Процессы, описываемые дифференциальными уравнениями в частных производных

Для процессов гетерогенного катализа необходимым условием устойчивости является соблюдение неравенства XV,67) на каждом этапе теплоотвода а) внутри зерен катализатора к наружной поверхности б) от наружной поверхности зерен к потоку реакционной смеси в) от слоя катализатора к охлаждающему веществу. Условия устойчивости для этапов б и в для модели слоя идеального смешения удалось найти, используя хорошо разработанный первый метод Ляпунова. Анализ устойчивости решений этапа а этим методом проводить нельзя, поскольку стационарные состояния описываются ун<е не алгебраическими уравнениями, а дифференциальными нелинейными уравнениями второго порядка. Соответственно отклонения от стационарного состояния характеризуются не обыкновенными уравнениями, а уравнениями в частных производных. Как указывалось выше, общих методов анализа числа и свойств решений таких уравнений не существует. [c.514]

Процесс крекинга в прямоточном реакторе описывается дифференциальным уравнением в частных производных, однако во всех известных работах, посвященных этой проблеме, математическая модель представляется в виде обыкновенного дифференциального уравнения (системы уравнений), где аргументом является либо длина реактора, либо условное время контакта сырья н катализатора. [c.95]

Для установления основных соотношений между давлением и скоростью частиц в потоках газа или жидкости вводят так называемые распределенные параметры, характеризующие движение жидкости в каждой точке. Эти соотношения описываются при помощи дифференциальных уравнений в частных производных. Динамическое поведение распределенных масс, упругость и сопротивление в рассматриваемых процессах движения жидкостей определяются, в конечном счете, из уравнений волновых движений. Следует отметить, что наряду с задачами, решаемыми методами гидродинамики, могут возникать задачи, для решения которых требуется знание термодинамики. Например, для случая сжимаемых жидкостей весьма существенно, будет ли сжатие изотермическим или адиабатическим. [c.71]

Дальнейшим логическим расширением задачи моделирования химико-технологических процессов является описание систем с распределенными параметрами. К ним можно отнести теплообменники, конденсаторы, трубчатые реакторы и другие аппараты, технологические параметры в которых изменяются не только во времени, но и по сечению и длине. Стационарные режимы и переходные процессы в таких системах описываются дифференциальными уравнениями в частных производных независимыми переменными в общем случае являются время и пространственные координаты. [c.181]

Для изучения динамики разделим всю ректификационную установку на три части, как это было сделано на фиг. 13.1. К первой части относятся куб и отгонная колонна, ко второй части— 8 участок колонны без отгонной и верх-ней частей, к третьей — верхняя часть колонны с дефлегматором, конденсатором и сборником конденсата (фиг. 13.8). Изучением динамики первой и третьей частей ректификационной колонны мы не будем заниматься в этой главе, так как они по существу были рассмотрены в гл. 8. Хотя для этих частей ректификационной установки все сводится к динамике последней или первой тарелки колонны, описание их легко свести к описанию динамики обычной тарелки. Приведем обзор полученных к настоящему времени результатов нестационарных процессов изменения состава, расхода и давления в собственно ректификационных колоннах, Динамику тарельчатых колонн можно описать с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений, поскольку они представляют собой системы с сосредоточенными параметрами (тогда как колонны с большим числом тарелок можно рассматривать как непрерывные), а динамику насадочных колонн следует описывать дифференциальными уравнениями в частных производных, так как они представляют собой системы с распределенными параметрами. Решение уравнений динамики насадочных колонн гораздо сложнее, и этому вопросу посвящено гораздо меньше работ, чем тарельчатым колоннам. [c.458]

Процессы теплопередачи в общем случае описываются дифференциальными уравнениями в частных производных [c.195]

Процесс массообмена в нестационарном режиме описывается в общем случае системой нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными [c.413]

Обобщая положения предыдущего раздела, дадим следующую формулировку задачи оптимизации квазистатического блока. Пусть процесс описывается системой дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка [c.209]

Круг рассматриваемых вопросов ограничен рамками тех физико-химических процессов, которые описываются системами обыкновенных дифференциальных уравнений, т. е. из рассмотрения исключены методы решения уравнений в частных производных при этом все изложение остается в рамках единого математического аппарата. [c.6]

Для расчета скорости движения реакционной зоны [212] имеются приближенные уравнения, которые по сравнению с численным решением дифференциального уравнения с частными производными достаточно точно описывают процесс [212]. [c.160]

Одним из главных затруднений, которое ограничивает разработку хроматографической теории для условий, близких к реальным, является математическая разработка проблемы, т. е. нахождение решения системы соответствующих дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих процесс с достаточной точностью. В течение нескольких последних лет удалось решить эту сложную математическую проблему, и вследствие этого стала возможной разработка теорий разделяющих процессов, которые более точно описывают реальный процесс. [c.444]

Динамика ионного обмена смесей описывается, как известно [1, 2], системой дифференциальных уравнений с частными производными, строгое решение которой сопряжено со значительными математическими трудностями. Для практического расчета динамических процессов разделения смесей с неодинаковым распределением компонентов между фазами (одним из таких процессов является ионный обмен) нашел применение приближенный метод расчета по ступеням. Этот метод становится точным, если при расчете равновесных процессов разбивать колонну на бесконечно большое число ступеней, а при расчете неравновесных процессов, если в качестве шага выбран слой, равный по величине теоретической тарелке . [c.159]

В случае если процесс протекает в кинетической области, его скорость описывается системой уравнений (85), решение которой имеет вид (87). Итак, предварительно определив константы скоростей реакций иа базе полученного эксиериментального распределения продуктов реакции, мы можем записать уравнение скорости процесса и рассчитать характеристический размер реактора для выбранного режима. Если процесс протекает в промежуточной области, то возникают трудности аналитического порядка, так как решение дифференциального уравнения скорости реакции в частных производных для этой области вызывает значительные трудности. [c.90]

Сложные процессы химических превращений в реакторах больших размеров описываются системами нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, учитывающих наряду с процессами химического превращения также процессы диффузии реагентов и тепла. [c.96]

Процесс решения линейных уравнений в частных производных, которыми описываются нестационарные процессы, протекающие в хроматографической колонке, сводится к следующему 1. Исходная система уравнений преобразуется по Лапласу. 2. Выписывается аналитическое решение получившейся системы обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.92]

Эволюция систем, в которых протекают химические реакции (а также биологические, экологические и некоторые социальные процессы), сопряженные с процессами типа диффузии, описываются нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных. Вообще говоря, такие уравнения имеют более одного решения, из которых термодинамика выделяет одно — так называемую термодинамическую ветвь. При отклонении системы от равновесия могут в принципе возникать новые решения, отличные от термодинамической ветви, причем при рассмотрении новых типов решения естественным параметром является степень удаления от термодинамического равновесия (которую, впрочем, не очень ясно, как определять). [c.79]

Технологическая схема осушки хлора в операторном виде представлена на рис. 1У-10. Основными аппаратами технологического процесса являются две абсорбционные башни с насадкой, орошаемой серной кислотой. При этом из хлора, который подают в низ башни, поглощается влага. Процесс поглощения влаги сопровождается выделением значительного количества тепла, поэтому одновременно с процессами массопередачи протекают процессы теплопередачи между газом и жидкостью, что не учитывается известными математическими моделями абсорбционных процессов [4, 132, 133]. В общем случае процесс массообмена в абсорберах описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных [4, 132, 133]. Аналитическое решение такой системы связано с большими трудностями. В реальных условиях производства процесс осушки протекает в условиях, близких к стационарным входные параметры процесса либо не меняются, либо меняются весьма медленно. Для стационарного процесса, который рассматривается ниже, исходная система уравнений в частных производных превращается в систему обыкновенных дифференциальных уравнений [140]. Для получения такой системы уравнений рассмотрим балансовые зависимости для элементарно- [c.147]

Измерения скорости распространения ламинарного пламени и экспериментальные измерения профилей концентрации и температуры во фронте ламинарного пламени рассматривались в гл. 2. При численном моделировании процессов горения одной из главных задач является построение модели, которая описывала бы экспериментально наблюдаемые профили концентраций и температуры и позволяла бы предсказывать поведение системы в условиях, для которых нет экспериментальных измерений. В гл. 3 была введена простая модель, состоящая из системы дифференциальных уравнений в частных производных, полученных из законов сохранения массы, энтальпии и масс отдельных компонентов. Члены, описывающие в этих уравнениях термодинамические характеристики, обсуждались в гл. 4. Члены, связанные со свойствами переноса рассматривались в гл. 5. Источники и стоки различных компонентов и энергии в рассматриваемых уравнениях связаны с химическими реакциями они обсуждались в главах 6 и 7. Теперь построение модели практически закончено и необходимо только решить систему дифференциальных уравнений в частных производных с соответствующими граничными условиями. [c.135]

Динамика процесса хроматографического разделения подчиняется общим законам динамики сорбций. Уравнения, описывающие процессы динамики сорбций, являются дифференциальными уравнениями в частных производных первого и второго порядка и для асимптотической стадии процесса проявления начальной узкой полосы приближенно описываются формулами, аналогичными гауссовской формуле распределения ошибок. [c.269]

Для описания математических моделей химико-технологических процессов используются системы дифференциальных уравнений в обыкновенных либо в частных производных с различного типа граничными и начальными условиями. Причем нелинейности, как правило, входят в свободные члены уравнений п описывают кинетические закономерности процессов, а коэффициенты перед производными зависят только от пространственных координат и времени либо вообще выбираются постоянными. В настоящее время [1, 2] достаточно полно разработаны и исследованы численные методы приближенного решения краевых задач такого вида. Однако численный анализ моделей химической технологии сталкивается со значительными трудностями, связанными с наличием у большинства процессов больших, сильно изменяющихся градиентов температурных и концентрационных нолей, вследствие чего применение традиционных конечноразностных методов решения задач с большими градиентами требует слишком мелкого шага дискретизации, что ведет к чрезмерно большому объему вычислительной работы и затрудняет численный анализ математических моделей каталитических процессов на ЭВМ. Большие градиенты искомых решений в задачах химической технологии возникают либо из-за малых параметров перед старшими производными (явление пограничного слоя), либо из-за наличия мощных источников тепла в случае сильноэкзотермических процессов. В вычислительной математике наметились два дополняющих друг друга подхода, позволяющих бороться с указанными трудностями. Первый из них состоит в построении [c.144]

Линейное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка (4. 49) может быть проинтегрировано при соответствующих граничных условиях как для фронтального, так и для элютивного процесса. Одно из таких решений будет дано при обсуждении элютивной хроматографии. Поскольку предполагается отсутствие избирательности, т. е. отсутствие равновесных факторов, обостряющих границу, решения уравнения (4. 49) описывают нестационарные, размывающиеся границы. Теория развита также для случая, когда отличается от 1 на малую ве- [c.300]

В открытых системах, которые, во всяком случае при dS <0, являются неравновесными, может в целом или локально возрастать упорядоченность (энтропия — мера неупорядоченности, dS = k n W). Для них обмен энергией и веществом является необходимым элементом существования. Химические реакции в таких системах изучает неравновесная химическая кинетика. Эволюция систем, в которых протекают химические реакции, сопряженные с процессами типа диффузии, описываются нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных. [c.9]

Модель процесса с распределительными параметрами. Рассмотрение нестационарных режимов в теплообмепных аппаратах показывает, что процесс изменения температуры происходит как во времени, так и в пространстве (рис. Ш-4), Такие процессы называются процессами с распределенными параметрами. Если процесс характеризуется суш,ественной распределенностью, то описывать такой процесс следует дифференциальными уравнениями в частных производных. [c.234]

Процесс химического реагирования углеродистых материалов с газами следует рассматривать в общем виде как процесс существен-, но нестационарный, протекающий как во времени (времени реагирования), так и в пространстве (по длине реактора или времени коитак-та). Нестационарные хкыически процессы, протекающие в проточных реакторах идеального вытесне ия, как известно, описываются дифференциальными уравнениями в частных производных. [c.32]

В 1 мы отмечали, что поля и процессы в периодических средах описываются дифференциальными уравнениями с частными производными с быстроосциллирующими коэффициентами. [c.16]

Процессы в компартментальных моделях описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями, что позволяет широко использовать при их исследовании методы пространства состояний, рассмотренные в гл. 5. Если система описывается дифференциальными уравнениями в частных производных (например, если предполагается непрерывное изменение плотности распределения каких-либо веществ в пространстве), то модель не относится к компартментальным. Поскольку уравнения в частных производных используются для описания потоков вещества и энергии в пространстве, такие системы — в противовес компартментальным моделям — иногда называют потоковыми моделями flow systems — англ.). Таковы, например, модель био-аквоценоза [111], в которой рассматривается непрерывное изменение характеристик системы — освещенности и концентраций биомассы по глубине, модель терморегуляции в организме человека [298], где потоки тепла описываются уравнениями теплопроводности. Однако компартментальные модели и в этом случае могут служить хорошим приближенным описанием системы. [c.163]

Некоторые авторы уже подчеркивали, что термодинамику (подобно механике и электродинамике сплошных сред) можно рассматривать как типичную теорию ноля. Используя подобную концепцию, необходимо (помимо хорошо известных постулатов классической теории поля) предположить, что элементы объема или массы (целлы) сплошных сред можно рассматривать как равновесные системы, а их состояния описывать при помощи параметров равновесного состояния, не учитывая различные процессы, происходящие между соседними элементами. Как следствие этого условия, называемого локальным или целлулярным равновесием, неравновесные состояния непрерывных сред могут быть описаны скалярным, векторным или тензорным полями макроскопических параметров состояния, которые, вообще говоря, зависят от пространственных координат и от времени. Таким образом, в термодинамике, подобно гидро-и электродинамике, изменения состояния описываются дифференциальными уравнениями в частных производных. [c.26]

Рассмотрим канал ленточно-поточного типа, образованный пластинами с горизонтальными гофрами с углом при их вершине у = 90° продольное сечение канала представлено на рис. 7.4. Процесс стационарного конвективного теплообмена при ламинарном течении жидкости в таком канале описывается системой дифференциальных уравнений в частных производных, включающих уравнения Навье - Стокса, неразрывности и энергии. Допустим, что физические свойства жидкости не зависят от температуры (и = onst, а = onst, р = onst). Тогда для вынужденного двухмерного движения потока несжимаемой жидкости эта система уравнений имеет вид [c.352]

При изотермической работе реактора изменение скорости или состава загрузки приводит к постепенному изменению превращения от одной величины к другой. Временной интервал, в течение которого произойдет этот переход, имеет существенное значение. При нестационарных условиях процесс, например в кубовом реакторе, описывается обычными дифференциальными уравнениями вследств-ие введения новой переменной — времени (при стационарном режиме он описывался алгебраическими уравнениями). Мэйсон и Пирет провели математический анализ пуска изотермического каскада кубовых реакторов на основании исследования были рекомендованы способы быстрого достижения эксплуатационных условий. Для описания нестационарного режима изотермических трубчатых реакторов приходится решать дифференциальные уравнения в частных производных, в то время как стационарный режим в таких реакторах описывается обычными дифференциальными уравнениями. Решение в каждом отдельном случае, даже когда скорость превращения не является линейной функцией концентраций, можно получить при помощи современных счетных устройств. [c.240]

Процесс эволюции описывается системой трех нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. В резу.чьтате чис.ченного анализа модели установлено, что вязкость жидкости определяет натяжение, но не влияет на эволюцию формы. Теоретические результаты находятся в соответствии с экспериментальными данными согласно которым наблюдается усиление обрывочности волокнистого наполнителя с повышением вязкости среды, скорости деформации и начальной длины волокон. На эволюцию формы влияюг поле скоростей жидкости и исходная конфигурация нити. В условиях чистого сдвига скорость эволюции вьш1е, чем при простом сдвиге. [c.141]

Процессы паровой и пароуглекислотной конверсии проводятся в реакционных цилиндрических трубах с неподвижным слоем катализатора. Реакционные трубы являются реакторами вытеснения в общем случае с продольной и поперечной диффузией и теплопроводностью, и процесс конверсии в них описывается системой дифференциальных уравнений в частных производных [c.149]

Реально процесс полимеризации этилена в трубчатом реакторе при разлрршых типах инициирования описывается системой из более, чем 30 дифференциальных уравнений в частных производных. Непреодолимые трудности при составлении такого описания начинаются уже на стадии идентификации коэффициентов модели, при определении коэффициентов диффузии. Экспериментальное нахождение этих коэффициентов невозможно, а определить их в результате решения задачи идентификации нереально из-за сложности процесса даже в аксиальном направлении. [c.185]

В общей теории устойчивости диссипативных процессов приходится иметь дело с граничными задачами, описываемыми дифференциальными уравнениями в частных производных. В частности, надо рассматривать изменение во времени возмущений o(pe), opv,. .., т. е. (5/0(ре), dtbpy,. ... Последние описываются уравнениями баланса возмущенного движения и полностью приведены в гл. 7. [c.72]

Математическая модель гидродинамических процессов, происходящих при работе различных инерционных насосов, описывается одной и той же системой нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных с учетом влияния нерастворенного воздуха на скорость а, но с различными граничными условиями. При разработке алгоритма для расчета гидродинамических процессов учет граничных условий достигается сов-местнььм решением уравнений соответствующей характеристики с определенными граничными условиями, записанными в разностной форме. Поэтому при составлении таких программ для ЦВМ переделке подвергается только ее часть, которая вычисляет граничные точки. [c.22]

Технологические процессы сернокислотного производства проводятся в громоздких, многоемкостных аппаратах, связанных сложными коммуникациями скорость химических реакций, протекающих в аппаратах, нелинейно зависит от параметров процесса. Поэтому объекты регулирования описываются нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных, решение которых представляет большие трудности. [c.177]

Для того чтобы сделать возможный определение коэффициентов внутренней диф узии, когда последние маскируются внешней диффузией, а также для описания диффузии в неоднородной среде, автором был предложен новый подход к описанию процессов диффузии /5/, заключающийся в теоретическом вычислении связи среднего времени десорбции с коэф циентами диффузии в ионите и растворе, размером частиц ионита, толщиной эффективного диффузионного слоя в растворе на границе с частицей и другими параметрами. Для экспериментального определения среднего времени десорбции X, как легко видеть, должна быть вычислена площадь на графике зависимости -5 1 от времени, где а(0) - начальное количество ионов в зерне ионита перед десорбцией < )- количество ионов, оставшихся к моменту времени t после начала десорбции. (Начальное распределение ионов предполагается равномерным). Для теоретического вычисления X можно использовать два метода решение уравнения для среднего времени достижения границы, либо метод стационарного потока. Оба метода приводят к решению обычного дифференциального уравнения (в то время как для определения хода кинетики сорбции или десорбции требуется решение более сложного уравнения.в частных производных). Методом стационарного потока эта задача была решена в работе /б/. Здесь мы дадим более простой вывод. Представим себе стационарный процесс диффузии, при котором по всему объему сферической частицы ионита вводятся ионы (а ионов на I см /сек), которые поглощаются на внешней стороне диффузионной пленки. Распределение концентрации тяоъ(с) описывается тогда [c.41]

Для решения в АК ЭМПИРИК задачи формализации экспертизы как сложного процесса, имеющего информацию неполную и неточную, не могут быть использованы точные методы, которые позволили бы аналитически описать и исследовать этот процесс подобно тому, например, как с помощью дифференциальных уравнений описывается механическое движение тел, с помощью уравнений в частных производных исследуются процессы движения газов и жидкостей и т. д. Поэтому при моделировании процесса экспгрти-зы должны применяться эмпирические методы, которые предполагают знание статистических характеристик информации процесса, накопленных на опыте. К ним в первую очередь относятся весьма популярные и эффективные статистические методы моделирования, представляющие собой совокупность методов многомерной статистики и методов имитационного моделирования. [c.201]

Основные успехи метода моментов связаны с тем, что хотя процесс рассматривается со всеми детальными подробностями и описывается несколькими дифференциальными уравнениями в частных производных, можно отказаться ог поиска точнс-го решения и определять некоторые, просто измеряемые из эксперимента параметры кривой. Такой подход к решению задачи существенно упрощает математические трудности анализа процесса. Развитые в хроматографии методы можно использовать для описания смежных процессов (адсорбция, ионный обмен, химическая кинетика). На III Всесоюзной конференции по адсорбции [9] отмечалось, что количество легко решаемых задач по кинетике сорбции начинает исчерпываться. Как отмечает Радушкевич [Ю], имеется целый ряд случаев, когда в печати из-за плохого знания смежных областей появляются теоретические работы, дублирующие друг друга. В связи с этим в настоящем обзоре была сделана попытка проанализировать опублико-ванные работы, сопоставить исходные уравнения и полученные результаты в единых обозначениях и таким образом продемонстрировать возможности метода моментов для решения разнообразных задач газовой хроматографии. [c.40]

В данном параграфе исследуется модель массообменного процесса [34, 53] для случая разделения близкокипяш их компонентов, что имеет место, например, в ректификационных колоннах четкого разделения. Такой процесс описывается следуюш,ей системой дифференциальных уравнений в частных производных [47] [c.53]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология