Аппроксимация зависимой переменной

Процедура численного решения (3.12) методом конечных элементов сводится к аппроксимации зависимых переменных функциями вида [c.283]

Пример 11-7. Составить план дробного факторного эксперимента для исследования зависимости переменной у от трех факторов Хи и Хз, приняв, что достаточно установления значений х на двух уровнях и линейной аппроксимации [c.29]

Если результаты экспериментальных исследований представлены в виде таблицы, связывающей значения входных переменных XI,. .., рр с выходной переменной у, но характер влияния каждой из выходных переменных не может быть установлен на основе теории, для исследования и последующей оптимизации применяют регрессионный анализ. Он основан на аппроксимации зависимости г/ = / (цц. .., Рр) полиномом (уравнением регрессии) вида [c.22]

Если пытаться поступить подобным образом в случае дифференциальных уравнений в частных производных, то могут возникнуть по крайней мере две альтернативы либо одна из зависимых переменных разбивается на бесконечный ряд дискретных значений переменной состояния, либо состояние системы рассматривается как последовательность профилей, а в качестве траектории принимается поверхность, образованная движением линий профиля во времени в функциональном пространстве стационарных состояний. Первая из этих возможностей связана с конечно-разностной аппроксимацией, которая применяется в численном анализе дифференциальных уравнений в частных производных. Однако вторая возможность более приемлема, поскольку она приводит к удобной геометрической интерпретации. [c.116]

Известен ряд математических моделей физико-химических свойств водных растворов электролитов (плотности, вязкости, теплоемкости и др.). Факторы (независимые переменные) в этих моделях — температура и концентрация компонентов, отклики (зависимые переменные) — физико-химические свойства. В основе моделей лежат полуэмпирические теории, некоторые из них являются удачной эмпирической аппроксимацией. Все модели содержат определяемые экспериментально коэффициенты. Эти модели предназначены для использования в более сложных математических моделях в системе автоматизированного проектирования на ЭВМ. [c.40]

Если в качестве главных зависимых переменных используются общие концентрации всех компонентов или водные концентрации для каждого вещества, то подвижная граница проявляется как неизвестная в сеточных уравнениях и ее необходимо прослеживать особо (так называемые фронтальные методы). Если же выбрать в качестве зависимых переменных суммарные концентрации каждого компонента (формулировка, подобная использованию энтальпии в тепловых задачах с подвижной границей смены фаз), то в этом нет необходимости, но тогда появляются осцилляции из-за недостаточно хорошей аппроксимации разрывов функций на движущейся границе однако, если концентрации на твердой фазе не намного превышают водные концентрации, то последний метод намного эффективнее. При этом на решении задачи образуется зона, не содержащая реагирующей твердой фазы (недонасыщенная зона), которая отделена резким фронтом от насыщенной зоны, где реагирующая твердая фаза либо появляется (осаждение), либо исчезает (растворение). [c.404]

Следовательно, в методе наименьших квадратов порядок определения коэффициентов эмпирической зависимости задается критерием оценки аппроксимации (11—42). Для определения коэффициентов необходимо для конкретной функции записать выражение вида (11—42) и продифференцировать его по каждой из переменных. Полученная система уравнений решается обычными способами. [c.320]

Пусть для аппроксимации экспериментальных данных (xj, I/i), (j = 1, 2, 3,. .., и) используется в общем случае нелинейная эмпирическая зависимость, в которой функция f x) имеет непрерывные частные производные по всем переменным [c.339]

Нелинейные операционные блоки АВМ. Дифференциальные уравнения, которые решаются с помощью АВМ, могут содержать различные нелинейные члены. Соответственно нелинейные блоки АВМ предназначены для умножения переменных величин, их деления, моделирования экспоненциальных и других нелинейных зависимостей. Обычно это достигается аппроксимацией заданной функции линейными отрезками точность аппроксимации зависит от числа таких отрезков, а также от вида функции. Введение любого нелинейного элемента значительно снижает точность решения па АВМ по сравнению с решением задач, не требующих таких элементов. [c.336]

Для выделения функции f(x) удобно пользоваться рис. IV. 2, на котором изображены некоторые простейшие функции, и табл. IV. 3, где дан способ замены переменных, приводящий f(x) к линейному виду. Выбрав близкую к обрабатываемой зависимости функцию по одному из рис. IV. 2, нужно провести в соответствии с табл. IV. 3 замену переменных и в измененной системе координат аппроксимировать у(х) прямой, получив, таким образом, функцию f(x) у(х). Далее, как было сказано, производится аппроксимация разности у(х) —f(x). [c.98]

Функция у х1, хг) может быть задана таблицей значений, каждый столбец которой соответствует фиксированному значению Х2, а каждая строка —Хь Аппроксимируя у х, Х2) как функцию Х) при фиксировании Х2, получим набор аналитических выражений, коэффициенты которых зависят от Х2. Для нахождения этих зависимостей можно повторно применить методику аппроксимации функций одной переменной. [c.100]

Как это ясно из (1), искомые кинетические функции в каждой точке равны производной концентрации соответствующего вещества по независимой переменной г. Эти производные могут быть легко получены графическим или численным дифференцированием экспериментальных кривых, после чего задача исследования сводится к аппроксимации функций г г зависимостями выбранного вида. Дальнейшую обработку можно вести путем подбора значений неопределенных параметров, приводящих к минимуму сумму [c.252]

Следовательно, уравнение (12) аппроксимирует функцию I только в некотором интервале изменения переменных х . Эта аппроксимация тем точнее, чем ближе значения аргументов х,- к постоянным . Кроме того, попадание Б аппроксимируемый участок экстремума должно привести к значительному ухудшению результата, поскольку в таком случае производные типа = (л , находятся в более сильной зависимости от переменной [c.335]

Построение графиков. В курсе обучения физической химии широко применяют графики, позволяющие иллюстрировать соотношения между переменными. На дисплее компьютера можно представить любой график в пределах разрешающей способности эксплуатируемой системы. В изометрической проекции можно даже изобразить сложные трехмерные диаграммы, такие как орбитальные или энергетические функции переходных состояний. Практически любой тип компьютера можно использовать для создания, воспроизведения и размножения таких рисунков на внешнем цифровом графопостроителе. Дополнительные удобства использования микрокомпьютера заключаются в возможности получения оператором значений параметров и масштаба для построения графиков в реальном времени. В одной из работ [21] было использовано быстрое переключение между двумя незначительно различающимися кривыми, подчеркивающее малые различия между кривы.ми титрования слабой и сильной кислот. Идентичные части двух кривых остаются неизменными, тогда как различающиеся мигают. Этот метод можно применять и во многих других случаях. Например, сопоставление точных и приблизительных решений данной химической системы является задачей сравнения с использованием математических преобразований. Снятие ограничений с применимости классических аппроксимаций, таких, как рассмотрение стационарных состояний в кинетике или упрощение формулы pH для разбавленных растворов, позволяет математические рассуждения заменить эмпирическим подходом. Для данного набора параметров можно рассчитать, изобразить графически и сопоставить, как указано выше, обе зависимости — точную и примерную. Затем студент может изменить значения некоторых параметров (концентраций, констант скорости. pH и т. д.) и проследить за результатами нового выбора данных по совпадениям и расхождениям двух кривых. [c.94]

Воспользоваться уравнением (11,97) для расчета коэффициента протекаемости нельзя, так как невозможно рассчитать степень газонаполнения анолита и католита. При расчете протекаемости по адаптивному алгоритму, использующему кусочно-линейную аппроксимацию отображения на плоскости а—Тд сложной функции a=f( ), зависимость (П,97) можно упростить, выделив из нее существенно меняющуюся часть ЛЯа, остальные переменные будут учтены косвенно при адаптации. Таким образом получим уравнение [c.51]

В настоящее время нет удобного аналитического способа линейно-кусочной аппроксимации кривой с заданной точностью при заданном числе отрезков ломаной. Поэтому, в каком бы виде ни была первоначально представлена нелинейная зависимость (график, таблица значений, уравнение), для моделирования на аналоговой машине ее нужно изобразить в виде графика на миллиметровой бумаге в координатах 11 х—Уу, которые в определенном масштабе дают значения аргумента х и функции у. Размер графика должен быть таким, чтобы погрешность изображения не превышала 0,2—0,25% максимального значения переменных. [c.328]

Парциальные молярные величины АЯ и А5, характеризуются в общем случае тем, что они зависят от состава смеси. Векторы АН и А5, следовательно, отличаются от векторов и по своему характеру они меняются при изменении состава. Другими словами, для этих векторов факторизация по зависимости от отдельных переменных не имеет места. Однако коль скоро сами по себе выражения (П. 32)—приближенные за счет аппроксимации теплоемкости, то и для векторов АН и А8 можно пользоваться подобными по точности приближениями. [c.355]

Если использовать введенную ранее аппроксимацию для величины Ч ", перейти от независимой переменной х° к с помощью соотношения (2.2.22) и заменить Ак°т через г ) пО формуле (2.2.23), то получается дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Интегрируя это уравнение с учетом начального условия при = 5., определяем зависимость избыточного теплосодержания -О от безразмерной толщины зоны смешения [c.118]

За последние годы для всех фреонов метанового ряда разработаны уравнения состояния в форме (0.7) или (0.8), т. е. в форме полиномиальных разложений по степеням плотности и температуры. Из табл. 1 видно, что эти уравнения имеют открытый конец и в зависимости от диапазона изменения независимых переменных и требуемой точности аппроксимации могут содержать различное количество эмпирических констант. При этом важно подчеркнуть, что для построения уравнений состояния видов (0.7) и (0.8) применяли машинные методики, а в качестве исходных данных использовали, как правило, результаты точных р, V, Г-измерений [0.1, 0.26, 0.28, 2.1, 3.1, 3.66, 4.3, 4.14] или совокупность экспериментальных р, V, Т- и Ср (р, Г)-данных [3.1, 3.56]. [c.11]

В зависимости от сложности задачи используются различные принципы построения моделей. Зачастую возникает необходимость разработки менее точной модели, но тем не менее более полезной для практики. Возникают две задачи с одной стороны, — нужно разработать модель, на которой проще всего получать численное решение, а с другой стороны, - обеспечить максимально возможную точность модели. С целью упрощения модели используются такие приемы, как исключение переменных, изменение характера переменных, изменение функциональных соотношений между переменными (например, линейная аппроксимация), изменение ограничений (их модификация, постепенный ввод ограничений в условие задачи). Модели, являясь эффективным средством исследования структуры задачи, позволяют обнаружить принципиально новые стратегии. [c.219]

Рассмотрим интерполяцию произвольной функции у[х, /) по каждой из переменных в виде, аналогичном (2.334). Полагая, что в узле [х., нам известно точное значение функции у/, исследуем порядок аппроксимации данной зависимости сплайном в произвольных узлах расчетной сетки и (л, ,, где Ш и у Я - [c.179]

Для решения проблемы нелинейного переноса тепла в настоящее время используется ряд методов. Так, в методе линеаризации, основанном на аппроксимации нелинейного коэффициента, специально подбирается новая зависимость коэффициента, при которой уравнение (1) становится линейным [13] в различных методах подстановок вводятся новые переменные, которые позволяют преобразовать нелинейное уравнение в частных производных к обыкновенному нелинейному уравнению в полных производных (см. [47] и др.), решение которого является более простой задачей. Существуют и некоторые другие методы решения нелинейного уравнения переноса, например приведенные в работе [113] и др Покажем методику применения отдельных методов к решению вопроса нелинейного переноса тепла. [c.442]

Таким образом, оптимальное флегмовое число является функцией числа тарелок, стоимостных показателей и эффективности ступени контакта. Ыя его определения необходимо найти выражение производной аМ/дИ, что может быть выполнено путем многократных расчетов колонн при различных сочетаниях N и К с последующей аппроксимацией зависимости N =// ). По существу, поиск оптимума ведется по двум переменным -числу тарелок и флегмовому числу. Третьим параметром, Елияющим на разделительную способность колонны, является место ввода питания. [c.69]

Фильтрационные задачи могут решаться в напорной и безнапорной постановке. Базовым источником-стоком является скважина, причем дополнительные численно-аналитические процедуры, включенные в ярограмму, позволяют улучшить качество аппроксимации скважин на грубых сетках. На модели могут быть воспроизведены все основные типы граничных условий для зависимых переменных, например, может легко имитироваться взаимодействие пласта и реки с известным фильтрационным сопротивлением ложа. Подобно программе MODFШW, возможно также задание меняющихся во времени граничных условий. Кроме того, для эффективного учета внешних областей потока, слабо влияющих на миграционный процесс вблизи источников-стоков, предусмотрены специальные аналитические приемы, позволяющие резко сократить [c.570]

Идея аппроксимации двумерных характеристик с переменными границами состоит в следующем. Пусть имеется экспериментальная зависимость у = f (х, г) (рис. 4.30, в), заданная, как обычно, в виде семейства п -f- 1 линий У = f (х) при различных значениях 2j = onst (/ = О, 1, 2,. .., я). [c.170]

Наиболее трудоемким является вычисление производных. Если они рассчитываются численно (а это для сложных схем часто единственный способ), то необходимо многократно пересчитывать схему. Помимо больших затрат времени численное определение производных имеет недостатком низкую точность и вследствие этого ошибки аппроксимации, особенно в окрестности экстремума. Применение же уравнений сопряженного процесса, по-видимому, э ктивно в случае явной функциональной зависимости между выходными и входными переменными. В реальных условиях эта зависимость обычно неявная. Что касается метода спуска для вычисления нового приближения, то здесь имеются достаточно эффективные методы [55, 56]. [c.143]

Использование линейных зависимостей позволяет получить решение на ЦВМ значительно быстрее, чем в случае 5гчета нелинейностей. Однако для процессов, имеющих существенную нелинейность, необходимо вводить кусочно-линейную аппроксимацию, что несколько усложняет программу расчета и делает коэффициенты матрицы преобразования технологических операторов ХТС переменными. Кроме того, выбор формы математической модели ТО обусловлен мощностью и математическим обеспечением ЦВМ, на которой выполняется решение. При учете нелинейностей требуется программа решения системы нелинейных алгебраических уравнений. [c.99]

Кратко поясним идет метода. Она заключается в том, что разностная аппроксимация производной по времениподобной координате изменяется в зависимости от знака коэффициента А при Л > О используются левосторонние разности, а при А < О - правосторонние разности (в вычисли тельной гидродинамике такая разностная аппроксимация обычно называется о1щосторонней или разностями против потока см. Роуч [1976]). Аналогичным образом в зависимости от знака В аппроксимировалась и первая производная по переменной . Вторая производная по аппроксимировалась обычным образом. Из качественных представлений ясно, что описанная конечно-разностная аппроксимация по времениподобной координате позволяет осуществить достаточно точное соответствие между областями влияния и зависимости дифференциального уравнения (3.67) и разностной схемы. Полученная разностная схема аппроксимирует дифференциальное уравнение (3.67) с первым порядком точности. [c.127]

Множество переменных функциональных параметров и слолс-ность физических связей между ними осложняют отыскание оптимума функции цели из-за трудностей получения корректных аналитических зависимостей. В уточненных расчетах нашел применение метод аппроксимации степенными функциями и отбрасыванием известных параметрических групп. Степенными функциями аппроксимируют существующие связи между параметрами в узком интервале около налагаемых ограничений. При аппроксимации отбрасыванием известных групп в остатке функции цели исследуют только геометрические параметры и по необходимости применяют известные методы оптимизации. [c.40]

Графическая обработка данных является основным приемом экспериментального исследования. Там, где имеется большой разброс, визуальная подгонка кривой иногда недостаточно точна потому, что на процесс может влиять субъективный фактор вводящей в заблуждение интуиции, особенно там, где имеется более двух переменных. Этот недостаток преодолевается регрессивным анализом, который формализует графическую процедуру выведением уравнения, представляющего эти данные. Основные принципы процедуры в общих чертах описаны в Приложении В. Однако такие методы трудоемки, особенно, если связь нелинейна, и их нелегко освоить даже там, где есть возможности машинного счета. Если у является функцией х, то точки данных хорошо выполненного эксперимента составляют связь y = f x), и, вероятно, мало что можно приобрести формальным регрессивным анализом. Из-за недостатков эксперимента зависимость f(x) может быть скрыта рассеянием данных. К тому же метод аппроксимации не может дать точных значений коэффициентов функции, и ее вид вновь оказывается под вопросом. В таком случае скорее следует говорить о корреляции между у и X, чем о зависимости. Коэффициент корреляции р определяется выражением [c.24]

Модельные представления попользуются, вообще говоря, при любом физико-хилшческом исследовании, хотя бы потому, что эксперимент проводится при фиксированных значениях аргументов, а изучаемая фушщия является часто непрерывной и для ее описания требуется лишь подходящий способ аппроксимации данных, т. е. определенная математическая модель свойства. Аппроксимация известных данных пе представляет особых трудностей, поскольку существуют надежные критерии адекватности модели и описываемого ею явления или свойства, например минимум суммы квадратов невязок илп другие соглашения. Хуже обстоит дело при необходимости использовать в ходе расчетов модель функции, которая не изучается экспериментально, так как, с одной стороны, нет надежных критериев выбора той пли иной формулы, а с другой — результаты расчетов, как правило, сильно зависят от качества выбранной модели и числа неизвестных параметров в ней. Этот случай имеет место при решении обратных задач фазовых равновесий (см. сноску ) и рассматривается иод-робнее ниже. Прп решениях же прямых или обратных, но корректно поставленных задач выбор модели не является определяющим этаном расчетов, и почти всегда можно пользоваться наиболее привычными полиномиальными иредставлениями зависимостей термодинамических функций от переменных состояния. Например, можно аппроксимировать избыточную энергию Гиббса двухкомпонентной фазы отрезком ряда, состоящим из N членов [c.13]

В газоочистных аппаратах мокрого типа скорость осаждения взвешенных частиц зависит от большого числа переменных величин и не может быть в общем случае выражена аналитически. Влияние диаметра взвешенных частиц иа скорость осаждения в газоочистных аппаратах мокрого типа можно установить с помощью коэффициентов парциальной эффективности т) , зависимость которых от приведена на рис. 1.1. Приведенные на рис. 1.1 зависимости ползгчены в результате аппроксимации экспериментальных данных, полученных Стермапдом [1], для пыли [c.12]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология