Устойчивое значение параметра

СВЯЗИ R I, равным 3 3,5 4 и 5 Л. Для каждой траектории определялось время, за которое изображающая точка фазового пространства попадала первый раз в конечное состояние. Максимальное воемя, до которого рассчитывалась траектория, равнялось 1,5 -10 с. Было рассчитано 32 такие траектории. Даже такая относительно небольшая выборка дала устойчивые значения параметров функции f (г). Оценка параметров f (г) проводилась статистическим методом - модифицированным методом моментов. Функция г [т) удовлетворительно описывается гамма-распределением (3.148). [c.125]

Известно [153], что при значениях параметров, равных бифуркационным, идеальный процесс, описываемый динамической системой, теряет свойство грубости , т. е. устойчивости к малым изменениям вида дифференциального уравнения или, иначе говоря, к.малым изменениям самой математической модели. Это означает, что при малых изменениях коэффициентов дифференциального уравнения (расходов фаз) изменяются основные свойства этого процесса. В нашем конкретном случае исчезает свойство иметь установившееся состояние движения частиц при заданных расходах фаз. Для того чтобы перейти в новое установившееся состояние, необходимо изменить один из расходов, а это в свою очередь приводит к нарушению принятого условия стационарности идеального процесса, описываемого динамической системой. [c.96]

При изменении значений параметров системы дифференциальных уравнений в общем случае изменяются как число, так и устойчивость положений равновесия этой системы. Поэтому полностью решить задачу об устойчивости реактора в малом — это значит определить разбиение пространства параметров его математической модели на области, различающиеся числом, типом и устойчивостью положений равновесия. [c.62]

При л > О / (-к) <0, следовательно, стационарное состояние рассматриваемого реактора устойчиво при любом значении параметра К. [c.69]

Из этих выражений видно, что при всех допустимых значениях параметров а > О и А > 0. Это означает, что исследуемое положение равновесия всегда устойчиво. Для определения его типа вычислим выражение — 4Д [c.70]

Полученные соотношения (И1, 23) и (П1,24) представляют собой параметрические уравнения границы устойчивости на плоскости г/о, т роль параметра играет величина г/.,. Эта граница построена на рис. П1-6 для (х = 2. Легко видеть, что она сохраняет свой характер при изменении ix. Заштрихованная область соответствует таким значениям параметров г/о, т, при которых стационарное состояние исследуемой модели неустойчиво. [c.74]

Выражения (111,72) и (111,73) являются параметрическими равнениями границы устойчивости роль параметра в них играет величина i/s. В зависимости от значений параметров ц, X, и возможны два варианта кривой 0 = 0, изображенные на рис. 111-22. [c.108]

Из этих выражений видно, что при всех имеющих смысл значениях параметров а>0 и А > 0. Таким образом, стационарные состояния модели (111,102), описывающей реактор непрерывного действия, в котором протекает эндотермическая реакция, всегда являются устойчивыми. [c.119]

На рис. 1У-16, а, б, б показано, как изменяется окрестность петли сепаратрисы при рассматриваемой бифуркации. До бифуркации петля сепаратрисы отсутствует (рис. 1У-16, а). При бифуркационном значении параметра появляется петля сепаратрисы (рис. 1У-16, б изображена устойчивая петля). При дальнейшем изменении параметра в том же направлении происходит рождение предельного цикла из петли сепаратрисы (рис. 1У-16, е). [c.144]

В главе П1 было показано, что стационарное состояние системы (V, 8) устойчиво при всех допустимых значениях параметров, а, следовательно, и при выбранных нами значениях а и Я. [c.165]

Разберем сначала случай, когда а = 1, Ф (0) = (0). Положения равновесия уравнения (У.40) являются абсциссами точек пересечения графиков = Ф (0) и = б (9 + 9о)- Из рис. У-5 видно, что уравнение имеет одно, два или три положения равновесия, в зависимости от значения параметра б, причем первое (в порядке возрастания 0) положение равновесия 0 всегда устойчиво, а второе — 02 >0 — неустойчиво. [c.172]

Описанный метод использован для анализа тепловой устойчивости реактора гидрокрекинга, описываемого математической моделью (V.28) — (V.30) при следующих значениях параметров (для размерностей СИ) h = 100, А = 0,53-10 , Тд = 702, г l = 35 Д0 = Их = 30,В, Иа = 35,4, Гет = 298, [c.173]

Если температура исходной смеси задана, то величины Т и а можно менять, варьируя температуру теплоносителя и площадь поверхности теплообмена F. Здесь остается дополнительная степень свободы каждая из величин и F или Т и а может принимать различные значения, достаточно лишь, чтобы было выполнено соотношение (VI 1.9). При некоторых значениях параметров рассчитываемый режим может, однако, оказаться неустойчивым к малым случайным возмущениям и, следовательно, практически трудноосуществимым. Поэтому необходимым элементом расчета реактора является проверка устойчивости выбранного режима. [c.277]

Не все найденные таким образом стационарные режимы являются устойчивыми относительно малых возмущений. Если считать, как обычно, что в случае, когда существует единственное решение, оно всегда устойчиво, а в случае, когда стационарных решений три, устойчивы только два крайних — высоко- и низкотемпературное решения, то выявляется следующая картина перехода между режимами процесса при постепенном увеличении параметра [х. При (X < (Ха существует единственное низкотемпературное решение. При 2 < <С М существуют два устойчивых режима — высоко- и низкотемпературный. Так как, однако, для перехода между этими режимами необходимо возмущение большой амплитуды, реактор будет оставаться в низкотемпературном режиме вплоть до значения параметра [х = [х , выше которого существует только высокотемпературный режим. При обратном ходе (уменьшение параметра (х) реактор скачком перейдет из высокотемпературного режима в низкотемпературный при Х = х . [c.357]

При математическом моделировании ХТС наряду с анализом точности и чувствительности полученного решения, отражающего параметры процесса функционирования системы (параметры состояния системы), важное значение имеют также анализ устойчивости полученных решений (значений параметров стационарных режимов) и обеспечение наиболее быстрой сходимости вычислительных операций. [c.57]

Рассматривая зависимость компонентов движущей силы от к, замечаем, что для работы силы отталкивания она имеет экспоненциальный характер, для работы силы притяжения — степенной, третий член вовсе не зависит от к. При к->-0 работа силы отталкивания стремится к постоянной величине, тогда как работа силы притяжения стремится к бесконечности. Следовательно, на малых расстояниях преобладает притяжение. На больших расстояниях также преобладает притяжение, поскольку степенная функция убывает значительно медленнее, чем экспонента. Только на средних расстояниях может преобладать отталкивание при малых значениях параметра Дебая (при больших в сильных растворах электролитов силы отталкивания малы) [27]. На этих средних расстояниях, где из энергий взаимодействия преобладает работа силы отталкивания, вопрос об агрегации решает связь с третьим слагаемым. Если оно меньше по величине работы силы отталкивания на этих расстояниях, то система становится агрегативно устойчивой (т. е. частицы сближаются до расстояния к, но не могут преодолеть сил отталкивания и расходятся без взаимодействия), если больше, то агрегация возможна. [c.86]

В нашем случае агрегативная устойчивость топливных композиций количественно оценивалась фактором устойчивости - эмпирическим параметром, характеризующим стойкость нефтепродуктов к расслоению. Этот показатель является эксплуатационным, имеющим принципиально важное значение для компаундируемых НДС. Методика определения фактора устойчивости описана в разделе 1.2. настоящей работы. [c.27]

Область устойчивости представляет собой совокупность значений параметров, для которых соблюдается условие устойчивости, определяемое при 1 1 < 1 2 следующим неравенством [c.516]

Устойчивость капли в однородном внешнем электрическом поле с учетом влияния соседних капель рассмотрена в работах [94, 95]. На основе вычисления напряженности электрического поля между каплями найдены следующие критические значения параметра х, определяющего критическую напряженность поля в зависимости от относительного расстояния между двумя одинаковыми каплями [c.80]

Множественность стационарных решений. Опуская в (25), (26) производные но времени, получаем для рассматриваемых моделей нелинейные краевые задачи. Для их решения оказался удобным метод пристрелки, поскольку на правом конце задано только одно граничное условие. Этот метод позволяет найти все стационарные режимы, как устойчивые, так и неустойчивые. Выше было показано, что стационарные решения, найденные по двум моделям, асимптотически сближаются при В >. Расчеты с параметрами моделей из области их практических значений показывают, что эта близость сохраняется и при реальных значениях параметра В . На рис. 10 представлены некоторые результаты расчетов, проведенных в [25, 26]. [c.58]

Прп некоторых значениях параметров в системе (8) и при достаточно малом е в системе (7) возникают автоколебания. Динамическая спстема (8) имеет довольно сложный фазовый портрет, может иметь до пяти стационарных точек, допускает существование устойчивых и неустойчивых периодических решений. Для определения констант предложен следующий метод. Прп некоторых значениях параметров стационарное решение теряет устойчивость, и из него зарождается устойчивое периодическое решение. При дальнейшем изменении парциального давления это решение опять переходит в устойчивую стационарную точку. Таким образом, можно выписать четыре уравнения для определения стационарных точек, два условия на линеаризованную задачу, характеризующие зарождение и исчезновение колебаний, четыре уравнения для скоростей реакции (измеряемых в эксперименте) и их производных, два уравнения для периодов зарождающихся колебаний. Как показывают расчеты, эти уравнения позволяют определить все константы, входящие в уравнения. При [c.88]

Из рис. VI.7 видно, что ири больших значениях параметра б фактор эффективности может принимать различные значения при фиксированных расчетных параметрах процесса. Этому соответствует существование нескольких стационарных режимов процесса на пористой частице катализатора, некоторые из которых могут оказаться неустойчивыми. Анализ этих явлений проводится в работах, указанных в библиографии (стр. 147). Аналогичные явления могут возникать и под влиянием внешнедиффузионного торможенпя процесса (см. раздел IX.7). Определение устойчивости дано в разделе 11.4. [c.144]

Использование при обработке экспериментов анализа размерностей позволило установить, что устойчивое перемещение фронта вытеснения происходит в некотором оптимальном диапазоне значений параметров, определяющих соотношения гидродинамических и кахшллярных сил при вытеснении. При определенных допущениях о кинетике перетоков флюидов было установлено, что при малой скорости вытеснения длина стабилизированной зоны в слоистой среде убывает с ростом скорости, а при больших скоростях возрастает. Отсюда следует, что существует некоторая критическая скорость, при которой длина стабилизированной зоны минимальна. [c.283]

Вопрос об устойчивости положений равновесия, которыми обладает система при фиксированных значениях параметров, может быть решен путем выполнения следующих построений на плоскости у,, построим по уравнению (III, 7) бифуркационную диаграмму. Проводим горизонтальную прямую для заданного значения уо. Находим точки ее пересечения с бифуркационной диаграммой каждая из них соответствует положению равновесия и нногда для краткости будет называться положением равновесия. [c.95]

При изменении значений параметров в противоположном направлении устойчивый предельный цикл конечных размеров появляется в результате разделения полуустойчивого цикла, возиикаю-щегв в момент бифуркации, на два простых цикла. [c.153]

Множественность стационарных состояний. Важнейшая проблема оптимальной организации функционирования промышленного каталитхгческого процесса связана с множественностью-стационарных состояний, в которых может работать контактный аппарат. Проблема множественности состоит в том, что в окрестности различных стационарных состояний контактный аппарат,, как динамическая система, может вести себя по-разному. Точность прогноза поведения реактора в окрестности того или иного стационарного состояния определяется достоверностью математической модели реактора, описывающей совокупность химических, диффузионных, тепломассообменных и гидродинамических явлений в рабочем объел1е технологического аппарата. При этом одни стационарные состояния могут быть устойчивыми (установившиеся режимы, устойчивые предельные циклы), другие — неустойчивыми, чреватыми нарушениями технологических режимов п возникновением аварийных ситуаций. Границы устойчивых стационарных режимов определяются совокупностью значений параметров математической модели нестационарного процесса, при которых происходит срыв с одного устойчивого режима на другой. [c.17]

Пространственно-временные диссипативные структуры типа бегущей волны возникают в связи с образованием предельного цикла, когда концентрации компонентов системы не только колеблются во времени, но и одновременно изменяют свои координаты в пространстве. Такая система допускает волнообразное движение, при котором локальные колебания не организуются для образования стоячей волны, а принимают участие в общем продвижении волновых фронтов. Диссипативная структура в этом случае реализуется по типу бегущей волны во времени и пространстве. Система может обладать несколькими стационарными состояниями, которые соответствуют одному и тому же значению параметра. Типичный пример такой ситуации показан на рис. 7.1, на котором кривая зависимости / (X, а) =0 стационарных значений концентраций X (а) от параметра а имеет три стационарных точки при одном фиксированном значении параметра ц. Если, например, а = о, то а, с — устойчивы, а Ь — неустойчивое состояние. Тогда части кривой АВ и ОС представляют собой ветви устойчивых, а ВС — ветвь неустойчивых стационарных состояний. При достижении бифуркационных значений параметра (а, а") происходят скачкообразнью переходы С А и ВО в экстремальных точках В 11 С кривой f (X, а) = О так что неустойчивые состояния на участке ВС практически никогда не реализуются в действительности. Таким образом, реализуется замкнутый гис-терезисный цикл АВОСА, в котором в результате изменения параметра система проходит ряд стационарных состояний, отличающихся друг от друга при одних и тех же значениях а в зависимости от направления движения. Системы, обладающие способностью функционировать в одном из двух устойчивых стационарных состояний, принято называть триггерными. Последние работают по принципу все или ничего , переключаясь из одного устойчивого режима в другой в результате изменения управляющего параметра а. [c.282]

При фиксированных значениях параметров процесса концентрации реагентов и температура в реакторе определяются совместным решением уравнений (VII.2), (VII.5) или (VII.7), (VII.8). Легко заметить, что эти уравнения полностью эквивалентны уравнениям материального и теплового балансов на внешней равнодоступной поверхности катализатора (см. раздел II 1.3). oглi нo полученным там результатам, при определенных условиях система уравнений материального и теплового балансов может иметь несколько решений, соответствующих однозначно заданному набору характерных параметров процесса. Появление множественных режимов возможно в случае, когда реакция ускоряется одним из ее продуктов или тормозится одним из исходных веществ, а также в случае экзотермической реакции со значительным тепловым эффектом. В этих условиях при плавном изменении температуры исходной смеси или теплоносителя температура реактора изменяется скачком в критических точках перехода между режимами поэтому на графике зависимости Т от Т появляется характерная гистерезисная петля (как на рис. III.4). Заметим, что, в отличие от процессов на внешней поверхности зерна, при проведении процесса в реакторах идеального смешения возможна ситуация, когда не только промежуточный, но и один из крайних режимов становится неустойчивым. Рассуждения, основанные на анализе стационарных уравнений, которые привели к условию неустойчивости (III.51), доказывают только неустойчивость промежуточного режима, но еще не свидетельствуют об устойчивости тех режимов, для которых неравенство (III.51) не удовлетворяется. Более того, существует область значений параметров процесса, в которой имеющийся единственный стационарный режим реактора [c.277]

В области между кривыми 1 ш 2 слева от кривой 1 процесс неустойчив из-за нарушения условия (VIII.24) при этом отклонения от стационарных значений переменных будут увеличиваться со временем путем нарастающих колебаний. В пределе при S О область, где нарушается условие (VIII.24), ограничена прямыми 0 = 0 и 0 = 1 таким образом, только при 9 < 1 устойчивость процесса гарантирована при любом значении параметра S. [c.331]

Заметим, что при 0 >4 процесс может иметь т,ри, стационарных решения (см. раздел II 1.3). Область множественных режимов ограничена кривой 3. Точкам, лежащим между верхними ветвями кривых 1 и 3, соответствует высокотемпературный режим, точкам, лежащим между нижними ветвями этих кривых — ниакотемцера-турный, а точкам, заключенным между двумя ветвями кривой 1 — промежуточный режим, неустойчивый в силу условия (VIII.23) или (III.51), При уменьшении параметра вначале теряет устойчивость высокотемпературный режим в области больших значений 0, затем, по мере движения точки пересечения кривых 1 т 2 влево, область неустойчивости высокотемпературного режима сдвигается в сторону меньших значений 0. При S <9/16 кривая 2 заходит в область слева от кривой 3, где существует только один стационарный режим. В этой области значений параметров процесс, таким образом, не будет иметь ни одного устойчивого стационарного режима. Наконец, при S <1/2 кривые 1 ш 2 начинают пересекаться ниже точки 0 = 4, 0=2, разделяющей высокотемпературную и низкотемпературную ветви кривой 1. В этих условиях появляются неустойчивые низкотемпературные режимы процесса, причем на мере уменьшения ё такие режимы становятся возможными нри вс больших значениях параметра 0. [c.331]

Наименьшее значение (i, при котором могут появляться мнимые собственные значения, соответствует р = О, га = 1, и равно Из условий (VIII.139) видно, что появление мнимых собственных значений в кинетическом режиме практически не может наблюдаться. Прежде всего, обычные значения р для пористых катализаторов превосходят единицу. Кроме того, поскольку Ф1 > 1 (в частности для плоской пластинки я] = л74, а для сферической частицы ф = л ), даже при Р 1 мнимым корням соответствуют значения параметра fi, при которых нарушаются условия протекания реакции в кинетическом режиме. Таким образом, на непрерывной ветви решений, начинающейся с ц = О и соответствующей кинетическому режиму протекания реакции, не возникает явлений колебательной неустойчивости и решения из этой ветви устойчивы вплоть до точки ветвления решений стационарных уравнений. Хотя мы пользовались [c.361]

ХТС — определение параметров фнзнко-химических свойств технологических потоков и характеристик равновесия /3 — разработка приближенных или простых математических моделей элементов 14 — выбор параметров элементов 15 — разработка априорной математической модели ХТС 16 — выделение элементов, изменение параметров которых оказы вает наибольшее влияние на чувствительность ХТС — определение материально-тепловых нагрузок на элементы (расчет матернально-тепловых балансов) 18 — компоновка производства и размещение оборудования 19 — разработка более точных стационарных и динамических моделей элементов 20 — уточнение значений параметров элементов 2/— информационная модель ХТС 22 — математическая модель для исследования надежности и случайных процессов функционирования ХТС 25 — математическая модель динамических режимов функционирования ХТС 24 — математическая модель стационарных режимов функционирования ХТС 25 —значение характеристик помехозащищенности 25 — значение характеристик надежности 27 — значение характеристик наблюдаемости 28 — значение-характеристик управляемости 29 — исследование гидравлических режимов технологических потоков ХТ(3 30 —значение характеристик устойчивости 37 —значение характеристик ин-терэктности 32—значение характеристик чувствительности 33 —значение критерия эффективности ХТС 34 — оптимизация ХТС 35 — алгоритмы для АСУ ХТС 36 —параметры технологического режима 37 — параметры насосов, компрессоров и другого вспомогательного-оборудования Зв —параметры элементов ХТС 39 — технологическая топология ХТС 40 — выдача заданий на конструкционное проектирование объекта химической промышлен ностп. [c.55]

При реакциях иных порядков и других формах зерен для приближенной оценки можно также пользоваться указанными критическими значениями параметров, заменив в параметре г]) велцЧину К (Г ) величиной Я (Со, Т С и величину L отношением Уд/5,,, где У — объем зерна и 5 — его наружная поверхность. Для реакций порядка выше первого область существования одного устойчивого режима шире, порядка ниже первого — эта область меньше. [c.475]

Таким образом, если имеются три решения, то первое (в порядке возрастания 6) отвечает устойчивому состоянию в кинетической области, второе — неустойчивому, а третье — устойчивому в области внешней диффузии. Критические значения параметров А0ад. в Ik, при которых происходит переход из одного устойчивого режима в другой, определяются условиями касания в точках максимума и минимума линий, отображающих функцию г , к прямым, параллельным оси абсцисс (Авад, = onst). [c.513]

Влияние теплопроводности на устойчивость. Примерно постоянная температура в слое может быть обеспечена ступенчатым распределением поверхности теплоотвода по высоте. Часто такой режим оказывается оптимальным. Существенно, что изотермичность здесь обусловлена не бесконечной теплопроводностью, а локальным балансом выделения и отвода тепла. Это позволяет изучить влияние продольной теплопроводности на устойчивость стационарного режима, так как оп при изменении теплопроводности не меняется. Матрица А в (27) для модели диффузии частиц, получаемая дискретизацией линеаризованной задачи (25"), (26), является суммой трехдиагональной матрицы конечпо-разностного аналога диффузионного члена и нижней треугольной матрицы [27]. Все остальные элементы матрицы А — нулевые. Для заданных значений параметров модели находилась граница потери устойчивости системы (27) ири изменении температуры холодильника. [c.60]

На рис. 12 приведены границы потери устойчивости для параметра массообмена В = Ъ при разных значениях параметра теплопроводности. Безразмерный параметр теплопроводности Ь выбран таким образом, чтобы оп не содержал высоту слоя. Кривая Ь = оо разделяет устойчивую и неустойчивую области при бесконечной теплопроводности. Считается, что причиной неустойчивости является обратная связь, влияние последующих участков реактора на предыдущие. По мере ослабления обратной связи (в данном случае теплопроводности) область устойчивости расширяется. Данные рис. 12 подтверждают это положение, но только в области невысоких степеней превращения. По мере уменьшения с =1 характер зависимости меняется на противоположный ослабление обратной связи (уменьшение Ь) расширяет область неустойчивости. Причина этого странного на первый взгляд явления состоит в следующем. В случае достаточно высокого слоя (большая степень превращения) и небольшой теплопроводности имеется слабая обратная связь по теплу и нижняя часть слоя может независимо от всего реактора потерять устойчивость, что приведет к разогреву (или остыванию) сначала этой части, а затем и всего слоя. Переходные кривые такого рода были получены численным счетом нел1шеаризованной системы (25"), (26). Еще одна [c.60]

Здесь Ье, ДВ д — положительные параметры. Нетрудно доказать если О < 00 ЬеДВад, то 0(р, t) ограничена и по теореме 3 стабилизируется. Таким образом, одно стационарное решение-существует всегда. Если оно единственно, то любая функция О 0о(х) < ЬеДВад принадлежит области его притяжения. Показано, что при некоторых значениях параметров могут сущ,ествовать три стационарных решения У1 Уг Vз, а из теоремы 6 -вытекает VI, из устойчивы, иг неустойчиво. Из теоремы 7 следует если [c.97]

Далее приведены примеры численного расчета значений максимальной температуры внутри слоя катализатора и степени превращения па выходе пз реактора прп значениях параметров, соответствующих рис. 4.4. Как видно из рис. 4.11, существует критическое значение длительности цикла t , выше которого происходит затухание процесса. При 1с< 1с величина Гтах слабо зависит от продолжительности цикла, и лишь в области малых значений t наблюдается небольшое уменьшение макснмальной температуры. Гтах достигает минимальных значений при О, т. е. в скользящем режиме. Численный анализ показал, что максимальная температура в слое и средняя за цикл степень превращения х практически не зависят от величины условного времени контакта х , если только величина ТкСТк, где Тк определяет границу существования высокотемпературного устойчивого циклического режима. Увеличение т при прочих неизменных условиях лишь увеличивает температурное и концентрационное плато в слое, не изменяя выходные характеристики процесса. [c.114]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология