Оценки параметров линейные

Оценки параметров к, т,, ищем с помощью линейного метода наименьших квадратов минимизацией функционалов Кс [c.307]

РАСЧЕТ И СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ [c.217]

Другой тип прикладных алгоритмов, включаемых в СУБД САПР ХТС,— это алгоритмы оценки параметров. Необходимость в таких алгоритмах обусловливается, во-первых, стремлением к единообразию формы представления физико-химических свойств, а во-вторых, необходимостью обработки экспериментальных данных с целью получения более компактной формы данных. Большинство алгоритмов оценки параметров основывается на методе наименьших квадратов, тем не менее структура самих алгоритмов весьма сильно зависит от характера и свойств выборки данных. Так, например, для оценки коэффициентов полинома степени п, которым аппроксимируются температурные зависимости физикохимических свойств, достаточно решить систему линейных нормальных уравнений. Для оценки коэффициентов уравнения Антуана, описывающего зависимость давления насыщенных паров [c.228]

Оценка параметров дифференциальных уравнений рассмотрена в [5, 8]. В работе [14] описана оценка параметров линейных дифференциальных уравнений и предложен интересный метод, заключающийся в таком выборе начальных условий, при котором они соответствуют собственному вектору матрицы дифференциального уравнения. [c.292]

Наиболее универсальными методами приближенного расчета физико-химических (и, в частности, термодинамических) характеристик веществ являются методы сравнительных расчетов. Они основаны на оценке параметров линейных регрессионных уравнений, устанавливающих связь между известными физико-химическими характеристиками в ряду (или рядах) родственных соединений. [c.242]

Оценка параметров линейных участков газопровода [c.73]

Полученные экспериментальные данные используются для нахождения предварительных оценок параметров модели, которые используются для анализа обусловленности системы, определения корреляционных зависимостей параметров и построения плана дополнительного эксперимента. С использованием найденных оценок определяются расчетные значения концентраций компонентов, и находится матрица А. Отметим, что матрица А может быть построена и на основании априорных значений параметров модели, если таковые имеются. Так как точную оценку погрешности е найти трудно, а известна только достаточно широкая область, в которой может быть заключено ее значение, то следует определить е-ранг матрицы (Q (е)) как целочисленную функцию от е в указанной области. Если окажется, что при некотором е матрица А содержит попарно зависимые с точностью до е столбцы, то это означает, что имеются попарно коррелированные между собой параметры. Если коэффициенты линейной зависимости соизмеримы друг с другом, то все параметры коррелированы и не могут быть достаточно надежно оценены раздельно. В первом случае необходимо изменить начальные концентрации тех компонентов, которые существенно входят в линейно зависимые с точностью до е столбцы во втором — для надежной оценки параметров желательно изменить начальные концентрации всех компонентов. Наилучшие условия можно подобрать, максимизируя максимальную величину е, при которой еще сохраняется В (е) = п. [c.451]

Интересно отметить, что полученная оценка совпадает с оценкой параметров состояния линейной системы методом взвешенных наименьших квадратов при определенном выборе матриц весовых коэффициентов. Обычно оценка по методу наименьших квадратов состоит в выборе х=х таким образом, чтобы минимизировать квадратичный функционал [c.451]

Линейный МНК позволяет получить аналитическое выражение для вектора оценок параметров. При нормальном законе распределения ошибок линейные оценки параметров состоятельны, несме-щены и совместно эффективны [107, 118]. Нелинейный МНК не позволяет получить аналитическое выражение для вектора оценок параметров, задача решается лишь численно. [c.322]

Далее такую процедуру применяют для отыскания второго, третьего и последующих приближений. Итерационная процедура продолжается до тех пор, пока процесс не сходится, т. е. до тех пор, пока изменения оценок параметров не станут пренебрежимо малыми. Важно также подчеркнуть, что приближенное представление модели в линейном виде используется не только для расчетного уточнения оценок параметров, но и при последовательном планировании экспериментов с целью уточнения оценок параметров нелинейных моделей. [c.324]

Это означает, что нарушено условие (2) для линейной формы модели (4) и использование МНК для обработки линейной зависимости In от Ti не может привести к оценкам параметров, обладающих оптимальными свойствами. [c.96]

В линейном (по х и 0) случае регрессию у па и можно опре делить с помощью обычной программы регрессионного анализа. При этом будут получены оптимальные оценки параметров модели 0 при условии, что эквивалентный аддитивный шум на [c.115]

Заметим, что формально схемы / и // (см. рис. 1П-19) эквивалентны, так как соответствуют по-существу одинаковым уравнениям (П1.25) и (П1.26). В обоих случаях, если мы определяем регрессию у на и, то для линейной модели получаем оптимальные оценки параметров 0 по обычной программе регрессионного анализа. Однако, если полученные оценки 0 подставить в регрессионную зависимость у от х, то они потеряют свои оптимальные свойства. [c.116]

При формальном подходе к использованию схем оценивания, применяемых в математической статистике, нетрудно прийти к выводу, что они не соответствуют линейным моделям в основном из-за того, что ошибки измерений здесь содержатся не только в правых частях, но и в элементах матриц коэффициентов. В нелинейных же моделях ошибки измерений сосредоточены в правых частях, тем самым вьшолняются условия для оценивания по методу наименьших квадратов. Определение оценок параметров 8 и Х[ и их дисперсий а . и а ( ) (/= 1,..., и) можно осу- [c.157]

В связи со сложностью нахождения оценок параметров и их дисперсий в нелинейном случае ниже предлагается к использованию способ, который применяется для оценки качества изделий. Смысл его в данном случае заключается в том, что в известные после проведения испытаний значения к и случайным образом вносятся ошибки, соответствующие эмпирическим стандартным отклонениям или классам точности использованных приборов, после чего оценки сопротивлений и расходов находятся с помощью самой простой из линейных моделей. Повторив подобные операции достаточно большое число раз (например, 100), получим соответствующее количество векторов оценок х и, а это уже позволяет оценить и их среднеквадратические отклонения [205-206]. [c.158]

Гл 5 содержит некоторые элементарные понятия теории случайных процессов, такие, например, как стационарность, автокорреляционная функция и понятие о процессе скользящего среднего — авторегрессий Изложены и проиллюстрированы примерами методы оценки автокорреляционных функций и параметров линейных процессов В гл 6 понятия анализа Фурье и теории случайных процессов объединяются для получения способа описания стационарного случайного процесса с помощью его спектра Показано, как должны быть модифицированы методы анализа Фурье для того, чтобы оценить спектр процесса по реализации конечной длины Затем выводятся выборочные свойства спектральных оценок и вво [c.10]

Линейная теория наименьших квадратов имеет дело с оцениванием параметров 0г по данным, состоящим из одновременных измерений входных и выходных переменных Значения, полученные в результате оценки параметров, можно подставить в (4 3 1) и полученное при этом выражение использовать для предсказания выхода при тех значениях входных переменных, которые появятся в будущем [c.134]

Ранее было показано, что оценки наименьших квадратов минимизируют среднеквадратичную ошибку (т е дисперсию, так как оценки несмещенные) линейной функции Х 0 параметров 0. [c.169]

Классический МНК обеспечивает наилучшую несмещенную линейную оценку параметров, т. е. оценку, характеризующуюся наименьшей дисперсией среди всех линейных несмещенных оценок. [c.547]

Оценка параметров уравнения линии регрессии дала в нашем случае а = 4,87 Ь = - 6,22, X = 1,68. Уравнение эмпирической линии регрессии имеет вид у = 15,14 — 6,23 X, а соответствующее ему семейство усталостных кривых показано на рис. 13. Линейность кривой регрессии проверяли путем вычисления критерия Фишера, при этом дисперсия внутри системы 5, =0,9999 и дисперсия вокруг эмпирической линии регресии 5] = 0,4095. Дисперсионное отношение их Р = 0,9999/0,4095 = 2,44 [c.37]

В этом уравнении т — параметр субстрата (реагента), определяющий его чувствительность к изменению ионизирующей способности среды, а У — параметр, характеризующий данный растворитель. Для оценки параметров т к Y различных систем принято, что У=0 для водного этанола (80% этанола по объему), а т=1 для реакции сольволиза грег-бутилхлорида. Можно предполагать, что уравнение (7.14) окажется справедливым в случае реакций, аналогичных стандартной SnI-реакции замещения. Бросается в глаза сходство между параметрами У и m в уравнении (7.14) и параметрами а и р в уравнении Гаммета (7.6). Известны параметры У некоторых чистых, главным образом протонных растворителей и различных бинарных смесей органических растворителей с водой или вторым органическим растворителем [35, 36]. Параметры У наиболее распространенных растворителей приведены в табл. 7.1. Следует отметить, что параметр У стандартного растворителя расположен приблизительно в середине соответствующей шкалы. Между параметрами У бинарных смесей растворителей и составом последних нет линейной зависимости. [c.504]

Рентгеновские вычислительные томографы дают возможность решать многие задачи неразрушающего контроля качества — как задачи интроскопии, так и количественной оценки параметров различных объектов. В настоящее время наибольшее применение они имеют для контроля объектов с небольшим затуханием излучения, в частности объектов из легких сплавов, композиционных материалов, углепластиков, резины, дерева и т. п. материалов толщиной до 20 мм и с внешними размерами до 1,5 м при разрешении по коэффициенту линейного ослабления 0,5%. Чтобы сохранить разрешающую способность при контроле объектов с разными размерами, изменяют расстояние между излучательной частью и контролируемым объектом /ко. Проблема увеличения размеров контролируемых объектов связана с излучательной частью вычислительного томографа. [c.333]

На рис. 40 представлены эти анаморфозы и значения параметров, получаемые из наклона прямых линий и отрезков, отсекаемых ими на осях координат. Такое представление экспериментальных данных может оказаться полезным для предварительной оценки параметров, характеризующих изучаемый процесс комплексообразования, которые далее могут быть получены обработкой методом наименьших квадратов. Что особенно существенно, при этом наглядно выявляется линейная зависимость или, наоборот, отклонение от нее, что свидетельствует о степени пригодности положенной в основу рассмотрения модели, [c.119]

Анализ линейной корреляционной связи завершается определением доверительных оценок параметров прямой регрессии у по л. [c.100]

При обработке кинетических данных, как правило, оценки параметров сильно коррелированы, поэтому очень важно рассмотреть методы преобразования параметров, которые позволяют снизить степень корреляционной связи. Так, вместо предэкспоненциальных множителей констант скоростей целесообразно использовать константу скорости при средней температуре, вместо отдельных констант — их отношения и т. д. Если некоторые параметры линейно входят в математическую модель, часть из них может быть оценена независимо от других с помощью метода центрирования. [c.19]

Задача нахождения оценок параметров нелинейной модели гораздо сложнее, чем задача оценивания параметров в линейном случае. Основную трудность при этом представляет поиск минимума суммы взвешенных квадратичных отклонений (VI, 17). Трудности усугубляются тем, что при нелинейной параметризации сумма взвешенных квадратичных отклонений может иметь несколько минимумов. [c.157]

Метод оценки параметров в нелинейно параметризованных моделях. Определение точечных оценок максимального правдоподобия, байесовских, минимаксных и т. п., еще не гарантирует необходимой для исследователя точности. Причем вся информация, характеризующая статистические свойства 0, сосредоточена в апостериорной плотности р (0 1 у) или в выборочной р (0) плотности распределения параметров. Однако построение точной выборочной плотности распределения 0 возможно только для линейно параметризованных моделей, а подавляющее большинство кинетических моделей (как и моделей физико-химических систем) нелинейно параметризованы. Линеаризация по 0 нелинейных моделей не обеспечивает достаточно хорошей аппроксимации нелинейных (даже репараметризованных) линеаризованными. Отсюда, следует, что выборочная плотность распределения р (0), соответствующая линеаризованной модели, будет существенно отличаться от р (0), соответствующей нелинейной модели. Причем это расхождение (по крайней мере, для небольших выборок) может быть столь существенно, что приведет к получению абсурдных результатов. [c.184]

Один из возможных путей преодоления трудностей, возникающих в задачах оценки параметров состояния и идентификации объектов химической технологии, состоит в использовании аппарата статистической динамики, оперирующего с интегральными операторами и весовыми функциями исследуемых систем. Интегральная форма связц между входными и выходным сигналами через весовую функцию системы предпочтительна как с точки зрения устойчивости помехам, так и с точки зрения эффективности вычислительных процедур. Достоинство данного подхода к решению задач идентификации состоит также в том, что открывается возможность Широко использовать замечательные свойства аналитических случайных процессов при синтезе оптимальных операторов объектов с конечной памятью . Заметим, что требование линейности системы для реализации данной методики в незначительной мере снижает ее общность. Как следует из рассмотренного в главе Примера, эта методика применима для широкого класса нелинейных объектов химической технологии, если воспользоваться методом нелинейных преобразований случайных функций. Специфика нелинейных объектов в химической технологии такова, что практически почти всегда можно свести нелинейные дифференциальные операторы к линейным или квазилинейным интегральным операторам. Это достигается либо путем разложения решения нелинейного дифференциального уравнения по параметру, либо с помощг.ю специальной замены переменных. [c.495]

Идентификация математических моделей проводилась по данным промышленного эксперимента. Для получения и статической обработки массивов информации был использован специально разработанный комплекс алгоритмов и программ автоматизированного промышленного эксперимента APEX . В результате идентификации определены оценки параметров уравнений кинетики в моделях реакторов, а также неизвестные константы в моделях теплообменных аппаратов. Показано, что характер изменения /сдн достаточно хорошо описывается линейным уравнением Адн (т) = кцо + Kl o (т). [c.335]

Писаренко В. П., Кафаров В. В. Оценка параметров в нелинейных моделях химико-технологических процессов // Линейная и нелинейная параметризация в задачах планирования эксиерпмента. М. ВИНИТИ, 1981. С. 11-19. [c.359]

Если же средц столбцов матрицы А не найдутся линейно зависимые, то в первом приближении можно считать, что задача поставлена корректно, т. е. имеет единственное решение. Проведенный анализ, однако, еще не свидетельствует о хорошей обусловленности нормальной матрицы А А, поэтому при оценке параметров желательно избежать получения последней в явном виде. Для этого можно использовать следующий прием [И]. [c.447]

Изло/кеппый метод оценки обусловленности системы предполагает линейность либо возможность легкой линеаризации модели. Если же линеаризация приводит к большим ошибкам, то предпочтительнее для оценки параметров использовать поисковые методы минимизации функции нескольких переменных. При этом в процессе поиска получается обширная информация о поверхности критерия оценки, которую можно использовать для непосредственного вычисления матриц корреляции параметров. Так, в работе [12] предлагается поисковый метод, основанный на вычислении коэффициентов регрессии оцениваемых параметров. Покажем, как можно использовать матрицу коэффициентов регрессии для нахождения корреляционной и ковариационной матриц. Из матрицы коэффициентов регрессии образуем матрицу вида [c.448]

Достаточно подробный численный анализ снстемы (3.26) — (3.31) с целью исследования явления распространения фронта содержится в работе [7], где для реакции 1-го порядка определены зависимости максимальной температуры и скорости распространения теплового фронта от параметров — линейной скорости, входной концентрации реагента, входной температуры и эффективной теплопроводности слоя. Полученные зависимости максимальной температуры фронта от линейной скорости газа при различных значениях входной концентрации реагента показаны на рис. 3.3. Штриховые линии получены из аналитических оценок (3.47) и (3.56). Как видно на рис. 3.3, расчетные и аналитические значения Гmai практически совпадают при низких входных концентрациях. Максимальное расхождение при АГад = 777°С составляет 20—30°С при общей разности температур 0 — Го = 750—800°С. Примерно такое же максимальное расхождение обнаружилось при сравнении оценки с зависимостями, найденными численно при других значениях параметров. [c.92]

Для предварительного выбора и качественной оценки параметров силовой части следящего привода и корректирующих устройств необходима упрощенная линейная математическая модель, дающая аналитическую связь между параметрами привода и показателями точности, быстродействия и устойчивости. Степень приближения линейной модели к реальным процессам в следящем приводе зависит от того, насколько обоснованно линеаризованы исходные нелинейные функции. К числу наиболее сложных и важных нелинейных функций относятся расходно-перепадные характеристики дросселирующего распределителя и уравнения сил конкретного трения в приводе и рабочем механизме машины. [c.197]

Для ряда теоретич. выкладок и практич. расчетов удобно пользоваться др. параметром - степенью развернутости клубка Р = Величина р = 0,25, соответствующая числу статистич. сегментов в М. А 13, определяет границу между олигомерами и полимерами. При Р < 0,25 М. образует свернутый клубок. Поскольку в реальных полимерах длина (размер) мономерных звеньев может варьировать в широких пределах, степень полимеризации сегмента Куна X является более информативной мерой гибкости, чем длина А (или 1). На основании оценок х линейные полимеры относят к гибкоцепным, полужестким или жесткоцепным. Гибкоцепными полимерами принято считать те, у к-рьгх х не превышает 15. Условная граница между гибкоцепными и полу жесткими М. лежит в области х 15-20. [c.637]

Такой расчет рекомендуется проводить для значений 0, примерно в 2 раза превышающих 0о и соответствующих величинам адсорбции около 0,7—0,8 от значения Последует заметить, что характерная особенность уравнения (2.87) заключается в том, что отклонение при предварительной оценке параметра п на одну-две десятых от целого числа практическп не сказывается на точности выполнения линейной зависимости. Подобные отклонения компенсируются относительно небольшими изменениями параметров и Е. Это позволяет осуществить уточненное определение указанных параметров, представляя все точки экспериментальной изотермы адсорбции на графике в линейной форме но уравнению (2.87) при оцененном целочпсловом значении параметра п. Обычно экспериментальные точки достаточно хорошо укладываются на прямую линию. По отсекаемому прямой отрезку на оси ординат и угловому коэффициенту вычисляют уточненные значения предельной велтины адсорбции а Д- я температуры Г = Гц, при которой определялась исходная изотерма адсорбции. [c.69]

Чрезвычайно заманчиво провести сравнение реологических лараметров межфазных слоев различных полимеров. Это позволило бы выяснить особенности пространственной упаковки возникающих межфазных пленок. Однако все параметры, представленные в табл. 13—21, отнесены к линейному сантиметру и не учитывают реальной толщины слоя, образующегося в определенных условиях опыта. Для конкретного сравнения необходимо провести оценку параметров с учетом толщин межфазных слоев. [c.235]

Применение методов наименьших квадратов и максимального правдоподобия для нахождения точечных оценок параметров. Построенные с помощью экспериментального либо экспериментально-аналитического метода математические модели содержат неизвестные константы (параметры), значения которых определяются по экспериментальным данным. Если используемые модели линейны относительно искомых параметров, то задача их оценки сравнительно легко решается методами линейного регрессионного анализа и, в частности, л<егодол< наименьших квадратов. [c.31]

Б. Известны результаты повторных измерений в каждой точке. Это дает возможность найти по формуле (VI,2) для каждой точки выборочные дпспер-Сии 8 , которые являются оценками для дисперсий af. Если в соотношениях (VI,9)—( 1,11) заменить и>1 на соответствующие оценки параметров будут близки к наилучшим линейным оценкам. При этом дпсперсионная матрица также вычисляется по формуле (VI, 12). [c.155]