Линейные модели вязкоупругих тел

Здесь т = ц 0 представляет собой время запаздывания при растяжении, а О (оо) = О является равновесной податливостью при растяжении, так как выражение [1—ехр (—t x) становится равным единице при / — оо. Когда I = %, О 1) = 0,630 (оо), т. е. к этому моменту деформация ползучести модели развивается почти на 2/3 от ее равновесного значения. Поскольку рассматривается линейная модель вязкоупругого тела (т. е. сочетание гипотетических Гуковских и ньютоновских элементов), смысл понятия о времени запаздывания не зависит от уровня заданного напряжения. [c.67]

Линейные модели вязкоупругих тел [c.45]

Рассмотрим один из наиболее простых случаев — частотную зависимость величин G, О", tgo и с для вязкоупругой среды, которая может быть описана моделью линейного стандартного вязкоупругого тела. На рис. 58 представлены частотные зависимости указанных выше параметров, рассчитанные по формулам [c.249]

Если в модели стандартного линейного вязкоупругого тела (рис. 9.7) заменить жидкость с вязкостью т]т на среду, вязкостные свойства которой описываются активационной теорией течения с помощью констант и а (рис. 9.7, б), то это приведет к более сложному соотношению между напряжением и деформацией, чем предсказывается линейной моделью, что и является молекулярным основанием объяснения нелинейных вязкоупругих эффектов. [c.192]

Простейшие модели вязкоупругих сред и их обобщения. Теория линейной вязкоупругости была изложена выше как феноменологическое обобщение качественных представлений о среде, способной к релаксации напряжений при деформировании или проявляющей задержанное развитие деформаций после приложения напряжений. Эти представления допускают простое модельное пояснение, основанное на идее о том,, что всякое внешнее воздействие выводит систему из равновесия, к которому она стремится вернуться со скоростью, пропорциональной отклонению от равновесия. Пусть, например, среда подвергается деформированию с некоторой скоростью у. Тогда скорость изменения нанряжения а складывается из составляющей, пропорциональной скорости деформации, и составляющей, пропорциональной величине, которая характеризует степень отклонения от равновесия. При механических воздействиях отклонение от равновесия определяется напряжением. Поэтому изложенная качественная кар-тина, впервые описанная Дж. Максвеллом, приводит к следующему уравнению [c.92]

Совершенно аналогичные соображения могут быть высказаны и в отношении непрерывного распределения времен запаздывания, в результате чего оказывается возможным на основании моделей получить все те формулы, которые ранее рассматривались как феноменологические представления линейной теории вязкоупругости. [c.99]

Некоторые конкретные результаты использования операторов разного строения в дифференциальных моделях вязкоупругих сред будут получены в последующих главах и использованы для теоретического объяснения экспериментальных результатов, касающихся напряжений и соотношений между ними при простом сдвиге и одноосном растяжении. Здесь же ограничимся только указанием путей и способов построения нелинейных реологических уравнений дифференциального типа, обобщающих операторное уравнение состояния линейной вязкоупругой среды. [c.115]

Рассмотрение механических свойств простейшей — максвелловской — модели вязкоупругой жидкости или ее обобщений, записанных в виде дискретных линейных дифференциальных операторов, не дает возможности описать экспериментально наблюдаемую зависи- [c.166]

Модель КСР по своей природе линейная , т. е. она дает результаты, укладывающиеся в рамки линейной теории вязкоупругости. [c.244]

Лоджа переходит в старую модель сетки, предлагавшуюся М. Грином и А. Тобольским еще в 1946 г. Другими словами, соотношение-между моделями сетки Лоджа и Грина — Тобольского такое же, как между теорией линейной вязкоупругости и простейшей максвелловской моделью вязкоупругой жидкости с одним временем релаксации. [c.297]

Хотя в модели сетки используются иные посылки, нежели в модели ожерелья , между ними может быть установлено соответствие. Физическим основанием для этого является то, что возрастание сопротивления перемещению сегментов цепи в модели ожерелья связано с представлением о трении в узлах сетки зацеплений. Однако геометрия движения цени в сопоставляемых случаях различна в модели сетки каждая цепь смещается афинно деформации тела как целого (подобно тому, как это происходит в эластомере, связанном сеткой химических связей), в модели ожерелья цепь перемещается целиком относительно своего окружения. Тем не менее соотношения между макроскопическими напряжениями и деформациями в модели ожерелья совершенно такие же, как в модели сетки, т. е. представляются общим для обоих случаев уравнением линейной теории вязкоупругости. При этом использование модели ожерелья имеет то преимущество, что позволяет в конкретной форме выразить значения времен релаксации в спектре. Тогда выражение для функции памяти в модели сетки заменяется эквивалентным ему, но более конкретным выражением [c.297]

Согласно модели ожерелья (теории КСР) полимерная цепочка, обладающая спектром времен релаксации, не проявляет аномалии вязкости, равно как и нормальных напряжений. Поэтому, как и в линейной теории вязкоупругости, при рассмотрении этой модели вопрос о корреляции динамических и стационарных характеристик системы решается отрицательно, за исключением тривиального случая т] (0) = Tio, когда са ->0. [c.308]

Надмолекулярные структуры и кристаллические образования, которые могут присутствовать в блочных полимерах в довольно больших количествах (70—90% у ПЭ, 95—98% у политетрафторэтилена и даже до 100% у полимерных монокристаллов), влияют на характер релаксационных процессов. Главной особенностью деформационных свойств полимеров, находящихся в стеклообразном состоянии, является их сильная зависимость от величины прилагаемой нагрузки. Причем, если при малых напряжениях характер изменения физических свойств объясняется линейной теорией вязкоупругости, то при высоких напряжениях необходимо использовать нелинейную теорию [4]. С учетом основных процессов молекулярной релаксации деформацию стеклообразных полимеров можно описать, используя пятиэлементную модель (рис. II. 14), отдельным элементам которой соответствует конкретный физический смысл. Так, пружина с модулем Ео описывает идеально упругую составляющую деформации, связанную с деформацией валентных углов и изменением межатомных расстояний. Элементу Кельвина Ех — т] приписывается молекулярный процесс, связанный с подвижностью боковых привесков основной полимерной цепи. Если полимерный материал подвергается внешнему воздействию в температурном интервале, где реализуется такой релаксационный процесс, то это может привести к ориентации [c.169]

При рассмотрении молекулярных и механических моделей предполагалось, что образец находится в равновесии и что никаких изменений материала во времени не происходит. Для малых деформаций влияние времени хорошо описывается линейной теорией вязкоупругости и можно ожидать, что в ближайшие годы будут достигнуты заметные успехи в развитии теории вязкоупругих свойств при конечных деформациях. Здесь необходимо лишь отметить, что хорошее приближение для выражения зависимости напряжения от времени может быть получено на основе рассмотрения зависимости напряжения от деформации в значительном интервале приведенной шкалы времени 75. во [c.309]

Количественный анализ поведения материала при постоянной скорости растяжения может быть проведен на примере линейной модели простого вязкоупругого тела [c.72]

Модель (3.27) называется моделью с двойной релаксацией. В общем случае, как и в линейных дифференциальных реологических моделях вязкоупругих жидкостей, можно записать различные ее обобщения. В частности, дифференциальные операторы могут иметь полиномиальный вид [c.117]

Здесь С (/— ) —релаксационный модуль. Его конкретный вид зависит от механической модели, используемой для описания реального линейного вязкоупругого поведения. Например, для одного максвелловского элемента, состоящего из соединенных последовательно пружины С и поршня г]( , получим определяющее уравнение в виде [c.143]

В разд. 6.3 было введено определяющее уравнение линейной вязкоупругости (6.3-8), рассмотрено его происхождение и возможное применение. Там же показано, что релаксационный модуль О (1) зависит от механической модели, которая применяется для конкретизации общего уравнения ЛВУ. Рассмотрим этот вопрос более детально. [c.147]

Релаксация напряжений и ползучесть линейных несшитых поли-меров только качественно описываются с помощью моделей Фойхта и Максвелла даже при малых напряжениях и деформациях, когда эти материалы линейно вязкоупруги. Рис. 6.6 иллюстрирует сходство и разницу между экспериментом и теорией. Основное отличие состоит в том, что предсказываемая теорией реакция материала иа приложенные извне воздействия описывается простой экспоненциальной зависимостью от времени О ( ) и J ( ), в то время как из рис. 6.6 видно, что экспериментально наблюдаемые значения О (/) н J (1) удовлетворительно аппроксимируются лишь суммой экспонент типа встречающихся в уравнениях (6.4-2) и (6.4-4). Таким образом [c.148]

Поэтому величина ИХ = 1/Ое зависит от абсолютной температуры, т. е. постоянства Ое при больших временах м ожно добиться, понизив температуру или повысив Х, а при коротких временах воздействия — повысив температуру. Температурно-временную эквивалентность можно выразить следуюш,им образом чем ниже температура гибкоцепного полимера, те.м медленнее в нем развиваются процессы ползучести и релаксации, и наоборот. На рис. 6.7 этот принцип иллюстрируется графически на примере релаксации максвелловской модели. Если предположить , что А одинаково для всех X, то принцип температурно-временной эквивалентности будет выполняться для любых линейных вязкоупругих сред с дискретными или непрерывными спектрами времен релаксации. [c.149]

М (I — / ) — функции памяти в модели линейной вязкоупругости и в интегральных моделях, записанных во вмороженных координатах (6.3-14) [c.625]

Приведенные выше механические модели называются линейными, поскольку они описывают только начальный прямолинейный участок кривой растяжения. Упругость эластомера в этой линейной области называют линейной вязкоупругостью. Надмолекулярная структура полимера в этой области меняется незначительно (малые деформации) и ее практически можно считать неизменной. [c.126]

Мы уже знаем, что модель Макс- велла выражает линейную вязкоупругость, т, е. в ней при данной скорости действия силы напряжение прямо пропорционально деформации. Это справедливо и для переменного во времени напряжения и деформации, когда коэффициент [c.133]

Существуют три оси. реологич. модели для тел, не подчиняющихся этим соотношениям вязкоупругие (и упруговязкие) среды, пластичные тела и неньютоновские жидкости. Реальные материалы могут сочетать мех. св-ва, характерные для разл. моделей. При достаточно малых напряжениях, деформациях или скорости деформирования все РУС линейны, но при возрастании деформаций шш напряжений мех. поведение тела становится более сложным и описывается нелинейными РУС. Соотв. различают линейные и нелинейные тела (среды, материалы). [c.246]

Простейшая модель, качественно описывающая основные вязкоупругие свойства, — это модель стандартного линейного тела [144], называемая также моделью Зинера. [c.217]

Значительно лучшим, хотя также качественным приближением, дающим представление о молекулярном механизме, ответственном за вязкоупругое поведение линейных аморфных высоко-полимеров, является четырехкомпонентная механическая модель Алфрея (рис. 1.5), состоящая из последовательно соединенных моделей Максвелла и Кельвина—Фойгта. [c.20]

Кривые группы а смеЩенЫ по оси деформаций. Для определения действительных значений деформаций начало кривой необходимо сдвинуть в начало координат.) Как видно из рисунка, форма кривых меняется весьма существенно. Причины изменения формы кривых при изменении температуры и скорости воздействия обсуждались многократно. Смит [1] дал описание формы кривых напряжение — деформация, исходя из модели линейного вязкоупругого тела, и показал, что форма кривых при различных температурах и скоростях деформирования может быть обобщена путем построения зависимостей приведенного напряжения от приведенной деформации. Полученные таким образом кривые накладываются друг на друга. [c.200]

Модель стандартного линейного вязкоупругого тела [c.245]

Рис. 56. Механическая модель стандартного линейного вязкоупругого тела.

Рис, 58. Частотная теоретическая зависимость величин О, с, О" и tg в для вязкоупругой среды, которая может быть описана моделью стандартного линейного вязкоупругого тела. [c.250]

Согласно этой формуле предполагается, что напряжения сдвига, связанные с деформацией и скоростью деформации, аддитивны. Уравнение описывает одну из простейших моделей линейного вязкоупругого поведения (модель Кельвина — Фойхта) оно будет детально рассмотрено в разделе 5.2.6. [c.78]

Эта модель известна как модель стандартного линейного тела и обычно приписывается Зенеру [3]. Она обеспечивает приближенное описание реального поведения полимеров в их основной вязкоупругой области. Однако, как указывалось выше, она отражает только экспоненциальную реакцию на нагружение. Для количественной характеристики реального вязкоупругого поведения необходимо включить в линейное дифференциальное уравнение ряд высших членов. Получаемые при этом более сложные уравнения эквивалентны или большому числу максвелловских элементов, соединенных параллельно (рис. 5.11, а), или большому числу последовательно соединенных элементов Фойхта (рис. 5.11, б). [c.92]

Уравнение ВЛФ может быть получено теперь следующим простым способом. Все модельные представления о линейной вязкоупругости показывают, что времена релаксации могут быть представлены выражением вида т = г /Е (см. модель Максвелла в разделе 5.2.5), где Т) — вязкость, а Е — модуль упругости. [c.141]

В заключение заметим, что очень часто предпринимаются попытки использовать простые модели Максвелла или Кельвина — Фойхта для описания динамических вязкоупругих свойств полимерных материалов. Из изложенного выше следует, что такой подход является прин ишиально неверным, так как формулы (7.45) и (7.49) даже качественно не могут описать динамические вязкоупругие свойства полимеров. Для качественной оценки вязкоупругого поведения полимеров в некоторых случаях молено использовать модель линейного стандартного вязкоупругого тела или модель, приведенную на рис. 57. Две последние модели можно применять лишь для описания одного релаксационного процесса, в котором распределение времен релаксации может быть в первом (весьма грубом) приближении заменено одннм усредненным, эффективным временем релаксации. Выражения (7.50) — (7.59) качественно правильно описывают динамические вязкоупругие и акустические свойства полимеров они указывают на дисперсию (частотную зависимость) динамического модуля упругости (или дисперсию скорости звука) приводят к конечным значениям динамического модуля как в случае низких частот (со—>О), так и в случае высоких (со—иоо) указывают, что для каждого релаксационного процесса должен существовать максимум на частотной зависимости tgo. [c.248]

Изложенные выше представления об упругих телах, вязких жидкостях и линейных вязкоупругих средах являются теоретическим фундаментом современных концепций реологических свойств-полимеров. Они основаны па модельном описании поведения полимеров как сплошных сред в простейших условиях деформирования. -Так, модель упругого тела описывает совокупность равновесных состояний среды, модель вязкой жидкости — поведение материала в установившемся сдвиговом течении, модель вязкоупругого тела с линейной зависимостью между напряжениями и деформациями — различные режимы деформирования при малых (стрем ящихся к пулю) напряжениях, деформациях и скоростях деформаций. Все эти случаи являются крайними из многообразия возможных процессов деформирования, но вместе с тем они являются важнейшими, так как любые сложные теории реологических свойств полимерных систем должны удовлетворять закономерностям их поведения в заказанных простейших условиях. [c.103]

Модели с изменяющимся спектром могут сочетаться с другими особенностями свойств системы, обусловливающими нелинейность ее свойств. Так, следует учитывать, что реологическое уравнение состояния (1.113), равно как и формулы (1.119) и (1.120), относятся к элементу объема материала, т. е. записаны в конвективной системе координат. Для перехода к иространственной системе координат необходимо пользоваться ойисанными выше формулами, так как это сделано, например, при обобщении интегрального уравнения линейной теории вязкоупругости на случай больпшх деформаций [см. формулу (1.106)]. [c.112]

Дифференциальные нелинейные реологические уравнения состояния. Аналогично тому как реологическое уравнение состояния линейной вязкоупругой жидкости может быть представлено в виде интегрального соотношения (1.79) или в альтернативной форме — Б виде дифференциального (операторного) уравнения (1.104), также и для нелинейной модели вязкоупругого тела возможно ее представление в виде интегральных операторов — наследственных функционалов или в виде нелинейных дифференциальных уравнений состояния с ограниченным числом констант. Основным условием, которое требуется учитывать при построении дифференциальных реологических уравнений состояния, является необходимость использования тензорных величин и их производных по времени, а также согласование систем координат, в которых устанавливаются реологические связи между компонентами тензоров напряжений и ск ростей деформаций. [c.112]

Напряжения, которые выдерживает сетка в каждый момент времени, пропорциональны N, вследствие чего через N выражается функция памяти р,, входящая в реологическое уравнение состояния среды. Зависимость напряжений от деформации описывается с помощью интегрального выражения, в которое в качестве ядра в содит фуп1Й ия памяти, как обычнб в линейной теории вязкоупругости (см. гл. 1). Таким образом, теория Лоджа указывает, что память к предыстории деформирования связана с существованием в материале флуктуационных узлов. Значения констант Ьа,ь а,ь в теории не конкретизируются. Если принять, что все значения Qa,b равны между собой, либо что могут образовываться узлы только одного типа (т. е. что все La,i,, кроме какого-то одного, равны нулю), то формула для N сводится к одной экспоненте и весь релаксационный спектр вырождается в одно время релаксации. Тогда модель [c.296]

Обобщение линейной теории вязкоупругости на случай больпшх деформаций позволяет рассмотреть вопрос о возможных формах корреляции стационарных и динамических характеристик полимерных систем. Как указывалось в гл. 2, в зависимости от формы примененного дифференциального оператора получаются различные предсказания относительно формы зависимостей т(у) и о (у). Однако при этом функции G (са) и G" (со) оказываются инвариантными к способу описания нелинейных эффектов при установившемся течении. Поэтому применительно к рассматриваемой проблеме корреляции динамических и стационарных характеристик полимерных систем использование дифференциальных операторов сложного строения позволяет модифицировать теоретические предсказания относительно стационарных характеристик, т. е. функций т (у) и а (у), но не влияет на вид функций G (са) и G" (со), которые определяются только выбором значений констант используемой реологической модели. [c.304]

В более реалистической модели полимерной системы макромолекула представляется в виде вязкоупругой нити или пористого клубка со статистическим распределением сегментов относительно j eHTpa масс. Вязкоупругие свойства такай модели при сдвиговом деформировании были подробно рассмотрены в гл. 3, где было показано, что эффективная вязкость модели в рамках линейной теории вязкоупругости не зависит от скорости сдвига. Если проанализировать реологические свойства молекулярной модели при одноосном растяжении, то оказывается, что следует ожидать возрастания продольной вязкости с увеличением градиента скорости. Точный вид зависимости Я, (е) определяется числовыми значениями параметров модели. [c.415]

Теперь мы должны перейти к реальному линейному полимеру, состоящему из множества молекул, взаимодействующих между собой. Что же изменится в описанной абстрагированной картине Прежде всего, изменение коснется природы тепловых пружин , т. е. суммарной высокоэластической деформации. Тепловые движения взаимодействующих между собой сегментов могут совершаться не произвольно, а в зависимости от поведения своих соседей. Практически полимер будет обладать не одним значением времени запаздывания 02, а целым рядом значений (от малых до больших). С другой стороны, в полимере пластическое течение в чистом виде осуществляться не может ввиду того, что наряду с мгновенноупругими деформациями развиваются высокоэластические. Весьма интересная но физическому обобщению точка зрения на пластическое течение полимеров Г. И. Гуревича основана, например, на изучении модели вязкоупругого тела Максвелла. В данном случае происходит постепенное нарастание неупругих деформаций, обусловленное упругой деформацией, величина которой поддерживается постоянной. [c.105]

При малых деформациях уравнение (6.3-13) превращается в уравнения ДВУ (6.3-8) и (6.3-9) ( [п " V). При больших деформациях, вводя в (6.3-13) выражение G (/—/ ) конкретного вида, можно получить обобщенные модели линейной вязкоупругости в деформируемой системе координат. Если, как и ран11ше, использовать один максвелловский элемент, можно получить следующий аналог (6.3-10) [c.144]

Вполне логично предположить, что линейное вязкоупругое поведение можно описать (по крайней мере, качественно), если представить, что среда имеет двойственную природу и обладает свойствами ньютоновской вязкой жидкости и твердого упругого тела Гука. Эта идея может быть выражена с помощью простой механической модели, изображенной на рис. 6.5. Если, например, в максвелловском элементе происходит релаксация напряжений (у = О при / < О, 7 = 7о при I > 0), то их зависимость от времени имеет вид (см. Задачу 6.1) [c.147]

Принцип суперпозиции Больцмана применим для всех полимеров, структура которых не зависит от приложенных сил и ие меняется во времени. Ои позволяет описывать линейное вязкоупругое поведение системой дифференциальных уравнений вида La = Dt,, где L и D—линейные дифференциальные операторы по времени. Это выражение эквивалентно описанию вязко-упругого поведения с помощью моделей, состоящих из упругих пружии с различными модулями E и вязких элементов с вязкостями т) (рис. IX. 2). Пружинам приписываются механические свойства идеальной упругости — закон Гука, а вязким элементам — свойства идеально вязкой жидкости — закон Ньютона. [c.214]

Рис. IX. 2. Механические модели Максвелла (а), Кельвина —Фойгта (б), двойная модель Максвелла (в), стандартного линейного тела (Зинера) (г) и обобщенная модель Максвелла ( ), применяемые для опнсани(Г вязкоупругих свойств полимеров

Рис. 60. Температурная зависн-М1 сть величин с. О" и tg 6 аля вязкоупругой среды, соот-аетствующей модели стандартного линейного вязкоупругого гела.

Мак-Крам и Моррис полагают, что а-релаксация может быть интерпретирована как сдвиг, происходящий по границам ламелей. При этом ламели изгибаются под действием приложенного напряжения подобно упругим стержням в вязкой жидкости. Для объяснения полной обратимости наблюдавшейся ими ползучести авторы предположили, что ламели в нескольких точках по длине скреплены друг с другом. Такая система эквивалентна механической модели, в которой упругая пружина соединена параллельно со стандартным линейным вязкоупругим телом, т. е. пружиной и поршнем. [c.172]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология