, и p соответствуют декартовой координате г и компоненте импульса р (а = х, V, нек-рого атома ] тл М = ЗМ. Совокупность координат и импульсов обозначаются д я р соответственно. Состояние системы изображается точкой в фазовом пространстве размерности 2М, а изменение состояния системы во времени-движением точки вдоль линии, наз. фазовой траекторией. Для статистич. описания состояния системы вводятся понятия фазового объема (элемента объема фазового пространства) и ф-ции распределения /(р, д), к-рая характеризует плотность вероятности нахождения точки, изображающей состояние системы, в элементе фазового пространства вблизи точки с координатами р, д. В квантовой механике вместо фазового объема используют понятие дискретного энергетич. спектра системы конечного объема, т.к. состояние отдельной частицы определяется не им-пулы ом и координатами, а волновой ф-цией, к-рой в стационарном динамич. состоянии системы соответствует энергетич. спектр квантовых состояний. [c.416]

Следуя Гиббсу, рассмотрим не саму систему частиц, описываемых уравнением (1.1), а выберем в начальный момент времени Мм различных дисперсных систем, в каждой из которых находится ровно N частиц дисперсной фазы. Все эти системы можно представить точками в пространстве А. Пусть Мм настолько велико и системы выбраны таким образом, что можно ввести в пространстве А непрерывную функцию р, равную плотности систем (плотности точек, изображающих системы). Понятие непрер ывности в обобщенном фазовом пространстве не является тривиальным и требует некоторого пояснения. При анализе физических процессов всегда задаются точностью определения параметров. Значения параметров, различающиеся лишь в пределах заданной точности, считаются физически неразличимыми. Таким образом, установив точность определения компонентов вектора а, мы тем самым зададим размеры некоторого объема ЛЛ. Особенность этого объема состоит в том, что все изображающие точки систем, попавшие в него, будут физически неразличимы. Непрерывность функции р в пространстве А означает совпадение значений этой функции на АЛ в пределах заданной точности ее определения. [c.14]

Во-вторых, в предложенных выше терминах аадача ускоренных испытаний может быть сформулирована следующим образом. Пусть задано фазовое пространство состояний системы изоляции. Процесс износа этой системы будет задаваться некоторой траекторией, на которой в каждый момент времени будет находиться точка, описывающая состояние системы. В фазовом пространстве состояний системы можно выделить некоторое пространство работоспособности системы, которое определяется требованиями эксплуатации. Тогда отказ системы изоляции можно рассматривать как выход процесса состояний системы за границу этого подпространства работоспособности. В частности, если состояние системы изоляции определять только одной компонентой — пробивным напряжением, то отказом считается выход значений параметров распределения пробивного напряжения за пределы некоторых допусков, определяемых законом распределения приложенных напряжений. [c.17]

Системы, состоящие из одинаковых молекул. В системах, состоящих из большого числа одинаковых молекул, которые представляют интерес для химика, целесообразно рассматривать пространственное изображение всех координат и количеств движения для одной молекулы, включая сюда и те величины, которые связаны с поступательным, вращательным и колебательным движениями, отдельно от системы в целом. Для того чтобы различать фазовые пространства, фазовое пространство с 2/ прямолинейными осями, уже использованное для представления си-стежпы или ансамбля систем, было названо у-пространством, причем буква у указывает, что такие системы относятся к газу, т. е. к совокупности молекул. Пространство, применяемое для отдельной молекулы или молекул, обозначается как -пространство, причем буква р указывает, что такие системы относятся именно к отдельным молекулам. Подобно тому как изображающая точка в у-пространстве характеризует точное состояние системы, так и точка в .-пространстве точно определяет положение и количество движения отдельной молекулы. Очевидно, что число осей в (А-пространстве меньше числа осей в у-пространстве. Если молекула имеет г степеней свободы, то -пространство будет обладать 2г измерениями, и если система содержит п одинаковых молекул, то общее число степеней свободы / будет равно пг, а число измерений у-пространства, равное 2/, составит 2лг. [c.359]

Допущение, что текущая энергия активных колебаний и вращений подвержена быстрому статистическому перераспределению, означает, что каждая активная молекула в конце концов перейдет в продукты, если только не будет дезактивирована при столкновениях. Это гораздо менее жесткое допущение, чем то, которое делается в теории Слэтера, где требуется не только достаточная энергия, но и соответствующее распределение этой энергии, прежде чем молекула сможет вступить в реакцию. С точки зрения описания реакции в фазовом пространстве теория РРКМ предполагает, что фазовое пространство рассматриваемой молекулы метрически неразложимо, т. е. оно не разбивается на меньшие подобласти, которые нельзя было бы соединить траекторией движения изображающей точки [3]. Если бы фазовое пространство было разложимо, то это означало бы, что не все состояния с одинаковой энергией свободно переходят друг в друга, и для описания модели нельзя было бы применять чисто статистический подход. [c.108]

В этой модели переменные могут проявлять хаотическое поведение при повышении разности температур АГ, когда значение управляющего параметра превышает критическое значение г с (г > г с)- На рис. IV. 13. показано, как ведет себя переменная у во времени. При г < Гс зависимость у(1) представляет собой затухающее периодическое движение. Однако при превышении критического порога г > Гс в колебаниях появляются нерегулярные хаотические всплески. С ростом г они становятся все более частыми, пока движение полностью не хаотизуется (рис. IV. 14). В трехмерной модели Лоренца (IV.3.1) траектория в фазовом пространстве может быть вычислена на ЭВМ. На рис. IV. 15 показан пример такой траектории, вычисленной при г = 2, а = 10, 6 = 8/3. Как видно, траектория притягивается к ограниченной области в фазовом пространстве. Движение системы блуждающее, т. е. [c.107]

В книге пять глав. В гл. 1 излагаются основные понятия и основы теории, которая используется при решении конкретных проблем или дает возможность по-новому взглянуть на рассматриваемую проблему. В гл. 2 рассматривается адиабатическая инвариантность. Гл. 3 посвящена двум темам. Первая тема касается преобразований фазового пространства с учетом коллективных эффектов. Вторая тема, тесно связанная с первой, рассматривает системы транспортировки пучков, при изучении которых широко используются методы фазового пространства. В гл. 4 и 5 рассматриваются соответственно приложения методов фазового пространства к теории ускорителей и захвату, удержанию и нагреву заряженных частиц. Автор попытался подробно рассмотреть все эти три темы, однако вопросы, подробно изложенные в других работах или требующие громоздкого изложения, рассмотрены поверхностно или вообще опущены. Например, матричные расчеты широко используемых систем транспортировки пучков и ускоряющих систем значительно упрощены, а точные вычисления адиабатических инвариантов более высокого порядка даны только для одного специфического случая. Полностью опущены приложения к синхротронам с жесткой ( юку-сировкой, однако связанный с этим вопрос о накоплении пучков в ускорителях, являющийся важным примером использования методов фазового пространства, рассмотрен. Специалисты могут не согласиться с тем, что некоторым вопросам уделено особое внимание. Это можно в значительной степени оправдать интересом автора именно к этим вопросам. Автор старался, чтобы каждая глава была законченной в отношении содержания, что позволит их читать независимо друг от друга. В силу этого обстоятельства некоторые важные формулы и понятия повторяются. [c.6]

Однако здесь мы сталкиваемся с дилеммой, возникающей из первоначального определения эффективной фазовой площади. Рассматривая преобразование фазовой площади при скачкообразном изменении параметров, мы предполагали, что все фазовые точки внутри эффективной площади образуют возможные начальные условия на этом разрыве. В случае линейных колебаний фазовое пространство первой области не заполняет всего эффективного фазового пространства второй, а как единое целое пересекает со временем все части эффективного фазового пространства. Так как второй разрыв имеет место в за-данный момент времени по отношению к первому, начальное фазовое пространство локализовано в своем эффективном фазовом пространстве во второй области данным линейным преобразованием. Таким образом, для кусочно-по-стоянной линейной системы мы переопределяем эффективную площадь фазового пространства через конечную область системы, промежуточные же области, как считается, сохраняют знание о фазе. Именно в этом случае возможен обоснованный выбор значений фазового сдвига и отношения осей промежуточных секций для уменьшения эффективной Площади фазового пространства. Эта процедура рассмотрена ниже. [c.106]

Частицы попадают в группирователь, будучи разбросанными по фазам, но имея незначительный разброс по энергиям. Из-за последующего значительного рассогласования они совершают колебания по значительной площади в фазовом пространстве. Как описано в гл. 1 и 3, нелинейный характер силы, направленной к положению равновесия, ведет к нитеобразованию в фазовом пространстве. После многих колебаний частицы могут оказаться внутри любой маленькой области фазового пространства, ограниченной колебаниями. С другой стороны, если потенциальная яма изменилась неадиабатически до того, как фазовое пространство стало нитевидным, гамильтониан после изменения будет зависеть не только от началь- [c.190]

Аналитическое рассмотрение двух предельных случаев. В этом параграфе мы оптимизируем число частиц в двух предельных случаях. В первом случае бетатронные и синхротронные колебания считаются некоррелированными. Это соответствует случаю, когда продольное фазовое пространство (ошибка в фазе и импульсе) ведет к синхротронным колебаниям, а поперечное фазовое пространство (радиальный разброс и угловая расходимость) — к бетатронным колебаниям. Во втором случае поперечное фазовое пространство эмиттанса взято равным нулю, и все частицы инжектируются на главную орбиту. Продольное фазовое пространство, таким образом, ведет к полностью коррелированным бетатронным и синхротронным колебаниям. Мы предполагаем, что как продольная, так и поперечная плотность частиц в фазовом пространстве эмиттанса имеет вид [c.195]

Рже. х.4. Схематическое изображеиие движения в фазовом пространстве внутренних координат критически возбужденной молекулы, претерпевающей разложение. [c.197]

Наглядное изображение фазового пространства произвольной размерности п отсутствует. Исключение составляют лиьиь случаи [c.54]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология