Мера гауссова

Другой пример — это исследование Майером [1] дзета-функций, связанных, с одной стороны, с геодезическими на модулярной поверхности, а с другой — с преобразованием непрерывных дробей (равновесная мера здесь — это мера Гаусса). [c.208]

Важно только знать, в какой мере удовлетворяют этой линейной зависимости (12-42) значения ж, и г/ . Если п измерений значений х ,- , и г/х, г/а,. Уп нанести на систему координат и вычертить от руки или с помощью линейки выравнивающую прямую, то такой метод будет произвольным, а точность его — сомнительной, несмотря на простоту и частое применение. Существует метод наиболее правильного определения хода прямой — это метод наименьших квадратов Гаусса. Отклонение измеренного значения г/, от прямой выражается разностью У1 — а — Ьх . По принципу наименьших квадратов та прямая наиболее подходит для измеренных значений, для которой сумма квадратов отклонений наименьшая [c.266]

При таком выборе значение у велико на начальных итерациях и уменьшается на последующих итерациях по мере накопления информации о положении минимума, что обеспечивает переход к способу Ньютона — Гаусса и быструю сходимость. Критерием окончания итерационного процесса является одновременное выполнение условий [c.91]

Четкость сигнала. Ранее отмечалось, что локализованный сигнал следует рассматривать как предпосылку хорошей разрешающей способности, поскольку минимально возможное расстояние между сигналами пропорционально полуширине сигнала Л / . При регистрации сигналов, имеющих форму кривой Лоренца или Гаусса, полуширину можно уменьшить, если вместо основной функции записывать ее вторую производную, осуществляя двукратное дифференцирование при помощи электронной схемы. В случае функции Лоренца отношение полуширины Агу основной функции и ее второй производной составляет 1 0,33. В той же мере уменьшается и теоретическое значение По уравнению (2.1.1) для основной функции (индекс I) и для ее второй производной (индекс П) при справедливо следующее равенство [c.15]

Другим давно известным способом получения выводов был метод наименьших квадратов, открытый Карлом Фридрихом Гауссом (1777—1855), когда он занимался определением орбит комет по данным наблюдений В этой задаче положение орбиты дается принятой формой функциональной зависимости, включающей некоторые измеренные величины и некоторые фиксированные константы, или параметры орбиты Задача оценивания, рассмотренная Гауссом, состояла в определении наилучших оценок этих параметров по данным наблюдений и в нахождении некоторой меры точности этих оценок [c.116]

Эффективность разделения — это мера расширения зоны вещества нри его прохождении через колонку. Эффективность определяется соотношением времени удерживания вещества и стандартного отклонения его ника (см. уравнение 1.10). Исходя из допущения о том, что хроматографический пик описывается кривой Гаусса, можно рассчитать эффективность колонки, выраженную числом теоретических тарелок п п=(1к/а) - (110) [c.6]

Явление сужения канала воронки объясняется следующим образом струя, как бы компактна она ни была, подходит к поверхности кокса расширенной, причем ее скорости в пределах поперечного сечения изменяются, как известно, по кривой вероятности Гаусса. Наружный слой струи, обладая меньшей кинетической энергией, производит и более слабое действие на кокс, углубляясь на меньшую величину. Наоборот, осевая часть струи, несущая с собой большую часть энергии, углубляется быстрее. По мере углубления струи, действию на кокс ее наружных слоев препятствует еще и обратный поток воды, выходящий из воронки. Когда канал воронки сузится настолько, что в его тупике образуется водяной буфер, действие наружных слоев на кокс вообще прекращается. Как показали опыты, диаметр входного отверстия воронки при длительном воздействии струи не увеличивается. Обычно это наблюдается после того, как струя проникла в ко с на глубину 150—200 мм. Если продвижение ее прекратилось, а в коксе появились новые трещины или сколы, то это ведет к дальнейшему углублению воронки. Струя воды, проникая в трещины, расширяет их и отделяет куски кокса от массива, открывая тем самым доступ к вновь обнаженной поверхности. Через трещины и полости обеспечивается интенсивный отвод воды, попадающей в воронку. Проведенные опыты позволяют сделать вывод интенсивность разрушения кокса струей воды можно повысить лишь при том условии, если во время резки будет обеспечен отвод воды, поступающей в канал реза. [c.278]

На рис. VI-13, а приведены некоторые результаты изучения диффузии капельной жидкости при использовании ее в качестве ожижающего агента [747]. Как видно из этого рисунка, экспериментальные кривые распределения концентраций близко следуют функции распределения Гаусса. При этом вблизи точки ввода меченой жидкости кривые располагаются весьма круто по мере удаления от этой точки, как и следовало ожидать, кривые становятся более пологими. Из рис. VI-13, б видно, что коэффициент эффективной диффузии Ода возрастает примерно пропорционально скорости жидкости как в неподвижном, так и в псевдоожиженном слое. Этот факт наряду с отсутствием излома на прямых Оэа=/(г ) [c.188]

Однако этого условия недостаточно, так как уширение индивидуальных линий спектра, обусловленное враш,ением радикала и рассматриваемым механизмом уширения, может исказить форму результирующего спектра. Чтобы это уширение практически не влияло на спектр, оно по крайней мере на порядок должно быть меньше ширины индивидуальной линии, существующей и в отсутствие вращения. Как отмечалось в разделе II.1, для органических нитроксильных радикалов последняя величина составляет несколько гаусс. Поэтому, требуя, чтобы дополнительное уширение внешних пиков спектра полностью замороженного образца не превышало 0,1 "с, с учетом выражения (11.21) находим, что в рамках рассматриваемой модели вращение нитроксильных радикалов практически не сказывается на форме спектра ЭПР замороженного образца 1, если [c.39]

Общепринятая модель основана на том, что количество вещества прямо пропорционально отклику датчика. Если допустить, что все необходимые условия для сохранения этой пропорциональности соблюдены, то полученная оценка логически справедлива. При прямом методе обработки для получения оценки нужно просто умножить полученное значение на коэффициент пропорциональности. Два разных наблюдения должны, всего вероятнее, дать две разных оценки, и более полная модель даст возможность определить окончательную ошибку, вызванную специфической причиной. При графическом анализе для получения оценки на основании ряда наблюдений строится прямая линия. Методом минимаксного оценивания определяется наилучшая прямая линия путем уменьшения максимальных отклонений. Этот метод требует по меньшей мере трех точек и не рационален в тех случаях, когда исследователь использует главным образом наблюдения с максимальными отклонениями. При исиользовании метода наименьших квадратов сумма квадратов абсолютных отклонений сводится к минимуму наблюдения взвешиваются в соответствии с обратной величиной их стандартных отклонений. Метод наибольшей вероятности более сложен, но в случаях, когда ошибка подчиняется закону распределения Гаусса, он дает те же результаты, что и метод наименьших квадратов. Этот метод можно неограниченно применять и для случаев с другими видами распределений. Основной особенностью байесовского метода, как уже упоминалось, является распределение истинных величин относительно измеренного наблюдения, а не распределение измерений относительно истинной величины [9]. Процедура вычислений при этом методе еще более сложна и утомительна. Выбор метода заключает в себе компромисс между сложностью математических расчетов и достижением желаемой точности результатов. [c.569]

Если экспериментальные результаты отвечают тому, что называют нормальным распределением , т. е, если источники ошибок случайны и не зависимы друг от друга (что часто бывает или к чему по крайней мере часто приближаются получаемые результаты), то получается кривая, известная под названием кривой Гаусса (рис. 114). Максимум частоты -отвечает среднему значению [c.247]

В дальнейшем стандартное отклонение а используется как мера ширины пика в предположении, что функциональные зависимости подчиняются функции распределения Гаусса. На практике более удобно измерять ширину пика на половине его высоты (Ьн). В литературе также часто используют ширину пика на уровне нулевой линии Ьв (в англоязычной литературе Ив). Так как ни Ьв, ни а не измеряются непосредственно на хроматограмме, для их определения необходимы специальные расчеты, также проводимые в предположении о справедливости распределения Гаусса. [c.47]

Интересные результаты получены для отклонения формы пика от кривой Гаусса (табл. 3). При линейной изотерме пик практически не отличается от кривой Гаусса вплоть до значений А 2, хотя при этих дозах уже происходит некоторое расширение пика. При Л >2 отклонения от кривой Гаусса становятся заметными, причем, как и следует из работы [1] и как подтверждено экспериментом [2], концентрация по мере движения от максимума пика уменьшается резче, чем это происходит для кривой Гаусса (положительное отклонение). [c.41]

Твердые тела характеризуются спектрами с широкими линиями. Дело в том, что локальные поля, возникающие при взаимодействиях ядерных магнитных диполей, вносят существенный вклад в суммарное поле, действующее на ядро в твердом веществе. Мерой такого непосредственного спин-спинового взаимодействия является время спин-спиновой релаксации Т . Это время гораздо меньше в твердых соединениях по сравнению с жидкостями, что и является причиной появления более широких линий (шириной в несколько гаусс). В этом случае информацию относительно взаимного положения соседних ядер дает огибающая линия поглощения. [c.229]

Это уравнение можно упростить. Но, прежде чем делать это, заметим, что правая часть уравнепия содержит пять членов. Следовательно, можно будет привести в точное соответствие правую и левую части уравнения по крайней мере по пяти отдельным точкам М (/с = 1,. . ., 5) путем обращения системы линейных уравнений относительно с . Степень соответствия конечного разложения по уравнению (14-53) функции F М) в точках М, отличных от Мй, будет изменяться в зависимости от М , поэтому М следует выбрать так, чтобы свести ошибки к минимуму. Эту проблему решил Гаусс [33], который показал, что оптимальными будут точки Mj = XJa, где — пять корней присоединенного полинома Лаггера пятой степени, т. е. [c.385]

Строго говоря, гаусс и тесла не являются мерой одной и той же величины. [c.13]

Изучение ферромагнитных компонентов катализаторов требует полей, достаточных для насыщения образца, и надлежащего температурного контроля. Необходимо, чтобы применяемое поле можно было изменять в интервале, по крайней мере, 1000—2000 гаусс температурная область, широко использовавшаяся до сих пор, простирается от комнатной температуры до температур порядка 700°. [c.397]

Эти данные нанесены на график (рис. 107), где изображена гауссовская кривая, для которой среднее квадратичное отклонение равно корню квадратному из среднего значения. Данные, полученные Резерфордом и Гейгером для а-частиц, нанесены на тот же график. Распределения тех и других экспериментальных результатов (рис. 107) в одинаковой мере близки к распределению Гаусса. [c.289]

Если /Со — величина средней константы связывания, а а—мера предела изменений величин К, то нормализованная функция Гаусса будет иметь вид [20] [c.177]

Таким образом, скорость движения ве лества не зависит от его концентрации. Форма хроматографической зоны на хроматограмме также не меняется в ходе перемещения вещества, так как элементы объема с любой его концентрацией передвигаются с одинаковой скоростью. Если бы отсутствовала продольная диффузия, концентрация вещества вдоль потока не менялась бы и форма хроматографической зоны напоминала бы вид, показанный на рис. 111.276 (кривая /). Однако в реальных условиях имеет место продольная диффузия, и благодаря ей концентрация вещества вдоль потока размывается, соответственно размывается и хро.ма-тографическая зона. Ее форма напоминает кривую распределения Гаусса (кривая 2 на рис. 111.276). При соблюдении закона Генри форма хроматографической зоны не искажается по мере ее перемещения все точки зоны движутся с одинаковой скоростью. [c.180]

Рассмотрим детальней кинетические характеристики колонки. В ходе хроматографирования в колонке и вне ес по мерс прохождения по хроматофафическому трак 17 (дозатор, предколонка, кoJюн-ка, детектор, коллектор фракций, соединенные друг с другом капиллярами) происходит размывание узкой конце ппрационной зоны введенного вещества. По мере ее движения с подвижной фазой по тракту зона становится все шире, размываясь в результате диффузионных процессов. Эффект размывания характеризуется шириной пика у основания которую определяют как отрезок, отсекаемый на нулевой линии двумя касательными, проведенными к пику. FxJ[и хроматографический пик описывается кривой Гаусса, то где [c.144]

Метод позволяет щ)овесга через экспериментальные точки кривую заданного вида так, чтобы расчетные точки были максимально близки к экспериментальным. Мерой близости служит нормированная сумма квадратов поточечных отклонений, а сама щ>оцедура МНК сводится к подбору числовых значений коэффициентов заданной функции, минимизирующих эту сумму. Если коэффициенты (параметры) входят в аппроксимирующую функцию линейно (прямая линия, сумма полиномов и т. п.), говорят о линейном МНК, иначе — о нелинейном (гауссов или лоренцев контур, гамма-функция и др.). Последний в вычислительном отношении сложнее (см. также гл. 2). [c.434]

Масштабирование рекуррентного уравнения. Значения шага найденные методом Гаусса — Ньютона [решение уравнения (111.83)] не зависят от масштаба пространства 7 (иI, и , щ) искомых констант, т. е. являются инвариантными относительно линейных преобразований этого пространства. И наоборот, значения А , найденные методом градиента, в значительной мере не инвариантны к масштабу пространства констант. Поскольку метод максимального приближения является комбинированным, объединяя в себе как свойства метода Гаусса — Ньютона, так и свойства градиентных методов, то желательно пространство II (и , и ,. . ., щ) промас-штабировать. [c.170]

Были найдены плотности распределения величин lg/гкaт, 1ё м, lg (йкат/Км) (рис. 3.1). Плотности распределения близки к нормальной логарифмической кривой Гаусса. Кривая плотности распределения кат. приведенная на рис. 3.1, содержит,, по крайней мере, две загадки. По каталитической эффективности ферменты различаются более чем в 10 раз, но тем не менее распределение ферментов по кат представляется достаточно узким. Среднеквадратичное отклонение не превышает одного порядка. При этом практически отсутствуют ферменты, имеющие кат Ю с и выше. Наиболее широко распространены ферменты, константы кат в которых имеют порядок 10 с . Представляется удивительным тот факт, что в отличие от обычных химических реакций, диапазон констант скоростей которых очень широк (10 с —10 ° с- ) [25, 26], ферментативные реакции весьма унифицированы по кинетическим па- [c.72]

К сожалению, тщательные неэмпирические расчеты пока невыполнимы для более сложных комплексов. Расширить в какой-то мере область их применимости может прием, предложенный Дель Бене и Поплом [41]. При расчете цепей и циклов (НгО) они использовали наборы орбита-лей Слэтера, представленных 3 в виде линейных комбинаций не- большого числа функций Гаусса. [c.17]

Вид хроматограмм с различными степенями разделения иска-зан на рис. 3. Форма хроматографического пика приближается к форме кривой распределения Гаусса. Поэтому полного разделения компонентов образца никогда нельзя достичь . Даже если детектор на выходе из колонки отмечает нулевую кснцентрацию между соседними пиками, компонент, образующий каждый из пиков, участвует в какой-то мере и в образовании пика другого компонента. Степень, до которой этот эффект заметен, зависит от отношения между концентрациями двух компонентов в образце. Если, например, 0,01% компонента X находится в пике, образованном компонентом У, то ошибка будет незначительной или практически равной нулю в зависимости от того, чему равно отноше- ние X У—единице или тысяче. [c.21]

Активность данного вещества будет проявляться в виде пика, имеющего примерно форму кривой Гаусса. Для расчетов удобнее заменить площадь этого пика на квадратную , ширина или объем которой принимают равными ширине и длине пика Гаусса между его полумаксимумами., Тогда постоянная высота квадратного пика будет представлять среднюю скорость отсчета по мере прохода пика, а его площадь—общую активность. Ширина пика [c.57]

Для ионов Си " в водном растворе была известна только одна полоса поглощения. Однако тщательный анализ кривой поглощения, сделанный на основе допущения, что кривые поглощения (коэффициент поглощения как функция волнового числа) по существу представляют собой кривые ошибок Гаусса, показал, что экспериментально найденная кривая получается в результате суперпозиции по крайней мере двух симметричных кривых с максимумами на 790 и 1060 ждак. Отношение Х2/Х1 равно 1,34. Эта величина значительно меньше, чем рассчитано для квадратной конфигурации иона [Сп(Н20)4] . Однако она близка [c.323]

Времена спин-решеточной и спин-спиновой релаксаций для образцов 2 и 5 обнаруживают на рис. 19.1 и 19.2 противоположные температурные профили, что типично для адсорбированных ч истем во всем интервале степеней покрытия, за исключением случая 100%-ной относительной влажности для образца 5. Этот факт заставляет предположить наличие узкого минимума для Ти резкое уширение кривой Т и возникновение плеча или максимума по мере того, как Гг увеличивается с температурой [15, 21]. Ниже обсуждены использованные для описания этих систем логарифмические распределения Гаусса, не зависящие от температуры (В=сопз1). Из-за близости этих профилей характеристики подвижности адсорбированной воды, по-видимому, сходны для различных условий, перечисленных на рис. 19.1 и 19.2. Данные табл. 19.2 подтверждают эту точку зрения, так как (исключая образец 5 при относительной влажности 100%) Г1МИН колеблется в интервале между 20 и 30 мс во всех изученных случаях и температура, при которой достигаются значения Гмин, 0МИН, также находится в очень узком интервале и варьирует только между 210 и 230 К- [c.320]

Закон нормального распределения Гаусса. Определяя понятие случайных ошибок химического анализа, мы подчеркивали, что в отличие от систематических ошибок они не имеют видимых причин. Точнее говоря, ввиду крайней многочисленности отдельных случайных ошибок и незначительности величины каждой из них химик-аналитик сознательно отказывается от выяснения причин и оценки значений индивидуальных случайных ошибок. Ценой этого отказа он получает право изучать и описывать совокупную случайную ошибку и оценивать результаты анализа методами математической статистики, рассматривая их как случайные величины. Аналогичным образом поступает исследователь-фивик, который ценой отказа от измерения скоростей и иапра1Бления движения отдельных молекул газа приобретает возможность статистического описания огромного макроскопического ансамбля молекул — газа как физического тела с помощью усредненных параметров температуры, давления, теплоемкости, энтропии и т. д. В равной мере биолог-селекционер, оценивая продуктивность нового сорта пшеницы путем пересчета числа зерен в отдельных колосьях, сознательно отказывается от выяснения причин того, почему в разных колосьях число зерен неодинаково, и характеризует продуктивность средним числом зерен в колосе и рядом других параметров статистического характера. [c.65]

Таким образом, в условиях перегрузки по мере удаления от центра пика, концентрации уменьшаются быст-рее, чем это следует из распределения Гаусса. Для не слишком больших перегрузок (объем пробы для колонны диаметром 15 мм порядка 0,5 мл, для колонны 30 мм порядка 2—3 мл) отклонение от кривой Г аусса не велико 5—6% для отношения и около 10% для величины аз/ai. С увеличением перегрузки отклонение возрастает до 20—25%. Во всех случаях отклонение по величине aa/oi превосходит вдвое отклонение по величине аг/ - При удлинении колонны от 2 до 6 ж и при увеличении температуры форма пика больше соответствует кривой Гаусса. При вводе микропроб хроматографический пик почти точно описывается распределением Гаусса. [c.55]

ВЭТТ можно также перегрузить колонну, т. е. ввести в нее большую дозу (колонна 26). х 1ожно, в принципе, подобрать условия так, что ширина пика, а следовательно, и п колонн 2а и 26 будут одинаковыми. Однако концентрации вещ ртв в хроматографической полосе на обеих колоннах будут изменятьсй по-разно-му, а следовательно, будет различна и чистота фракций. Только для умереИных перегрузок, как было показано в предыдущем разделе, форму пика можно приближенно апроксимировать распределением Гаусса и тогда разницей в чистоте фр йций, получаемых на колоннах 2а и йб, можно пренебречь. Таким образом, использовать п в качестве меры эффективности, например, для сопоставления двух колонн можно только при умеренных перегрузках или при условии, что эти перегрузки близки. В дальнейшем будет использован термин аналитическое число тарелок (по), чтобы охарактеризовать число теоретических тарелок в отсутствие перегрузки, соответственно, тер мин препаративное число,теоретических тарелок (п) будет характеризовать колонну при перегрузке. Для асимметричных пиков расчет числа теоретических тарелок по формуле (48) теоретически необоснован и условен. Можно сохранить форл<ально это выражение, учитывая асимметрию пика величина ВЭТТ при этом будет зависеть от поставленной задачи. Обратимся снова к примеру разделения, изображенному на рис. 19, в. При подборе условий разделения следует позаботиться не только об уменьшении общей ширины первого цика, но, прежде всего, об уменьшении его заднего фронта. Как и при переходе от критерия /С1 к критерию К, в расчетную формулу для Я правильнее подставлять не Ац1 + Аца, а 2А л,1 [c.64]

Как отмечалось ранее, на основании обработки экспериментальных данных, кривизна изотермы влияет на форму пика в противоположную сторону по мере движения от максимума пика концентрации уменьшаются медленнее, чем для кривой Гаусса (отрицательное отклонение). Наложение обеих противоположных тенденций приводит к тому, что при небольшой кривизне изотермы 1 = 0,165 (/(2= 5-10 ) область, где форма пика описывается гауссовой кривой, увеличивается от Л я=3,5. При большей кривизне изотермы (А,<—0,33 и А,>0,66) при малых А наблюдаются небольшие отрицательные отклонения, которые с увеличением А переходят в положительные. Отклонения от бигауссовой кривой не превышают 5% при значениях Л < 3 для Я=0, Л < 5 для Я= 0,33 (/(2= 10 ) и Л" <7 для Я = 0,66 К2 = 2- 0 . [c.41]

В результате хроматографического разделения смеси получается хроматограмма, описывающая распределение концентраций вещества на выходе из колонки и имеющая вид кривой Гаусса. Теоретически абсолютного разделения двух компонентов не получается, однако практически это не сказывается на результатах анализа вследствие того, что концентрация на хроматограмме резко уменьшается по мере удаления от центра симметрии хроматографической зоны. Данные хроматограммы, которая является основным показателем хроматографического анализа, позволяют оценить степень разделения компонентов, т. е. чистоту фракций. Критерием разделения двух компонентов называется отношение расстояния между максимумами хроматографических пиков к сумме полущирин этих пиков. Часто эту величину называют степенью разделения [94] x [c.17]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология