Массообмен дифференциальное уравнени

В дифференциальном уравнении конвективной диффузии, помимо концентрации, переменной является скорость потока. Поэтому данное уравнение надо рассматривать совместно с дифференциальными уравнениями гидродинамики уравнениями Навье—Стокса и уравнением неразрывности потока. Однако эта система уравнений не имеет аналитического решения, и для получения расчетных зависимостей по массообмену приходится прибегать к преобразованию дифференциального уравнения конвективной диффузии методами теории подобия. [c.394]

Адсорбция индивидуальных веществ. Цилиндр конечной длины. 1. Целевой компонент диффундирует через один из торцов (боковая поверхность и второй торец не участвуют в массообмене). Дифференциальное уравнение для этого случая [c.178]

Теоретически существует другая возможность (кроме той, что указана в пунктах 3—5) использования экспериментальных результатов если ход Исследуемого явления удается описать в виде системы уравнений, то, решая ее для новых условий, можно определить ход явлений в этих условиях. В случае физико-химических процессов система уравнений, описывающих явление (например, кинетику реакции, тепло- и массообмен и т. д.), — это обычно система дифференциальных уравнений, которые не удается решить аналитически. Отсюда следует, что метод подобия имеет важное значение, хотя все чаще удается решать сложные системы уравнений благодаря использованию ЭВМ. [c.23]

Большинство задач химической технологии в математической формулировке представляется системами уравнений, определяющих взаимосвязь многих факторов, от которых зависит течение процесса. В этой главе рассматривается решение таких задач. Они могут возникнуть при обработке экспериментальных данных, когда устанавливается зависимость между отдельными параметрами (глава XI), при описании массообменных процессов в стационарных условиях (глава X), при решении обыкновенных дифференциальных уравнений конечно-разностными методами (глава XII) и т. п. [c.228]

Материальный баланс экстракции выражается обш ими для массообменных процессов уравнениями в дифференциальной и интегральной формах [см. уравнения (11.7)—(11.12)]. В случае частичной [c.359]

Д. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Н КРИТЕРИИ ПОДОБИЯ МАССООБМЕННЫХ ПРОЦЕССОВ [c.446]

Полученные ранее дифференциальные уравнения молекулярной и конвективной диффузии не решаются аналитически в общем виде. Однако они могут быть использованы для получения безразмерных критериев подобия, применение которых при обработке экспериментальных данных по массообмену позволяет получать достаточно простые расчетные уравнения. Применение критериев подобия указывает более рациональные пути постановки эксперимента (какие величины следует измерять в опытах, в каком виде обрабатывать опытные данные и в каких пределах справедливы полученные экспериментальные зависимости). [c.46]

Аналогия существует между электрическими, тепловыми и массообменными процессами, а также между гидродинамическими, тепловыми и массообменными процессами. Поэтому при исследовании тепловых, массообменных или гидродинамических процессов можно использовать более простые и в каком-либо отношении более удобные, чем натура, модели, в которых протекает совсем другой физический процесс. Единственное условие применимости такого способа исследования заключается в том, что оба процесса должны описываться одинаковыми по виду дифференциальными уравнениями. Так, например, электротепловая аналогия может быть применена путем использования описанного выше метода электролитической ванны для исследования полей температур в реакционных аппаратах. [c.75]

Численные значения коэффициентов массоотдачи р находятся из соответствующих экспериментальных данных, полученных при тех или иных условиях процесса массообмена. Результаты таких экспериментов представляются в обобщенной критериальной форме. Структура критериев массообменного подобия и их физический смысл получаются из дифференциального уравнения (5.2.2.1) почленным делением слагаемых. [c.271]

При массообмене в неподвижной среде = гю = гю — О, а конвективная составляющая в левой части уравнения (Х,16) равна нулю, и уравнение обращается в дифференциальное уравнение молекулярной диффузии [c.394]

В работах [9—11] вопрос об обобщении опытных данных по тепло- и массообмену при испарении и конденсации из парогазовой смеси был рассмотрен для условий, когда возможно пренебрегать межфазным кинетическим сопротивлением переносу вещества на поверхности раздела и дополнительными молекулярными эффектами — термодиффузией и диффузионной теплопроводностью. Путем анализа методами теории подобия дифференциальных уравнений и граничных условий для бинарного пограничного слоя на полупроницаемой поверхности было установлено, что уравнения подобия для коэффициентов тепло- и массоотдачи при указанных условиях можно в общем случае [c.117]

Математическое описание насадочной колонны состоит из системы дифференциальных уравнений, определяющей распределение концентраций в потоках пара и жидкости. При этом в рассматриваемых ниже соотношениях принимается, что межфазный перенос определяется эквимолярным массообменном, что приводит постоянству потоков пара и жидкости по высотке колонны. [c.144]

Таким образом, математическое описание насадочной части колонны состоит из системы дифференциальных уравнений (модели идеального вытеснения и диффузионная), определяющей распределение концентраций в потоках пара и жидкости. При этом в рассматриваемых ниже соотношениях принимается, что межфазный перенос определяется эквимолярным массообменном, что приводит постоянству потоков пара и жидкости по высоте колонны [4-6]. [c.202]

Общность дифференциальных уравнений теплообмена (3.40) и массообмена (15.25) позволяет полагать, что основные критерии массообменных процессов должны быть аналогичны основным критериям теплообмена. [c.22]

Другие критерии массообменных процессов получим из дифференциального уравнения конвективной диффузии (15.25). Переписав уравнение (15.25) относительно оси х [c.22]

Ранее (см. главу VI) было подчеркнуто, что критериальные уравнения типа (IX.6) не всегда достаточны для точного описания процессов тепло- и массообмена. Часто их приходится дополнять другими параметрами для учета влияния геометрических и физических факторов, не нашедших отражения в приведенных выше системах дифференциальных уравнений. Так, при выводе последних мы полагали, что участвуюш,ие в массообмене веш,ества несжимаемы, их потоки гидродинамически стабилизированы, [c.447]

Материальный баланс экстракции выражается общими для массообменных процессов уравнениями в дифференциальной и интегральной формах [см. уравнения (11.7) —(11.13)]. В случае частичной взаимной растворимости фаз L и G их величины уже не будут постоянными по высоте аппарата, а, следовательно, и отношение G/L будет переменной величиной. Отсюда вывод рабочая линия экстракции в системе координат х—у при частичной взаимной растворимости фаз не будет прямой линией. [c.327]

Разработан метод кинетического расчета массообменных аппаратов для хемосорбционного разделения газов. Метод основан на использовании теоретического значения ускорения массопередачи за счет протекания химической реакции. Метод учитывает принципиальную особенность хемосорбционных процессов изменение кинетических закономерностей в жидкой фазе, движущей силы процесса, коэффициентов массопередачи, соотношения фазовых сопротивлений по высоте аппарата. Учтена специфика влияния реальной структуры потоков газа и жидкости на эффективность хемосорбционных процессов. По предложенной методике коэффициент извлечения передаваемого компонента, степень насыщения хемосорбента и характер распределения концентраций по высоте аппарата определяются при необратимой хемосорбции в зависимости от следующих безразмерных параметров кинетических, стехиометрического, диффузионного и гидродинамических (числа Боденштейна для жидкой и газовой фазы). В общем виде процесс описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. [c.224]

Подстановка в интегральное соотношение (1.146) и выполнение всех операций, требуемых этим соотношением, приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению, легко разрешимому относительно б (а ). В заключение определяется диффузионный ток с поверхности тела — уравнение (1.145). Таким образом были получены решения задач о массообмене шара и цилиндра, обтекаемых потоками жидкости [6 19, с. 1841. Этим решениям обычно придается форма критериальных уравнений типа [c.54]

Поскольку расчет массообменных аппаратов обычно проводится для условий изменения температуры и потоков по его высоте и требует применения сложных итерационных расчетов, целесообразно рассмотреть законченные аналитические решения общей системы дифференциальных уравнений. Определяя коэффициенты С из уравнения (5.46) и подставляя их в уравнения (5.43) и (5.44), для противотока получаем [c.199]

Применение теории проникновения к массообмену при наличии химической реакции приводит к системе дифференциальных уравнений нестационарной диффузии. Для частного случая Dal = Dbl решение получают исходя из молярного потока компонента [c.146]

Заметим, что некоторые зависимости (см. табл. VII. 2), полученные на основе опытов по массообмену, постулируют полную аналогию между процессами переноса тепла и вещества. Неправомерность такого утверждения, особенно в случае гетерогенных систем, подчеркивается в ряде работ [45, 363 и др.]. Для существования аналогии необходим ряд условий (в частности, равенство теплового и диффузионного критериев Прандтля, относительных движущих сил и т. п.). Отмечается также некоторое различие в построении дифференциальных уравнений и в граничных условиях для этих двух процессов. На отсутствие аналогии, в особенности при большой интенсивности массообмена, указывает А, В. Лыков [254], продемонстрировавший различие в математическом описании теплообмена в условиях переноса вещества и чистого теплообмена. Автор приводит результаты опытов, показывающие, что поля [c.243]

При X I и X С 1 дифференциальное уравнение, описывающее суммарный процесс глубокой очистки веществ (массообмен ж химическая реакция) в насадочной колонне, имеет вид [c.132]

Как было указано выше, конвективный массоперенос в волнистых пленках осуществляется по механизму турбулентных пульсаций. В свою очередь, интенсивность последних также зависит от целого ряда параметров. Массообмен для бесконечно малого элемента жидкостной пленки описывается системой дифференциальных уравнений конвективной диффузии, Навье — Стокса и неразрывности [9, 10]. Точное решение этой системы в настоящее время невозможно из-за недостаточной изученности основной проблемы современной гидродинамики — проблемы турбулентности. [c.82]

Для рассмотрения других методов запишем в общем виде кинетические уравнения относительно коэффициентов массоотдачи в каждой фазе. Они могут быть получены путем преобразований дифференциального уравнения массопередачи в условиях конвекции методами теории подобия [2]. Коэффициенты массоотдачи выражают в виде произведения степенных функций числа Re, определяющего степень турбулизации потока, и числа Se, характеризующего степень подобия полей скоростей и концентраций. Дополнительно включают также некоторый безразмерный геометрический симплекс 5, характеризующий степень стабилизации поля скоростей в массообменном устройстве [c.61]

В данной главе монографии при построении математических моделей тепло- и массообменных процессов в псевдоожиженном слое предполагалось, что тепло- и массообмен между твердыми частицами и омывающим их потоком газа описывается при помощи обыкновенных дифференциальных уравнений, вид которых считался известным. Однако определение вида такой зависимости представляет собой сложную самостоятельную задачу. Тепло- и массообмен между твердой частицей и омывающим ее потоком газа в псевдоожиженном слое складывается из двух стадий переноса тепла или массы в газовой фазе в области, прилегающей к поверхности твердой частицы, и переноса тепла (или массы) внутри твердой частицы. [c.253]

Массообмен в пограничном слое. В технологической аппаратуре скорости движения потоков капельных жидкостей, а также паров и газов обычно таковы, что значения диффузионных критериев Пекле, как правило, значительно превышают единицу. Наиболее характерно это для капельных жидкостей, имеющих большие величины диффузионных критериев Прандтля, значительно превышающих единицу. При высоких Ре конвективный перенос в основном потоке значительно превышает перенос вследствие молекулярной диффузии и, следовательно, слагаемыми правой части дифференциального уравнения (1.20) можно пренебречь по сравнению с конвективными слагаемыми левой части. Таким образом, для стационарного процесса уравнение [c.26]

Одинаковая форма дифференциальных уравнений означает совпадение общего вида рещения, если дополнительно совпадают и условия однозначности к дифференциальным уравнениям. Граничные условия вне пограничного слоя (строго говоря, при у- оо) по форме обычно совпадают как для гидродинамической, так и для массообменной задач 1Юх у о хюа и = причем последняя запись означает практически равномерное распределение концентрации целевого компонента поперек основной массы потока, т. е. вне пределов диффузионного пограничного слоя. При оценке интенсивности внешней массоотдачи от твердых поверхностей концентрацию целевого компонента на поверхности обычно удобнее принимать равной нулю, т. е. С у=о = 0, что совпадает с граничным условием на стенке, обтекаемой потоком вязкой жидкости (ш у=о = 0). Если твердая поверхность непроницаема для вещества потока, [c.27]

Решение дифференциального уравнения (1.43) второго порядка возможно при наличии необходимого количества условий однозначности. При анализе большинства технических массообменных задач начальным условием является известное распределение концентрации целевого компонента в объеме капиллярно-пористого тела в некоторый момент времени, принимаемый за начальный С х=а —С х, у, г) в простом случае равномерного распределения С г=о = Со. [c.51]

Критерии диффузионного (массообменного) подобия получаются из основного дифференциального уравнения (5.12) переноса массы компонента в однофазном потоке, которое для вывода из него критериев подобия записывается в упрощенной, одномерной форме с заменой обозначения пространственной координаты на I. Тогда вместо уравнения (5.12) запишем [c.358]

Вначале газовая хроматография развивалась как эмпирический метод, но, начиная с 1956 года, были многочисленные попытки разработки теории хроматографии, описывающей скорость продвижения полос по колонке и размывание полос. Наибольшее внимание было уделено вопросам динамики процесса (скорости продвижения, диффузии и массообмену). Создание теории, описывающей количественно хроматографический процесс, связано с значительными, в некоторых случаях непреодолимыми трудностями. Эти трудности связаны, во-первых, с неопределенностью многих параметров (в частности, структуры насадки) и, во-вторых, невозможностью точного решения дифференциальных уравнений, описывающих размывание полос. [c.38]

Внешний массообмен при адсорбции индивидуальных веществ (в отсутствие газа-посителя), исключая область низких давлений, протекает с большой скоростью и если, например, концентрация газа в объеме системы поддерживается постоянной, то и на поверхности зерна концентрация также остается приблизительно постоянной в течение всего времени до наступления сорбционного равновесия. В этом случае скорость сорбции определяется скоростью внутренней диффузии и соответствующие дифференциальные уравнения диффузии были рассмотрены в гл. III. [c.224]

Определить интенсивность теплообмена по формулам Ньютона и Дальтона не представляется возможным, так как коэффициенты тепло- и массообмена изменяются с течением времени, а температура и влагосодержание на поверхности тела определяются сочетанием подвода тепла и влаги (внутренний влаго- и теплообмен) и отвода тепла и влаги с поверхностей тела в окружающую среду (внешний тепло- и массообмен). Полное решение такой задачи (расчет скорости сушки) связано с решением системы дифференциальных уравнений массо- и теплопереноса при соответствующих граничных условиях. [c.111]

Структура коэффициентов (Т , кр) дифференциального уравнения (11.31) указывает на то, что в технологическом отношении электролизная ванна является сложным объектом, в котором сочетаются электрохимические, химические, тепловые, массообменные и другие процессы [731. [c.33]

Подстановка выражений для плотностей потоков, выведенных в настоящем разделе, в уравнения сохранения из раздела 18.3 приводит к общим дифференциальным уравнениям в частных производных, описывающим движение многокомпонентной смеси, которое сопровождается теплообменом, массообменом и химическими реакциями. Слово общие всегда, конечно, необходимо применять с некоторой осторожностью, поскольку часто можно придумать более общие случаи. В качестве такого примера достаточно напомнить область магнитогидродинамики. Уравнения, описывающие многокомпонентные жидкие смеси, подвергнутые воздействию электромагнитного поля, представляют собой уравнения сохранения и уравнения электродинамики Максвелла. Эта область интересна в связи с астрофизическими явлениями, поведением ионизированного газа и струй плазмы [25—27]. Другая область, не охваченная нашими уравнениями, — область релятивистской механики жидкостей. Упомянутая область включает релятивистские эффекты, которые играют важную роль при скоростях жидкости, близких к скорости света [28]. [c.503]

Все задачи в главе 16, а также и более трудные задачи могут быть сформулированы с помощью дифференциальных уравнений, приведенных в настоящей главе. В качестве примеров обсудим совместный тепло- и массообмен, термо диффузию, принудительную диффузию, бародиффузию и [c.504]

Чисто теоретический анализ массопереноса в реальных аппаратах в настоящее время невозможен, так как система дифференциального уравнения массообмсна в движущейся среде н дифференциальных уравнений гидродинамики (Навье—Стокса и неразрывности потока) пока аналитического решения не имеет. Для получения расчетных зависимостей по массообмену дифференциальные уравнения преобразуют метода.ми теории подобия [67]. [c.137]

Устойчивость реакторов с полным перемешиванием для гомогенных процессов являлась предметом изучения многих исследователей. Система в этом случае описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями первого порядка. В случае гетерогенных каталитических процессов задача сильно усложняется. Модель реактора с неподвижным слоем катализатора рассматривали Лин Шин-лин и Амундсон Анализировался адиабатический реактор, в котором отсутствует радиальный тепло- и массоперенос. Выло принято также, что тепло- и массоперенос в осевом направлении осушествляются только за счет вынужденной конвекции. Скорость потока считалась равномерной по всему сечению реактора, а влияние длины реактора и изменения температуры на скорость потока — пренебрежимо малыми. Тепло- и массообмен происходил на пористой поверхности зерен катализатора. Исследовалась необратимая реакция первого порядка типа А—-В. Более сложные реакции также могут быть рассмотрены с помошью этого метода без введения дополнительных параметров. Полученная система дифференциальных уравнений была решена методом характеристик. [c.262]

Имеется два основных подхода к составлению пакетов программ это ориентация на метод и ориентация на проблему. В первом случае предйбсылкой является применимость метода для решения различных прикладных задач, описание которых представляет собой определенный класс уравнений (например, дифференциальные уравнения, конечные уравнения, методы статистического анализа и т. д.). Во втором случае ставится задача применения различных методов для расчета конкретного процесса (например, массообменные аппараты, реакторные процессы и т. д.). В связи с этим различаются методо-ориентированные и проблемно-ориен-тированные пакеты прикладных программ. [c.46]

В работах [1 - 4] используется подход определения профилей концентраций и эффективности массообменных тарелок на основе решения системы дифференциальных уравнений переноса импульса, массы и энергии. Для этого используется двужидкостная модель. [c.125]

При заданных физических свойствах системы кинетика первой и третьей стадий определяется гидродинамической обстановкой в каждой из фаз. Сложность математического описания кинетики переноса вещества в рассматриваемых системах обусловлена взаимным влиянием движения фаз из-за подвижности границы раздела между ними. Аналитический расчет на основе дифференциальных уравнений переноса оказывается возможным лищь в простейших случаях, когда точно известна площадь поверхности контакта, как, например, при массообмене между движущейся ламинарно пленкой жидкости и газом (или паром). Поток переносимого вещества в таких сл чаях можно рассчитать путем совместного решения уравнений переноса в каждой из фаз. [c.462]

Массообмен представляет собой стохастический обмен элюируемыми молекулами между фазами хроматографической системы. Стохастический характер массообмена приводит к расширению хроматографической зоны за счет дисперсии во времени пребывания молекул вещества в каждой из фаз. Кроме того, дополнительный вклад в размывание зоны дает неравновесность массообмена, с которой связана также и асимметрия размывания. Оба фактора, ответственных за размывание, — продольная диффузия и массообмен, а также вся динамика поведения вещества в хроматографе могут быть описаны с помощью рассмотренных ранее систем дифференциальных уравнений I.I—I.IV. [c.31]

Закономерности процесса. Тепло- и массообмен при сброссе давления описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений [c.303]