Система координат. Уравнения задачи

Для оценки электростатического взаимодействия частиц с искривленной поверхностью необходимо установить строение ДЭС в зазоре между частицами, т. е. решить в соответствующей системе координат уравнение Пуассона— Больцмана. При решении этой задачи для произвольных значений потенциала 115 не удается получить аналитический результат. [c.144]

В цилиндрической системе координат соответственно при решении задачи в плоскости (гг), когда = О, уравнение неразрывности [c.70]

Система координат. Уравнения задачи [c.58]

При высоких требованиях к чистоте исчерпанной жидкости построение очень малых ступеней затрудняется. Увеличение масштаба тоже не облегчает задачи. В этом случае удобнее воспользоваться логарифмической системой координат. Уравнение кривой равновесия ( -66) содержит величину относительной летучести а. Для малых значений X знаменатель уравнения приближается к единице и уравнение упрощается [c.484]

Для определения общего числа столкновений между частицами первоначально рассчитывают количество частиц, сталкивающихся с одной выделенной частицей. Решение этой задачи сводится к решению в сферической системе координат уравнения стационарной диффузии [c.158]

На рис. 1.4 показана схема двухслойного пленочного течения и выбранная система координат. Краевая задача для Х-компонент скоростей слоев и Т4(1") описывается уравнениями [c.24]

Правые части (3.79) являются гладкими, (т. е. сколь угодно раз дифференцируемыми) в окрестности начального вектора у , откуда следует, что решение у(у , I) начальной задачи Коши существует и непрерывно зависит от координат начальной точки. Это означает, что начальная задача Коши поставлена корректно. Известно также, что решение системы кинетических уравнений (3.79) является устойчивым и асимптотически устойчивым по Ляпунову [7, 36]. [c.170]

Симметричная задача для щара (рис. 1П.З) в сферической системе координат г,ф,0 описывается уравнением (для процесса диффузии) [c.73]

Для решения системы (3.102) сингулярных интегральных уравнений можно применить приближенный метод интегрирования [671. Интервалы интегрирования разбиваются на достаточно большое число частей, интегралы заменяются конечными суммами, так что система интегральных уравнений сводится к системе линейных алгебраических уравнений, решением которой задача отыскания функций ( ) доводится до конца. Остается определить интенсивности вихрей и координаты их центров а , Ь . Как следует из (3.98), знание зтих параметров полностью решает задачу о распределении скоростей газа в камере с наклонными перегородками (величины В, 1 , а , Уоо задаются априори исходя из геометрии аппарата и условий его эксплуатации). [c.180]

Метод нестационарных сеток. Для приближенного решения нестационарной краевой задачи в заданной области Q = QX X 10, Г], Й<=Л , конечно-разностными методами необходимо в Q построить разностную сетку. Зададим для этого произвольное разбиение отрезка [О, Т узлами /с = О, N, и для каждого построим в й сетку по пространственным переменным 2л. Совокупность всех узлов лт = 1 3л, образует сетку в Q. Сетку Qh будем называть нестационарной (НС), если 2 2 хотя бы для одного к < N. Другой способ построения НС состоит во введении подвижной системы координат, в которой берется стационарная сетка. Такие сетки будем называть подвижными (НС). НС появляются естественным образом при стремлении сократить вычислительную работу, требующуюся для нахождения приближенного решения с нужной точностью, путем минимизации числа узлов разностной сетки. Различного вида НС рассматривались в работах [11—20]. В [И, 12] для приближенного решения уравнения теплопроводности построены оптимальные НС с увеличением шага по пространству в два раза при переходе с А-го времен- [c.158]

Изучим теперь задачу Коши с той же разрывной начальной функцией для уравнения (4.1.3), которое описывает процесс теплопроводности в потоке, движущемся с постоянной скоростью а. Перейдем к системе координат, связанной с потоком, т. е. введем новую пространственную переменную Х1 по формуле Х1 = х — а1. Легко видеть, что уравнение (4.1.3) обратится в уравнение (4.1.4). Т ким [c.84]

Поскольку 2 > 1. в некоторый момент г тылы оторочек столкнутся. Для нахождения всех неизвестных в этот момент (х (х1) = Хв, ( 1) = = х (х2) = Хю, ( 2) = и) необходимо подставить в решение задачи (153)-(157) Г2=Г2. Геометрические построения, соответствующие связи значений 5 , Хю, Хц, приведены на рис. 106. После решения системы трансцендентных уравнений получаем координату / точки столкновения тылов [c.208]

Задача о медленном прямолинейном движении капли или пузыря с постоянной скоростью в покоящейся жидкости исследовалась в [192] методом сращиваемых асимптотических разложений по малому числу Рейнольдса. Было показано, что при малых числах Вебера (vVe = О (Яе )) граничное условие для нормальных напряжений на поверхности капли выполняется лишь при учете малых деформаций ее поверхности. Уравнение деформированной поверхности в сферической системе координат г, 0, ф, связанной с центром капли (г — безразмерная радиальная координата, — масштаб длины), записывается в виде [c.61]

Для решения задач трехмерного диффузионного пограничного слоя может быть применен метод, который является естественным обобщением классического метода решения двумерных задач. Основная идея метода заключается в выборе криволинейной системы координат, связанной с линиями тока (обтекание предполагается известным), в которой одна компонента скорости жидкости тождественно равна нулю. Последнее обстоятельство позволяет при описании поля течения в диффузионном пограничном слое ввести аналог функции тока и записать уравнение трехмерного диффузионного пограничного слоя в форме, подобной уравнению двумерного пограничного слоя, с коэффициентами, параметрически зависящими от одной из криволинейных координат [87J. [c.126]

Сформулируем задачу о теплообмене между осесимметричным несжимаемым вязким потоком и стенкой в окрестности критической точки, не пользуясь приближением пограничного слоя. Уравнення представим в цилиндрической системе координат (рис. 1.11). [c.44]

Данные всех опытов были пересчитаны и представлены в виде полей точек для каждой из зависимых переменных, которыми являлись температура слоя катализатора и концентрации компонентов реакционной смеси. Значения зависимых переменных были нанесены на плоскость в системе координат время контакта — зависимая переменная. Задача расшифровки кинетики заключалась в подборе такой системы дифференциальных уравнений материального и теплового баланса, которая бы максимально удовлетворяла экспериментальным результатам. Как было сказано выше, мы не располагали достаточно мош ной вычислительной техникой и поэто му ограничились исследованиями только систем, основанных на кинетических уравнениях первого порядка при несколько упрощенной кинетической схеме процесса, имеющей следующий вид [c.104]

В 3 получены различные формы уравнений стационарных и нестационарных одномерных течений в произвольной ортогональной криволинейной системе координат. Там же приведены модификации этих уравнений, пригодные для большого числа задач горения. [c.15]

Для каждой из задач в предпоследней колонке таблицы дается ссылка м соответствующую схему рис. 3-2 под заголовком (тип задачи) и на графические результаты иод заголовком [графические результаты]. Во второй и третьей колонках помещены постоянные параметры и параметры, на которые наложены частичные ограничения, в известной степени характеризующие задачу. Параметры, на которые не наложено никаких ограничений, помещены в четвертой колонке. Графики построены в независимой системе координат, позволяющей представить реакцию на изменение параметров на входе ( реакцию нестационарности ) в виде зависимой переменной. Некоторые из приведенных в табл. 3-1 решений являются чисто аналитическими, наиример решения 7—10, 17, 18. Остальные были получены либо решением дифференциальных уравнений, представленных в конечных разностях, на вычислительных машинах (решения 3 и 4), либо на основании экспериментов с использованием методов электромеханической аналогии (решения I, 2, 5, б и 11—16). [c.59]

Выше было уже указано, что уравнения для стационарных турбулентных потоков с усредненными величинами аналогичны по форме точным уравнениям. Поэтому в конкретной задаче стационарного осесимметричного турбулентного течения в основу рассмотрения можно положить уравнения газодинамики (10,8) и (10,9) в цилиндрической системе координат (6,23), ось 2 которой направлена по оси канала (рис. 5). [c.133]

Эффективный метод решения подобного рода задачи базируется на преобразовании уравнения стационарной конвективной диффузии к виду, характерному для хорошо изученного. уравнения теплопроводности, посредством введения в качестве новой переменной функции тока г]), через которую составляющие скорости в сферической системе координат г, 0 выражаются следующим образом [c.130]

Для описания математических моделей химико-технологических процессов используются системы дифференциальных уравнений в обыкновенных либо в частных производных с различного типа граничными и начальными условиями. Причем нелинейности, как правило, входят в свободные члены уравнений п описывают кинетические закономерности процессов, а коэффициенты перед производными зависят только от пространственных координат и времени либо вообще выбираются постоянными. В настоящее время [1, 2] достаточно полно разработаны и исследованы численные методы приближенного решения краевых задач такого вида. Однако численный анализ моделей химической технологии сталкивается со значительными трудностями, связанными с наличием у большинства процессов больших, сильно изменяющихся градиентов температурных и концентрационных нолей, вследствие чего применение традиционных конечноразностных методов решения задач с большими градиентами требует слишком мелкого шага дискретизации, что ведет к чрезмерно большому объему вычислительной работы и затрудняет численный анализ математических моделей каталитических процессов на ЭВМ. Большие градиенты искомых решений в задачах химической технологии возникают либо из-за малых параметров перед старшими производными (явление пограничного слоя), либо из-за наличия мощных источников тепла в случае сильноэкзотермических процессов. В вычислительной математике наметились два дополняющих друг друга подхода, позволяющих бороться с указанными трудностями. Первый из них состоит в построении [c.144]

Задача теперь состоит в том, чтобы решить уравнение (80) для радиального движения. Общее уравнение эллипса в полярной системе координат имеет вид [c.116]

К закону распределения давления (а) можно прийти, сопоставляя силы, отвечающие постановке задач гидростатики нормальные поверхностные (давления) и внешние массовые. Однако нам проще воспользоваться уже выведенным уравнением Навье—Стокса (1.20), отбросив в нем слагаемые, связанные с перемещением жидкости относительно зафиксированной на сосуде системы координат. При этом все скорости жидкости (их производные — тоже, конечно) относительно этой системы координат обращаются в нуль. Это означает, что в (1.20) [c.120]

Перейдем теперь к формулировке гидродинамической задачи. Движение капли считаем безынерционным. Введем систему координат, движущуюся с каплей. Тогда в силу сферической симметрии задача аналогична задаче о стоксовом обтекании жидкой капли. В сферической системе координат система уравнений, описывающая течение внутри и вне капли, имеет вид г - [c.204]

Общее рещение задачи о движении частицы должно быть трехмерным, т. е. зависеть от переменных х, у и z (или от других переменных в какой-либо трехмерной системе координат). Соответствующее уравнение Шредингера представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка в трех переменных. Для описания системы из N частиц требуется по три координаты для каждой частицы, т. е. всего 3N переменных. Следовательно, общее уравнение Шредингера для системы из N частиц является дифференциальным уравнением второго порядка в 3N переменных. Далее, если между частицами имеется взаимодействие, эти переменные оказываются связанными друг с другом, так как движение каждой частицы влияет на остальные частицы. Таким образом, задача очень быстро усложняется. [c.27]

В декартовой системе координат математическое описание задачи в плоскости (ху) включает уравнение неразрывности [c.70]

Уравнение движения (уравнение Эйлера) идеальной жидкости для плоских задач при установившемся течении в декартовой системе координат имеет вид [c.71]

Решение задач обтекания тела, например идеальной жидкостью, сводится [2] к решению системы уравнений (2.2.5.3)-(2.2.5.5). В процессе решения находят скорость и на границе с твердым телом. Вводят криволинейную систему координат. Ось х направляют по границе тела, ось у — перпендикулярно ей в каждой точке этой поверхности. При этом, ввиду малой толш 1ны пограничного слоя, уравнения движения и неразрывности записываются так же, как и при применении декартовой системы координат. Уравнение (2.2.5.1) с учетом выра- [c.71]

Задача о взаимодействии пары проводящих сфероидов радиусов 7 1 и / 2 в квазипостоянном электрическом поле напряженности Е, направленном под углом 9 к линии центров (рис. П.4.1), приводит к решению уравнения Лапласа при граничных условиях на потенциалы и на заряды сфероидов. Геометрия задачи такова, что наиболее удобно искать ее решение в бисферической системе координат (а, , ф), которая связана с декартовой системой координат следующими соотношениями [c.191]

Мате.матически процесс распространения тепла в осесимметричных цилиндрических резервуарах, длина которых значительно превышает диаметр в цилиндрической системе координат (г, 2, <р), можно описать двумерным уравнением теплопроводнмости в круге со свободной границей (задача Стефана). Граница раздела фаз характеризуется разрывом потока (выделяется скрытая теплота плавления) и определяется температурой за- [c.31]

Задача об изгибе мембраны. Рассмотрим однородную мембрану, заш емлеш1ую по ее контуру 5, изгибаемую приложенным к ней давлением интенсивности р (сама мембрана занимает область й в плоскости х, у), изгиб происходит в направлении оси Ог, система координат Охг/г — декартова). Прогиб мембраны ограничен препятствием, уравнение которого [c.176]

Замечание. В Задачах 5.3—5.11 рассматривается изотермическое течение ньютоновской несжимаемой жидкости. Они помогут читателю решать транспортные задачи. Предлагаем следующую методологию I) выберите подходящую систему координат, изобразите канал и линии тока (это поможет Baivi составить представление о компонентах скорости) 2) преобразуйте уравнение неразрывности к соответствующей системе координат 3) преобразуйте уравнение движения пли уравнение Навье — Стокса к нужной форме 4) сформулируйте граничные и, если нужно, начальные условия 5) вычислите профили скоростей и объемные скорости течения (там, где нужно) 6) вычислите внутренние силы, действующие со стороны жидкости на стенку канала 7) изобразите профили скоростей и градиентов скоростей. [c.130]

Замечание. В Задачах 5.12 — 5.14 расснатривается установившаяся теплопередача в. твердых полимерах при постоянных плотности и коэффициенте теплопередачи. Они построены так, чтобы читатель, не знакомый е задачами теплопередачи, смог получить представление о решеини проблем, характерных для процессов переработки полимеров. Можно предложить следующую методику решения 1) после выбора подходящей системы координат изобразите схему теплопередачи и сделайте соответствующие допущения 2) запишите уравнения энергии в форме, соответствующей задаче 3) сформулируйте граничные условия 4) вычислите профиль температур и теплонотерь на поверхности 5) изобразите профиль температур. [c.131]

Для решения уравнений движения (5.7) необходимо знать полную ППЭ системы (5.1), а не только характеристики ее критических точек. Обычно используют аппроксимацию аналитическими функциями, наиболее близко отражающими характер данной ППЭ. Параметры, характеризующие начальное состояние системы (координаты, импульсы), задаются в зависимости от типа задачи. Значение динамических расчетов состоит в том, что они су1цественно расширяют представление о внутреннем механизме реакции, связывают эти представления с реальными условиями протекания химических превращений. [c.162]

Удобно выбрать координатную систему, в которой фронт горения покоится, горючая смесь поступает из X = — оо, а равновесный состав продуктов реакции достигается при а = +0О. При х = +°° характеристики течения становятся постоянными. Схематическая картина горения распыленного топлива в этой системе координат показана на рис. 6. Здесь будет рассматриваться только случай гетерогенного горения, поэтому области испарения и гомогенного горения будут отсутствовать, и исходная смесь не будет содержать горючего/ в газовой фазе. Ниже потребуются все выведенные в 5 уравнения сохранения будет также предполагаться (вполне оправданно), что справедливы все упрощающие предположения, сформулированные в 5. Так как начальная относительная скорость капель и газа равна нулю, а градиенты скорости малы, принимается, что все канли движутся с одной и той же скоростью, равной скорости газа (Ь = и). Оценки ускорения капли, полученные нри помощи уравнения (71), показывают, что в рассматриваемой задаче это допол- [c.366]

Для решения задачи с таким гамильтонианом сферическая система координат возможно уже будет не столь удобной, как ранее, ибо последний член в уравнении (12) содержит z = r osd, т.е. и радиальную, и угловую переменные. Тем не менее, отсутствие зависимости в этом члене от угла ф означает, что эту переменную можно вновь отделить, и вырождение по квантовому числу т, по-видимому, будет сохраняться. Что же касается квантового числа /, то оно здесь вообще не появляется, поскольку момент количества движения V уже не коммутирует с оператором Гамильтона Н (именно из-за члена с r osd), а коммутирует лишь проекция момента Ь , так что сохраняется лищь одна проекция момента. [c.124]

Из сказанного выше следует, что всегда можно упростить решение уравнений метода МО ЛКАО, выбирая оси декартовой системы координат так, чтобы разные атомные орбитали принадлежали к различным типам симметрии, или образуя простые комбинации атомных орбиталей, которые преобразуются по определенным типам симметрии. Аналогично можно упростить и другие задачи квантовой механики, в которых требуется вычислять гамильтониановские интегралы. Таким образом, учет симметрии полезен при решении квантовомеханических задач, хотя и не заменяет решения уравнений Шрёдингера. Однако игнорирование соображений симметрии при решении уравнения Шрёдингера приводит к неоправданному увеличению объема вычислений. Даже если пренебречь этим обстоятельством, было бы ошибкой не учитывать тех упрощений, которые может дать учет симметрии при анализе задачи. Иллюстрацией этого служит следующий раздел, в котором будут даны применения некоторых перечисленных выше правил. [c.153]

Геометрическая интерпретация подобных шнейных задач наиболее проста их решение определяется пересечением в и-мерном пространстве т — гиперплоскостей (4.9) — по числу независимых узлов. Поскольку определитель квадратной (в таких случаях) матрицы А отличен от нуля, система линейных уравнений первого закона Кирхгофа обязательно имеет ненулевое решение, если она является неоднородной (с ненулевой правой частью). Это означает, в частности, что при одном источнике питания должен существовать по меньшей мере один узел с присоединенной к нему известной нагрузкой, чтобы соответствующая гиперплоскость не проходила через начало координат, а отсекала бы отрезки на осях. [c.75]

Хикокс и Гартлинг [45] провели численное исследование естественноконвективного течения, возникающего в вертикальном кольцевом пространстве, изолированном сверху и снизу, внутренняя и внешняя поверхности которого равны соответственно Л и 0. Такого рода геометрическая схема обычно связывается с расчетом тепловой изоляции вертикальных цилиндрических емкостей. Геометрия задачи и соответствующая система координат показаны на рис. 5.4.12. Двумерные уравнения движения и энергии, записанные в цилиндрических координатах гиг, для нее принимают вид [c.397]

Это преобразование координат изначально вводилось как некоторый математический прием для упрощения уравнений движения намагниченности, ио мы позаимствуем эту идею н постараемся с ее помощью изобразить на рисунках процессы в образце. Подобный прием используется и в более известной задаче о вращательном движении, где переход к новой системе координат вызьшает появление новой силы (центробежной) аналогично тому, как в нашем случае исчезло поле В,,. В дальнейшем мы к этому еще вернемся и рассмотрим более строго. Прн обозначении осей стахщонариой и вращающейся систем координат принято использовать различные буквы, иапример. V, лг и у, у, для того чтобы подчеркнуть их различие. Одиако в этой книге мы будем иметь дело почти всегда с вращающейся системой координат и только на качественном уровне, поэтому ие будем использовать такие обозначения. В тех же случаях, когда рассматривается стационарная система координат (в основном в следующем разделе), рисунки будут снабжены дополнительными указаниями. [c.102]

Система нелинейных уравнений (1.4) в частных производных второго порядка, определяющая поля скорости и давления в потоке жидкости как функции пространственных координат и времени, в общем виде не может быть аналитически рещена [5], поэтому анализ течения несжимаемой ньютоновской жидкости основан на упрощениях, справедливых для конкретных задач. Возможность тех или иных упрощений должна следовать из физических соображений, а окончательная справедливость сделанных упрощений оценивается сопоставлением полученных теоретических результатов с экспериментальными данными. [c.7]