Процесс Вольтерра

Это геометрическое построение называется процессом Вольтерра.— Прим. ред. [c.151]

Рассмотрим теперь несколько примеров. Начнем с процесса Вольтерра, связанного с вышеупомянутой операцией 4. При этом достаточно рассмотреть случай, когда й = я. Разберем сначала случай, когда ось вращения V перпендикулярна молекулам первоначальной спирали. Этот процесс показан на фиг. 6.17. В результате получается линия, называемая т . Знак минус означает, что, после того как два края были разделены, мы должны заполнить некоторую пустоту. На фиг. 6.18 показана линия где вращение О параллельно локальному директору. [c.316]

Нужно учитывать, что изолированную X- или г-линию нелегко деформировать. Это моншо понять, исходя из процесса Вольтерра. Если мы хотим получить линию Ь с низкой энергией, то вблизи от нее относительные смещения двух краев и должны остаться [c.316]

Фиг. 6.17. Процессы Вольтерра. Пример образование т -линии

Рис. 4.2.3. Образование дисклинации т (процесс Вольтерра), Точки — директор нормалей к плоскости рисунка, штрихи — параллелен этой плоскости.

Для направленного синтеза поликомпонентных олигомерных систем необходима информация об эффективных кинетических параметрах процесса. С этой целью разработан метод исследования кинетики процессов в сложных поликомпонентных системах при отсутствии исчерпывающей информации о промежуточных состояниях и составе системы [46, 5б]. В общем случае обратная кинетическая задача сводится к решению интегрального уравнения Вольтерры 1-го рода [c.14]

Концентрации X п У все время периодически изменяются (рис. 111.5). Подобным образом изменяются численности популяций хищников и их жертв в природе нарастание числа жертв ведет к росту популяции хищников, а затем убыль жертв и сокращение запасов пищи ведет и к убыли численности хищников. Эта модель Лотка—Вольтерра представляет собой пример возникновения временной упорядоченности в системе реакций и, несомненно, имеет значение и для изучения биологических процессов, в частности биоритмов. Можно показать, что в системах такого типа вращение по определенному циклу может быть переведено во вращение по другому циклу дал<е малым возмущением — система имеет непрерывный спектр частот вращения по бесконечному множеству циклов , т. е. в ней совершаются незатухающие колебания состава. [c.329]

Физико-математическое моделирование биологических процессов началось с модели автокаталитической химической реакции, предложенной Лотка (1920), и модели хищник — жертва)-), предложенной Вольтерра (1930). Эти модели имеют много общего. [c.494]

Основными задачами теории, описывающей вязкоупругое поведение полимеров, является установление зависимости этих параметров от частоты и температуры, а также зависимости от химического строения и физической структуры. Существует несколько способов описания вязкоупругих свойств полимеров [1]. Одни из них основаны на использовании механических или электрических моделей, т. е. на применении методов электромеханической аналогии, другие — на использовании уравнений последействия Больцмана — Вольтерры [2, 3]. Один из возможных способов описания вязкоупругого поведения полимеров основан на теории упругости и некоторых представлениях термодинамики необратимых процессов [4]. [c.238]

При моделировании процессов в многокомпонентных системах задача определения уравнения кинетики процесса сводится к решению интегрального уравнения Вольтерра [c.63]

Процесс, при котором в упорядоченной среде образуются сингулярные линии, очень давно предложил Вольтерра [77]. Приложение этого теоретического метода к холестерикам принадлежит Фриделю и Клеману [78, 79]. Здесь мы следуем их рассуждениям. [c.315]

Главной особенностью процесса последовательной кристаллизации является изменение во времени размеров области, в которой происходит теплопередача, и поэтому в данном случае невозможно использовать классические методы теории теплопроводности. Если закон перемещения границы рассматриваемой области задан, то задача отыскания температуры в этой области может быть сведена к решению интегральных уравнений второго рода типа Вольтерра [50]. Вследствие сложности ядер этих уравнений при их решении возникают серьезные вычислительные трудности. [c.55]

Таким образом, наряду с использованием набора моделей типа Максвелла, представляющих любой релаксационный процесс как сумму экспоненциальных процессов, во многих работах предлагались эмпирические соотношения, содержащие дробные степени времени. При помощи дробных операторов эти соотношения можно получить из уравнений Больцмана — Вольтерра. Эти же соотношения получаются из реологических моделей, в которые входит элемент высокой эластичности Слонимского. Следовательно, существуют два подхода к количественному описанию релаксационных процессов в полимерах с использованием времен релаксации (на котором основана релаксационная спектрометрия) и с применением дробных интегральных операторов. - [c.71]

В заключение отметим, что различные формы ядер интеграль-ных уравнений Больцмана — Вольтерра эквивалентны с достаточной точностью для описания релаксационных процессов. В дальнейшем, однако, мы отдадим предпочтение релаксационной спектрометрии, как подходу, позволяющему дать наиболее ясную физическую интерпретацию связи между структурой и релаксационными процессами в полимерах. [c.71]

В последнее время в Казанском авиационном институте в тесном контакте с Институтом электрохимии АН СССР получены первые обнадеживающие результаты по электрическому моделированию электролитической ячейки со сферическим микроэлектродом (при произвольно приложенной ЭДС). На основе законов диффузионной кинетики, без учета тонкой структуры двойного слоя, для твердого и жидкого сферического электрода найдены нелинейные интегральные уравнения Вольтерра П рода, описывающие процессы в цепи ячейки, и соответствующая электрическая модель, состоящая из КС кабелей и стандартных блоков аналоговых машин (линейных усилителей, сумматоров, а также дифференцирующих, нелинейных и множительных устройств). [c.92]

К этому же времени относятся и первые работы в которых дано теоретическое обоснование обнаруженных релаксационных явлений. Так, в 1938 г. Г. Л. Слонимский применил теорию упругого последействия Больцмана—Вольтерры (см. гл. 4) к релаксационным механическим явлениям в полимерах, а также вместе с В. А. Каргиным развил качественные представления о молекулярном механизме релаксационных процессов Основные результаты этих работ заключались в установлении того, что релаксационные процессы никогда не протекают по одному простому механизму вследствие взаимоналожения различных типов деформаций — упругой, высокоэластической и вязкотекучей. [c.192]

Использование д-операторов для описания релаксационных процессов в неоднородных средах. Для расчета интенсивности релаксационных процессов в неоднородных средах следует получить вначале решение соответствуюш,ей упругой задачи, затем согласно принципу Вольтерра заменить упругие модули их операторным значением и провести расшифровку найденных таким образом функций от операторов. Проиллюстрируем это на примере. [c.342]

Система уравнений Вольтерра была преобразована А. И. Поливодой с соавторами [9, 77] для описания поведения одной популяции микроорганизмов (одноклеточных водорослей). При этом взаимодействие типа хищник — жертва , составляющее суть оригинальной системы, в данном случае трактуется как лимитация трофической среды, поступающей к клеткам из окружающего пространства и ингибирование общего роста популяции метаболитами, происходящее за счет усиления процесса отмирания клеток. [c.65]

Принцип закона действующих масс для анализа поведения биологической системы на популяционном уровне одним из первых применил С. Аррениус [132] при описании процессов инактивации, когда в качестве элементарных кинетических единиц рассматривались микроорганизмы, а также при изучении кинетики взаимодействия антиген — антитело. Результаты исследований Вито Вольтерра [75] и Лотка [124] показали плодотворность применения закона действующих масс для описания поведения экологических систем. [c.97]

Наиболее корректной из феноменологических теорий описания релаксационных процессов является теория наследственности Больцмана — Вольтерры [161, 162], которая основывается на принципе суперпозиции . Это означает, что деформация тела e t) в момент времени t зависит не только от напряжения o(t), действующего в этот момент t, но и от ранее действовавшего напряжения о(т), причем результаты действия напряжения в разные моменты времени х < t складываются сг (т) [c.105]

Теперь мы располагаем временными характеристиками, необходимыми для построения переходного процесса по изображению (5 если заранее задать желаемый интервал изменения времени О<7<п0. В этом случае вместо бесконечных рядов (13) и (14) функций времени ( ) и фо(0 выражаются суммой конечного числа слагаемых и искомый переходный процесс по изображению (5) определяется как решение интегрального уравнения Вольтерра второго рода [c.11]

Моделирование состояния иммунного аппарата во время продолжительного инфекционного заболевания представляет самостоятельный интерес. Взаимодействие болезнетворного начала — вирусов или бактерий и иммунных сил организма должно в этом случае носить характер, сходный со взаимодействием хищник — жертва. В качестве жертвы здесь выступает чужеродный агент, который в модели мы будем количественно описывать концентрацией соответствующего антигена в качестве хищника рассмотрим антитела, образование которых специальными клетками (АОК) находится в прямой зависимости от количества антигена. Правда, в процессе вывода антигена из организма антитела тоже погибают и этим модель будет отличаться от классического случая Вольтерра. Следуя [И, П47], запишем модель продолжительного течения инфекционной болезни используем систему второго порядка для концентраций антигена G и антител А [c.109]

Пример 2. Рассмотрим модель Вольтерра хищник-жертва, которая отражает изменение численности популяций жертв (х) и хищников (у), взаимодействующих друг с другом по механизму "свободных соударений". Это значит, что численность жертв пропорциональна вероятности встречи их с хищниками т. е. пропорциональна произведению (ху). По такому же закону увеличивается и численность хищников в результате их встреч с жертвами. В уравнениях (2.13) этот член соответствует бимолекулярной реакции (типа кху). Кроме того, происходит процесс естественной смертности хищников со скоростью, пропорциональной их количеству, т. е. по реакции первого порядка (-ку). Жертвы размножаются со скоростью, также пропорциональной их численности в условиях, когда количество пищи для них неограниченно. [c.28]

Предположение, что некоторые ритмические биологические процессы основаны на принципе самовозбуждающихся колебаний (автоколебаний), высказывалось уже давно. Так, Лотка [83] исследовал возможность применения соответствующей модели к размножению клеток. Вольтерра [84] разработал модель сосуществования биологических видов, а Ван-дер-Поль — модель деятельности сердца. В последние годы исследования автоколебательных процессов в биологии были продолжены [22, 85—97]. С автоколебаниями в химических системах мы еще встретимся в гл. 6. [c.88]

Этот процесс протекает периодически. Процесс <хищник — жертва играет важную роль в динамике популяций, где он носит также название процесса Лотки — Вольтерра. Рассмотрим для примера биологическую систему, в которой имеется два вида рыб N2 рыб-хищников и рыб-жертв. Рыбы-жертвы живут на неисчерпаемых запасах пищи (Л) и размножаются со скоростью Рыбы-хищники живут за счет рыб-жертв и в их отсутствие вымирают со скоростью— у2 2- Таким образом, динамика системы определяется следующими дифференциальными уравнениями [c.131]

Традиционные методы решения кинетического уравнения применяют, как правило, при расчете функций распределения, которые не слишком сильно отличаются от равновесной функции. Решение задач, характеризующихся сильным отклонением от равновесия, привело к формулировке принципиально отличного алгоритма, называемого методом деградационного спектра и сводящегося обычно к решению интегрального уравнения Вольтерра второго рода. Наиболее успешно этот метод применяется при анализе процессов торможения пучков быстрых частиц и фотонов, а также расчете термализации "горячих" продуктов химических и ядер-ных реакций [26 — 31]. [c.84]

В других случаях в качестве компартментов рассматриваются взаимодействующие друг с другом вещества (или другие компоненты биосистемы), находящиеся в одном и том же объеме. Тогда кинетика реакций также описывается с помощью компартментальных моделей, а различным компартментам отвечают количества или концентрации различных веществ в одной и той же пространственной области. Так, в тканях и жидкостях тела происходят многочисленные реакции между химическими веществами, и участвующие в них субстраты, ферменты и продукты могут рассмат риваться как различные компартменты. В моделях наземных экологических систем часто делается допущение, что все исследуемые процессы происходят на некоторой ограниченной территории (иногда, как в классической модели экологических систем — модели Вольтерра, такое допущение делается неявно), и в качестве компартментов выступают численности или плотности различных видов или возрастных групп животных. [c.160]

Для системы уравнений Лотки-Вольтерры рассчитанные значения п, (л,) представляют собой замкнутые кривые для любых начальных состояний, за исключением стационарного. Такой вид фазового портрета характерен для колебательных процессов. [c.661]

Полезно сравнить этот ряд разрешенных операций с разрешенными операциями в нематике. В последнем случае все смещения Ь становятся разрешенными и тривиальными. Единственная полезная операция — это вращение = 2тл вокруг оси V, перпендикулярной невозмущенному директору. Положение оси вращения V несущественно, поскольку два поворота (О) вокруг двух параллельных осей (V и V ) отличаются только переносом. Это приводит к более простому процессу Вольтерра, описанному в гл. 4, когда каждая молекула вращается вокруг своего собственного центра тяжести. Для холестериков, однако, нужно использовать полный процесс. [c.316]

Проведем анализ процессов сорбции и набухания в общем виде, исполь-часледствеш1ую теорию Больцмана-Вольтерры, и выбрав рассмотренные le ядра дпя описания ползучесга полимерных тел. [c.321]

В предыдущей главе мы ознакомились с автоколебательными и автоволновыми процессами, характерными для открытых систем, находящихся вдали от равновесия. Единственный экспериментальный факт, который мы пока привлекли, состоял в периодическом изменении популяций зайцев и рысей, соответствовавшем модели Вольтерра (с. 498). Однако таких биологических фактов множество. На всех уровнях органйз ции, от макромолекулярного до популяционного, в биологических системах происходят незатухающие колебания характеристических физических параметров — ферментативной активности, концентрации метаболитов, параметров, определяющих физиологическое поведение, численности популяций и т. д. [c.514]

Уже неоднократно отмечалось, что многие математические модели в биологии и экологии обладают большим сходством с кинетическими уравнениями для сред с химическими реакциями. Достаточно напомнить о совпадении моделей Лотки и Вольтерра, последняя из которых описывает экологическую систему типа хищник — жертва. Определенную трудность при исследовании биологических и экологических проблем вызывает, однако, сам процесс формулирования адекватной матемтической модели, поскольку исходные элементарные объекты обладают в данном случае гораздо более широким набором характеристик и способны к более сложному, индивидуальному поведению, чем вступающие в химическую реакцию молекулы. [c.265]

Если предметом исследования являются нелинейные системы, анализ поведения осциллятора становится еще более сложным. Обычно пытаются свести проблему к линейной, но некоторые нелинейные колебательные системы проявляют свойства, определяемые именно их нелинейностью, и такого рода приближения не приемлемы [66]. Несмотря на значительно большую сложность, нелинейные уравнения второго порядка могут быть выведены непосредственно в результате рассмотрения свойств единичного процесса или двух сопрян енных процессов, как это было сделано раньше для линейных уравнений. Примером такого сопряжения служит классическая проблема конфликтующего населения Вольтерра [69, стр. 13]. [c.489]

Уравнение (1.54) переходит в уравнение Ферхюльста или уравнение Пирля, если в нем X" заменить на X. Однако такой переход еще не раскрывает механизма ингибирования при рассмотрении роста популяции микроорганизмов. И если по смысли уравнения Вольтерра описывают процесс перехода биомассы в двух звеньях экологической цепи, то уравнение Ферхюльста в этом смысле можно трактовать как обратимость процессов размножения и ресинтеза биомассы популяции. [c.64]

Полученное интегральное уравнение Вольтерра второго рода дает выражение для искомого переходного процесса с запаздыванием срвых. ( ) и могкет быть решено методом последовательных приближений, если за нулевое приближение принять известную функцию сро( —и считать ядром так же известную функцию ср (/—9-2— ). Однако все вычисления, связанные с построением последовательных приближений, значительно упротцаются, если учесть, что формально по (3) w(z) разлагается в ряд [c.9]

К этому же времени относятся и первые работы В. А. Каргина и Г. Л. Слонимского в области исследования релаксационных явлений в полимерах. Так, в 1938 г. Г. Л. Слонимский применил теорию упругого последействия Больцмана — Вольтерры к релаксационным механическим явлениям в полимерах [7], а также вместе с В. А. Каргиным развил качественные представления о молекулярном механизме релакса-иионных процессов [8—11). [c.317]

Однако при монотонном возрастании области контакта уравнение относительно контактного давления решают, заменяя область контакта L(t) на L t) =Lmax, что допустимо, так как давление вне (т) равно нулю для всех моментов времени на отрезке (О, х]. Этим достигается коммутативность операторов вязко-упругости и интегрирования по пространственным координатам и применимость принципа Вольтерра. Конечно принцип Вольтерра неприменим, если в процессе вдавливания область контакта вначале возрастает, а затем уменьшается, но в тех случаях, когда момент уменьшения области контакта заранее известен из условий нагружения, задача может быть решена поэтапно с применением принципа Вольтерра на каждом этапе. [c.121]

Примером временной структурной организации в биологии может служить периодически колеблющееся соотношение между популяциями хищников и их жертв. Представление о взаимозависимом изменении их численности во времени впервые было получено благодаря систематическому учету на протяжении 90 лет количества ежегодно заготовляемых шкурок зайцев-беляков и рысей фирмой "Хадсон Бей" (Канада). Учет преследовал сугубо коммерческие цели, однако оказался полезным и для науки. Рыси, как известно, питаются травоядными зайцами. Чем больше зайцев и. следовательно, пищи, тем рыси интенсивнее размножаются. Со временем рост популяции рысей начинает сдерживаться из-за уменьшения зайцев вследствие их быстрого уничтожения. Уменьшение численности рысей ведет к росту числа зайцев. Рыси снова начинают быстро размножаться и т.д. Это типичный процесс, известный под названием процесса "хищник-жертва", математически описываемой моделью Лотки-Вольтерра. Состояние термодинамической системы, отвечающее такой модели, является промежуточным между устойчивым стационарным состоянием с минимальным производством энтропии и периодическим процессом с предельным циклом (брюс-селятором). Для процесса Лотки-Вольтерра характерно состояние нейтральной устойчивости. Здесь отсутствует линейная связь потоков и сил, но, с другой стороны, нет механизма, обеспечивающего распад флуктуаций, поэтому и нет избранной траектории, к которой стремилась бы вся система. Реальная жизнь, конечно, сложнее, чем рассмотренная модель Лотки-Вольтерра, однако, как видно из рис. 111.33, модель воспроизводит основные черты природных процессов - имеют место колебания численности популяций, численность рысей всегда отстает по фазе от численности зайцев, а амплитуды колебаний взаимосвязаны. [c.452]

Нелинейная термодинамика неравновесных процессов в принципе не в состоянии быть совершенной по своему построению и завершенной наукой. При решении тех или иных вопросов она вынуждена учитывать уникальные микроскопические свойства изучаемой нелинейной системы. Ее теория должна включать, помимо общих термодинамических начал, также дополнительные, всегда специфические положения и модели, опирающиеся на конкретные результаты экспериментальных и теоретических исследований микроскопических свойств данной системы. Теория нелинейной термодинамики неравновесных процессов, очевидно, никогда не сможет стать в полной мере универсальной теорией диссипативных структур, обладающей единой, необходимой и достаточной термодинамической моделью. Теоретическое описание нелинейных процессов, т.е. расчет их количественных характеристик, предсказание структурной организации и свойств диссипативных структур, а также объяснение природы их устойчивости, всегда в той или иной мере уникально, поскольку включает особенности внутримолекулярных и межмолекулярных свойств микроскопических частиц. Невозможность создания единой нелинейной термодинамической модели, однако, не исключает наличия некоторых общих закономерностей в природе и, следовательно, в поведении неравновесных систем и не делает безнадежной разработку обобщенных математических и физических моделей, правильно описывающих характер протекания разнообразных, подчас далеко отстоящих друг от друга нелинейных термодинамических процессов. Теоретических моделей диссипативных структур создано немного. Наиболее детально разработаны уже упоминавшиеся периодическая модель Лотки-Вольтерра, описывающая процессы типа "хищник-жертва", и модель с предельным циклом При-гожина-Лефевра-Николиса (модель брюсселятора). [c.455]

Обратимся теперь к развитой Пригожиным в 1970-1980-е годы нелинейной термодинамике неравновесных процессов, важнейшими составными частями которой являются теории диссипативных систем и бифуркаций. На первый взгляд может показаться, что рассмотренные на ее основе системы существенно отличаются от выбранной системы структурной организации белков. Конвекционные ячейки Бенара, когерентное излучение лазера, турбулентное движение жидкости, реакция Белоусова-Жаботинского, модель Лотке-Вольтерра, описывающая взаимоотношения между "хищником и жертвой", - все это открытые диссипативные структуры. Динамические процессы перечисленных и подобных им неравновесных макроскопических систем, действительно, приводят при достижении условий, превышающих соответствующий критический уровень, к спонтанному возникновению из беспорядка высокоорганизованных пространственных, пространственно-временны х и просто временных структур. Однако во всех случаях поддерживание возникшего из хаоса порядка в стационарном режиме оказывается возможным только при постоянном энергетическом и/или материальном обмене между окружающей средой и динамической системой. Совершающийся в такой открытой системе неравновесный процесс вдали от положения равновесия связан с диссипацией, т.е. с производством энтропии, или, иными словами, с компенсируюпщм это производство потреблением негэнтропии из окружающей среды. Перекрытие внешнего потока негэнтропии автоматически приводит к прекращению системой производства энтропии и, как следствие, распаду созданной диссипацией структуры. У открытых диссипативных систем аттрактором является не равновесное состояние, а расположенное далеко от него состояние текущего равновесия. [c.462]

При рассмотрении этих проблем конечно необходимо знать, какую именно математику следует использовать для изучения данного явления, поскольку в математике имеется много разделов. По нашему мнению, такие явления и понятия как голеостаз, устоОшвость, надежность, стресс и т.д. наиболее адекватно описываются теорией нелинейных динамических систем, на которой основано математическое моделирование многих биологических процессов. Этот раздел математики разработан сравнительно недавно. Во времена Чарльза Дарвина, например, его просто не существовало (сам ученый математикой не пользовался). По мере развития этой области математики, ее все чаще стали использовать для исследования биологических явлений. Появилась модель сердечных сокращений Ван-дер-Поля, модель сосуществования хищника и жертвы Лотки-Вольтерра, сейчас сушэствуют математическая экология и математическая теория эволюции. Последняя представляет перевод на математический язык теории Дарвина. При этом выяснилось, что ряд положений Ч.Дарвина нуждаются в уточнении и развитии. [c.43]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология