Вывод уравнений теории упругости

Вывод уравнений теории упругости [c.94]

Последовательное определение роли электронов в распространении звука связано с выводом уравнений теории упругости для металлов или, что тоже самое, с определением временной и пространственной дисперсии упругих модулей, обусловленных динамическими свойствами электронов. Так как динамика электронов проводимости существенно зависит от магнитного поля, то, естественно, динамические модули упругости будут также зависеть от магнитного поля. Мы не будем излагать здесь вывод уравнений теории упругости для металла (с.м., например, работу [2]) и следствий из них при различных соотношениях параметров. Это потребовало бы не меньше места, чем рассмотрение высокочастотных свойств металлов (часть IV). Мы изложим только основные результаты, относящиеся к распространению звука в металлах, и разъясним их физическую природу. [c.374]

При выводе основных уравнений теории упругого режима мы предполагали, что деформация скелета пористой среды при изменении давления в пласте является упругой (т.е. обратимой при снятии нагрузки) и более того — линейно-упругой. Казалось бы, для этого есть все основания, поскольку изменения давления в процессе разработки пласта малы по сравнению с модулями упругости жидкости и материала пористого скелета, а сам материал скелета обычно является вполне хрупким телом, деформирующимся упруго вплоть до разрушения. [c.245]

Для вывода основных дифференциальных уравнений фильтрации упругой жидкости в упругой пористой среде необходимо воспользоваться уравнением неразрывности потока, уравнениями состояния пористой среды и насыщающей ее жидкости и уравнениями движения. При этом используем подход, развитый в гл. 2, в соответствии с которым в качестве уравнения состояния среды и жидкости используются упрощенные эмпирические соотношения. Как показывают результаты лабораторных экспериментов на образцах пород-коллекторов, а также опыт разработки месторождений, в ряде случаев наряду с изменением пористости вследствие происходящих деформаций существенны изменения проницаемости пластов. Особенно это относится к глубокозалегающим нефтяным и газовым месторождениям. Это вызывает необходимость учета в фильтрационных расчетах как при упругом, так и при других режимах фильтрации изменений проницаемости с изменением пластового давления (см. гл. 2). Развитию теории упругого режима с учетом этого фактора посвящено большое число исследований. Однако изложение этого раздела в более общей постановке, предусматривающей также введение в уравнения фильтрации зависимости проницаемости от давления, заметно усложнит изложение, поэтому авторы считают целесообразным, сохранив традиционный подход, рекомендовать читателям обратиться к монографиям, посвященным этому вопросу. [c.134]

Отметим принципиальную особенность вывода уравнений реологии (3.12.16) и (3.12.19). Он не содержит прямых указаний на то, что сопротивление деформированию ПКС является вязким. Более того, по форме выражение (3.12.17) напоминает уравнение состояния идеального газа. Фигурирующая в нем величина пкТ равна, как известно, давлению газа, а величина Р рассматривалась как сила упругого сопротивления, поскольку ее действие вызывало изменение потенциальной энергии частицы в узле решетки. Для сравнения отметим, что вывод формулы Эйнштейна и ее модификаций с самого начала предполагал вязкий тип напряжений. Это выразилось в том, что сопротивление деформированию суспензии определялось как сопротивление вязкой среды, усиленное благодаря особенностям ее течения в присутствии недеформируемой фазы. Примем во внимание, что силы вязкого сопротивления — это силы, обусловленные потерями энергии, подводимой к системе при ее деформировании. Для доказательства того, что сопротивление деформированию является вязким, необходимо выяснить, где и как при деформировании происходит диссипация энергии — ее превращение в теплоту. Ответ содержится в выражении для работы зРИ упомянутой силы. Согласно этому выражению, деформирующая сила совершает работу, идущую на увеличение потенциальной энергии частицы, только на первой половине (х/2) полного пути Л частицы из одного равновесного положения в другое. В силу симметричного вида зависимости потенциальной энергии частицы от ее смещения из положения равновесия на второй половине п>ти сила сопротивления меняет знак на обратный. Следовательно, на второй стадии движения частица не может оказывать сопротивления деформированию. По этой причине в выражении для работы и фигурирует только половина полного пути. Движение частицы на втором отрезке пути идет под действием внутренних сил деформированной решетки, которые не совершают никакой полезной работы, т. е. полученная на первой половине пути энергия теряется. Механизм превращения этой энергии в теплоту не имеет принципиального значения. Можно, например, считать, что она превращается в энергию упругих колебаний частицы возле положения равновесия, которые постепенно передаются всем частицам, превращаясь, таким образом, в их тепловое движение. В таком варианте диссипации не требуется наличия вязкой дисперсионной среды, и поэтому теория применима к описанию вязкостных свойств обычных жидкостей, в которых дисперсионной средой является ничто — межмолекулярные пустоты. Для суспензий более подходит схема передачи энергии вязкой дисперсионной среде при самопроизвольном движении в ней частицы на второй части пути. Это важно при вычислении времени релаксации вакансий и величины потенциального барьера движения частиц в решетке, величина которого определяет частоту переходов частиц в соседний узел. [c.694]

При выводе уравнения (4.56) предполагалось, что давление пропорционально смещению, в то время как по теории Герца давление должно быть пропорционально смещению в степени 1/2. В последнем случае повышается точность определения глубины погружения [9]. Уравнение (4.56) выведено на основании упрощенной модели вязко-упругого тела (модели Фойгта), показанной на рис. 4.19, а. Эта модель описывает природу вязкоупругости, но она, конечно, не может полностью характеризовать данный вязкоупругий материал, для более точного описания поведения которого необходима модель со сложным набором пружин и демпферов. [c.77]

Уравнения, входящие в полученную теорию, полностью исследуются для них проводится разложение по скейлинг-параметру группы. При этом доказывается, что первый порядок приближения приводит к классической теории упругости, в то время как второй и третий позволяют включать в теорию дислокации и дисклинации соответственно. В статическом случае решения полевых уравнений в линейном приближении воспроизводят в ближней зоне поля напряжений краевой и винтовой дислокаций, причем в дальней зоне эти поля экспоненциально убывают. При изучении динамики выводятся сопряженные системы уравнений Клейна — Гордона. Получающиеся при этом дисперсионные соотношения позволяют непосредственно определить соответствующие константы связи с помощью экспериментов по фононному рассеянию. [c.9]

Конечным итогом ряда теорий является вывод уравнений, позволяющих описывать температурные зависимости предела вынужденной эластичности, модуля упругости и т, д. Например, теория Робертсона дает возможность вывести уравнения для описания зависимости предела вынужденной эластичности стеклообразных полимеров от температуры и скорости деформации. Теоретическое вычисление модуля упругости стеклообразных полимеров можно проделать, воспользовавшись соответствующей моделью . [c.171]

Теория относительности утверждает, что не существует абсолютно твер-лых тел. Различные подходы к задаче о колебаниях твердого тела. Предельный переход к сплошной среде в решении задачи об одномерной упругой цепочке. Вывод уравнения стержня из теории континуума. Замечания [c.333]

Выводы линейной теории кровотока по упругим сосудам тем не менее могут использоваться для изучения ряда характеристик системы кровообращения. Например, измеряя скорость распространения пульса, можно определить модуль упругости сосудистой стенки Е по уравнению (12.18). Измеряя давление в двух близко расположенных участках сосуда и зная / и можно рассчитывать по уравнению (12.11) импульс объемного расхода крови. [c.236]

Таким образом, теория Дебая рассматривает сложное движение центров масс связанных между собой N элементов решетки. Это сложное движение (колебания решетки) предполагается эквивалентным движению ЗЫ независимых одномерных гармонических осцилляторов. Координаты этих гармонических осцилляторов называются нормальными координатами, а их колебания называются нормальными колебаниями. Внутренняя энергия и теплоемкость твердого тела состоят из аддитивных вкладов отдельных нормальных колебаний. Для расчета теплоемкости (вывода формулы, описывающей зависимость теплоемкости от температуры) необходимо знать частотный спектр нормальных колебаний. Частотный спектр нормальных колебаний может быть рассчитан теоретически путем использования так называемого секулярного уравнения. В случае простой решетки решение секулярного уравнения содержит три частотных (акустических) ветви, которые соответствуют трем возможным независимым ориентациям вектора поляризации волн решетки, т. е. трем типам упругих волн, возбужденных в решетке (двум поперечным и одной продольной). Простота формулы Дебая и является следствием ряда упрощений, сделанных при ее выводе. [c.112]

Применение таких моделей законно и полезно, если они ведут к правильным результатам. Физика знает много примеров их плодотворности. Например уравнения электромагнитной теории света выводят из механических свойств эфира как явно фиктивной абсолютно твердой (совершенно упругой) среды. [c.102]

Исходное уравнение и его решение совпадают по существу с широко распространенными положениями из элементарной теории балок на упругом основании или по математическому описанию с моментной теорией цилиндрической оболочки [13]. Это следовало ожидать, поскольку по физическому смыслу задача для цилиндрического ротора совершенно идентична упомянутой задаче о балке. Пользуясь выводами теории балок на упругом винклеровском основании, разберем два возможных варианта решения уравнения — для длинного и короткого ротора. Понятия длинного и короткого цилиндрического ротора бу-бут уточнены ниже. [c.44]

Использование кинетических уравнений открывает один из путей построения микроскопической теории химических превращений. Тем не менее следует иметь в виду, что уравнение (III. 2. 28) обладает рядом важных недостатков. Например, оно не описывает, по-видимому, очень быстрые процессы [66]. Хорошо известно также, что не существует вполне безупречного вывода его даже в случае одних только упругих столкновений (см., например, [67]) при этом необходимо сделать предположение [c.322]

При разработке теории, которая бы предсказывала зависимость е от длины цепи, Флори [279, 280] использовал модель, в которой непрерывная невозмущенная цепь была заменена облаком несвязанных сегментов, концентрация которых была сферически симметричной и являлась гауссовой функцией расстояния от центра тяжести. Значение Gm было подсчитано по теории Флори — Хаггинса [уравнения (П-45) и (Н-46) ] при условии, что рассмотрению подлежат лишь вклады парных взаимодействий сегментов в изменение химического потенциала растворителя. Более того, предполагалось, что эффект исключенного объема приводит к увеличению всех размеров цепи на одну и ту же величину, сохраняя, следовательно, гауссовый характер распределения сегментов. Исходя из этого, можно сделать вывод, что упругая сила сжатия становится равной [c.115]

Это уравнение встречается в теории фильтрации упругой жидкости в упруго-пластической пористой среде. Ниже приводится его краткий вывод. Читатель, не интересующийся конкретной физикой модифицированной задачи, может пропустить этот параграф без ущерба для понимания последующего. [c.54]

Использование кинетических уравнений открывает один из путей построения микроскопической теории химических превращений. Тем не менее следует иметь в виду, что уравнение (2.156) обладает рядом важных недостатков. Например, оно не описывает, по-видимому, очень быстрые процессы [119]. Хорошо известно также, что не существует вполне безупречного вывода его даже в случае одних только упругих столкновений (см., например, [4]) при этом необходимо сделать предположение о независимости сечения рассеяния частиц от внешнего поля, которое в действительности может оказаться слишком грубым. Кроме того, уравнение Больцмана никак не отражает возможности тройных соударений наконец, по существу своему оно является классическим, а описываемые им объекты — квантовыми. Тем не менее система уравнений вида [c.81]

В термодинамической теории неидеальных растворов можнб различить два направления. Одно из направлений берет в основу некоторые частные предположения и допущения. Исходя из част ных предположений и допущений, выводятся уравнения для упругости пара, растворимости, плотности, теплоты смешения и дру- гих свойств. Применимость полученных уравнений ограничивается той, более или мепее узкой группой растворов, для которых ока- зываются справедливыми дой щения, положенные в основу теории. [c.259]

В хорошем растворителе неверно предположение об идеальноцепной упругости. Как обсуждалось при выводе уравнения (1.45), упругая постоянная набухшей цепи много меньше упругой постоянной идеальной цепи. Соответствующие исправления были внесены в теорию только недавно [5, 11]. [c.191]

Влияние внешнего давления на модуль упругости обсуждают авторы работы [76] и приходят к выводу, что для учета развития больших напряжений необходимо использовать нелинейную теорию упругости. В этой теории, согласно уравнению Бирча [77], отношение между модулем упругости и давлением является только функцией коэффициента Пуассона. Но этот коэффициент для сверхориентированных волокон по крайней мере в два раза меньше, чем у образцов, ориентированных обычным способом, так что повышение давления должно вызвать увеличение модуля упругости волокон. [c.80]

Для вязкоупругих тел дифференциальные уравнения по времени выводятся из решений задач теории упругости, так как для удовлетворения граничным условиям для напряжения и смещений на поверхностях раздела используются только те алгебраические операции, которые допустимы для линейных операторов Р, Q, Я и 8. Так же как и в случае трубки, комбинации этих операторов определяют псевдохарактеристические времена, возникающие в дополнение к основным характеристическим временам. [c.508]

Дальнейшее развитие теории шло по пути введения поправок, которыми пренебрегали при выводе уравнения в его простейшей форме. Учет исключенного объема и ограниченной растяжимости реальных цепей в сшитых сетках приводит к негауссовой статистике полимерных цепей [23, 24]. Одновременно с этим в рассмотрение вводятся неафинная деформация и флуктуирующие узлы [25—27]. Дополнительно учитывается [28] функциональность, т. е. число цепей, исходящих из узла сшивки. Более того, вводится [29, 30] предположение о том, что зацепления цепей, фиксированные химической сшивкой, обладают определенной упругостью. Наконец, совершенно отличный подход предложен Килианом [31], который в уравнение состояния типа уравнения Ван-дер-Ваальса ввел два параметра, учитывающих конечную растяжимость цепи и глобальные взаимодействия. [c.382]

Термодиффузия. При изменении температуры газовой смеси и поддержании ее на достигнутом уровне происходит определенное расслаивание компонентов смеси. При этом молекулы более тяжелого газа диффундируют в направлении более низкой температуры до достижения равновесного состояния. Это явление называют термодиффузией. Оно было предсказано на основе положений кинетической теории газов. При одной и той же температуре молекулы обоих компонентов газовой смеси обладают одинаковой средней кинетической энергией [уравнение (7.1.13)], но различным количеством движения ти = ЗкТт, большим у тяжелых молекул. Поэтому более тяжелые молекулы дольше сохраняют направление и скорость движения, перемещаясь преимущественно в направлении снижения температуры, несмотря на постоянные упругие соударения молекул. Это связано с увеличением разности количеств движения молекул тяжелых и легких газов с ростом, температуры. Явление термодиффузии наблюдается и в жидкостях (эффект Людвига — Соре). Термодиффузия возникает и в случае изомерных соединений, на основании чего можно сделать вывод о зависимости ее не только от величины, но и от формы молекул. [c.334]

Опираясь на работы Мурнагана, М. Био пришел к выводу о том, что условия распространения упругих волн при отсутствии и наличии начальных напряжений в среде принципиально отличаются [151]. Сравнивая две упомянутые модели, он показал, что вторая не может быть описана простой подстановкой в уравнения классической теории первой значений упругих модулей, зависящих от напряжения. [c.17]

Некоторые решения разработаны автором и публикуются, насколько ему известно, здесь впервые. Такова теорема о разложении в одном частном случае определителя частот на произведение двух определителей, приведение формул Геккелера для цилиндра и шара, приближенное решение краевой задачи для конической оболочки, раздел о быстровращающихся сосудах, расчет упругих подшипников, расчет центрифуг с упругим подшипником, ряд задач по приложению теории оболочек к расчету сосудов, расчет некоторых типов лопастных и эллиптических мешалок, теория и расчет планетарных мешалок, весь раздел о бандажах (частично опубликованный раньше), определение коэфициента сопротивления лопастных мешалок, вывод распорных сил и т. д. Впервые, насколько известно автору, в предлагаемой им законченной форме сформулировано уравнение сосудов с иллюстрацией его приложения к значительному числу случаев, в частности — к решению задачи о цилиндре, укрепленном бандажами, каковое решение автор имеет основание также считать оригинальным, хотя, в известной мере, не новым. То же относится, очевидно, и к расчету цилиндров со сплошной оплеткой. [c.5]

Оценивая возможности жидкостной смазки зубчатых колес с наружным зацеплением на основе уравнения (5), можно нрийти к довольно пессимистическим выводам. Но дело обстоит более благополучно, чем это вытекает из классической гидродинамической теории, которая не учитывает податливости материала зубьев, считая его абсолютно жестким. В действительности, если давление в масляном слое достигает величины, соизмеримой с расчетным удельным давлением па зубьях по Герцу, то упругая деформация поверхностей зубьев в зоне контакта может оказаться достаточно ощутимой и фактические радиусы кривизны зубьев намного превысят расчетные. Этим во многом и объясняется то обстоятельство, что на практике зубчатые передачи иногда несут в условиях жидкостного трения нагрузку, намного превышающую вычисленную согласно уравнению (5) [c.145]

Приведем здесь термодинамический вывод основных уравнений линейной квазиизотропной термовязко-упругости [50], исходя А из теории Ильюшина [130, 134], на [c.74]