Волновые функции для движущегося

Трудность решения этого уравнения заключается в том, что невозможно разделить волновые функции различных электронов. Эта проблема может быть, однако, разрешена с помощью метода Хартри , в котором каждый данный электрон рассматривается так, как если бы он двигался в центральном электрическом (поле, являющемся результатом усредненного распределения заряда ядра и всех остальных электронов. Вначале вычисляют функцию потенциальной энергии системы, состоящей из ядра и всех электронов. Затем вычисляют волновую функцию определенного электрона, рассматривая движение выбранного электрона в усредненном поле остальных электронов и ядра. Решение волнового уравнения для первого электрона позволит лучше рассчитать усредненное центральное поле, которое затем может быть использовано для волнового уравнения второго электрона, и т. д. Поступая таким образом, получают последовательно улучшающиеся волновые функции электронов и продолжают расчеты до тех пор, пока улучшение становится уже незаметным. В этом случае пола называют самосогласованным. [c.71]

Таким образом, волновая функция в отличие от обычной волны дает статистическую картину поведения электрона в атоме или молекуле. Двигаясь около ядра, электрон может в любой момент находиться в любом месте в той же области атомного пространства. [c.10]

Рассмотрение процесса соударения, в котором частица в полете сталкивается с ударными элементами аппарата, можно представить как одновременное и внезапное изменение скоростей всех атомов в направлении удара. Если удар направлен вдоль условной оси х, каждый осциллятор, описываемый волновой функцией (6), начинает в момент времени 1 = 0 двигаться со скоростью V в направлении оси х. Вероятность возбуждения осциллятора найдена путем перехода в систему координат К движуш,ую-ся вместе с решеткой тогда получаем х = х - у1. Волновая функция любого исходного состояния до начала движения, посредством использования закона изменения волновой функции при преобразовании Галилея, связана с волновой функцией после начала движения (в случае отсутствия возбуждения) соотношением [5] [c.17]

Получив энергию и волновую функцию основного состояния в методе МО, обратимся теперь к методу ВС. В этом методе способность электронов двигаться в поле обоих ядер выражается обменом электронов между атомными орбитами, как это показано в ВС функции основного состояния Нг (опять-таки при пренебрежении перекрыванием) [c.14]

В классической механике с помощью уравнений движения, например уравнений Ньютона, можно совершенно точно установить, как будет двигаться тело (для простоты будем говорить о материальной точке), если известно, что в некоторый момент времени оно находится в определенном месте и имеет определенную скорость. Иными словами, заданные координаты и скорость определяют состояние материальной точки. Для того чтобы задать состояние системы N точек, нужно задать координат и 2Ы составляющих скорости (скорость — вектор) этих точек. В квантовой механике для описания состояния системы микрочастиц введена так называемая волновая функция. Мы познакомимся сначала с одним из самых простых и наиболее употребительных в квантовой химии случаев — координатным представлением, в котором волновая функция рассматривается как функция координат, а также времени. [c.37]

В 2 этой главы изложены требования, которые предъявляются к волновой функции системы электронов. Если вы их забыли, обязательно перечитайте этот параграф. Не следует двигаться дальше, если вы не имеете четкого представления о том, в чем дефект функции (XI.8) и как его можно исправить. [c.168]

Среднее значение импульса, связанного с этой волновой функцией, будет — YРх- Поэтому волновая функция (5.4) представляет состояние, в котором частица движется в положительном направлении оси х с определенным импульсом волновая функция (5.6) представляет состояние, в котором частица двигается в отрицательном направлении оси X с тем же абсолютным значением импульса. Рассмотрим теперь вероятность того, что частица в состоянии, описываемом функцией (5.3), будет находиться в области между X и х- -йх. Согласно постулату I, эта вероятность равна ф фй л==ЛГ ЛГй л . Мы видим, таким образом, что все области пространства равновероятны, так что неопределенность в положении частицы бесконечно велика. Этого и требует принцип неопределенности, так как раз Ар равно нулю, как мы это установили, то, чтобы соотношение Д/ Длг->-Л соблюдалось, Ддг должно быть бесконечно [c.95]

Так как гамильтониан Е есть симметричная функция от координат различных электронов, то все N уравнений для N множителей волновой функции имеют= одинаковый вид, так что нет необходимости вводить индексы для указания, к координатам какого электрона относится этот множитель каждое и есть одна и та же функция своих координат при одной и той же системе квантовых чисел Физически это просто означает, что в отсутствии взаимодействия каждый электрон движется в центральном поле U (г) точно так, как он двигался бы, если бы другие электроны отсутствовали. Уравнение для каждого и будет [c.159]

Хотя таким образом и достигается объяснение четырехвалентности углерода, но оно, как легко видеть, противоречит другому факту, установленному в классической стереохимии,— равноценности и тетраэдрическому расположению четырех связей в молекуле СХ4. Элементарную гипотезу для объяснения и этого факта предложили Гейтлер и Румер [1]. Согласно их гипотезе, три протона в метане занимают положение на осях симметрии 2рх, 2ру и 2р — волновых функций, находящихся под прямыми углами друг к другу, а четвертый протон, удерживаемый 25-электроном, может свободно двигаться на поверхности сферы, в центре которой находится атом углерода. Но такое положение будет иметь место в том воображаемом случае, когда между протонами нет отталкивания. Если же еще учесть отталкивание, то протоны сместятся так, что углы между линиями С—Н будут приближаться к тетраэдрическим. В этой гипотезе остается, однако, необъяснимым, почему же четыре связи в метане и его аналогах равноценны, тогда как согласно формуле 25 2р одна связь все же должна отличаться от трех других. Кроме того, если принять отталкивание между атомами, присоединенными к углероду, в качестве основной причины для образования углеродного тетраэдра, то остается непонятным, почему строение аммиака не плоское, почему строение воды не линейное и т.д. Впоследствии было показано [2], что энергия отталкивания вносит несущественный вклад в стабилизацию тетраэдрического расположения связей атома углерода в метане. [c.210]

Рассмотрим для начала систему, состоящую из двух электронов. Допустим, что в некоторый момент времени координаты этих электронов заданы точно и мы можем сказать, что, скажем, в окрестности точки (х1, У , находится первый электрон, а в окрестности точки (хг, У2, 22)-второй. В то же время, согласно соотношению неопределенностей Гейзенберга, мы ничего не можем сказать об импульсах того и другого электрона в момент г . Последнее означает, что электроны могут двигаться с любыми скоростями и в любых направлениях. Но тогда, по прошествии некоторого времени мы сможем найти их в любом месте пространства, т.е. области локализации электронов перекрываются. На рис. 16 условно показано расплывание волновой функции электронов. Заштрихованная область отвечает ббльшей вероятности нахождения в ней одного из электронов. Естественно, обнаружив электрон в этой области, мы никаким способом не сможем установить, какой же это электрон- или 2 . Таким образом, в квантовой механике нельзя указать, в каком месте пространства в данный момент времени находится каждый из электронов У-электрон-ной системы. Одинаковость микрочастиц в квантовой механике имеет, как мы видим, гораздо более глубокую [c.67]

В разд. 2.11 было показано, что полная электронная волновая функция молекулы должна согласовываться с симметрией ядерного остова, в поле которого двигаются электроны. [c.163]

Рассмотрим молекулу, ядерный остов которой обладает некоторым элементом симметрии, которому соответствует оператор 8. Это значит, что оператор 5 оставляет неизменным поле ядер, в котором двигаются электроны. Как было показано, если 8 является операцией д-кратной симметрии, волновая функция Ч должна быть такой, что [c.164]

Эту задачу можно упростить, воспользовавшись тем, что молекулы такого типа обладают аксиальной симметрией. Создаваемое ядрами поле, в котором двигаются электроны, остается неизменным при вращении вокруг линии, соединяющей оба ядра. Угловой момент электронов относительно этой оси должен быть постоянной движения в классической механике, поскольку силы, действующие. между электронами и ядрами, не могут изменить эту компоненту их полного углового момента. Обозначим эту ось 2, тогда волновая функция молекулы должна быть собственной функцией оператора М . Как было показано в разд. 4.5, в орбитальном пред ста вл ении это должно быть справедливо и для отдельных орбиталей. Если перейти к сферическим координатам, где в качестве полярной оси выбрана ось I, то каждая МО фр должна иметь вид [c.168]

Со. Наиболее вероятное расстояние электрона от ядра в точности равно воровскому радиусу Оо но электрон не ограничен только этим расстоянием. Скорость электрона также непостоянна. Она может быть изображена функцией распределения, причем корень из среднего квадрата скорости й точности равен боровскому значению Уо. Можно описать атом водорода в основном состоянии, сказав, рис. 2. Волновая функция фх , ее квад-что электрон двигается пат и радиальная функция распределе-около ядра с переменной я вероятности для атома [c.23]

Найдите волновые функции и уровни энергии трехмерного изотропного гармонического осциллятора, т. е. частицы, которая может двигаться около начала координат с потенциальной энергией V--кг- 2, где г —расстояние частицы от начала. (Указание положить г — 2 и разделить переменные в получающ,емся уравнении Шредингера.) [c.158]

Давая возможность электрону двигаться вблизи от обоих ядер, мы, очевидно, воспроизвели ту характеристику истинной волновой функции, которая существенна для образования устойчивой молекулы. Возможность движения от одного ядра к другому приводит к увеличению интеграла в выражении для энергии, и поэтому этот интеграл называется обменным интегралом. Именно этот интеграл приводит к стабилизации молекулы в произведенном нами выше расчете. [c.289]

Предположим, что заряженная частица массы М может двигаться только в одном направлении на конце пружины с силовой постоянной К. Как мы видели гл. 5 уравнение (Д-26)], нормированные волновые функции имеют вид [c.497]

Квантование вращательного движения. Теперь следует обратить внимание на волновые функции и квантование другой в высокой степени идеализированной механической системы. Предположим, что тело с массой т присоединено к стержню, имеющему ничтожную массу, заставляющему тело двигаться по окружности с радиусом г вокруг неподвижной точки. Положение тела описывается углом х, образуемым стержнем с фиксированным направлением в плоскости окружности, по которой движется эта масса (см. рис. 11). Так как эта переменная полностью описывает положение системы, последняя является системой с одной степенью свободы, требующей для определения состояния ее движения только одного квантового условия. Если тело приведено в движение, то оно будет продолжать двигаться с постоянной угловой скоростью. Поэтому возможно составить выражение для волновой функции, подобное уравнению (1), но включающее угол вместо расстояния х. Таким образом, мы пишем [c.54]

Другой интересный вопрос о свойствах ядерной материи связан с движением нейтронов и протонов говоря на языке квантовой механики, можно задать вопрос какова должна быть волновая функция (функция координат всех составляющих ядро нуклонов), описывающая ядерное вещество Своеобразная эффективная слабость ядерных сил, о которой уже говорилось в разделе А, вместе с принципом Паули дает неожиданный и простой приближенный ответ на этот вопрос нуклоны движутся в ядерном веществе почти как свободные частицы их движение подвержено лишь слабым возмущениям из-за столкновений с другими нуклонами. С хорошей точностью это эквивалентно в первом приближении тому, что волновая функция ядерного вещества представляет собой антисимметризованное произведение волновых функций свободных частиц, описывающих каждый из квазисвободных нуклонов ядра. Соударения нуклонов между собой в значительной мере подавлены, поскольку они будут эффективны лишь в том случае, если сталкивающиеся нуклоны передают друг другу некоторый импульс, но все состояния с малыми импульсами уже заняты другими нуклонами, и поэтому принцип Паули запрещает такую передачу. Влияние принципа Паули уменьшилось бы, если бы межнуклонные силы были достаточно велики. Например, атомы дейтерия, которые также должны подчиняться принципу Паули, при низких температурах уже не будут двигаться как свободные частицы они будут спариваться и образовывать молекулы Вг это демонстрирует эффективную силу химической связи по сравнению с ядерными силами. [c.279]

Электрон в атоме может двигаться в любых направлениях. Поэтому электронная волна описывается волновой функцией ф(х, у, г) от трех координат X, у, г. [c.144]

Рассмотрим для начала систему, состоящую из двух электронов. Допустим, что в некоторый момент времени /о координаты этих электронов заданы точно и мы можем сказать, что, скажем, в окрестности точки х, уиг ) находится первый электрон, а в окрестности точки Х2, г/2, 22) — второй. В то же время, согласно соотношению неопределенностей Гейзенберга, мы ничего не можем сказать об импульсах того и другого электрона в момент to. Последнее означает, что электроны могут двигаться с любыми скоростями и в любых направлениях. Но тогда, по прошествии некоторого времени мы сможем найти их в любом месте пространства, т. е. области локализации электронов перекрываются. На рис. 16 условно показано расплывание волновой функции электронов. Заштрихо ванная область отвечает большей вероятности нахождения в ней любого из электронов. Естественно, обнаружив электрон в этой области, мы никаким способом не сможем установить, какой же это электрон — 1 или 2 . Таким образом, в квантовой механике нельзя указать, в каком месте пространства в данный момент времени находится каждый из электронов Л -электронной системы. Одинаковость микрочастиц в квантовой механике имеет, как мы видим, гораздо более глубокую природу, чем одинаковость классических частиц. В классической механике всегда можно (по крайней мере в принципе ) определить индивидуальную траекторию каждого из множества одинаковых объектов (например, бильярдных шаров), для чего достаточно либо как-то эти объекты пометить, либо внимательно следить за движением каждого из них. Достаточно наглядным примером может служить наблюдение за полетом нескольких мух. Стоит немного отвлечься, потерять траектории их движения, и [c.61]

Средняя кинетическая энергия электрона Т возрастает при образовании молекулы. В наглядном классическом представлении электрон должен двигаться в мле дв ядер быстрее, чем в атоме. Но средняя потенциальная энергия и =—2Тсильно понижается р льтате притяжения к двум ядрам. Общее понижение энергии Е=и- -Т есть, таким образом, результат преобладающего понижения потенциальной энергии электрона. Поэтому система из двух ядер и электрона оказывается более устойчивой, чем система разъединенных ядер, иными словами, благодаря понижению потенциальной энергии электрона возникает химическая связь. Характерной ее особенностью является коллективизирование электрона всеми (здесь двумя) ядрами молекулы. Такая связь называется к о-в а л е н т н о к или чисто коаалентной, как в молекуле Н , где яд )а одинаковы это означает, что оба ядра молекулы владеют электроном в равной мере. Общее электронное облако обтекает оба ядра. По свойствам симметрии электронного облака образовавшаяся связь называется ст-связью. В основе химической (ковалентной) связи лежат волновые свойства электронов, отражаемые квантовой механикой. В рамках принятого здесь для волновой функции приближения МО ЛКАО в этом можно убедиться при анализе роли кулоновского и обменного интегралов в формуле (26.19). Упростим формулу, пренебрегая величиной 5" по сравнению с единицей. Тогда [c.101]

Если в первом возбужденном состоянии электрон локализован вблизи положительной дырки, так что электрон и дырка не могут двигаться независимо, то фотопроводимость не возникнет. Такое физическое образование сходно с атомом водорода, в котором электрон связан с положительно заряженным центральным ядром. Этот электрон будет поэтому характеризоваться волновой функцией г )(г), сходной с волновой функцией атома водорода, и первое возбужденное состояние (т. е. наинизший возбужденный уровень) должно иметь 5-симметрию. Положительная дырка и возбужденный электрон могут двигаться по решетке как одно целое (экситон по Френкелю [17]). Ваннье [18] показал, как можно на основе этой модели приближенно определить волновые функции и энергетические уровни экситона. [c.88]

Если бы ядра двигались бесконечно медленно, то волновая функция в точке пересечения представляла бы собой смесь и г )г в отношении 1 1. Вероятность нахождения на каждой из поверхностей должна была бы быть равной /г- Поскольку синглетный метилен живет достаточно долго, система должна вести себя неадиабатически и оставаться на поверхности синглетного состояния. Экспериментально обнаружено, что синглет-триплетное пересечение для СНг индуцируют лишь его столкновения с другими молекулами [17]. [c.505]

Химическая связь, как показали в свое время на примере молекулы водорода Гейтлер и Лондон, образуется за счет увеличения (но сравнению с невзаимодействующими атомами водорода, находянщмися на том же расстоянии, что и в молекуле) электронной плотности между атомами. Это увеличение в расчетах по методу МО учитывается с помощью так называемых интегралов перекрывания. Электроны в основном состоянии молекулы занимают орбитали с наи-низшей энергией. На каждой орбитали может находиться по два электрона с нротивополоншыми спинами. Здесь к этой общеизвестной школьной модели добавляется одна тонкость. Вследствие электростатического взаимодействия электроны отталкиваются, в результате чего даже два электрона, находящиеся на одной и той же молекулярной орбитали, имеют тенденцию двигаться по возможности на большем удалении друг от друга. Решение уравнения Шредингера для атома водорода облегчается тем, что единственный электрон 1 этого атома обладает сферической симметрией. В атоме гелия атомная орбиталь вследствие взаимного отталкивания двух электронов 1 уже не обладает сферической симметрией, и с этим связаны трудности в расчетах распределения электронной плотности в атоме гелия. Энергия корреляции движения электронов может достигать примерно 20% общей электронной энергии молекулы и в расчетах учитывается с помощью интегралов электрошого отталкивания . Кроме того, в молекуле существует еще конфигурационное взаимодействие — взаимодействие между самими молекулярными орбиталями. Волновая функция, учитывающая конфигурационное взаимодействие, аналогична по своей записи уравнению для волновой функции, приведенному в 1 этой главы, однако вместо <рг волновых функций атомных орбиталей в ее выражение входят Ф, — волновые функции атомных или молекулярных конфигураций . Под конфигурацией понимается способ распределения электронов по атомным (в атоме) или молекулярным орбиталям (в молекуле). Поясним это понятие на простом примере атома лития, имеющего 1 и электрона. В зависимости от того, находится ли атом в основном или в возбужденном состоянии, электроны по-разному располагаются на двух орбиталях 1 22х и 1 2 2. Таким образом, полная волновая функция, учитывающая конфигурационное взаимодействие, для атома лития будет иметь вид [c.91]

Таким образом, операция симметрии оставляет общее распределение электронной плотности неизменным. В представлении Хартри — Фока каждый электрон двигается в поле, которое складывается из притяжения к ядрам и среднего отталкивания 01 всех электронов системы. Уравнение (4.62) показывает, что усредненное поле всего электронного облака имеет такую же симметрию, как и поле, создаваемое ядрами. В соответствии с этим гальмитониан Хартри — Фока инвариантен относительно операции симметрии 8 его собственные функции, т. е. отдельные хартри-фоковские орбитали фр., также должны подчиняться тем же соотношениям симметрии, которые справедливы для полной электронной волновой функции [c.164]

Несмотря на сходство волновых функций обеих систем, расположение уровней эиергии совершенно различно. Во-первых, уровни энергии частицы в сферической по-. юсти никогда не сходятся к предельному значению. Еще более разительным является полное отсутствие вырождения между состояниями с одинаковым числом узловых по-иерхностей (т. е. с одинаковым главным квантовым числом ). Таким образом, если рас-ио. ожить уровни энергии частицы в сферической полости в порядке возрастания энергий, мы получим последовательность Ь, 2р, Зй, 2 , 4/, Зр, 5 -, 4с1, 6/г, Зз, 5f, И. .. которая вообще отличается от порядка, найденного в случае атома водорода. Физической причиной этого является то, что в сферической полости частица может иметь большую длину волны де Бройля (н, следовате.чыю, меньшую кинетическую энергию), когда она двигается вблизи границы полости, а не пересекает полость назад и вперед по кратчайшему иути, проходящему вблизи от центра. Это приводит к стабилизации состояний с большим угловым моментом. С другой стороны, в атоме водорода кулоновское притяжение к ядру стабилизует орбиты, проходяихие вблизи от ядра, и мы получим порядок стабильности 1х (2я, 2р), (Зв, Зр, Зф и т. д. Тенденция энергетических уровней атома водорода группироваться таким образом, а не в порядке, найденном для сферического ящика, при-иодит к химическим следствиям первостепенного значения. [c.171]

I) Спектр полисное и модель молекулярных орбит спободного электрона. Независимо Бейлисс [19], Кун [20 и Симпсон [21 ] успешно применили к интерпретации спектров некоторых полиенов исключительно простую и привлекательную форму метода молекулярных орбит. Они предполагают, что я-электроны протяженной сопряженной цепи двигаются вдоль этой цепи, находясь в приблизительно постоянном потенциальном поле, и поэтому их молекулярные орбиты по своей зависимости от положения вдоль цепи сходны с орбитами одномерного электронного газа. (Это упрощающее предположение делали ранее Полинг [22], Лонсдейл (231 и Шмидт [241 при рассмотрении волновых функций электронов в ароматических углеводородах.) Скелет (А) содержит 2к- -2) я-электронов (два в каждой двойной связи- -два у нейтрального атома азота), которые должны занять первые (М + 1) молекулярных орбит [c.511]

Платт (1949) развил теорию для. молекул полиаценового типа, в которой принимал, что в первом приближении ароматические молекулы можно считать кольцевыми. При этом электроны способны двигаться по периметру кольца. Здесь исчезает приближение, относящееся к длине электронного пробега. Длина пути — это окружность кольца. Требуется лишь граничное условие непрерывности волновой функции. Для задачи такого типа волновые функции также хорошо известны и имеют вид [c.189]

Электроны на орбитали i )a двигаются в среднем дальше от любого из ядер, чем в изолированных атомах. Следовательно, система из отд ельных атомов находится в более выгодном энергетическом состоянии, чем те же атомы в молекуле. Взаимодействие электронов на орбитали фа приводит к отталкиванию атомов. Поэтому молекулярная орбиталь (или волновая функция) фа называется разрыхляющей или антисвязывающей орбиталью. Индекс а (первая буква английского слова antiboiv ding) функции фа означает отталкивание. [c.183]

Чтобы понять, как это происходит, вернемся к основному в теории сверхпроводимости представлению о коррелированном движении куперовских пар с одинаковыми фазами волновых функций. В джозеф-соновском контакте два сверхпроводника находятся так близко друг к другу, что из-за туннелирования устанавливается определенная разность фаз между волновыми функциями пар по разные стороны контакта. Джозефсон предсказал, что в этом случае пары будут двигаться преимущественно в одном направлении, так чтобы пара, преодолев диэлектрический барьер, оказалась на другой его стороне в фазе, соответствующей фазе пар в этой области. Переходов в обратном направлении, вообще говоря, не будет, поскольку при этом не возникает равенства фаз туннелирующих пар и пар в сверхпроводнике за барьером. Таким образом, ток через контакт оказывается зависящим от разности фаз волновых функций куперовских пар в сверхпроводниках по разные его стороны. [c.151]

При расчете атомных волновых функций по методу самосогласованного поля многоэлектронная задача сводится к эффек-тивной одноэлектронной. Волновая функция оптического электрона определяется так, как если бы он двигался в поле ядра и атомного остатка. Берсукер [1] обратил внимание на то, что йри вычислении вероятностей перехода оптического электрона Х10 этому способу надо считать, что иа электрон действует поле, искаженное остовом. В работе [I] это искажение учитывалось так, как если бы остов был диэлектрическим шаром, помещенным во внешнее поле. Несмотря на грубость этой модели, она находится в соответствии с основной физической идеей. В работах [2, 3] задача была решена более строгим, квантовомехаин ческим методом в адиабатическом приближений. Мы покажем, что это приближение не является необходимым и что можно получить более общую формулу дисперсионного вида, которая Б предельном случае малых частот переходит в формулы, найденные в работах [2, 3]. [c.260]

Уравнение (1.16) представляет собой линейное волновое уравнение, которое описывает поведение волны, движущейся только в одном измерении. В действительности частица может двигаться, очевидно, в трех измерениях. Уравнение (1.16) можно легко распространить на случай трех измерений заменой переменной у, которая является функцией только х, на функцию зависящую от всех трех пространственных координат. Соответственно й у1йх заменяется на Трехмерное волновое уравнение тогда будет иметь вид [c.15]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология