Квадратичные системы

Рассмотрим двухфакторный эксперимент, для которого уравнение регрессии (1.3) имеет форму неполной квадратичной модели, поскольку предполагают исследование поверхности отклика в узком интервале варьирования факторов, когда можно отбросить члены высших порядков. Уравнение регрессии в безразмерной системе координат имеет вид [c.18]

Ключевой задачей теории является определение степени затухания коэффициентов турбулентного обмена с приближением к межфазной границе. Недостаточная разработанность теории турбулентности вообще и особенно в применении к системам жидкость—газ не позволяет пока сделать это строго, исходя лишь из гидродинамических соображений. Однако количественная оценка характера затухания возможна на основе надежных экспериментальных данных о зависимости коэффициента массоотдачи от коэффициента молекулярной диффузии. Показатели степени в законе затухания коэффициентов турбулентного обмена и в зависимости к от Оа связаны простым соотношением. Поэтому выявление характера влияния О а на ки по выражению Д. А. Франк-Каменецкого позволяет как бы физико-химически зондировать пограничный слой. В частности, для свободной границы жидкость-газ, как будет показано ниже, многочисленными экспериментальными работами в большинстве практически важных случаев установлена пропорциональная зависимость между к и коэффициентом молекулярной диффузии в степени 0,5. Это соответствует полученным на основании некоторых допущений предсказаниям основанным на квадратичном законе затухания. Доп. пер. [c.101]

Явная разностная схема при неустойчивости матрицы Гесса. В случае неположительно определенной или вырожденной квадратичной формы применение метода Ньютона — Рафсона невозможно. Для того чтобы это оказалось возможным в качестве М обычно используют такую матрицу, которая 1) являясь положительно определенной, обеспечивает уменьшение на траектории системы (3.161) 2) будучи неким аналогом матрицы обеспечивает хорошую сходимость минимизации. Рекомендуется [93, 101] опреде-р [c.216]

Формально эту реакцию, так же как и две предыдущие, можпо отнести к реакциям объемного зарождения, поскольку диссоциация одной стабильной молекулы НаО приводит к появлению двух активных центров. Однако в исходных продуктах чистых смесей Нз—Оз воды нет совершенно, и в самых начальных фазах процесса реакция 8 вообще не имеет места. По мере развития процесса и накопления радикалов Н и ОН реакция 8 начинает становиться заметной, однако ее равновесие, как правило, сильно сдвинуто вправо, т. е. рекомбинация преобладает над диссоциацией. Следовательно, ее надо квалифицировать как гомогенный квадратичный обрыв, который, с одной стороны, сильно тормозит процесс, а с другой — является основным каналом образования воды. Ситуация, однако, существенно меняется, если исходная смесь уже слабо балластирована водой (Н + О НзО ) и процесс проводится в области высоких температур. Механизм процесса в такой системе подробно обсуждается в разд. 4.3, здесь лишь укажем, что в этом случае в самые начальные моменты процесса нри выполнении некоторых условий реакция 8 может оказаться сдвинутой влево, т. е. оказаться настоящей реакцией зарождения. [c.269]

Как было показано выше, задача определения параметров кинетических моделей часто сводится к решению переопределенной системы линейных алгебраических уравнений (XI. 15) методом наименьших квадратов. Оценка искомого вектора х получается минимизацией квадратичного функционала [c.445]

Параболическая регрессия. Если уравнение регрессии представляет собой полином некоторой степени, то при ирименении метода наименьших квадратов коэффициенты этого полинома находят решением системы линейных уравнений. Например, требуется определить ио методу наименьших квадратов коэффициенты квадратичной функции — параболы второго порядка [c.138]

Установлено, что нри определении концентраций веществ без систематической ошибки оценки констант, минимизирующие квадратичную форму Фз, будут несмещенными. Вычисление концентраций J производится или на основе интегральной формы кинетического уравнения, или численным интегрированием системы кинетических уравнений. [c.245]

Другим способом линеаризации является разложение функции (уравнения баланса) в ряд Тейлора до членов первого или второго порядка. Полученная система уравнений решается методом Ньютона—Рафсона, обладающим квадратичной сходимостью. Методам этой группы свойственна высокая чувствительность к начальному приближению. [c.135]

Интересно отметить, что полученная оценка совпадает с оценкой параметров состояния линейной системы методом взвешенных наименьших квадратов при определенном выборе матриц весовых коэффициентов. Обычно оценка по методу наименьших квадратов состоит в выборе х=х таким образом, чтобы минимизировать квадратичный функционал [c.451]

Наконец, использование интегральных операторов с конечной памятью теоретически позволяет решить задачу оценки и идентификации в пространстве на сколь угодно коротком интервале наблюдения системы. Для линейных систем с конечной памятью проблема оценки переменных состояния и идентификации сводится к минимизации квадратичного функционала вида [14] [c.475]

Уравнение (7.296) описывает распределение нейтронов в системе с учетом сделанных предположений. Если решение этого уравнения найдено, то получившееся выражение для ф (ж, и, л) можно использовать для вычисления (к) — среднего квадратичного удаления нейтронов с летаргией и от плоского источника. Это можно сделать с помощью метода, примененного в 6.2, г. Ближайшей задачей, следовательно, является оиределение соотношения между г и) и х и). [c.284]

Классический оптимальный алгоритм управления линейной системой с квадратичным критерием качества пришлось модифицировать с тем, чтобы он позволял реализовывать интегральное управляющее воздействие. Это было достигнуто за счет введения расширенного вектора состояния [c.402]

В общем случае система (35) не имеет решения, если не выполняются известные условия [29]. Однако, если (35) не имеет решения, часто целесообразно найти такое решение х, при котором квадратичное отклонение [c.267]

Аппроксимирующая поверхность L/д — квадратичная форма со свободным параметром, подбором которого можно добиться совпадения U и С/д в концах отрезка интегрирования. Это обеспечивает сохранение полной энергии исходной системы в точках интегрирования. [c.80]

Для квадратичной аппроксимации зависимости мольного объема жидкости от температуры необходимо иметь три экспериментальные точки. Следует обратить особое внимание на то, чтобы ожидаемое значение равновесной температуры многокомпонентной системы находилось внутри интервала экспериментальных данных. Экстраполяция квадратичной зависимости за пределы этого интервала весьма рискованна. Если же экстраполяция необходима, то лучше предположить, что исходные мольные объемы жидкости получены при двух температурах. В этом случае программа обрабатывает данные по линейной зависимости. Линейная экстраполяция более надежна, а часто и более достоверна. [c.88]

Способы управления процессом каталитического крекинга, нашедшие применение в известных из литературы системах, определяются прежде всего видом используемых математических моделей. Поскольку в большинстве зарубежных систем для описания процесса используются линейные модели, для нахождения оптимального режима функционирования процесса применяются различные модификации линейного программирования [127], в том числе, например, последовательный симплекс-метод [129]. Известны примеры использования полиноминальных моделей, квадратичных относительно управляющих воздействий. В этом случае применяется адекватная стратегия отыскания экстремума [130]. [c.140]

При атмосферном и более высоких давлениях необходим учет квадратичного обрыва цепей путем двойной или трой-ной рекомбинации радикалов. При этом влиянием стенок практически можно пренебречь, хотя теоретически их роль сохраняется и при высоких давлениях. Для зтих усложнившихся условий крекинга алканов будут действительны системы уравнений (70) или (71) без каких-либо упрощений. Если пренебречь членом, учитывающим влияние стенок, то [c.147]

Уравнение (9-10) в координатной системе а—Q представится квадратичной параболой (рис. 9-9). [c.275]

Таким образом, если решен воирос о положительной оиределен-пости квадратичной формы (111,12), где коэфф1Н1,иенты рассчитываются ио формулам (111,13), то тем самым решается задача и о типе точки координаты которой удовлетворяют системе уравне- [c.96]

Для выяснения механизма взаимных переходов стереоизомеров 1,2- и 1,4-диметилциклогексанов в присутствии Ni-катализатора в интервале 100—180 °С Д. Шопов и сотр. [42—45] провели кинетическое исследование в проточной и безградиентной системах в присутствии водорода. Анализ опытных данных и среднего квадратичного отклонения вычисленных констант скоростей реакции показал, что наилучшее совпадение с опытными данными дает следующее уравнение для скорости реакции W [c.77]

Ляпуновым был предложен следующий способ использования квадратичных форм для построения функций V. Система линеаризуется, а функция V задается в виде квадратичной формы (V, 3) с неопределенными коэффициентами. Затем ко эффициенты функции V определяются из условия, что эта функция и ее производная будут знакоопределенными функциями противоположных знаков. [c.163]

Эта производная является знакоотрицательной в области фазовой плоскости, соответствующей >—1 и т] >—1. Следовательно, квадратичная форма (V, 15) является функцией Ляпунова для системы (V, 14), которая обладает асимптотической устойчивостью в указанной выше области. Но, так как мы условились, что 5 = г/ ,- = 1, а концентрации не могут быть отрицательными, то значение и т], меньшие, чем —1, не имеют физического смысла. Значит, асимптотическая устойчивость имеет место во всей имеющей смысл части фазовой плоскости. Таким образом, мы приходим к выводу о том, что система (V, 14), а следовательно, и исходная система (V,12) (при коэффициентах, соответствующих 5 = /5=1), обладают устойчивостью в целом. [c.167]

Так же, как и G, для системы (3.6), она является единственной универсальной квадратичной функцией Ляпунова для линеаризованной системы уравнений (3.188). Используя эту форму, можно оценить среднюю ошибку линеаризации как меру отклонения решения линеаризованного уравнения (3.188) от пелинеаризованного (3.6) при условии с(0) = с(0). [c.243]

Эта оценка единственна, если только ранг матрицы А А равен числу искомых параметров, т. е. размерности вектора х. Квадратичная форма Ф определяет характер поверхности Р, а свободные члены квадратичного функционала, содержащие вектор свободных членов уравнения (XI.15), определяют лишь ее положение. Следстательно, корректность постановки задачи, т. е. обусловленность системы (XI.15), может быть полностью охарактеризована свойствами формы Ф, т. е. обусловленностью матрицы А А. [c.445]

Более разнообразны по конструкции центробежные очистители, устанавливаемые в системах смазки судовых двигателей. Они именуются обычно центробежными судовыми сепараторами и широко распространены на морских и речных судах. Эти устройства могут иметь как пустотелый ротор, так и ротор с коническими или цилиндрическими вставками. Чтобы увеличить центробежную силу и уменьшить путь удаляемых частиц в. центробежных сепараторах с пустотелыми роторами, последние изготовляют трубчатыми (диаметр 40— 150 мм) с длиной, в 4—7 раз превышаюшей диаметр. Применение трубчатых роторов с частотой врашения 15—19 тыс. об/мин позволяет значительно упростить конструкцию сепаратора и существенно снизить его массу, так как между минимально доиустимой толщиной стенки ротора и его радиусом существует квадратичная зависимость. Недостатком трубчатых сепараторов является малая грязеемкость, а увеличение внутреннего объема ротора за счет увеличения его длины свыше приведенных предельных значений нецелесообразно по технологическим соображениям. Поэтому для очистки масел для судовых двигателей чаще применяют сепараторы с коническими тарелками. [c.163]

Матричные методы, составляющие большинство известных методов расчета массообменных аппаратов и их комплексов, можно разделить на две группы по способу линеаризации балансовых соотношений. К первой группе относятся методы, в которых линейность достигается за счет использования численных значений параметров, определяющих нелинейность с предьщущих итераций. Типичным примером является метод Тиле и Геддеса, реализованный в матричной форме. Для него характерны трехдиагональная структура мат эицы системы уравнений баланса, простота хранения коэффициентов системы уравнений. Однако, являясь по скорости сходимости методом первого порядка, он в ряде случаев обладает слишком медленной скоростью сходимости или вообще не обеспечивает решения. Другим способом линеаризации является разложение функции (уравнения баланса) в ряд Тейлора до членов первого порядка. Полученная система уравнений решается методом Ньютона-Рафсона. Эти методы обладают квадратичной сходимостью, однако весьма чувствительны к начальному приближению. [c.79]

Хотя система уравнений (5.18) имеет несколько необычную форму, она может быть решена с помощью стандартного метода интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. В нашем случае, когда ищут одно стационарное решение, нет необходимости использовать методы интегрирования со специально настраиваемыми параметрами, поскольку глобальная устойчивость и квадратичная сходимость может быть получена и без них. Некоторые исследователи проводили эксперименты с интефаторами относительно высокого порядка, но их опыты подтвердили ранее сделанное предположение о том, что для получения решения достаточно простого явного интефирования методом Эйлера. [c.270]

Как видно из алгорит, а. па каждой итерации по к осуществляются одномерные поиски по направлениям р ,. . и строится новая система векторов р , Рз, -,Рп, п + 1 — которая вновь обозначается через р , р ,. , Рп- Поскольку направление р,- (г = 1. 2,. . ., п) не обязано быть направлением спуска, значение а, в (11,331) может быть и отрицательным. Докажем, что для квадратичных функций (И,9) описанный процесс за конечное число шагов приведет к минимуму. Для этого достаточно показать, что в результате мы получим п сопряженных направлений. [c.123]

Бели построить итерационный процесс (4) для произвольной дважды дифферепцируемон функции / (х), полученный метод совпадает с методом Ньютона для решения системы уравнений (т) = О и будет методом Ньютона для минимизации функции / (х). Метод Ньютона является квадратичным. Это связано с тем, что для положительно определенной квадратичной формы метод (4) находит минимум За один шаг. [c.268]

Пусть теперь для i = 1,. .., п оказалось возможным определить все матрицы к = 1, N) из системы (V, 54). Тогда при i = п в соответствии с выражением (1П, 109) получим = т. е. точное значение гессиана квадратичной функции/ ), а в соответствии с равенством (V, 33)и точное значение гессиана G всей квадратичной функции /. Отсюда при 1 = /г+1 найдем точку минимума (при условии, что det G 0). Для определения матрицы из уравнения (V,54) может быть использована любая формула из семейства (П, 90), (И, 91), при выводе которых не использовалось свойство сопряженности направлений. Нельзя использовать такие широкоизвестные формулы, как DFP, BFGS и др. Это связано со следующим обстоятельством. Ранее было доказано, что если матрица Hi удовлетворяет уравнению (И, 32),то направления р/, (/ = О, 1,. .., п— 1), даваемые формулой (1,41), будут сопряженными. Аналогичное утверждение справедливо, когда строят матрицу В .Следовательно, если только решение систем уравнений (V, 54) может быть проведено для всех i = 1,. .., п, то направления pi, i = О, 1,. .., ft — 1) в полном пространстве переменных X будут G-сопряженными. Однако, утверждать, что векторы будут 6< >-сонряженными, нельзя, поскольку в подпространстве переменных х направление поиска будет определяться не формулой а проекцией вектора р,- на подпростран- [c.184]

Предлагаемый алгоритм численного решения системы дифференциальных уравнений основан на методе локальной линеаризации [140]. На каждом шаге интегрирования исходная ППЭ аппроксимируется квадратичной формой, возникающая при этом новая система дифференциальг ных уравнений является линейной и, следовательно, допускает точное решение. Улучшая аппроксимацию, можно добиваться сходимости нового решения к решению исходной задачи на всем интервале интегрирования. Так как близкие поверхности определяют практически одинаковые модели, то в смысле "траекторной нормы решения должны сходиться. Сохранение аддитивных интегралов движения исходной задачи на численных решениях обеспечивается специальным выбором аппроксимирующей ППЭ. [c.79]

Возбуждение нормальных колебаний, связанных с вращением системы в цёлом, тоже приводит к акту диссоциации. Однако удалось показать, что нормальные колебания не являются координатами реакции, а лишь сильнее прочих взаимодействуют с координатами реакции через члены более высокого порядка малости, опущенные при замене ППЭ на квадратичную форму. Для этого начальные условия в конфигурационном пространстве выбиралисы так, что молекула СНРз находилась не в точке активированного комплекса, а оказывалась сдвинутой в область стабильной молекулы, ее кинетической энергии хватило для преодоления барьера. Когда начальная кинетическая энергия шла на возбуждение нормальных колебаний, связанных с координатами реакции, то происходил распад СНР,. Если же начальная кинетическая энергия задавалась так, что молекула СНР, обладала ненулевым моментом импульса, т.е. Г°= О, Ф О, распада СНР, не происходило. [c.122]

Для оптимального проектирования трубчатого аммиачного реактора использовался симплексный метод 176], хорошо приспособленный к существенно двумерной задаче оптимизации. Последовательность вычислений, изображенная графически в плоскости переменных — температуры ка входе и охлаждающего фактора (две переменные, оставленные на усмотрение проектировщика), — представляет собой цепь смежных треугольников (двумерных симплексов), вытянутую в направлении точки оптимума и в конце концов окружающую эту точку. Окончательное расположение оптимума уточняется путем квадратичной аппроксимации заключителыюй гексагональной системы точек симплекс-метода. [c.176]

Алгоритмы оптимальной фильтрации находят применение в многошаговых стратегиях управления. Так, щирокое распространение получил алгоритм управления, в котором при появлении каждого нового наблюдения, сначала, пользуясь алгоритмами фильтрации, определяют оценки ненаблюдаемых переменных состояния, а затем подставляют эти оценки в модель объекта и отыскивают управление, решая детерминированную экстремальную за.вдчу. Строго говоря, такое разделение исходной задачи на оценивание и управление является оптимальным только в системах, линейных относительно ненаблюдаемых переменных с квадратичным критерием управления и при гауссовском щуме ( теорема разделения [120]). Тем не менее, этот прием широко используют н в различного рода субоптимальных стратегиях. [c.127]

В процессе колебаний скорость V шарика, движущегося в кипящем слое, непрерывно менялась по величине и направлению и соответственно, менялась и сила трения Р опр (О- Характер затухания амплитуды колебаний со временем дг ( ) зависит от закона сопротивления F oIIp ( )- Особенно сложной является эта связь в области промежуточной между линейным и квадратичным законом сопротивления от скорости. Однако при анализе экспериментальных данных оказалось, что амплитуда колебаний системы во всех опытах убывала по чисто экспоненциальному закону [c.165]

Константа скорости квадратичного обрыва цепей может также быть определена при помощи так называемого метода фотохимического последействия. Метод основан на том, что если мгновенно прекратить фотохимическое инициировани ецепей, то цепная реакция будет некоторое время продолжаться за счет накопившихся в системе свободных радикалов. [c.304]

В последние годы нашего века нелинейные явления вызывают особый интерес у специалистов самых различных областей знаний [1-5]. Как правило, внимание исследователей сосредоточено на термодинамическом и математическом аспекте проблемы. Например, применяют теории бифуркаций, нелинейных колебаний, методы неравновесной термодинамики. Парадокс изучения не слишком далеких от равновесия сложных физико-химических и технических систем (СФХТС), по моему мнению, заключается в том, что с усложнением системы усиливается ее линейность. В самом деле, основные законы природы линейны, либо описываются простыми уравнениями, в которых степень аргумента не выше четвертой. Сложные уравнения функциональных связей в природе скорее исключение, чем правило. Фундаментальные уравнения физики обычно имеют показатель степени при независимой переменной от 1 до 3. Законы типа Вина или Стефана-Больцмана встречаются крайне редко. Из теории планирования эксперимента известно, что Ф ТС описываются уравнениями линейного и квадратичного типа. [c.68]

Следует отметить, что, несмотря на кан ущуюся простоту реализации, методами штрафных функций очень трудно получать достоверные решения при больших значениях параметра штрафа 6 решения получаются очень грубыми, иногда качественно неверными, при малых значениях параметра е процессы вычисления становятся неустойчивыми (в частности, системы линейных уравнений, появляющиеся при минимизации квадратичных функционалов, становятся плохо обусловлешхыми), поэтому методами штрафных функций следует пользоваться с большой осторожпостыа. [c.288]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология