Точные интегральные методы

Точные интегральные методы [c.46]

При испытаниях активности катализаторов точными интегральными методами в слое катализатора должен осуществляться изотермический режим идеального вытеснения. В настояшее время известно, что в установках лабораторного масштаба такой режим реализуется только в так называемых однорядных реакторах М.И. Темкина (рис. 4). В этих реакторах зерна катализатора располагаются друг за другом в трубчатом реакторе с внутренним диаметром, близким размеру зерен. Для уменьшения влияния [c.46]

Каждый из описанных методов имеет достоинства и недостатки. Интегральный метод легче для применения, поэтому его рекомендуют при проверке конкретных механизмов, когда для описания кинетики используются относительно простые механизмы и, если экспериментальные данные характеризуются таким разбросом, что нельзя надежно определить производные, как это необходимо при дифференциальном методе. В сложных ситуациях целесообразен дифференциальный метод, однако он требует применения большого количества и более точных данных. При интегральном методе надо предварительно предположить вид кинетического уравнения. Это необязательно при дифференциальном методе, который можно использовать для нахождения эмпирического уравнения, наилучшим образом отвечающего полученным данным. [c.59]

Приближенные решения дифференциальных уравнений параболического типа часто ищут методом интегральных соотношений, который основывается на приближенном представлении решения в некоторой возмущенной области многочленом по степеням пространственной переменной с коэффициентами, зависящими от времени. Эти коэффициенты определяются из условия, что приближенное решение должно удовлетворить некоторому интегральному уравнению баланса, полученному из исходного дифференциального, и условиям на границе исходной и возмущенной области. В [16] подробно излагается сущность интегрального метода и приведены решения многих задач, найденные с его помощью. Эти решения хотя и не совсем точны, тем не менее часто вполне удовлетворительны с инженерной точки зрения. Основным недостатком метода является неопределенность первоначального выбора степени многочлена, которым представляется приближенное решение. Этот параметр выбирается, как правило, в виде небольшого целого числа—1, 2, 3 и т. п., и его наилучший выбор значительно влияет на точность [c.36]

Эффективная область применения интегрального метода — контроль натяжения канатов, стержневой или проволочной арматуры в конструкциях из напряженного железобетона (см. 3.4). Используют принцип увеличения частоты колебаний f с увеличением напряжения натяжения ст, который применяют при настройке струн музыкальных инструментов. В первом приближении о = =4p(i/) , где р — плотность материала ОК, а I —его длина. Измеряют частоту или период колебаний и определяют напряжение натяжения ОК. Более точная формула учитывает диаметр ОК и особенности закрепления его концов. [c.164]

Сопоставление результатов численного решения точных интегральных (2.2) — (2.4), (2.7) и приближенных алгебраических (2.4), (2.10), (2.11) уравнений для целого ряда характерных случаев показало удовлетворительную точность метода локальной равнодоступной поверхности [104, ИЗ, 125] (для сравнительно простых реакций ошибка, как правило, не превышала 20%). Довольно хорошее совпадение приближенного и точного решений не следует переоценивать, так как приближенные уравнения (2.4), [c.181]

Коснемся оценки погрешности описанного интегрального метода. Во-первых, здесь пмеет место определенная аналогия с интегральными методами, неплохо зарекомендовавшими себя в теории гидродинамического пограничного слоя [63, 64, 109]. Во-вторых, как следует из результатов этого параграфа, в общем случае произвольного обтекания при О для п = 2 погрешность метода составляет менее 6%. В-третьих, в задачах о диффузии к реагирующим каплям (пузырям) в ламинарном потоке вязкой жидкости и к частицам в идеальной жидкости (что соответствует значению г = 1 в выражении (7.5)) предлагаемый метод является точным. Это можно показать путем непосредственной подстановки формулы (7.5) в исходное уравнение (1.2), после чего придем к уравнению [c.320]

С переводом предприятий нефтеснабжения новые условия планирования и экономического стимулирования каждый процент и доля процента роста таких показателей, как рентабельность, фондоотдача, производительность труда. и ряда других, определяющих результаты производственно-хозяйственной деятельности перевалочных нефтебаз, будут иметь большое значение. Поэтому интегральный метод факторного анализа, позволяющий точно и однозначно оценить влияние изменения каждого из факторов на изменение результирующих показателей, должен стать важным [c.94]

Применение теории подобия к обработке экспериментальных данных для интегрального изотермического реактора, разработанного во Всесоюзном научно-исследовательском институте олефинов, позволяет достаточно точно" определить кинетику сложных параллельно-последовательных превращений, не прибегая к методам графического дифференцирования или усреднения, существенно искажающим кинетические константы. Интегральные методы исследования кинетики химических реакций позволяют наметить механизм превращений и тем самым определить систему кинетических уравнений, описывающих процесс. [c.318]

В ряде случаев течения в свободноконвективном пограничном слое точное решение определяющих уравнений методом автомодельности невозможно. Тогда можно обратиться к методам возмущений или локальной автомодельности или к численному решению методами конечных разностей или конечных элементов. В большинстве случаев эти методы достаточно сложны, поэтому в качестве альтернативы можно воспользоваться интегральными методами, дающими простые приближенные решения уравнений пограничного слоя с приемлемой точностью. [c.161]

В большинстве исследований турбулентных пламен рассматривались пламена, развивающиеся вдоль вертикальных или наклонных поверхностей, и осесимметричные пламена, причем всегда в условиях неподвижной среды. Проведено много экспериментальных исследований, в ходе которых измерялись скорости горения, средние скорости и температуры. В качестве примеров можно привести работы [8, 23, 91]. Результаты расчетов, проведенных в этих работах интегральным методом, удовлетворительно согласовались с данными измерения скорости горения и плотности теплового потока на стенке в области факела. В работах [49, 90] применялась (й — е — g-)-модель турбулентности (см. гл. 11). Решение, полученное в первой из них, позволяет довольно точно определить структуру пламени и скорости горения. Однако остаются неопределенности при расчете как характеристик турбулентности, так и теплового излучения. [c.414]

В тех случаях, когда необходимы расчеты нестационарных концентрационных полей для малых времен от начала массообменного процесса (точнее — для малых значений критерия Фурье), лучшую структуру результатов дает интегральный метод решения уравнения в частных производных (1.45). [c.53]

Как установлено ранее, одной из особенностей исследования сополимеризации является большое количество данных, которые можно получить при определении только составов сополимеров. Необходимые для этого приборы, а также теоретические предпосылки [главным образом уравнение (5.8)] несложны. С другой стороны, для определения относительных количеств различных структурных единиц в сополимере необходимы тщательная очистка полученных веществ и точный чувствительный метод анализа. Чтобы иметь возможность пользоваться уравнением (5.8), а не его интегральной формой, большинство исследователей ограничивали свои измерения очень малыми глубинами превращения. В этих условиях приходится выделять очень малые количества полимера. [c.187]

Но если из-за наличия индукционного периода или по другим причинам пользоваться данными о скорости реакции в начальные моменты времени нельзя, следует применять интегральный метод. В этом случае концентрация добавляемого реагента К должна составлять как минимум 1/50 от концентрации А. Это ограничивает чувствительность определения, так как при низкой концентрации Н скорость реакции мала, что затрудняет точное измерение концентрации. В интегральном методе пользуются уравнением [c.393]

Найденные величины приведены в табл. 3. Из таблицы следует, что при интегральном методе, помимо меньшей затраты времени, получаются более точные количественные результаты [c.103]

В результате сравнения двух рассмотренных методов детектирования можно было сделать следующие заключения если фоновый ток, являющийся характеристикой детекторов, не изменяется, то основное преимущество дифференциального метода регистрации заключается в том, что при этом методе отсутствует влияние на результаты тех параметров, которые могут подвергаться изменениям во время анализа, а именно температуры, давления и, в частности, расхода газа-носителя. Кроме того, даже при неполном разделении компонентов на колонке можно сделать количественную оценку по высотам пиков. С другой стороны, интегральные методы регистрации позволяют провести более простые и точные количественные определения по хроматограммам, если компоненты хорошо разделены. Факторами, ограничивающими чувствительность и разрешающую способность дифференциального метода, являются уровень шумов и постоянная времени системы. В интегральном методе ограничивающим фактором является величина остаточного тока. [c.105]

Кинетика. Использование общепринятых кинетических методов исследования химических реакций —определение порядка реакции (п), константы скорости [к) и энергии активации ( ) — применительно к исследованию разложения ПВХ, и в том числе к наиболее полно изученной реакции дегидрохлорирования, несколько затруднено. Из-за сложности реакции дегидрохлорирования применение интегрального метода определения величин п и к,, а следовательно, и энергии активации может привести к ошибочным результатам. Использование дифференциального метода осложняется тем, что в большинстве случаев не удается точно определить концентрацию реагентов, в данном случае лабильных групп определенной химической природы (стр. 315) даже в начальный момент разложения, не говоря уже о последующих стадиях процесса. Не случаен поэтому тот разнобой, который встречается в литературе относительно величин порядка реакции, константы скорости и энергии активации реакций разложения. Порядок реакции дегидрохлорирования по отдельным литературным источникам изменяется от нулевого - и первого до и l,65 [c.288]

Точные аналитические методы решения уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами разработаны в настоящее время для весьма ограниченного кру-га задач [91]. В основном результаты получены для одномерного полупространства (0 х<схэ). При этом, как правило, замкнутые решения выражаются сложными функциональными зависимостями. Поэтому для инженерной теплофизики предпочтительны приближенные методы даже в тех случаях, когда для поставленной задачи можно получить точные решения. К числу наиболее эффективных методов приближенного решения задач нестационарной теплопроводности при переменных коэффициентах переноса следует отнести метод комплексного применения интегральных преобразований и ортогональной проекции. Если проследить за процедурой вычисления коэффициентов в определяющей системе для уравнения теплопроводности в размерных координатах текущей точки и времени i, то функциональные зависимости теплопроводности, теплоемкости и плотности тела от координаты текущей точки не вносят существенного усложнения при использовании этого метода. Рассмотрим решение задач для одномерных тел. [c.145]

Хотя интегральный метод определения порядка реакции более трудоемок, чем дифференциальный, им чаще пользуются на практике, так как он дает более точный результат. Это обусловлено большей точностью операции аналитического интегрирования по сравнению с графическим дифференцированием. [c.15]

Точный количественный метод проверки опытных данных основан на применении уравнения Дюгема—Маргулеса в интегральной форме. Из уравнения (61) следует [c.82]

Введем теперь в рассмотрение величину б(/), которую назовем глубиной проникания . Глубина проникания 6 t) обладает следующим свойством. Для всех значений л > б( ) можно с достаточной точностью считать, что температура среды равна температуре начального состояния, а тепло не распространяется за пределы этого расстояния. Глубина проникания — аналог толщины пограничного слоя в гидродинамике. Умножив соотношение (1) на dx и проинтегрировав в пределах от л = О до д = 6, получим уравнение, называемое интегралом теплового баланса. Потребуем, чтобы искомое решение удовлетворяло не первоначальному уравнению теплопроводности (1), а осредненному, т. е. интегралу теплового баланса. Отсюда следует, что исходное уравнение теплопроводности будет удовлетворяться лишь в среднем. Такое осредненное уравнение—интеграл теплового баланса— аналог интеграла импульсов в теории пограничного слоя. Впервые интегральные методы были введены Карманом и Польгаузеном [2] для решения нелинейных гидродинамических задач пограничного слоя. Современное состояние метода Кармана — Польгаузена и библиография по этому вопросу рассмотрены в монографии Шлихтинга [3 ]. Одна-ко этот же метод с одинаковым успехом можно применить для решения любой задачи, описываемой уравнением диффузионного типа. Уравнениям данного типа подчиняются такие процессы, как процесс нестационарной теплопроводности в твердых телах, неустановившееся течение жидкости в пористых средах, смешение двух биологических разновидностей, распространение слухов (из области социальных наук). Ниже интегральный метод будет развит применительно к задачам теплообмена. Решения, найденные с его помощью, хотя и не совсем точны, тем не менее часто вполне удовлетворительны с инженерной точки зрения. [c.42]

Соотношения (140) и (142) должны быть разрешены относительно (б —я) и 5. Начальные условия могут быть получены из решения задачи методом Лагранжа для интервала времени, предшествуюш,его плавлению (см. табл. 1, решение 111.С). При этом оказывается возможным получить замкнутое решение в параметрической форме, подобное тому, которое было найдено интегральным методом. Вывод такого решения мы опускаем. Получаемые при этом результаты находятся в хорошем согласии с точным решением Ландау [27]. [c.66]

Для уяснения ограниченности интегрального метода рассмотрим решение (12), которое выражает температуру поверхности через произвольно меняющийся во времени тепловой поток на поверхности полуограниченного тела. Без ограничения общности будем полагать, что = 0. Предположим теперь, что тепловой поток F t) — импульсный, т. е. допустим, что он, достигая максимального значения, падает затем до нуля, после чего остается неизменным (и равным нулю). Согласно решению (12) температура поверхности достигает максимума спустя некоторое время после того, как поток становится максимальным (/ макс), и падает до нуля как раз в тот момент, когда обращается в нуль величина потока, после чего температура поверхности продолжает оставаться равной нулю. Однако нам известно точное решение этой линейной задачи, и в соответствии с точным решением, а также с нашими представлениями о физической природе процесса мы знаем, что при импульсном потоке тепла на поверхности температура поверхности должна достигать максимального значения, а затем постепенно спадать, асимптотически приближаясь к нулю. Таким образом видно, что решение (12) отклоняется от истинного решения спустя некоторое время после достижения потоком максимального значения макс. а для времени, непосредственно предшествующего моменту обращения потока в нуль, решение (12) оказывается совершенно неверным. Аналогичная неудача постигла бы нас и тогда, когда мы с помощью интегрального метода попытались бы отыскать поток на поверхности при импульсном изменении граничной температуры по известному закону. [c.68]

На рис. 4 и 5 показано изменение температуры поверхности, найденное с помощью расширенного интегрального метода для случаев, когда форма импульса теплового потока параболическая и треугольная. Для этих случаев известно также точное решение задачи из рисунков видно, что точное и приближенное решения хорошо согласуются. [c.71]

Рис. 6. Изменение температурного градиента на поверхности полуограниченного тела при треугольном импульсе аккумулированного тепла. Сравнение точного решения (1) с решением, найденным с помощью расширенного интегрального метода (2).

Рис. 7. Профили температур в полуограниченном теле с импульсным изменением аккумулированного тепла для интервала, на котором тепло отбирается от тела. Сравнение точного решения (7) с решением, найденным с помощью расширенного интегрального метода (2).

Рис. 8. Изменение температуры поверхности л = О бесконечной пластины при треугольном импульсе теплового потока на этой поверхности (см. рис. 5) и адиабатическом условии на границе х = 1. Сравнение точного решения (1) с решением, найденным с помощью интегрального метода (2).

Мы видели, что во всех случаях, когда известно точное решение задачи, сравнение результатов расчета выявляет небольшие, но неизбежные погрешности приближенных решений, найденных интегральным методом. Поэтому возникает вполне естественный вопрос а нельзя ли эти погрешности если не устранить полностью, то по крайней мере существенно снизить и таким образом улучшить точность метода Простой и очевидный путь, который можно было бы использовать для улучшения точности, — это увеличить степень полинома, представляющего температурный профиль. Каждый дополнительный коэффициент, который при этом вводится, определяется затем из ограничений, налагаемых на профиль температур в конечных точках интервала изменения. Условие плавности (18) — типичное ограничение такого рода. [c.77]

Метод коллокаций. Метод коллокаций, по-видимому, наименее точный из всех методов решения дифференциального уравнения и, по существу, не дает улучшения точности результатов интегрального метода. Однако он представляет собой разновидность метода взвешенных остатков, и, несмотря на отмеченный недостаток, в самом принципе метода заложена возможность его-улучшения. Метод коллокаций можно применять к задачам с ненулевыми начальными условиями, что мы и рассмотрим ниже. Если температура на границе — заданная функция, то на этой границе не могут располагаться точки коллокации. Во всех других случаях расположение точек коллокации можно выбирать произвольно. Для иллюстрации применения метода рассмотрим конкретный пример. Пусть имеется неограниченная пластина толщиной I. Температурное поле описывается уравнением (1) с граничными условиями [c.78]

К недостаткам метода ТМА следует отнести общие для всех интегральных методов недостаточно точное определение температур переходов, а также зависимость положения переходов от условий испытаний, что затрудняет сопоставление экспериментальных данных. Однако новое поколение термомеханических спектрометров фирмы 8о1ота1 имеет чувствительность элементов в 1000 раз выше обычной [10]. [c.374]

Для эталонирования используют воздух, насыщенный парами ртутн. Генератор воздуха, насыщенного парами ртути, представляет собой термо-статируемый с точностью 0,1 °С литровый закрытый сосуд, у которого все дно покрыто тонким слоем ртути. Концентрацию паров ртути в атмосфере сосуда подсчитывают на основании ее температуры. Аз сосуда шприцем отбирают порцию ртутно-воздушной смеси и разбавляют чистым воздухом до нужной концентрации. О количестве ртути судят по высоте пиков и по их площади. Интегральный метод оказался более точным и чувствительным. Предел обнаружения ртути составляет 0,3 нг. Коэффициент вариации результатов анализа равен 7% при содержании в пробе 100 нг ртути. Описанный метод нечувствителен к органическим соединениям ртути [279]. [c.172]

Точное решение этой задачи, приведенное Карслоу и Егером [1], идентично соотношению (35), за исключением того, что вместо коэффициента /3/8=0,602 в решении стоит множитель)/1/я = 0,564. Этому соответствует ошибка около 7%. Для решения подобной задачи Рейнольдс и Долтон [16] также использовали интегральный метод, но их результат отличается от приведенного за счет различия в условиях, налагаемых на кубический профиль температур. Вместо использования производного условия плавности (18) авторы, дифференцируя соотношение (32) и подставляя результат в уравнение (1), вывели другое граничное условие. В результате решения получено выражение для теплового потока на поверхности д = О, совпадающее по форме с уравнением (35). Численный коэффициент решения оказался равным )/9/32=0,530, т. е. ошибка в этом случае составила около 6%. Такое различие в методике решения наглядно показывает общее свойство интегрального метода, суть которого состоит в том, что в этом методе выбор температурного профиля не однозначен и до некоторой степени произволен, а ошибка получаемого решения в значительной мере определяется разумным выбором профиля. Таким образом, имеется некоторая неопределенность, присущая самому методу, и эта неопределенность может быть разрешена только при строгом математическом исследовании. Схема итераций Шамбре в применении к исследованным задачам обладает необходимой строгостью, так как благодаря наличию доказанной сходимости имеется гарантия того, что, независимо от первоначально выбранного профиля, окончательное решение может быть получено с любой желаемой точностью. Можно считать, что в рассмотренном нами частном случае итерация сходится на протяжении одного шага, ибо, подставляя выражение (35), которое имеет ту же форму, что и точное решение, в уравнение (31), мы видим, что температура поверхности действительно постоянная величина, но только значение этой величины взято нами неправильно. Исправив данное значение, мы тем самым завершим процесс итерации. [c.48]

При сравнении уравнений (48) и (49) видим, что точное значение собственнога числа я /4=2,467, а не 2,4, в то время как точное значение коэффициента экспоненты 8/я = 0,811, а не 0,814. В разд. VII будет показано, как интегральный метод можно использовать для получения собственных чисел и собственных функций более высокого порядка при одновременном улучшении точности. [c.50]

Блехер и Саттон [31] рассматривали задачу об абляции при импульсном подводе тепла. Такое граничное условие возможно при посадке космического корабля. Сравнивая результаты, полученные интегральным методом, с результатами, найденными по более упрощенным моделям (например, по квазиста-ционарному приближению), авторы пришли к выводу, что все методы дают довольно верные значения для скорости абляции, однако упрощенные методы не позволяют правильно рассчитать получающийся при этом профиль температур. На основе такого сравнения трудно судить о преимуществе интегрального метода, потому что, во-первых, нет точного решения задачи и, во-вторых, как оказалось, в некоторых задачах с импульсным подводом тепла сам интегральный метод дает неверное значение профиля температур (см. разд. VI). Кроме того, Альтман [32], также рассматривавший задачу абляции при импульсном подводе тепла и использовавший профиль температур в виде полинома, получил хорошее согласие с решениями, найденными конечно-разност-ным методом. Хотя в других задачах с импульсным подводом тепла интегральный метод ведет к неверным результатам, в задаче об абляции он дает, по-видимому, правильное решение. Причина этого остается неизвестной. [c.62]

Ван дер Вельден и Шафере [34] независимо от других авторов разработали вариант интегрального метода в применении к задаче замерзания в случае цилиндрической симметрии. Авторы приняли логарифмическую форму профиля температур в соответствии с выражением (59). Согласно их данным полученные при этом результаты всего лишь на несколько процентов отличаются от более точных результатов. [c.63]

Эта же задача решена независимо Ларднером [42]. В своей работе Ларднер использовал метод Лагранжа для решения задачи, рассмотренной в разд. IV. В, и сравнил полученные результаты как с точным решением, так и с решением, найденным с помощью интегрального метода. [c.65]

Для постоянного теплового потока F глубина проникания будет определяться зависимостью вида б = ( ) Yat, а температура поверхности — зависимостью z = ) В табл. 2 приведены значения коэффициента пропорциональности для б и г, который должен стоять в круглых скобках. Решения даны для трех возможных схем счета, здесь же— результаты, найденные интегральным методом, и результаты точного решения. Из табл. 2 видно, что результаты, полученные по методу Швеца для задачи с постоянным тепловым потоком, имеют низкую точность. Уместно напомнить для сравнения, что в задаче со ступенчатым изменением температуры, решенной с помощью метода ШвецгГ, точность результата оказалась недостаточно высокой. Конечно, для повышения точности могут быть сделаны приближения более высокого порядка, однако при этом резко возрастает трудоемкость счета. Описаный метод можно использовать для решения нелинейных задач, и сам Швец применял его для решения некоторых нелинейных задач о пограничном слое, получая при этом удовлетворительную точность уже после первого приближения. [c.67]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология