Гармонический осциллятор. Осциллятор гармонический

Однако, как уже указывалось в главе I, гармонический осциллятор — это негрубая система, которая не может быть использована в качестве математической модели реальных незатухающих колебаний об этом говорит, в частности, то обстоятельство, что в так называемых консервативных системах, к которым относится гармонический осциллятор, амплитуда и, в общем случае, период колебаний зависят от начальных условий. [c.133]

Вычислим сумму по состояниям и термодинамические свойства для одноатомного твердого тела. Атомы (ядра) кристаллической решетки твердого тела образуют локализованную систему, и можно вычислить сумму по состояниям Z с помощью суммы по состояниям Q частицы без учета требований симметрии. Каждый атом данной решетки имеет три степени свободы, причем колебания в каждом из трех направлений можно считать равноправными. Поэтому естественно рассмотреть сначала систему из N одномерных гармонических осцилляторов. Такая система представляет интерес не только для вычисления термодинамических свойств одноатомного твердого тела, но также и для вычисления вклада, обусловленного колебаниями ядер в молекулах, в термодинамические свойства газа. Уровни энергии гармонического осциллятора определяются формулой (см. табл. 1) [c.302]

В области д >0 Т описывается тем же волновым уравнением, что и обычный гармонический осциллятор. Однако приемлемы только решения, которые обращаются в нуль в начале координат (граничное условие). Следовательно, собственными значениями энергии для обычного осциллятора являются те значения, которые соответствуют нечетным волновым функциям. Четность волновых функций простого осциллятора чередуется по мере увеличения квантового числа V начиная с четного основного [c.107]

Найдем фазовую траекторию одномерного гармонического осциллятора. Одномерным гармоническим осциллятором называют материальную точку, совершающую колебательное движение в одном измерении, если сила, действующая на нее, прямо пропорциональна смещению от положения равновесия [c.35]

В заключение параграфа следует указать, что при расчетах в приближении модели гармонический осциллятор — жесткий ротатор для высоких температур (в общем выше 1000° К) мультиплетность вращательных уровней может учитываться введением статистических весов, приведенных в табл. 7, поскольку погрешности, обусловленные пренебрежением ангармоничностью колебаний, существенно выше. Однако при расчетах для температур порядка 500° К и ниже, когда ангармоничность колебаний, центробежное растяжение, а также взаимодействие колебания и вращения молекул практически не влияют на термодинамические функции двухатомных газов, учет расщепления уровней при помощи статистических весов приводит к большим ошибкам, особенно в значениях (см. табл. 8). Поэтому, если известны или могут быть оценены постоянные расщепления, при низких температурах расчеты в приближении жесткий ротатор — гармонический осциллятор следует проводить с учетом расщепления уровней вращательной энергии в мультиплетных электронных состояниях. Соответствующие вычисления могут быть выполнены по соотношениям (II.85)— (II. 112), принимая в них [c.102]

Приведем некоторые количественные соотношения для рассеяния нейтронов на гармонических осцилляторах. Для гармонически связанной рассеивающей частицы имеем [ 10] [c.216]

Теплоемкость твердого тела, обусловленная увеличением колебательной энергии решетки при поглощении тепла, описывается эмпирическим законом Дюлонга и Пти Легко показать, что изменение внутренней энергии системы, состоящей из N К —число Авогадро) независимых гармонических осцилляторов, имеющих одинаковую частоту, подчиняется этому закону. При низких температурах СУ быстро падает, и модель простого гармонического осциллятора не позволяет объяснить этого явления. Эйнштейн показал, что этот эффект качественно объясняется при рассмотрении квантовых осцилляторов, хотя падение Су до нуля происходит слишком быстро. Количественное описание теплоемкости с учетом того, что осцилляторы связаны и колеблются с разными частотами, дает теория Дебая — Борна и Кармана. Для низких температур они определяют температурную зависимость теплоемкости как Су аТ полученные расчетные данные хорошо согласуются с экспериментальными, причем основной вклад при этом вносят низкочастотные колебания осцилляторов. [c.84]

Из дальнейшего обсуждения мы увидим, что для очень больших и очень малых межъядерных расстояний реальную молекулу нельзя аппроксимировать моделью гармонического осциллятора. Для гармонического осциллятора упругая восстанавливающая сила возрастает плавно и неограниченно с увеличением или уменьшением расстояния колеблющихся ядер от положения равновесия (см. рис. 12). Потенциальная энергия реальной молекулы будет возрастать с увеличением межъядерного расстояния более постепенно, чем это следует из уравнения (3-27). Это вызвано ослаблением на больших расстояниях (г) связи X — У (рис. 13). В конце концов сила, связывающая ядра, исчезает, связь рвется и потенциальная энергия достигает предельного значения. Эта энергия соответствует энергии диссоциации молекулы на рис. 13 она представлена асимптотой потенциальной кривой. Когда энергия системы почти равна энергии асимптоты, ядра на больших расстояниях друг от друга имеют нулевые скорости. Выше асимптоты кинетическая энергия ядер (которая не квантуется) возрастает. С другой стороны, при сближении ядер потенциальная энергия системы возрастает быстрее, нежели дает уравнение (3-27). Это вызвано внезапным быстрым увеличением кулоновского отталкивания с уменьшением межъядерного расстояния. [c.43]

Одномерный гармонический осциллятор (разд. 11,3.3) позволяет получить первое представление о влиянии квантования энергии на теплоемкость, а также может служить моделью для расчета вкладов в теплоемкость отдельных частот. Кроме этого, теория одномерного гармонического осциллятора служит основой для изложения материала в разд. 11,4. На рис. 11.3 теплоемкость отдельных осцилляторов [уравнение (11.89)] с различными частотами представлена как функция температуры. В табл. П. 1 приведены вероятности пребывания осциллятора на разных энергетических уровнях при различных температурах. При помощи рис. П. 3 и этой таблицы объяснены понятия замораживание и размораживание механических степеней свободы. [c.43]

Как уже упоминалось в начале 5, приближенное вычисление вращательно-колебательной суммы состояний газов основано на предположении, что каждая колебательная степень свободы соответствует одному гармоническому осциллятору. Если молекула состоит из Я атомов, то она обладает Зя степенями свободы, из которых Зя—-5 или Зя—6 являются колебательными степенями свободы в зависимости от того, имеет ли молекула два или три момента инерции. Задача сводится к вычислению суммы состояний каждого из Зя — 6 гармонических осцилляторов, так как общая колебательная сз мма состояний молекулы равна, с хорошей степенью приближения, произведению сумм состояний отдельных осцилляторов. [c.125]

Для характеристики вероятностей электронных переходов широко используются безразмерные величины — силы осцилляторов /. Понятие о силе осциллятора / вытекает из классического рассмотрения атома в виде гармонического осциллятора — колеблющегося электрона с собственной частотой V. В молекуле рассматривается набор осцилляторов с разными частотами г. Силы осцилляторов и характеризуют степень участия электронов в этих колебаниях [6, 19, 36]. В квантовой физике силы осцилляторов имеют иной смысл — они характеризуют энергетические переходы системы из одного состояния в другое (1 2) и [c.38]

Для того чтобы описать весь экспериментальный спектр излучения абсолютно черного тела, была предложена эмпирическая формула, соответствующая опытным данным от Я— >0 до Я-+оо, из которой при определенных значениях коэффициентов можно получить уравнение Вина, а также уравнение Рэлея — Джинса. Макс Планк не собирался искать эмпирическое уравнение, когда он пришел к возможно наиболее революционной гипотезе нашей эпохи К Так же как и Вин, Планк имел возможность выбрать любой подходящий тип излучателя энергии. Это должна быть система, способная испускать и поглощать излучение и одним из простейших для расчета типов такой системы является система простых гармонических осцилляторов. В соответствии с классической теорией, осциллятор должен получать и излучать энергию-непрерывно. Но для того чтобы найти формулу, которая согласовывалась бы с экспериментально найденным спектром абсолютно черного излучателя, Планк предположил, что такой осциллятор должен получать энергию не непрерывно, как этого требовала классическая теория, а дискретными порциями. Эти порции должны быть кратными фундаментальной энергетической единице ео т. е. О, 8о, 2ео, Зво,. .., neo. [c.20]

В модели Райса — Рамспергера — Касселя (РРК) для распада молекул предполагается, что полная энергия, распределенная среди п слабо связанных гармонических осцилляторов, составляющих молекулу , имеет полную свободу перераспределения. В этом смысле п — 1 осцилляторов, связанных со слабым осциллятором, выполняют по отношению к нему роль энергетического резервуара. Эта модель была подвергнута критике Слетером [6], который высказал предположение, что процесс передачи энергии между осцилляторами может быть медленным, поэтому скоростью передачи энергии нельзя пренебречь. Как на крайний случай он указал, что осцилляторы, принадлежащие к молекулярным колебаниям различных классов симметрии, не могут обмениваться энергией . Дальнейшее ограничение, налагаемое на обмен энергии, обусловливается дискретностью энергетических уровней квантовой системы. Дело в том, что молекула может изменять свое внутреннее энергетическое распределение только между состояниями, полная энергия которых [c.199]

Равновесное распределение молекул по различным энергетическим состояниям Е дается законом Максвелла — Больцмана. Так, для молекулы с п классическими внутренними гармоническими осцилляторами доля молекул с энергией ЕЕ ,. . , Е , представляет собой функцию [c.202]

Истинное значение Р а(Е) может быть получено при точном решении квантовомеханического уравнения для молекулы. Однако в качестве первого приближения молено рассматривать классическую модель молекулы как системы, состоящей из s классических гармонических осцилляторов с частотами Vj. В этом случае Р а Е) — вероятность того, что энергия Е распределена среди [c.207]

При этом выбирается та степень свободы, для которой полная энергия может быть записана как сумма двух квадратичных членов. Таким образом, колебательная энергия простого одномерного гармонического осциллятора представляется одной классической степенью свободы (два квадратичных члена), в то время как энергия поступательного движения имеет три составляющие (три квадратичных члена) и, следовательно, 3/2 классической степени свободы. [c.243]

Теперь, допуская, что внутренние энергии частиц АиВ могут быть представлены энергией системы классических гармонических осцилляторов, мы можем вычислить ZAв Е) — частоту соударений, для которой полная внутренняя энергия и энергии вращения и поступательного движения соударяющихся молекул лежат между Е и Е Е [c.244]

МОДЕЛЬ ГАРМОНИЧЕСКОГО ОСЦИЛЛЯТОРА [c.294]

Совершенно иная картина получается при рассмотрении вопроса с квантово-механической точки зрения. Решение уравнения Шредингера для гармонического осциллятора приводит к системе волновых функций, которые являются математическим описанием состояния системы, и к ряду энергетических уровней, определяемых простым выражением [c.294]

Значение гармонического осциллятора как математической модели молекулы основано на двух фактах 1) эта модель является единственной колеблющейся системой, для которой может быть получено точное решение уравнения Шредингера 2) хотя ни одна реальная молекула не ведет себя подобно гармоническому осциллятору, почти для всех молекул эта модель является достаточно хорошим приближением, в особенности при небольшой энергии колебаний. [c.295]

Таким образом, для логарифма полной суммы по состояниям многоатомной молекулы в ее основном электронном состоянии и исходя из приближения, в котором гармонический осциллятор может рассматриваться как классический жесткий ротатор, мы получаем [c.310]

Термодинамические величины для одномерного гармонического осциллятора. [c.199]

Гармонический осциллятор даже на нулевом колебательном уровне совершает колебания с так называемой нулевой энергией оло. не исчезающей и при температуре О К. В классической механике осциллятор при самом низком энергетическом состоянии покоился бы. Различие квантовомеханического гармонического осциллятора и классического хорошо иллюстрируют графики волновых функций г цл и их квадратов 1 1>к0л1 (рис. 75). Последние указывают плотность вероятности того, что межъядерное расстояние равно г. В классической механике скорость ядер в точках возврата равна нулю, и вероятнее всего можно найти ядра именно в этих точках. В квантовой механике для нулевого колебательного уровня вероятность нахождения ядер в точках возврата очень мала, а наиболее вероятное положение ядер отвечает равновесному расстоянию (рис. 75). Для уровня с [c.158]

Сравним потенциальные кривые гармонического осциллятора и реальной молекулы (см. рис. 74). Как видно, только нижняя часть поа енциальной кривой молекулы, т. е. участок, отвечающий малым амплитудам, напоминает параболу. Поэтому приближение гармонического осциллятора пригодно лишь для малых колебаний. Кривая гармонического осциллятора — бесконечная парабола, т. е. ему можно сообщить энергию колебаний кол ° - В отличие от этого, как видно из реальной потенциальной кривой, сообщив молекуле конечную энергию, равную или более высокую, чем ее можно разорвать на два атома. Колебательный спектр реальной молекулы в отличие от спектра гармонического осциллятора состоит из ряда полос с уменьшающейся интенсивностью и сходящихся в области высоких частот к границе, за которой наблюдается область сплошного спектра (рис. 76). [c.160]

