Среднее арифметическое значение случайной величины измерения

Каждая из выборочных статистик, в отличие от нормального распределения, зависит от числа степеней свободы. Этим термином обозначается число независимых способов описания исследуемой выборки. Так, если значение математического ожидания заранее известно (например, если производят анализ стандартного образца состава, имеющего государственную аттестацию, с целью проверки правильности методики анализа), то число степеней свободы / для п параллельных замеров будет равно п, т. е. общему объему выборки. Если же значение оценивается на опыте как среднее арифметическое х этих же п измерений, то число степеней свободы будет равно п— 1, так как из общего числа случайных величин вычитается дополнительная связь между всеми элементами выборки, затраченная при определении значения X. [c.65]

Среднее (среднее арифметическое) значение случайной величины. Пусть х , х ... х обозначают п результатов измерений величины, истинное значение которой а. На основании закона нормального распределения случайных ошибок доказывается, что при п измерениях одинаковой точности среднее арифметическое [c.25]

Для данного ряда измерений наиболее вероятным или наилучшим значением измеряемой величины является среднее арифметическое из результатов всех измерений. Чем больше число измерений, тем ближе среднее арифметическое к точному значению измеряемой величины. При наличии случайных ошибок наблюдаются отклонения как в положительную, так и в отрицательную сторону, причем вероятность положительных и отрицательных отклонений одинакова. [c.78]

Случайные ошибки могут быть абсолютными и относительными. Случайную ошибку, имеющую размерность измеряемой величины, называют абсолютной ошибкой определения. Среднее арифметическое значение абсолютных ошибок всех отдельных измерений называют абсолютной ошибкой метода анализа. [c.6]

Среднее арифметическое значение случайной величины X. Пусть Х2, Х обозначают п результатов измерений величины, истинное значение которой Предполагается, что все измерения проведены одним методом и с одинаковой тщательностью. Такие измерения называют равноточными. [c.5]

Статистическая обработка опытных данных. При экспериментальных измерениях некоторой физической величины, истинное значение а которой неизвестно, результаты отдельных измерений представляют собой случайные величины. Истинное значение оценивают методами математической статистики. Первичная обработка экспериментальных данных заключается в получении ранжированного ряда, т. е. экспериментальные данные располагают в порядке увеличения исследуемого параметра и с помощью специальных критериев выявляют грубо ошибочные значения. Для этого рассчитывают среднее арифметическое всей выборки из п опытов х = [c.14]

В аналитической работе часто приходится ограничиваться сравнительно небольшим числом определений. Это небольшое количество наблюденных величин можно рассматривать как случайную выборку из некоторого гипотетического бесконечного множества—генеральной совокупности, которая является математической моделью реально наблюдаемых величин. Задача свертывания информации с математической точки зрения сводится в этом случае к тому, что по выборке определяют некоторые величины (выборочную дисперсию и среднее арифметическое значение случайной величины), которые являются оценкой неизвестных параметров (соответственно дисперсии и математического ожидания) функции распределения этой генеральной совокупности. При оценке (определении) параметров генеральной совокупности по выборке, естественно, вносится известный элемент неопределенности, который можно учесть методами математической статистики. Среди экспериментаторов распространено совершенно неправильное мнение о том, что математическая статистика применима только к большому цифровому материалу. Современная математическая статистика дает возможность оценивать параметры генеральных совокупностей и устанавливать для них доверительные пределы даже по весьма малым выборкам,—в некоторых случаях всего по двум измерениям. Но при этом, естественно, что чем меньше экспериментальный материал, тем менее точно может быть произведена оценка параметров генеральной совокупности по их выборочным значениям. Таким образом, математическая статистика, с одной стороны, дает возможность компактным образом представить результаты эксперимента, а с другой стороны, позволяет количественно оценить тот элемент сомнения, который сопутствует каждому эксперименту при малом числе опытов. [c.12]

Медианой Me (или срединным значением) называют такое значение случайной величины х, при котором половина результатов имеет значение меньшее, а другая — большее, чем Me. Для вычисления Me результаты располагают в порядке возрастания, т. е. образуют так называемый вариационный ряд. Если число измерений нечетное, то значение медианы равно значению среднего члена ряда. Если же число четное, значение Me равно полусумме значений двух средних результатов. При малых объемах выборки вместо среднего арифметического для оценки центра совокупности предпочтительнее пользоваться медианой. [c.60]

С подобной ситуацией мы встречаемся при прямых измерениях. Для того чтобы компактным образом представить множество значений случайной величины, полученной в том или ином измерительном процессе, обычно пользуются средним арифметическим значением результатов отдельных измерений. Среднее арифметическое обладает тем свойством, что сумма квадратов отклонений от него отдельных измерений имеет минимальное значение. Это чрезвычайно важное для метрологии утверждение легко доказать. Приравняем нулю первую производную по Q от суммы квадратов отклонений отдельных измерений от некоторой величины Q [c.259]

Это свойство метода наименьших квадратов объясняется тем, что при его использовании для определения а случайные ошибки измерения отфильтровываются. Действительно, входящие в систему ( -20) коэффициенты Ъц, есть средние арифметические некоторых выражений из наблюденных случайных величин х], uf, а поэтому дисперсия этих оценок значительно меньше дисперсий х], щ. Даже при существенных разбросах Х/, и относительно своих истинных значений оценки Ы , я] , оказываются достаточно близкими к точным величинам Ъц, и если матрица В хорошо обусловлена, то и близки к истинным коэффициентам а,, математической модели. Здесь и далее под близостью двух векторов понимается малость нормы их разности. [c.281]

Выразим ошибку определения среднего арифметического значения = ц—х в единицах 5-. Пусть = zJs , где t — отношение двух случайных величин и само является случайной величиной. Отличие от I [последнее определено соотношением (1.2)1 в том, что с характеризует ошибку средней величины, а — единичного измерения. [c.16]

Общая ошибка анализа складывается из систематической и случайной ошибок определения. Систематическая ошибка зависит от постоянных причин и повторяется при повторных измерениях она связана с постоян ными методическими ошибками анализа, например, с загрязнениями применяемых реактивов, с потерями осадка вследствие его некоторой растворимости и т. п. Все это может быть учтено при анализе. Величина систематической ошибки характеризует правильность метода. Случайные ошибки анализа вызваны неопределенными причинами и изменяются при повторных измерениях (или при повторных анализах) в ту или другую сторону. Если повторить измерение несколько раз, и вгл-числить среднее арифметическое значение из полученных данных, то средний результат будет точнее, чем отдельные измерения. Отклонение отдельных результатов измерений от среднего значения измеряемой величины характеризует воспроизводимость ( точность ) метода. [c.15]

Среднее отклонение — ориентировочное значение случайной величины Ахи выраженное ее средним значением ср. Поскольку сумма всех случайных ошибок при многократных измерениях с учетом знака стремится к нулю, среднее отклонение ср вычисляют как среднее арифметическое значение всех случайных величин без учета знака [c.233]

Строго говоря, среднее арифметическое представляет собой лишь оценку математического ожидания результата измерения и может стать оценкой истинного значения измеряемой величины лишь после исключения систематических погрешностей. Будучи вычисленным на основе ограниченного числа опытов, среднее арифметическое само является случайной величиной. Математическое ожидание среднего арифметического совпадает с математическим ожиданием результатов ряда измерений, то есть оно является несмещенной оценкой. Кроме того, среднее арифметическое имеет наименьшую дисперсию, то есть оно является эффективной оценкой. Дисперсия среднего арифметического равна [c.81]

Измерения для оценки их достоверности необходимо повторить несколько раз. Если результаты измерений различаются между собой не очень значительно, то можно полагать, что эти различия обусловлены случайными ошибками. В этом случае наиболее вероятным значением измеряемой величины принято считать среднее арифметическое, вычисленное из всех измеренных величин. [c.33]

На основании закона нормального распределения случайных ошибок доказывается, что при измерениях одинаковой точности среднее арифметическое значение является наиболее вероятным и наилучшим значением измеряемой величины. Среднее арифметическое значение х рассчитывают по формуле [c.299]

При более точной статистической обработке результатов анализа среднее арифметическое значение х относят к среднему значению X в генеральной совокупности. Генеральной совокупностью называют гипотетическую (идеализированную) систему 6 бесконечно большом числе измерений и всех мыслимых наблюдений над измеряемой величиной а при данных условиях эксперимента. Из генеральной совокупности выводят закономерности для процессов, кажущихся наблюдателю чисто случайными. В этом случае принимают х за приближенное значение р. и пишут [c.300]

Измерение — это нахождение значения физической величины опытным путем. Практически не бывает ситуации, когда это значение находят при однократном наблюдении. Всегда наблюдения повторяются несколько раз (параллельные наблюдения), из них далее находится среднее арифметическое, принимаемое за результат измерения. Мерой неопределенности, возможной случайной погрешности этой измеренной величины (которая и является целью работы исследователя) является среднее квадратическое отклонение результата измерения (выборочного среднего). Эта величина обозначается 5 (Х ), обозначение в скобка указывает, что 5 относится к среднему арифметическому переменной Х , определенной из п наблюдений. [c.89]

Например, при расчете выборочной дисперсии, характеризующей разброс измеренных значений случайной величины относительно их среднего арифметического, имеется одна связь, определяемая уравнением, по которому вычисляют среднее [c.12]

Генеральная совокупность и выборка в известном смысле соотносятся между собой так же, как исследуемый объект и анализируемая проба. Так же как проба должна представительно отражать состав материала, выборка должна представительно отражать генеральную совокупность результатов измерений. Это достигается оптимальной величиной выборки (числом опытов п). Значения стандартного отклонения 5 и среднего арифметического, например, у, рассчитанные для ограниченного числа определений, называют оценочными величинами для (7 и л генеральной совокупности. Проще можно рассчитать более грубые оценочные величины для стандартного отклонения — это так называемый диапазон значений Я = ут х — —г/тш, представляющий собой разность между наибольшим и наименьшим результатом выборки, а для среднего арифметического — так называемое серединное значение или медиану у. Если результаты измерений расположить в порядке возрастания, то при нечетном числе измерений медиану определяют как центральный результат, при четном числе измерений — как среднее арифметическое двух средних результатов выборки. При небольшом числе измерений на медиану не оказывают влияния отдельные случайные ошибки результатов больше или меньше среднего, так как она определяется только средним (или двумя средними) результатами. Но по этой же причине при большом числе измерений (п>10) медиана непригодна, нужно рассчитывать среднее арифметическое. [c.438]

Уменьшение влияния случайных погрешностей на результат измерений достигается путем многократных измерений величины в одинаковых условиях. Если принять, что систематические погрешности близки к нулю, то наиболее достоверное значение, которое можно приписать измеряемой величине на основании ряда измерений, есть среднее арифметическое из полученных значений. [c.131]

Если в результате п повторных измерений некоторой фиксированной величины получены значения X ,X2,. .., x ,. .., х , систематические погрешности эксперимента отсутствуют, а случайные подчиняются нормальному закону распределения (см. раздел 8.2.2), то наилучшим приближением к истинному значению х будет среднее арифметическое [c.164]

Если из очень большой совокупности случайных значений величины X сделать произвольную выборку части этой совокупности, то средняя арифметическая х значений, попавших в выборку, приближенно равна средней арифметической всех значений совокупности. Это позволяет определять среднюю, пользуясь лишь некоторой долей большого количества частных значений, что существенно экономит время, затрачиваемое на измерения и вычис.тения. Например, если требуется найти средний размер зерен осадка, нет необходимости измерять все зерна, а можно ограничиться измерением дишь части их. Естественно, что чем больше будет количество измеренных зерен, тем больше вычисленная средняя будет приближаться к среднему размеру всех зерен. [c.434]

Математически можно показать, что при очень большом числе определений (я->оо), когда распределение случайных ошибок строго следует Гауссовой кривей, 68% отдельных определений отличаются от действительного значения на величину, меньшую стандартного откловения, т. е. X/ = X 5 . В интервал X 25 попадает 95% определений, а в интервал X 2,5SJ— 99% из них. На практике, однако, вероятность того, что определение находится в интервале X 23 меньше 95% по двум причинам. С одной стороны, аналитик проводит конечное, а то и очень ограни1 енное число определений, а, с другой стороны. Гауссово распределение справедливо только при отсутствии систематических ошибок, которых при анализе нельзя избежать полностью. Поэтому нельзя быть уверенным в том, что среднее арифметическое измерений истинно приближается к действительному значению. Тем не менее, благодаря статистической обработке можно определить, какова вероятность того, что действительное значение лежит в определенном интервале, т. е. найти доверительный интервал, в котором находится искомая величина с определенной статистической вероятностью. Доверительный интервал ,1 можно определить по зависимости [c.455]

Выборочный контроль по количественному признаку (ГОСТ 20736—75) заключается в том, что у определенного количества единиц продукции (выборка) измеряют значение контролируемого параметра, вычисляют среднее арифметическое для выборки и оценивают его отклонение от граничного значения. Иногда принимают два (верхнее и нижнее) граничных значения. Эти отклонения сравнивают с заранее установленными контрольными нормативами и по результата сравнения принимают решение о соответствии или несоответствии продукции установленным требованиям. При таком контроле ставится задача оценки некоторой измеряемой величины X (прочности материала, геометрического размера изделий) в большой партии изделий N (генеральной совокупности) путем измерения X в выборке из п случайно отобранных образцов. Теория вероятности должна решить задачу о необходимом количестве образцов для достижения требуемой точности оценки. [c.46]

Если в общей погрешности измерения случайная составляющая имеет существенное значение, то для повышения точности измерения становится оправданным переход к статистическому измерению, т. е. к измерению с многократными наблюдениями. Статистическое измерение применяют также при измерениях величин, истинные значения которых определены как статистические (например, как среднее арифметическое, среднее квадратическое и [c.51]

Ниже приводится схема обработки результатов анализа вещества методом математической статистики, применяемой для оценки случайных ошибок измерения величин. При обработке результатов измерения величин или результатов анализа пользуются следующими критериями х — варианта, численное значение отдельного измерения п — число вариант, число выполненных измерений х — среднее арифметическое для ряда вариант. [c.112]

Если в результате п повторных измерений некоторой фиксированной величины получены значения Хх, х , Х1, Хп я случайные погрешности эксперимента подчиняются нормальному распределению, то наилучшим приближением к истинному значению будет среднее арифметическое [c.217]

На основании закона нормального распределения случайных ошибок показано, что арифметическое среднее х из результатов всех измерений является наиболее вероятным значением измеряемой величины и определяется по формуле [c.611]

Случайной погрешностью результата измерения К называется разность между средним арифметическим Л р и истинным значением А измеряемой величины [c.16]

Случайные погрешности могут быть оценены статистическими методами на основе теории вероятностей. При наличии случайных погрешностей за наиболее вероятное значение измеряемой величины х принимают среднее арифметическое х результатов всех п измерений [c.231]

Ошибки в определении делятся на две группы — случайные, связанные с точностью отсчетов и измерений, и систематические, связанные с геометрией съемки и особенностями взаимодействия рентгеновских лучей с веществом. В первом приближении можно считать, что случайные ошибки измерений не зависят от угла дифракции. Из теории ошибок следует, что если произведено п измерений какой-либо величины А с одинаковой точностью, то (если ошибки измерений подчинены нормальному закону распределений) наиболее вероятным значением А будет среднее арифметическое [c.84]

Здесь м общ — результирующая ошибка, и 1 — ошибки отдельных операций. При этом безразлично, какие из случайных ошибок суммируются формула (118) написана для коэффициента вариации йУ, совершенно так н<е суммируются средние квадратичные ошибки а пли средние арифметические ошибки г. Из закона сложения ошибок следует важное правило существенный вклад вносят только те ошибки, которые близки к наибольшей из ошибок. Поясним сказанное численным примером. Допустим, что ошибка измерения интенсивности составляет 1%, ошибка, вносимая источником возбуждения, 3% и ошибка, вносимая неоднородностью проб, 0,5%. Тогда суммарная ошибка будет н, общ = V 9 1 0,25 = = 3,2%. Практически эта величина не отличается от 3%. Поэтому нет никакого смысла для повышения точности стараться уменьшить ошибку измерения интенсивности или неоднородности проб, пока не уменьшена ошибка, вносимая генератором. В разных случаях анализа ошибки различных звеньев процесса играют определяющую роль. При анализе руд обычно так велики неоднородности проб, что нет смысла прибегать к точным методам регистрации спектров. При анализе сплавов именно измерительное звено часто играет решающую роль. Воспроизводимость и точность тех или иных методов анализа будут приведены в соответствующих разделах. Здесь ограничимся только указанием, что лучшие методы количественного анализа позволяют делать определения с коэффициентом вариации до 0,1%. Обычно нри количественных анализах его значение лежит в пределах 1—10%. При определениях вблизи границы чувствительности метода ю быстро возрастает. [c.164]

В теории погрешностей доказывается, что если погрешности следуют закону распределения Гаусса, то наиболее вероятным и надежным значением измеряемой величины является математическое ожидание или среднее арифметическое полученных равноточных результатов измерений. Строго это положение относится к гипотетической генеральной совокупности, т. е. совокупности всех наблюдений, мыслимых при данных условиях. Арифметическое среднее этих наблюдений называют генеральным средним ц. В аналитической химии число параллельных определений обычно невелико и совокупность полученных результатов называют выборочной совокупностью или случайной выборкой. Сред-нее значение результатов случайной выборки называют в ы-борочным средним. Методами статистического анализа можно по результатам случайной выборки оценить параметры генеральной совокупности и таким образом найти наиболее вероятное значение содержания компонента в пробе. [c.126]

Выше уже отмечалось, что набор из п параллельных результатов химического анализа следует рассматривать как выборочную со вокупнрсть неравномерно распределенной случайной величины Однако неравномерность распределения результатов обнаружи вается лишь при достаточно большом числе параллельных анали зов и проявляется в том, что для отдельных групп значений, за ключенных внутри промежутков равной ширины, частота их появ дения оказывается разной. В предельном случае, когда выбранная ширина промежутков равна естественному пределу точности метода анализа, а объем выборки хотя и конечен, но достаточно велик,, все результаты разбиваются на группы дискретных значений, и неравномерность распределения результатов анализа ста-ловится очевидной. Выборочную совокупность результатов такого анализа можно представить двояким образом 1) в виде набора отдельных, отличных друг от друга значений случайной величины, характеризующихся неравномерным распределением в силу своей разнократности 2) как выборочную равномерно распределенную совокупность отдельных результатов, часть.из которых совпадает друг с другом. Очевидно, что математическое ожидание такой выборочной совокупности совпадает со средним арифметическим всех результатов. Следовательно, среднее арифметическое ряда параллельных анализов наилучшим образом характеризует центр рассеяния полученных результатов и отягощено минимальной случайной ошибкой. Естественно, что конечный результат химического анализа, по данным ряда параллельных определений, должен в качестве оптимальной оценки содержать именно среднее арифметическое. Вполне очевидно также, что единицы измерения этой величины совпадают с единицами измерения результатов отдельных анализов. [c.75]

НИЯ. Такое определение величины 5 основано на анализе кривой распределения ошибок, показанной выше, и, следовательно, на более реалистическом подходе к установлению меры точыссти результатов измерений. Можно показать, что при случайном распределении ошибок (или, правильнее сказать, отклонений) одно стзидартиое отклонение s указывает границы выше и ниже среднего арифметического значения, в которых заключено 68,26% вероятности обнаружить результат любого измерения. Стандартное отклопепне вычисляется по формулам [c.515]

Информацию об истинном значении измеряемой величины (а) несут результаты измерений, полученные отдельными независимыми наблюдениями. Наиболее вероятной оценкой определяемого параметра а является среднее арифметическое значение результатов измерений. Но х, выраженное одним числом, представляет точечную оценку измеряемой величины, тогда как при решении практических задач X вычисляют на основании опытных данных — случайных величин, следовательно, среднее арифметическое значение также является случайной величиной. Отдельные наблюдения эксперимента разбросаны относительно среднего арифметического значения, но это не значит, что х ближе к истинному значению, чем результаты каждого отдельного наблюдения. Выделить эти результаты из общего числа наблюдений невозможно, поэтому более правильной оценкой истинного значения определяемой величины является доверительный интервал. [c.237]

Поскольку результаты отдельных измерений являются случайными, среднее арифметическое значение тоже будет случайным. Действительно, разобьем результаты измерений (см. рис. 1.1) на отдельные группы (выборки) от а до а от 05 до аг от ад до 012 и т. д. и вычислим для каждой группы среднее арифметическое (01-4, аз-8, 9-12). Из рис. 1.1 видно, что групповые значения средних арифметических будут, так же как и результаты отдельных измерений, располагаться на числовой оси вокруг истинного значения данной величины, хотя их разброс и будет несколько меньше. Поэтому, как и в случае отдельных измерений, можно рассматривать доверительный интервал и доверительную вероятность для средних арифметических. Из сказанного вытекают два вывода [c.17]

Практикой установлено, что при выполнении лабораторной модели в малых масштабах возрастают требования к точности измерений, затрудняется реализация геометрического подобия. Рациональные геометрические масштабы 1 2 — 1 10. -етатистическая обработка опытных данных. При эксперимен-I тальных измерениях некоторой физической величины, истинное зна- чение а которой неизвестно, результаты отдельных измерений нред-/ ставляют собой случайные величины. Истинное значение оцени- вают методами математической статистики. Первичная обработка экспериментальных данных заключается в иолучении ранжированного ряда, т. е. экспериментальные данные располагают в порядке увеличения исследуемого параметра и с помощью специальных критериев выявляют грубо ошибочные значения. Для этого рассчитывают среднее арифметическое всей выборки из п опытов х --= [c.14]

Заметим, что способы оценки случайных пофешностей весьма разнообразны 19, 39-42], хотя в основе большинства из них используются методы математической статистики За норматив статистического кон-фоля обычно принимают предельное значение конфолируемого показателя для выборки контрольных измерений. Определяют численное значение данного показателя на основе всех результатов рассмафиваемой выборки и в зависимости от полученной величины принимают решение о качестве химического анализа. При этом оценку среднего арифметического, стандартного отклонения генеральной совокупности и выборочного [c.163]

Правильность (a ura y). Степень близости между полученным результатом и истинным значением. Правильность является качественной характеристикой и включает комбинацию компонентов случайных погрешностей и обычную систематическую погрешность. Это качество измерений, отражающее близость к нулю систематических погрешностей. Отсутствие в химическом анализе систематических погрешностей обеспечивает его правильность (рис. 2.3). Количественной оценкой правильности результата анализа (оценкой систематической погрешности) служит разность между средним (средним арифметическим результатов наблюдений) и истинным значением оп-peдeJ яeмoй величины. [c.62]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология