Машинное решение уравнений

МАШИННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ [c.27]

Неустойчивость решения. У неискушенного читателя могло возникнуть представление, что машинное решение уравнений чрезвычайно простое дело и ведет прямо к цели. В известном смысле это так, но на этом пути имеется несколько трудностей, наиболее серьезная из которых — неустойчивость решения. Рассмотрим вновь первоначальные уравнения [c.33]

При двухстороннем нагреве (охлаждении), что обычно имеет место при переработке эластомеров в смесителях и червячных машинах, решение уравнения теплопроводности будет [17] [c.140]

Соотношение (10) можно значительно упростить в некоторых частных случаях, как, например, при а = Ъ или а Ъ, Окончательные выражения для этих простых условий приведены в работе [16]. Разу меется, упрощенные условия эксперимента реализуются не всегда. Поэтому иногда приходится использовать уравнение (10). Однако пос ле появления быстродействующих цифровых вычислительных машин решение уравнений такого типа не представляет особых трудностей. [c.368]

Примем далее, что интегрирование в машине происходит абсолютно точно. Тогда машинное решение уравнения (1), соответствующее начальным условиям (3), будет иметь вид [c.307]

Для уравнений, общий вид аналитического решения которых известен, рекомендуется на первых лабораторных занятиях сопоставлять результаты машинного решения уравнений с решением, полученным путем вычисления y(t) при нескольких значениях независимой переменной t. Подобное сопоставление машинного и ручного аналитического методов решения иллюстрирует быстродействие и точность аналоговой вычислительной машины и дает возможность выявить ошибки, допущенные оператором в вычислениях или при программировании. [c.80]

В табл. III-3 приведены результаты машинного решения уравнения (III, 19) в заданном диапазоне изменения аргумента. [c.87]

Все проблемы, рассмотренные в этой главе, сводятся к решению обыкновенных дифференциальных уравнений. Мы уже замечали, что в некоторых случаях аналитическое решение невозможно, н решать задачу приходится численными методами. Существуют стандартные программы решения уравнений такого типа на вычислительных машинах. Тем не менее, знакомство с численными методами интегрирования уравнений полезно химику-технологу по двум важным причинам. Во-первых, вопреки распространенному мнению, вычислительная машина не умеет думать , и потому небезопасно давать ей задание, не имея понятия о том, как она его будет выполнять. Во-вторых, иногда возможно и даже желательно проводить вычисления вручную. Метод, который мы сейчас рассмотрим, применим к решению любой системы обыкновенных дифференциальных уравнений, включая уравнения, описывающие неизотермические процессы. Проиллюстрируем этот метод на примере одного уравнения и системы двух уравнений. [c.114]

Для решения уравнений численной модели разрабатывается машинная модель пластовой системы, состоящая из программы или системы программ для ЭВМ. Практические аспекты создания машинных моделей рассматриваются в работе [3]. [c.381]

Чтобы получить машинное решение, значения кинетических коэффициентов были преобразованы так, что коэффициенты легко определялись, когда машинное решение лучше всего совпадало с экспериментальными данными. Зависимость этих коэффициентов от величины обратной абсолютной температуры в полулогарифмических координатах указывает на сходимость данных в широких температурных пределах и подтверждает, что предполагаемый механизм является наиболее вероятным. Информация, которую дает для нашего случая эта графическая форма выражения коэффициентов, основанная на уравнении Аррениуса [c.38]

В тех случаях, когда такие физико-химические явления, как растворимость, массообмен и т. д., оказывают существенное влияние на кинетику, они тоже могут быть учтены подобными же методами. Дифференциальные или алгебраические уравнения, описывающие эти явления, включаются в модель, подготовленную для вычислительной машины. Таким образом, коэффициент массопередачи становится еще одной постоянной, которая должна быть определена путем сравнения машинных решений с экспериментальными данными до тех пор, пока не будет получена наилучшая сходимость. [c.38]

Для некоторых типов оборудования, когда машинное решение дифференциальных уравнений слишком сложно или неизвестны постоянные времени, реакцию системы на ступенчатую функцию часто приходится получать экспериментально. Ступенчатая входная функция может быть легко смоделирована на физической системе при помощи быстро открывающегося клапана, переключателя типа включено — отключено или резкого изменения задания на регулятор. Однако такое возмущение является самым резким видом возмущения, которому может подвергаться система если им неправильно пользоваться, то вполне возможен выход системы из строя. [c.101]

Система уравнений (7.116), (7.120) и (7.122) является нелинейной, и для ее решения необходимо использовать либо методы нелинейного программирования, либо итерационные методы. Наиболее целесообразным с точки зрения затрат машинного времени и вычислительных трудностей являются алгоритмы последовательного определения составов в результате решения уравнений материального баланса (7.120) при заданных значениях констант фазового равновесия, с последующей коррекцией концентраций путем решения уравнений фазового равновесия (7.116). Определение значения фактора расслаивания производится решением уравнения (7.122). [c.310]

Результаты решения уравнения Матье для двух различных комбинаций а ]л q представлены на рис. 270, а, б и получены с помощью электронной аналоговой машины. В первом случае колебания возрастают, т. е. система неустойчива, во втором случае остаются ограниченными (хотя параметр системы одинаков). [c.388]

Первая задача состоит в определении уравнения потенциальной поверхности. Ее решение связано со значительными математическими трудностями, так как требует решения уравнения Шредингера для системы с большим числом электронов, что в настоящее время практически невозможно даже с применением электронных счетных машин. [c.65]

Аналитический метод создания математических моделей широко используется теоретической физикой, однако строгие решения получены только для простейших граничных условий. Таковы, например, решения уравнений теплопроводности и диффузии. Разумеется, всегда были возможны численные решения сложных систем уравнений, однако реальные возможности широкого использования численных методов возникли только после создания усовершенствования вычислительных машин. При всем этом полученные аналитическим путем математические модели нуждаются в идентификации. [c.15]

В результате решения уравнения (5-18) на электронно-вычислительной машине для периода индукции получено выражение [c.113]

Указанное дифференциальное уравнение можно упростить, спуская в уравнении (27) член ( 1Ке) Рт п- Такое упрощение допустимо, так как обратная реакция, как это будет показано нил<е, оказывает на скорость крекинга лишь незначительное влияние. Численное решение уравнения (23) для зерен катализатора сферической формы было получено на электронной счетной машине ВМ для значений GKm Ю 1,0 0,3 0,10. В этом случае <р = гУ к Во) 10 при 1 атм, а ( .з о) — константа скорости, отнесенная к единице объема. Полученные кривые показаны на рис. 16. Кривые неодинаковы по форме. Различия в форме кривых становятся более ясными при проведении их из общей точки. Изменение формы кривых с изменением GKm позволяет определить значение GKm- Зависимость ti от радиуса зерен катализатора, примененного в настоящем исследовании, была найдена из данных, полученных в опытах по крекингу кумола при 420°. Для определения величины GKm нет необходимо- [c.346]

Решение уравнения Шредингера применительно к атомам, представляющим сложную многоэлектронную систему, весьма трудно используются только приближенные методы, в которых волновая функция многоэлектронной структуры представляется в виде суммы волновых функций отдельных электронов. При расчетах применяются быстродействующие электронные вычислительные машины. [c.66]

Безусловно, решение частных механических задач представляет чрезвычайный интерес для теории макроскопических систем и, если оно практически осуществимо, позволяет описать все процессы в индивидуальной системе на языке механики. Кстати, метод численного решения уравнений движения с применением быстродействующих машин успешно используется молекулярной динамикой, — правда, в основном лишь для сравнительно простых систем в расчеты включаются не более нескольких сотен частиц. [c.8]

Выбор методов решения уравнений статики. Вычисление значений у по выражениям (П.З, а) или (П.З, б) и тем более интегрирование дифференциальных уравнений в частных производных обычно осуществляется на цифровой вычислительной машине (ЦВМ). [c.43]

Выбор методов решения уравнений динамики. Полученные аналитическим способом уравнения динамики обычно нелинейны, и для нахождения их численных решений требуется применение аналоговых или, чаще, цифровых вычислительных машин (ЦВМ). [c.65]

В общем случае точки минимума аР преобразованной и а исходной систем уравнений не совпадут. Действительно, у 1) никогда не являются решениями уравнений (IX. 3), а вычисление функций у 1) по экспериментальным кривым приводит к большим погрешностям. Именно поэтому найденные коэффициенты преобразованной системы (IX. 40) следует принимать только лишь за хорошие начальные приближения при поиске Сгц для уравнений (IX.3). Подобное двухэтапное решение задачи несколько усложняет вычислительную процедуру, однако, как показала практика, уменьшает общие затраты машинного времени в 10—100 раз. [c.239]

На рис. У-31 представлена блок-схема набора решения уравнений (V,161)—(V,163) на аналоговой машине. [c.146]

Найти на аналоговой машине решение уравнения (П1,90) в виде у = y t), пользуясь различными методами программирования. Вариант 1. Модифицированный общий juerod программирования. Построение структурной схемы происходит в соответствии с правилами, изложенными в работе 3. [c.137]

Для решения уравнений математической модели могут быть использованы любые счетно-решаю1Цие устройства, а в отдельных случаях (если уравнения решаются аналитически, а число исследуемых вариантов невелико) и непосредственно ручной счет. Наибольшее распространение получили цифровые (ЦВМ) и аналоговые (АВМ) вычислительные машины. Они позволяют математическую модель представить в виде реальной модели, отличающейся по своей физической природе от изучаемого процесса, и с помощью ее провести всестороннее исследование физико-химических закономерностей процесса и промасштабировать опытные данные для промышленного реактора. Цифровые и аналоговые вычислительные машины являются машинами соответственно дискретного и непрерывного действия. Это предопределяет особенности возможностей обоих типов машин и подготовки математической формулировки решаемой задачи. [c.11]

В отличие от ЦВМ аналоговые машины позволяют отыскивать не только конечный результат решения, но и дают возможность моделировать ход самого процесса во времени в соответствии с его действительным протеканием в физической модели. Различие может быть лишь в масштабе физико-химических величин и, в отдельных случаях, в масштабе времени. Для этих машин характерны сравнительнб простые методы решения, экономия времени при расчетах (решение практически осуществляется мгновенно), наглядность получаемых результатов и, наконец, относительная дешевизна их. Однако аналоговая машина решает уравнения только с начальными условиями, в то время как многие задачи математического моделирования являются краевыми. Для решения последних на АВМ обычно пользуются методом проб и ошибок, т. е. последовательно подбирают начальные условия такими, чтобы условия в конце интервала интегрирования были выполнены. [c.12]

Теория показывает, что переход к нормальным координатам всегда иозможен, однако она не дает нам какого-либо прямого и простого пути проведения подобного перехода. Последовательный переход к нормальным координатам почти всегда требует решения уравнений или вычисления детерл1инантов высокого порядка. Некоторый успех был достигнут благодаря использованию для этих целой счетных машин, и в этом направлении можно ожидать дальнейших успехов. [c.298]

Стоятельных систем уравнений, описывающих процессы в отдельных элементах проточной части. При системном подходе к моделированию целесообразно представить расчет параметров в каждом элементе в виде самостоятельных процедур, чтобы при решении конкретных задач для различных ступеней записывать в управляющей программе только обращения к этим процедурам. Преимущество такого подхода очевидно при расчетах многоступенчатых машин, а также при расчетах отдельных элементов проточной части, если для них существуют процедуры численного решения уравнений газодинамики. В этом случае в результате расчета сразу получаются все необходимые параметры. Важно, что переход от одного способа расчета к другому заключается при этом только в изменении оператора, вызывающего соответствующую процедуру или подпрограмму, а структура всей модели или программы в целом в основном сохраняется. [c.102]

Не составляет труда записать волновое уравнение Шрёдингера для атома лития, состоящего из ядра и трех электронов, или атома урана, состоящего из ядра и 92 электронов. Однако, к сожалению, эти дифференциальные уравнения невозможно решить. Нет ничего утешительного в том, что строение атома урана в принципе может быть найдено путем расчетов, если математические (хотя отнюдь не физические) трудности препятствуют получению этого решения. Правда, физики и физикохимики разработали для решения уравнения Шрёдингера множество приближенных методов, основанных на догадках и последовательных приближениях. Проведение последовательных приближений существенно облегчается использованием электронно-вычислительных машин. Однако главное достоинство применения теории Шрёдингера к атому водорода заключается в том, что она позволяет получить ясную качественную картину электронного строения многоэлектронных атомов без проведения дополнительных расчетов. Теория Бора оказалась слишком упрошенной и не смогла дать таких результатов, даже после ее усовершенствования Зом-мерфельдом. [c.374]

Поскольку уравнения (V,26) и (V,27) являются приближенными, было проведено численное решение уравнений (V,19) и (V,20) относительно области PQSRO (рис. V,3) для граничных условий, заданных выражениями (V,21)—(V,23). Все уравнения были преобразованы в безразмерную форму путем введения Р/ = PfIPpga и г/ = у1а, г = г а (или х = ж/а) в этом случае уравнение (V.23) принимает вид dpfldy = 1. Эквиваленты конечных разностей для результирующих уравнений приведены в цитируемой работе Стюарта . При расчете по этим уравнениям на вычислительной машине были получены значения р и определена скорость и по уравнению [c.187]

Одна из трудностей, связанных с исиользованием системы (8.371), состоит в том, что относительно функции ф, (г) она является одновременной системой уравнений. Для любого числа групп, большего трех, трактовка этих уравнений становится настолько громоздкой, что обычно приходится прибегать к численному интегрированию в сочетании с интеративной процедурой. Однако это обычно подразумевает использование больших вычислительных машин. Позтому теперь сосредоточим все внимание на непосредственном переходе к такой методике численного интегрирования, сочетающегося с последовательным интегрированием решения уравнения (8.368), которая не зависит от ограничений, налагаемых допущением (8.370). [c.382]

Описанный алгоритм реализован при решении задачи оптимального проектирования процесса получения окиси этилена на цифровой машине Минск-2 . В качестве оптимизируемой величины был принят критерий 3. При расчете подоптимизация по Т , сводящаяся к решению уравнения [c.218]

Если известны функции /Ссо/НгО и K njH o от температуры, то при заданных температуре, давлении, составе исходной смеси (значение 2а) и соотношении пар газ [х) существуют и два совместных уравнения с двумя неизвестными а и Ь. Решение этих уравнений для аи Ь производится методом проб и ошибок, и его лучше всего выполнять на вычислительной машине (решение дано в приложении). [c.114]

Существует два способа расчета параметров жидкости в пограничном слое. Первый способ заключается в численном решении системы дифференциальных уравнений пограничного слоя, впервые полученных Прандтлем, и основывается на использева-пии вычислительных машин. В настоящее время разработаны различные математические методы, позволяющие создавать рациональные алгоритмы для решения уравнений параболического типа, к которому относится уравнение пограничного слоя. Такой подход широко используется для определения характеристик ламинарного пограничного слоя. Развиваются приближенные модели турбулентности, применение которых делает возможным проведение расчета конечно-разностными численными методами и для турбулентного потока. Второй способ состоит в нахождении методов приближенного расчета, которые позволяли бы получить необходимую информацию более простым путем. Такие методы можно получпть, если отказаться от нахождения решений, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям для каждой частицы, и вместо этого ограничиться отысканием решений, удовлетворяющих некоторым основным уравнениям для всего пограничного слоя и некоторым наиболее важным граничным условиям на стенке и на внешней границе пограничного слоя. Основными уравнениями, которые обычно используются в этих методах, являются уравнения количества движения и энерпш для всего пограничного слоя. При этом, однако, необходимо задавать профили скорости и температуры. От того, насколько удачно выбрана форма этих профилей, в значительной степени зависит точность получаемых результатов. Поэтому получили распространение методы расчета параметров пограничного слоя, в которых для нахождения формы профилей скорости и температуры используются дифференциальные уравнения Прандтля или их частные решения. Далее расчет производится с помощью интегрального уравнения количества движения. [c.283]

Существуют два способа объяснения характера ковалентной связп— метод валентных связей (ВС) и метод молекулярных орбиталей (МО). Первый метод основан на предложенном В. Гейтлером и Ф. Лондоном (1927) решении уравнения Шрёдингера для молекулы водорода На (примененном ранее Гейзенбергом к атому гелия). В тридцатых годах этот метод усовершенствован Дж. Слейтером и Л. Полингом. Второй метод — молекулярных орбиталей — создан несколько позднее Р. Малликеном, Ф. Хундом, Э. Хюккелем, Дж. Леннардом-Джонсом и Ч. Коулсоном. В пятидесятые годы важный вклад в развитие метода сделал К. Рутан, использовав уравнения самосогласованного поля (ССП), разработанные Д. Хартри и В. Фоком для многоэлектронных атомов. Создание математического аппарата и электронно-вычислительных машин позволило проводить многочисленные теоретические расчеты для молекул, беря из опыта значения только межъядерных расстояний. Метод молекулярных орбиталей более употребителен и поэтому рассмотрен более подробно, чем метод валентных связей. [c.176]

Одно из особенно важных достоинств неэмпирических схем расчета состоит в том, что легко установить их строгую иерархию, основанную на сопоставлении получаемых с их помощью значений полной энергии. Свойство вариационности неэмпирических методов дает возможность, улучшая постепенно форму искомой волновой функции, приближаться к результату, достигаемому вначале в харт-ри-фоковском пределе, а затем к результату, достигаемому точным решением уравнения Шрёдингера. Поскольку каждый шаг на этом пути сопряжен с быстрым нарастанием затрат машинного времени, исследователь останавливается на расчетной схеме той или иной степени сложности, обеспечивающей должный компромисс между желаемым уровнем точности решения и затратами машинного времени. Практика расчетов выработала определенные критерии для 204 [c.204]

Большие перспективы для расчета свойств жидкостей открывает применение численных методов метода Монте-Карло и метода молекулярной динамики. Метод Монте-Карло используется для непосредственного расчета средних по тоцу или иному ансамблю на быстродействующих машинах при генерировании цепи очень большого числа конфигураций метод молекулярной динамики состоит в численном решении уравнений движения. [c.361]

Неэмпирический метод расчета связан с решением уравнения Шредингера для многоэлектронной системы. Решение такой задачи в настоящее время возможно лишь в приближенном вариаН те, да и то не для очень сложных систем. Для удовлетворительной степени приближения требуется составление сложных программ и использование быстродействующих машин с большой памятью. Вот почему в настоящее время существует, по-видимому, только одна система, а именно Нз, для которой ошибка неэмпирическо-го расчета не превышает 1 ккал/моль. [c.127]

Основной целью квантово-механического рассмотрения металлов является расчет зонной структуры. Наиболее простым является приближение почти свободных электронов, в котором собственная функция разлагается по функциям плоских волн. Коэффициенты при этом разложении получаются на основе решения уравнения Шредингера с потенциалом свободных атомов. Для решения возникающих сотен линейных уравнений используются вычислительные машины. Медленная сходимость связана с тем, что вблизи сердцевины ионов волновые функции электронов проводимости имеют сильные осцилляции, отвечающие собственным функциям атомов. Чтобы их описать в рамках разложения по плоским волнам, нужно вводить в разложение большое число плоских волн. Положение существенно улучшается в методе ортогонализованных плоских волн. В этом методе функции, описывающие плоские волны, ортогонализируются по отношению к собственным функциям электронов внутренних оболочек ионов. Как указывалось, ортогональность функций в квантовой механике означает, что они разные . [c.644]

Решение уравнений (У,116) и (У,117) можно выцолнить на аналоговой машине в соответствии со структурными схемами, представленными на рис. У-23 и У-24. На рис. У-23 приведена блок-схема, когда и 7ф(() набираются непосредственно на [c.136]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология