Симметрия кристалла. Классы симметрии и пространственные группы

Всего существует 32 возможных сочетания элементов симметрии, отличающихся друг от друга. Их очень часто называют классами или видами симметрии, или точечными труппами. Эти 32 класса симметрии описывают любую симметрию внешней формы ограненного кристалла. Точечными группами их называют потому, что все элементы симметрии можно представить мысленно пересекающимися в одной точке. Следовательно, 32 вида симметрии могут описать лишь симметрию замкнутой фигуры. Представление о точечной группе симметрии имеет очень важное значение при теоретическом расчете молекул и при рассмотрении их спектров, так как отдельные молекулы с точки зрения симметрии рассматриваются как замкнутые фигуры. Симметрия пространственных решеток значительно богаче симметрии кристаллов. Если же мы рассмотрим повторение точек или фигур в каком-либо определенном порядке, то число элементов симметрии существенно возрастет. К привычному действию элемента симметрии прибавляется дополнительно еще одно действие — перенос — трансляция в определенном направлении, в результате чего действие элемента симметрии из замкнутой фигуры переносится в пространство. Естественно, что решетка кристалла, обладающая только одним действием — переносом, также является элементом симметрии. [c.66]

Из равенства (7.17) видно, что так как А — элемент группы, то каждая группа должна содержать тождественную операцию Е. Группы симметрии молекул называют точечными группами, потому что все элементы симметрии, которыми может обладать молекула, т. е, центр симметрии, оси симметрии, зеркально-по-воротные оси или плоскости симметрии, имеют по крайней мере одну общую точку пересечения. Важный класс групп, которые не обладают этим свойством, составляют группы, описывающие симметрию кристаллов. Их называют пространственными группами. Они будут кратко рассмотрены в гл. 10. [c.143]

Симметричное распределение электронов в элементарной ячейке может привести к тому, что для некоторого класса структурных факторов /= (Ш)=0. Таким образом некоторые сведения о строении можно получить по систематическим погасаниям еще до измерения иптенсивности. На рис. 1А схематически показан двухмерный кристалл, у которого пространственная группа симметрии включает зеркальную линию. [c.178]

Трансляции размножают элементы симметрии кристаллического класса в семейство параллельных элементов симметрии (см. рис. II.9) и преобразуют поворотные оси симметрии в винтовые, а зеркальные плоскости — в плоскости скользящего отражения. В результате из каждого кристаллического класса образуется несколько пространственных групп. Общее число пространственных групп 230. Это значит, что помимо одного непрерывного и изотропного пространства Евклида существует 230 типов дискретных и анизотропных периодических пространств, представителями которых являются кристаллы. В числе 230 [c.60]

Теперь можно найти набор базисных функций, соответствующих симметрии решетки. Симметрию пространственной группы, за исключением трансляционной симметрии, дает фактор-группа, которая составлена из всех осей и плоскостей (включая винтовые оси и плоскости скольжения) и центров симметрии пространственной группы с условием, что все положения кристалла, которые трансляционно эквивалентны, рассматриваются как идентичные. (Фактор-группа является группой всех смежных классов подгруппы трансляций пространственной группы и часто называется группой элементарной ячейки.) Составим комбинации локализованных экситонов, которые являются представлениями фактор-группы [c.579]

Хотя симметрия геометрического тела может быть сколь угодно сложной (вплоть до га = оо), симметрия природных кристаллов ограничена определенными и довольно узкими пределами, чем и объясняется ограниченное число кристаллических систем, классов и пространственных групп симметрии кристаллов. Можно показать, чта это вытекает как необходимое следствие из закона рациональных индексов, а сам закон, в свою очередь, является следствием решетчатой структуры кристаллов. [c.23]

Классы кристаллов. Может показаться, что вопрос о количестве видов симметрии (соответственно точечных групп симметрии) чисто теоретический. Это далеко не так. На Земле найдены тысячи минералов, имеющих огромное значение для техники. Кристаллические формы этих минералов разнообразны. Если не учитывать формы роста различных кристаллов данной модификации данного вещества и все кристаллы данного вида симметрии причислять к одному классу, то всего может быть не более классов кристаллов, чем имеется видов симметрии, т. е. 32, ибо кристаллы, имеющие одну и ту же точечную группу симметрии, составляют класс. Это совпадение далеко не случайно. Действие элемента симметрии на кристаллографическую точку, на грань и на элемент симметрии (табл. 1.4— 1.9) совершенно тождественно (рис. 1.17). Это же относится к любой возможной пространственной совокупности элементов симметрии, т. е. виду симметрии. [c.34]

Классификация кристаллических форм основана на симметрии кристаллов. Различные случаи симметрии кристаллических многогранников подробно разбираются в курсах кристаллографии — науке о кристаллах. Связь между пространственным строением, природой химической связи и физико-химическими свойствами кристаллов изучает одна из составляющих наук кристаллографии — кристаллохимия. Здесь укажем только, что все разнообразие кристаллических форм может быть сведено к семи группам, или кристаллическим системам, которые, в свою очередь, подразделяются на классы. [c.158]

Хотя собственно для кристаллов возможны 32 класса кристаллов (точечных групп симметрии), для комбинаций элементов симметрии в элементарной ячейке разрешены не менее, чем 230 пространственных групп симметрии [c.395]

Для описания отношений симметрии между внешними гранями кристаллов применимы только кристаллографические операции типа пип. Последние могут быть объединены в 32 кристаллографические точечные группы симметрии, известные как классы кристаллов. Внутреннее периодическое расположение атомов в кристаллической структуре требует применения векторов параллельного переноса, которые также могут сочетаться с осями вращения и плоскостями симметрии, как обсуждалось выше. Включение сложных операций симметрии, таких, как винтовые оси и плоскости скольжения, приводит к 230 пространственным группам симметрии, разрешенным для комбинаций элементов симметрии в элементарной ячейке. Они приведены в Международных таблицах кристаллографии [11.2-1]. В этом контексте интересно отметить, что примерно 75% всех органических и металлоорганических соединений образуют кристаллы, принадлежащие всего к 5 пространственным группам, а 12 пространственных групп симметрии, все принадлежащие к триклинным, моноклинным и орторомбическим кристаллическим системам, охватывают 87% таких соединений. Все эти пространственные группы симметрии допускают достаточно хорошую плотную упаковку органических молекул, которые, как правило, имеют низкую симметрию. [c.395]

Эти семь кристаллических систем дают 32 различных класса симметрии или точечных групп к 230 пространственных групп, с которыми кристаллы могут быть сопоставлены. Классификация кристаллов по этим группам зависит от наличия определенных элементов симметрии. [c.92]

Таблица корреляций является просто выражением того, что в подгруппе (локальная группа Сг) частично сохраняется симметрия группы (или пространственной группы Очн, или точечной группы молекулы Ови)-Таким образом, все те классы симметрии, которые при выполнении операции инверсии в имеют характер +1, коррелируют с локальной группы, так же как и классы симметрии фактор-группы которые симметричны по отношению к операции инверсии, и так далее. Симметрией молекулы в кристалле фактически является локальная симметрия, и поэтому можно просто коррелировать каждое колебание молекулы с соответствующим ему классом рассматриваемой группы Сг и предсказать его спектральную активность, применяя правила отбора, соответствующие группе Сг (т. е. колебания, которые относятся к типу Аи, будут активны в инфракрасном спектре, в то время как колебания, относящиеся к типу Ag, будут активны в спектре комбинационного рассеяния). Эта процедура называется анализом локальной симметрии [44]. [c.585]

Исследуя возможные сочетания элементов симметрии конечных объемов, оказалось возможным установить, что сочетаний элементов симметрии, действующих на единственную точку (центр тяжести кристалла), т. е. точечных групп или классов симметрии, насчитывается 32. Для бесконечно протяженной пространственной решетки (дисконтинуума), кроме описанных выше элементов симметрии, возможны и иные проявления правильной периодической повторяемости мотива расположения точек системы за счет того, что смещение вдоль трансляции на целую трансляцию в бесконечно протяженной решетке есть операция трансляционной симметрии, приводящая систему точек в идентичное положение. Поэтому новые элементы симметрии содержат компоненту трансляции, совпадающую с ними по направлению. [c.54]

До сих пор предполагали, что рентгеновские лучи одинаково рассеиваются различивши узлами решетки и что усиление волн в соответствии с принципами оптической интерференции приводит к образованию дифракционных пучков, распространяющихся в определенных направлениях при повороте кристалла на соответствующий угол. Если между каждой парой плоскостей с заданным расположением узлов решетки находятся плоскости, узлы решетки в которых сдвинуты на межузлового расстояния относительно узлов в первых двух, то происходит гашение рентгеновского луча, т. е. отражение отсутствует. Этим чисто геометрическим способом — фиксированием наличия или отсутствия точек на фотопленке и измерением их Положения — можно определить размеры элементарной ячейки, класс симметрии и очень часто — пространственную группу. Если [c.42]

Если при исследовании оказалось возможным использовать исключительно одни рентгеновские данные, то вид симметрии кристалла до конца нам не известен. По симметрии (рентгенограммы определяется лишь дифракционный класс, включающий в себя несколько (от двух до четырех) видов симметрии. Заранее неизвестно, не только какими — простыми или включающими в себя переносы— являются элементы симметрии, но неизвестно также, присутствует ли вообще тот или иной из них. Это приводит к затруднению при расшифровке пространственной группы. Погасания позволяют обнаружить лишь составные элементы симметрии плоскости скользящего отражения и винтовые оси. [c.286]

Теперь можно определить все варианты симметрии внутреннего расположения структурных единиц, которые могут осуществляться в кристалле. Это достигается сочетанием элементов симметрии различных кристаллографических классов с каждым узлом соответствующей решетки Бравэ при учете винтовых осей и плоскостей скользящего отражения. В результате получается 230 различных расположений точек, которые называют пространственными группами. Большая сложность пространственных групп по сравнению с 32 точечными группами обусловлена главным образом применением к пространственным решеткам винтовых осей и плоскости скользящего отражения. [c.256]

Следует иметь в виду еще один новый момент, касающийся кристаллической формы. Исследование внешней формы кристалла дает возможность отнести его к одному из 32 классов симметрии, однако одну и ту же внешнюю симметрию могут проявлять различные виды атомного расположения уже отмечалось, что существует 230 расположений внутренних элементов симметрии пли пространственных групп. [c.207]

Часть 4 (1955 г.). Кристаллы (Симметрия, классы, пространственные группы. Типы решеток, структуры и параметры кристаллов. Ионные и атомарные радиусы. Энергия кристаллической решетки. Внутренние колебания кристаллов. Уровни энергии в твердых телах. Рентгеновские спектры и состояние связей. Электронные спектры кристаллов. Высокочастотные спектры кристаллов. Адсорбция, обусловленная дефектами решетки, в кристаллах щелочных галогенидов). [c.96]

Важность этого понятия связана с тем, что симметрия кристалла определяет и симметрию проявления самых разнообразных физических свойств. Но макрофизические свойства, такие, как электрическая проводимость, упругость и др., относятся не к отдельным атомам или атомным рядам, а к кристаллу в целом, и определяются не пространственной группой симметрии кристалла, а его классом симметрии— той точечной группой, которая получится, если все открытые элементы симметрии заменить сходственными закрытыми и перенести в общую точку пересечения. [c.27]

Огромное значение симметрии для предсказания спектров кристаллов обсуждалось рядом автором [44, 54, 102], в частности Уинстоном и Халфордом [108]. Они рассматривают различные математические группы, составленные из операций симметрии кристалла. Пространственной группой является группа всех операций симметрии, включая трансляции паЛ, щ Ь, ПсС) вдоль осей элементарной ячейки. Набор этих трансляций сам образует группу, называемую группой трансляций. Показано, что пространственная группа является произведением группы трансляций и группы, называемой фактор-группой (которая представляет собой набор всех смежных классов группы трансляций). Фактор-группа изоморфна одной из 32 точечных групп, возможных в кристаллах, но в дополнение к чисто точечным операциям может включать и операции, соответствующие винтовым осям или плоскостям скольжения. Фактор-группу часто называют группой элементарной ячейки. Элементарная ячейка определяется как наименьший объем кристалла, который даст всю решетку кристалла, когда на него подействуют элементы группы трансляций (этот объем меньше, чем элементарная кристаллографическая ячейка, в том случае, когда последняя центрирована). [c.583]

Подобно тому, как внешняя форма кристалла имеет определенную симметрию, так и расположение атомов в элементарной ячейке характеризуется определенными элементами симметрии. Все элементы симметрии, характеризующие внешнюю форму кристалла, проходят через некую точку это следует из того, что кристалл является конечным. Существует только 32 возможных комбинации допустимых осей вращения и зеркально-поворотных осей, — 32 класса точечной симметрии. Однако элементы симметрии в элементарной ячейке кристалла связаны не с гранями кристалла, а с атомами, вследствие чего ограничение, заключавшееся в необходимости прохождения через некую точку, снимается. Тогда как две параллельные плоскости симметрии превращали бы грань в бесконечный, лишенный смысла ряд параллельных граней, можно получить две параллельные плоскосги симметрии, проходящие через каждую элементарную ячейку кристалла (см. рис. 43, внизу). Более того, можно получить также элементы симметрии, включающие смещение, — плоскости скольжения и винтовые оси. По этим причинам число комбинаций элементов симметрии относительно внутренней структуры кристаллов (230 пространственных групп) значительно больше числа расположений, описывающих их внешнюю сим- [c.183]

Структурным классом называется совокупность молекулярных кристаллов с одинаковой пространственной группой симметрии, в которых молекулы занимают одинаковые системы эквивалентных позиций. Принадлежность к тому или иному структурному классу определяет общий закон располбжения молекул в кристалле. Символ структурного класса включает в себя запись пространственной группы, указание числа молекул в ячейке (Z) и приводимую в скобках точечную группу (группа S), характеризующую симметрию позиции молекул, например, Plj , Z = 4(1) или 2i/ ,Z = 6(1h1) . [c.6]

Реализация всех оперяпий симметрии класса приводит грань кристалла в то же ее положение реализация всех операций симметрии пространственной группы может приводить точку и в новое положение, но кристаллографически идентичное. Элементы симметрии систем точек как закрытые, т. е. сами по себе трансляции не содержащие, так и открытые, содержащие компоненту трансляции, способны взаимодействовать с трансляциями систем точек и порождать новые, производные элементы симметрии, расположенные в системе точек в новых местах или приобретающие новые качества. [c.56]

Дальнейший расчет всевозможных способов комбинации этах элементов симметрии — задача чисто математическая. Такой математический анализ был впервые проведен Хесселйм в 1830 г., который установил, что возможны 32 различных класса симметрии, известных под названием 32-точечных групп. Они представляют собой конечные в математическом смысле группы преобразований (в отличие от пространственных групп симметрии, которые содержат бесконечные группы преобразований). Эти классы называют точечными группами, так как преобразования всегда происходят при условии неподвижности одной фиксированной точки. Кристаллы обычно подразделяют на семь систем (сингоний) в соответствии с наиболее общепринятым выбором осей координат. В табл. 1 приведены 32 вида симметрии. [c.25]

Гониометрические развертки подтвердили гексагональную симметрию кристаллов (класс Лауэ 6//н). Систематические погасания рефлексов приводят к двум возможным пространственным группам Р63 и Р6з/т. Параметры элементарной ячейки, а = 17.375 + +0.005, с=15.185+0.005 А плотность измеренная 1.4 г/см вычисленная на 6 формульных единиц [Ni(en)з]-81305-8.7Н2О 1.3 г/см . Измерения интенсивностей выполнены на монокристаль-ном дифрактометре со сцинтилляционным счетчиком по схеме перпендикулярного пучка методом неподвижный счетчик—вращающийся кристалл . Использовалось монохроматизированпое отражением от кристалла-монохроматора — Мо-Л -излучение. Были измерены 920 ненулевых неэквивалентных отражений [c.63]

Наконец в модели мо. екулярного кластера рассматривается просто молекулярный фрагмент кристалла с точечной симметрией G, которая либо совпадает с точечной группой кристалла О (это возможно только для кристаллов с симморфной пространственной группой, причем не всегда такое совпадение совместимо с требованием, чтобы кластер имел форму РЭЯ), либо является ее подгруппой, В нашем примере симметрия молекулярного кластера — Td, т. е. подгруппа группы кристаллического класса. Итак, резюмируем все сказанное о рассматриваемой системе [c.91]

Несколько сложнее обстоит дело в кристаллах. Для кристаллов с симморфными пространственными группами, как и в случае молекул, возможные группы локальной точечной симметрии являются подгруппами группы кристаллического класса (включая тривиальные). Так, в структурах типа МаС и сфалерита локальная симметрия всех атомных ядер совпадает с точечной группой кристалла 0 и Та соответственно), а все остальные точки кристалла имеют в качестве локальной группы одну из ее подгрупп. [c.248]

Для несимморфных кристаллов локальная группа всегда является подгруппой точечной группы кристалла С, содержащей лишь те операции группы С, которые входят в пространственную группу без несобственных трансляций. Так, в структуре алмаза (кристаллический класс Он) максимально возможная локальная симметрия — Та (в точках с такой симметрией расположены ядра атомов углерода), а в кристалле корунда (кристаллический класс Йзй)—группа Сз, (в точках с такой группой симметрии расположены ядра атомов А1). [c.248]

Отдельные попытки более или менее полного анализа такого рода появляются время от времени и в других работах. Так, в работе [39] была построена кристаллографическая субординация органических веществ. Структуры были разделены на два семейства, прототипами которых являются метан [кристаллы с ориентационной неупорядоченностью, относящиеся к классу РтЗт, 1 — А тЗт) и бензол [класс РЬса, 2 = 4(1)]. Затем были построены ряды структур, в которых последовательное замещение атомов и атомных группировок в молекулах сопровождается морфотропными превращениями — переходами от данной пространственной группы к ее подгруппам при сохранении типа рещетки. В работе [40] были отобраны пространственные группы, оптимальные для кристаллизации молекул с осями 2, в предположении, что такие молекулы образуют колонки (цепи), которые связаны винтовыми осями 2ь перпендикулярными к собственным осям симметрии молекул. [c.146]

Таким образом, очевидно, что систематическое отсутствие в рентгеновских спектрах определенных отражений позроляет выявить наличие свойственных структурам решетки элементов симметрии — плоскости скольжения и винтовой оси. Исходя иэ этой информации, можно установить пространственную группу симметрии. Спектры с отсутствующими отражениями, характерными для каждой пространственной группы, систематизированы в Международных таблицах рентгеновских спектров кристаллов [17]. К сожалению, определение пространственных групп по отсутствующим отражениям в спектрах очень часто не является однозначным. Часто необходимо прибегать к помощи других средств (морфология, статистические опыты и т. п.) для выяснения класса, к которому принадлежит кристалл, или вида симметрии кристалла. [c.40]

Пространственная гру/ггаа — комбинация всех элементов симметрии, присущих данной структуре. К одному кристаллографическому классу могут принадлежать кристаллы, отличающиеся отно- шением осей. Аналогично к одной и той же пространственной группе принадлежат правильные системы точек с различными трансляционными расстояниями, но одинаковые по симметрии, [c.61]

Комбинируя элементы симметрии конечных фигур, получают 32 класса симметрии кристаллов. Комбинацией элементов симметрии бесконечных фигур, в соответствии с теоремами об их сложении (см. правила Войно на стр. 44), выводят 230 пространственных групп симметрии. [c.68]

Существует всего 32 вида (или класса) макросимметрии кристаллов, по которым распределяются все известные 230 пространственных групп симметрии. Эта внешняя симметрия кристаллических многогранников (форм роста) описывается 32 так называемыми точечными группами. [c.32]

Кристаллы Ь1МЬ0з принадлежат к пространственной группе КЗс, тригональной симметрии, классу точечной симметрии Зт. По строению кристаллической решетки кристаллы ниобата лития напоминают структуру ильменита (РеТ10з), но с другой последовательностью чередующихся рядов вдоль пространственной диагонали, а именно в кристалле LiHbOз металлические ионы образуют последовательность [c.251]