В2О3. Термодинамические функции димера одноокиси бора, приведенные в табл. 271 (II), были вычислены по уравнениям (11.241) и (11.242) в приближении модели жесткий ротатор — гармонический осциллятор. Расчет был выполнен по постоянным, принятым в табл. 209. В табл. 213 приведены значения Сф и С. для расчета составляющих поступательного движения и жесткого ротатора и значения — для вычисления составляющих гармонического осциллятора. Последние вычислялись без учета различия частот отдельных изотопных модификаций молекулы В2О3. [c.723]

Термодинамические функции фтористого лития вычислялись Хаффом, Гордоном и Моррелл [2142] до 6000° К в приближении модели жесткий ротатор — гармонический осциллятор по оцененным значениям постоянных (см. стр. 864) Олтманом [526] —до 6000° К по постоянным, найденным Броунштейном и Тришкой [912] (см. стр. 863) и в результате оценок, в приближении модели жесткий ротатор — гармонический осциллятор с последующим введением поправок на ангармоничность колебаний и центробежное растяжение по методике [c.872]

Из (5.102) легко видеть, что уровни энергии уже не располагаются на равных расстояниях друг от друга, как у гармонического осциллятора, а образуют систему неравноотстоящих уровней, сближающихся по мере увеличения колебательного квантового числа V и, наконец, сливаются при достижении = В. Правило отбора для ангармонического осциллятора уже не имеет ограничений, характерных для гармонического осциллятора, и переходы могут реализовываться на любой уровень, т. е. [c.90]

Выражения (2.50)—(2.52) получены из (2.48) введением ряда упрощающих предположений, которые можно трактовать как модели. Заметим, что сначала Лондон [76] рассматривал модель гармонического осциллятора (осцилляторами были взаимодействующие молекулы) и получил для дисперсионной энергии выражение (2.50), в которое вместо потенциалов ионизации входил колебательный квант /IV. Маргенау [97], обобщив эту модель, получил выражения для коэффициентов а и а", входящих в (2.49) [c.97]

Впервые эти факты удалось разъяснить Эйнштейну, создавшему на основе квантовой теории, предложенной в 1900 г. М. Планком, квантовую теорию теплоемкости. Согласно Эйнштейну кристаллическое тело представляет собой совокупность колеблющихся атомов, причем каждый атом является трехмерным гармоническим осциллятором. Представим себе точку (атом), удерживающуюся в положении равновесия (0) действующими на нее силами (рис. 23,а). Если точка смещается, возникает сила Р, стремящаяся вернуть точку в исходное положение. В случае гармонического осциллятора эта сила, называемая возвращающей силой, считается квазиупругой, т. е. подчиняющейся закону Гука [c.66]

Для расчета термодинамических функций молекулярных газов при заданных значениях температуры по уравнениям (III.249) — (III.257) должны быть известны следующие данные молекулярная масса М, статистический вес основного электронного состояния молекулы go , момент инерции / или вращательная постоянная В для двухатомных и линейных многоатомных молекул и произведение главных моментов инерции IaIbI или вращательных постоянных ЛВС для нелинейных многоатомных молекул, число симметрии молекулы а, полный набор основных частот Vft молекулы и соответствующих им степеней вырождения dk. По известным значениям основных частот согласно (III.253) определяются соответствующие им значения характеристических колебательных температур 0ft. После этого по отнощениям вн/Т находятся соответствующие значения величин jJr.o (0й//), Фг.о(0а/7 ). Sr.o Qk/T) и r.o(QhlT) путем непосредственного вычисления по формулам (III.206) — (111.209) или с помощью таблицы численных значений этих величин, приведенной в приложении. Из этой таблицы видно, что термодинамические функции гармонического осциллятора являются монотонно убывающими функциями переменной 0/Г, при этом функции я г.о (б/Г) и Сг.оСб/Г) убывают от 1 до О, а функции фг,о(0/Г) и Sr.o (0/ ) — от +СХ) до о, когда переменная 0/Г изменяется от О до оо. Это значит, что вклад колебательных движений молекул в величины термодинамических функций состоящего из них газа тем больше, чем меньше частота и чем выше температура. При малых и при больших значениях отношения 0/7 (0/7 <1 и 0/7 >1) уравнения (III.206) —(III.209), определяющие термодинамические функции гармонического осциллятора, могут быть заменены более простыми [c.248]

Указанная система кинетических уравнений является наиболее общей при описании колебательной релаксации многоатомных молекул, моделируемых набором гармонических осцилляторов. Модель гармонических колебаний в многоатомных молекулах справедлива лишь при низких уровнях колебательного возбуждения. Для ангармонических молекул взаимодействие колебательных мод, эффекты вырождения и расщепления уровней, наличие развитой вращательной структуры приводят к тому, что за исключением нескольких нижних уровней колебательный спектр многоатомной молекулы представляет собой квазиконтинуум с высокой плотностью колебательных уровней. Нижняя граница квазиконтинуума, например, - для молекулы 8Рб близка к величине 3000+4000 см что соответствует энергии 3+4 квантов [29,30]. Для трехатомных молекул качественно правильные результаты получаются при использовании гармонической модели вплоть до величин, близких к пределу диссоциации [31]. См. также комментарий к описанию модели У.8. [c.89]

Этот пыпод основан на предположении, что один из осцилляторов представляет собой слабую связь, которая разорвется, когда приобретет энергию Е. Для молекулы, состоящей из п слабо связанных гармонических осцилляторов, вероятность того, что у молекулы с энергией Е по крайней мере Е ес будет локализована на одном осцилляторе, дается выражением (1 — E EУ - . Предполагается, что константа скорости к (Е) пропорциональна этому отношению, причем коэффициент пропорциональности А есть средняя скорость внутренних переходов энергии в молекуле. Эти предположения могут быть оправданы как для классической так и для квантовой модели молекулы. [c.199]

Допущение, что скорость дезактивации не зависит от внутренней энергии, является до некоторой степени грубым. Имеется экспериментальное доказательство, что скорость потери колебательной энергии молекулой Ij при столкновении примерно в 100 раз больше для высоко возбужденных состояний, чем для более низких энергетических состояний. Ельяшевич [4], Мотт и Массей [5] сделали приближенные квантовомеханические расчеты, которые указывают, что при соударении с атомом потеря или приобретение кванта колебательной энергии гармоническим осциллятором пропорциональна энергии осциллятора. Другая работа по этой проблеме заключалась в экспериментальном изучении дисперсии звука в газах. Эти измерения показали [6], что для самых низких вибрационных состояний величина Хо равна около 10 , но может сильно варьировать от газа к газу и сильно зависит от химической природы соударяющихся газов. [c.210]

НО его трудно использовать количественно. Грубая квантовомеханическая модель, дающая непосредственные результаты, была впервые предложена Райсом и Рамснергером [13, 14] и Касселем [7]. Они предложили рассматривать молекулу как систему, состоящую из 5 слабо связанных гармонических осцилляторов, которые имеют одинаковые частоты. Затем было постулировано, что такая молекула разлагается тогда, когда один осциллятор имеет критическую энергию, равную т квантам или более. Если такая молекула имеет 5 осцилляторов ( степеней свободы) и имеется / квантов, распределенных среди них, то полное число способов распределения / квантов среди 5 осцилляторов равно д з, /), причем [c.219]

Механизм обмена энергий между молекулами в жидкости можно проиллюстрировать схемой, показанной на рис. 2.1. Представим, что в жидкости, состоящей из хаотически расположенных молекул (рис. 2.1,а), образовался ассоциат с упорядоченно расположенными молекулами (рис. 2.1,6), состоящий из двух колеблющихся в противофазе групп — двух связанных между собой гармонических осцилляторов. Образование каждого осциллятора, состоящего из п упорядоченно расположенных молекул, взаимодействующих между собой с энергией и лкс (максимальная энергия межмолекулярного взаимодействия двух молекул), будет сопровождаться выделением энергии, равной АЯосц (энергия образования ассоц-иата) [c.27]

Основой теории молекулярных колебаний является волновое урав-нение Шредингера для гармонического осциллятора, которое подробно рассматривается в любом учебнике по квантовой механике. Простейшая модель гармонического осциллятора состопт из двух масс т- я игд, соединенных невесомой пружиной, которая моделирует возвращающую силу, пропорциональную отклонению Лг) расстояния между массами от положения равновесия. Это может быть выражено уравнением [c.294]

Чтобы получить выражение для воличины кол, рассмотрим сгачала гармонический осциллятор, обладающий частотой v. Энергия уровней такой модели относительно нижнего состояния, энергия которого принимается за нулевую, равна hv, 2hv, 3/ v и т. д. Тогда [c.309]