Замечания о методе решения

Ty)U. Из графиков левой и правой части уравнения (VII.43) видно, что оно может иметь до трех различных решений. В случае эндотермической реакции величина J отрицательна, и потому отрицателен наклон прямых линий. В этом случае решение единственно. Вопрос о числе и характере решений мы еще обсудим при анализе устойчивости стационарного режима здесь же будет полезно сделать ряд замечаний относительно методов решения уравнения (VI 1.43). Это сложное уравнение удобно решать с помощью последовательных приближений. Так как правую часть уравнения трудно разрешить относительно Т, мы можем высказать некоторое предположение [c.163]

Общие замечания. Порядок решения системы линейных уравнений методом итераций включает последовательность следуюш,их этапов. [c.262]

В противоположность методам поиска экстремума, которые были развиты эмпирически, методы нелинейного программирования имеют более основательную теоретическую базу. Поэтому они избавляют нас от множества математических трудностей, которые в методах поиска экстремума просто игнорируются. Хотя это и иллюстрирует замечания, которые мы сделали ранее, возможно, что нелинейное программирование вызовет к жизни в будущем более эффективные методы решения. Необходимость в таких методах связана с тем, что в настоящее время существуют нерешенные задачи, лежащие между очень объемными задачами, которые относятся к методам поиска экстремума (обычно менее 20 переменных), и задачами, которые относятся к методу линейного программирования (несколько сотен переменных). [c.147]

Проблемы экономики минеральных удобрений многогранны, а связанные с ними задачи во многих случаях не имеют стандартных решений, кроме того, выбор метода решения не всегда очевиден. Поэтому необходимо не только знать методику решения тех или иных конкретных задач, НОИ — в первую очередь — выработать принципиальную схему подхода, которая может помочь выбрать правильный метод решения или указать на целесообразность уточнения существующих методик. В этой связи полезно высказать несколько общих замечаний. [c.266]

Это же, чрезвычайно справедливое, замечание Ламе позволяет утверждать, что для случая нескольких внутренних труб решить поставленную задачу точно невозможно. Однако неприступность этой последней задачи и сложность как решения, так и окончательных формул точного решения задачи с одной эксцентрично расположенной трубкой, побудили нас искать приближенного метода решения задачи. Проф. Л. С. Лейбензоном был нам указан очень плодотворный метод, которым он пользовался в своей диссертации [6] и который мы применили для приближенного способа решения задачи. Этот метод дал (с ошибкой, не превышающей 1,25%, при отношении радиусов внутренней трубы к внешней не большем 0,1) чрезвычайно простое решение 3aj дачи для случая одной внутренней эксцентрично расположенной трубы и для любого числа трубок, расположенных симметрично по кольцу, концентричному внешней трубе. Кроме того, этот метод допускает обобщение на случай любого числа любым образом расположенных внутренних трубок, и с помощью его мы получаем ясное представление о физической картине явления, что, если принять во внимание отсутствие какого бы то пи было решения этого вопроса, дает право признать этот метод, несмотря на ряд недостатков, очень полезным. i [c.7]

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ПОВОДУ МЕТОДА РЕШЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ [c.235]

Замечание 1. Как выбирать параметр ветвления Здесь могут быть приняты во внимание различные соображения. Можно, например, выбирать то afj, которое наиболее близко к 0,5, поскольку его округление может дать большую ошибку. Можно-выбирать то afj, по которому наблюдается наибольшая чувствительность критерия оптимальности, так как вероятно ожидать, что при этом разность между оценками двух множеств, полученных после ветвления на основе параметра afj, будет наибольшей. А это очень важно в методе ветвей и границ , поскольку чем больше разница между оценками двух множеств, тем больше вероятность, что оптимальное решение является элементом множества, имеющего наименьшую оценку. [c.253]

Замечание 3. Процедура ветвления в методе ветвей и границ не гарантирует точного выбора множества, в котором находится оптимальное решение. Действительно, пусть для двух множеств Gf (i = 1, 2) получены оценки (t = 1, 2) и пусть [c.253]

Ф (х, к), даст в качестве решения точки х, которым в пространстве Z соответствуют точки / или 2 [(f (х) Ф О ], в то время как действительному решению соответствует точка z. Снять требование выпуклости множества Л удается при использовании, так называемой модифицированной функции Лагранжа, к рассмотрению которой мы обратимся в конце этого раздела. Второе замечание связано с выполнением некоторой процедуры минимизации функции Ф (х, Afe) на шаге 2 алгоритма метода множителей. Применяемые для этой цели алгоритмы носят, как правило, локальный характер. В этой ситуации метод множителей может привести к локальному решению х исходной задачи, либо вовсе не дать решения. [c.113]

В химической термодинамике основные законы изучаются в приложении к химическим и физико-химическим явлениям. На основе знания этих законов, не прибегая к опыту, решаются задачи по определению условий, при которых данный процесс может быть реализован практически в желаемом направлении и с наибольшим выходом продуктов. Для решения таких вопросов термодинамическим методом необходимо знать только начальное состояние системы и те внешние условия, в которых она находится. Это позволило установить законы многих химических реакций и реализовать реакции в технологии раньше, чем стал известен их механизм. В этом состоит преимущество и вместе с тем некоторая ограниченность термодинамического метода. Обычно в науке и технологии бывает важно не только определить условия, при которых тот илн иной процесс становится возможным, но и иметь достаточно полные данные о механизме и скорости процессов с тем, чтобы научиться ими управлять. Это замечание ни в какой степени не умаляет значения термодинамического метода в науке, роль которого трудно переоценить. [c.78]

Замечание. Рассматриваемая здесь задача в книге [20, с. 282] решается иначе, а именно путем исследования точки перегиба кинетической кривой, являющейся решением обыкновенного дифференциального уравнения. Однако такой метод применяют в том случае, когда требуется установить момент времени, после которого начинается спад скорости образования продукта реакции, или когда требуется найти константу скорости реакции к, или когда [В]о нельзя считать малым по сравнению с [Л]о. Во всех этих случаях необходимо, чтобы функция, описывающая изучаемый процесс, содержала явно время Уравнение кинетической кривой как раз и является такой функцией. [c.36]

Обычно при ретросинтетическом анализе ациклических систем не возникает необходимости в выработке специальных стратегических концепций, поскольку такой анализ чаще всего основывается на простых соображениях, вытекающих из картины расположения функциональных групп и простых заместителей ( привесков ). При этом разборка целевой молекулы состоит в прямолинейных решениях, непосредственно диктуемых имеющимися методами построения связей С-С, Мы уже рассматривали стратегические возможности различных методов такого рода (разд. 2.1,4), так что здесь можно ограничиться лишь несколькими дополнительными замечаниями. [c.310]

Сравнение значений Ф, полученных из точного решения и методом локального потенциала (табл. 10.1), указывает на очень быструю сходимость в области, гораздо более широкой, чем следует из условий (10.46) и (10.47). Результаты, полученные методом локального потенциала, соответствуют первому приближению, т. е. одному члену в системе (10.25). Учитывая замечание относительно равенства (10.17), можно доказать, чго условия сходимости (10.46) и (10,47) справедливы и без ограничений (10.38) и (10.39) на величины отклонений 0 и е [58]. Как и в классическом методе, здесь труднее всего доказать полноту системы функций ерь- [c.138]

Необходимо также сделать несколько замечаний по поводу численного решения задач свободной конвекции в полостях. Как показывает анализ литературы, в указанных задачах широко применяются конечно-разностные методы. При этом в случае двумерных течений часто используется уравнение вихря, получаемое путем взятия операции ротора от уравнения количества движения (при этом исчезает член, связанный с давлением). Обычно это уравнение рассматривается в сочетании с функцией тока, которая удовлетворяет уравнению неразрывности, и с уравнением энергии. Такой подход нередко называется приближением в переменных вихрь — функция тока . В случае трехмерных течений определяющие уравнения, которые связывают скорость, давление и температуру (так называемые основные переменные), обычно решаются непосредственно, причем более легко, чем уравнения, записанные в переменных вихрь — функция тока . Подробное изложение этих методов имеется в ряде монографий [128, 203, 230]. В данной главе обсуждаются результаты, полученные с помощью обоих упомянутых подходов. [c.239]

Необходимо сделать несколько замечаний по содержанию книги. Значительно расширен раздел теплопроводности, в котором много внимания уделяется оребрению поверхностей нагрева, что имеет большое значение для авиационной техники. Удачно изложен раздел о периодическом ста ционарном состоянии тела, где рассмотрено распространение температурных волн в полуограниченной среде при наличии п-гармоник. Дано решение ряда задач с подвижными источниками тепла. Все решения задач теплопроводности получены методом- разделения переменных, что иногда излишне обременяет излагаемый материал математическими преобразованиями. Эти решения можно было бы получить быстрее и проще, используя операционные методы и методы интегральных преобразований. [c.4]

Для 60-х г. методическое решение разработанной таким образом программы было достаточно прогрессивно, так как она вводила учащихся в круг химических понятий постепенно, переходя от теории к теории. Индуктивный подход обеспечивал сначала накопление фактов, способствовал неформальному усвоению материала. Периодические обобщения позволяли постепенно переходить к дедукции. По мере изучения теорий у учащихся развивались умения строить прогнозы. Замечания нетерпеливых критиков сводились в основном к недостаточному углублению содержания, неполному отражению в нем современных достижений химической науки. Вероятно, поэтому такой методический подход оказался жизнеспособным и перестройка курса в настоящее время ограничивается введением некоторых дополнительных тем. Например, вводится дополнительная тема Химическая реакция . Некоторые программы выделяют в качестве специального раздела химический язык, методы химии, энергетику химических реакций, исторические сведения, дополнительно вводят законы и другие углубляющие содержание сведения, но стержень при этом остается. Этот стержень — изучение вещества. [c.34]

Последнее замечание будет менее удивительным, если рассмотреть следующий пример. Предположим, что процесс в ректификационной колонне медленно приближается к равновесному состоянию и изменен состав только на одной тарелке. Состав на этой тарелке будет быстро восстанавливаться без внесения значительных возмущений в остальную часть колонны (фиг. 7.18). Если будем вычислять решение методом Эйлера, согласно которому экстраполяция ведется по касательной, то будем двигаться по линии 6/ и при интервале к система уравнений в конечных разностях приводит к расходящемуся решению. [c.229]

Автор считает своим долгом отметить, что он стремился не только дать критический обзор разделов науки, касающихся рассматриваемых в книге проблем, но и показать химику-органику, как пользоваться новыми методами для решения различных конкретных примеров. Имея это в виду, он пытался свести наиболее надежную часть этих успехов теории к ряду рабочих правил, названных им основными положениями . Последние расположены в качестве заключительных замечаний по всей книге и пронумерованы таким образом, чтобы, пользуясь ими в дальнейшем, можно было называть их просто по номерам. Для большего удобства они сведены все вместе в приложении V. [c.14]

Предлагаемая монография является попыткой постановки и решения некоторых из рассмотренных выше задач. Авторы пытались связать аналитические характеристики атомов, ионов и молекул с другими свойствами этих частиц, показать имеющиеся корреляционные закономерности и возможности прогнозирования аналитических свойств на этой основе. Наряду с классическим сероводородным методом аналитических разделений показаны возможности и целесообразность использования других методов. Особое внимание уделено малоиспользуемым до сих пор в качественном анализе методам маскировки ионов, некоторым физическим и физикохимическим методам анализа. Это первая попытка создания теории качественного анализа подобной структуры, и поэтому любые критические замечания читателей будут приняты с благодарностью. [c.8]

Сделаем несколько общих замечаний относительно сравнения методов решения оптимальных задач, основанных на принципе максимума, с методами первого порядка. В главе I отмечались пункты, по которым целесообразно производить сравнение методов (см. стр. 39). С точки зрения быстродействия все преимущества на стороне методов, основанных на принципе максимума, так как эти методы являются методами второго порядка, обладающими квадратичной сходимостью. Выше был рассмотрен пример определения оптимальной температурной последовательности для последовательной реакции (см. стр. 171). Решение задачи с помощью метода квази-пинеаризации потребовало трех-четырех итераций, а с помощью метода градиента — 49 итераций (см. стр. 173). [c.255]

Ответ докладчика. Замечания д-ра ван Гейнингена сводятся к критике неоправданного, быть может, исключения некоторых более старых скважин из расчета и завышения расчетной величины среднего давления в результате такого метода решения нами рассмотренной задачи. С этими двумя замечаниями, пожалуй, следует согласиться. Приведу объяснение причин исключения столь большого количества скважин из анализа. Это определилось финансовой стороной дела, так как полное обследование всех без исключения скважин обошлось бы в очень большую сумму денег. Между тем. делая свой первый опыт, я ие считал оправданным получение экстремальных отрезков кривой восстановления давления. [c.94]

Задача о распаде произвольного разрыва послужила основой создания оригинального численного метода решения нестационарных задач газовой дпнамики. Аналогичная задача во взаимодехютвии двух ст ационарных сверхзвуковых потоков послужила основой для создания численного метода расчета стационарных плоских осесимметричных и пространственных сверхзвуковых течений [37]. Волновые конфигурации, возникающие нри взаимодействии сверхзвуковых потоков, аналогичны соответствующим конфигурациям нри нестационарном течении. Отличие состоит в том, что при расчете задачи о взаимодействии двух сверхзвуковых потоков параметры в волне разрежения связаны соотношениями Прандтля — Мейера (1.151), а не инвариантами Римана. Мы ограничимся здесь этими краткими замечаниями. В дальнейшем прп изложении мето<дов сквозного счета будут приведены расчетные формулы. [c.58]

Случай, когда градиент давления неизвестен. Все алгебраические преобразования до сих пор делались с одним намерением свести вместе группы условных обозначений, поддающиеся вычислению через известные величины, сохраняя в качестве неизвестных в уравнении величины Ф лри х=хп. Таким образом, коэффициенты Ф, Л, В, С могут быть известны до получения значений при х = хв- Это замечание, однако, нельзя отнести к величинам Аи, Ви, Си, если неизвестен градиент давления с1р1с1х. В случае ограниченного течения величину ёр/ёх заранее дать невозможно. Поэтому алгебраическими преобразованиями приходится выделять йр/йх как неизвестную величину, и тогда метод решения конечно-разностных уравнений будет несколько другим. Мы не станем обсуждать его здесь, поскольку метод решения в общих чертах описан в работе [Л. 79], в настоящее время разрабатываются и другие методы. [c.47]

Замечание. Методы минимизации второго порядка (ньютоновского типа) непригодны для рассматриваемой итерационной регуляризации. Это объясняется тем, что в линейном случае они сводятся к непосредственному обращению оператора А исходной обратной задачи Аи = /, а в нелинейном случае требуется обращение производной этого оператора. В то же время оператор А и его производная не являются непрерывными, что исключает такую операцию. Поэтому методы ньютоновского типа могут применяться только при использовании шаговой регуляризации решения или для минимизации сглаживающего функционала при вариационном методе построения регуляризирующего алгоритма. [c.122]

Заключительные замечания. Проведенное исследование управления для двухфазной модели процесса в псевдоожиженном слое, состоящей из гиперболической системы уравнений первого порядка с двумя независимыми переменными, подтвердило, что выбранная форма обратной связи в виде функционала от решения с соответствующим образом подобранными интегральными ядрами обеспечивает стабилизацию пеустойчт1вого решения. Наряду с этим, если, например, запас устойчнвостп для стационарного режима недостаточен для уверенного ведения процесса, то данный метод управления позволяет увеличить запас устойчивости введением обратной связи и расширить область допустимых возмущений, при которых система не переходит в другой стационарный режим. [c.126]

О последнем преимуществе квазихимического метода следует сделать несколько замечаний. Хотя газ, состоящий из атомов водорода, в обычных условиях можно описать непосредственно вириальным уравнением состояния, гораздо проще признать образование молекул. Если этого не сделать с самого начала решения задачи, то предварительно придется решать задачу молекулярной структуры, а затем механико-статистическую задачу. Это плохая стратегия, ибо она приводит к решению простой задачи через решение сложной задачи. В качестве примера рассмотрим предельный случай — уравнение состояния смеси N протонов и N электронов в обычных условиях. Это очень трудоемкая механико-статистическая задача, и может показаться, что вириальные коэффициенты будут расходиться из-за дальнодейст-вующих кулоповских сил. Однако если с самого начала использовать некоторые физические данные и принять, что электроны и протоны даже при достаточно высоких температурах образуют бинарные группы (атомы Н), а при более низких температурах—более сложные группы (молекулы Нг), то задача становится более простой и определенной. Невозможность принять точку зрения химической ассоциации должна привести к решению сложных проблем атомной и молекулярной структуры перед решением гораздо более легкой проблемы — уравнения состояния разреженного газа. Правда, эту задачу можно решить начиная с электронов и протонов и вывести соответствующие формальные выражения [77], однако для обычного атомарного или молекулярного газа это был бы слишком далекий обходной путь. [c.67]

Необходимо сделать замечание относительно степени строгости изложения. Математические методы и аппарат кинетктки являются своеобразной частью математической физики. Уже поэтому возникают проблемы обоснования этих методов, рассмотрения существования и единственности решений систем нелинейных дифференциальных уравнений химической кинетики и связанных с ними вопросов об устойчивости решений. В нашей книге эти вопросы только намечены и по-настоящему не рассмотрены. Обоснование многих из описываемых методов читатель может найти в [32]. Мы адресуемся в основном к тем физико-химикам, которые активно используют в своей работе математический аппарат и вычислительные методы химической кинетики. [c.3]

Теперь уместно рассмотреть величины, используемые в трех методах (табл. 6.1) и сделать общие замечания по поводу их значения в разных услових. Например, решение структурной задачи можно облегчить, просто приняв во внимание отсутствие поглощения так, отсутствие поглощения в области выше 210 ммк исключает из рассмотрения сопряженные системы. И действительно, ультрафиолетовые спектры часто используют таким образом, поскольку многие соединения либо только слабо поглощают, либо вовсе не поглощают выше 210 ммк. С другой стороны, сопряженные системы, такие, как полиены или полиины, можно проанализировать этим способом, когда другой метод был бы неприемлем. ЯМР- и ИК-методы оказываются более полезными, так как органические соединения всегда дают эти спектры, а из двух методов для предсказания структуры более пригоден ЯМР. Дальнейшее сравнение указанных методов проведено в табл. 6.2, в которой суммирована способность каждого метода к выявлению обычных функциональных групп, содержащих элементы С, Н, Ы, О. Нецелесообразно подробно обсуждать краткие обобщения, сделанные в этой таблице, но они показывают, как один метод дополняет другой. Наконец, табл. 6.3 поможет читателю найти в книге данные, необходимые при рассмотрении примеров и задач. [c.224]

В этом месте следует, очевидно, сделать замечание о вариационном методе. В большинстве учебников говорится, что метод состоит в минимизации частного (4) по отношению к вариациям г з таким образом, получается наилучшее приближение к решению уравнения Шредингера с наименьшим собственным значением. Такая формулировка приводит к ненужному ограничению применимости метода только к основному состоянию, что может завести нас в тупик, если мы примем ограничение всерьез. Однако в действительности такого ограничения не существует. Рассчитываемые стационарные величины на практике берутся прямо, без проверки того, являются ли они точками максимума, минимума или точками перегиба. Вообще говоря, стационарное значение будет точкой минимума по отноншнию к некоторым вариациям я ), точкой максимума или перегиба по отношению к другим вариациям. [c.144]

Значительную роль в решении проблем эффективного технологического использования топлива, управления и рационального использования топливно-эергетических ресурсов играет и далее будет играть развитие предлагаемых нами методов интегрированного энергетического анализа, сквозного энергетического анализа, методов детализированного математического моделирования процессов тепломассообмена. Все предложения и замечания по улучшению материала книг авторы примут с благодарностью и учтут в дальнейших своих работах и, возможно, при переиздании комплекта данных книг. [c.586]

Для некоторых частных случаев можно попытаться построить удовлетворительные алгоритмы решения задачи первого этапа оперативно-календарного планирования. Если, например, ХТС не содержит блоков полунепрерывного типа, то алгоритм планирования регламентных остановов может быть основан на тех же идеях, что и планирование ремонтов. Для блоков полунепрерывного типа можно попытаться применить методы календарного планирования полунепрерывных производств, используемые, например, в металлургии. Однако это лишь предварительные замечания создание таких методов и алгоритмов требует серьезной научно-исследова-тельской работы. [c.168]

Число работ, посвященных непосредственно расчету камер сгорания, весьма ограничено. Как у нас [3, 4], так и за границей [5, 6], делались попытки создания такого метода расчета. Кратко рассмотрим одну из последних работ [3]. Прежде всего необходимо обратить внимание на то, что в основу этой работы принята чрезвычайно идеализированная схема камеры выгорание потока предварительно перемешанных газов в цилиндрической (без отверстий) трубе при поджигании смеси в одной точке на оси трубы. Несмотря на стремление автора рассмотреть вопрос теоретически, в полной мере сделать это не удалось, так как чисто теоретическое решение вопроса о выгорании газа в камере при турбулентном режиме течения в настоящее время невозможно. Полученная расчетная зависимость по существу основана на опытной величине — пульсационной скорости потока воздуха. Необходимые коэффициенты получены по опытам с камерой сгорания простейшего типа диаметром 150 мм, длиною 720 мм с коническим стабилизатором диаметром 12 мм. Из полученной формулы видно, что турбулентная скорость горения прямо пропорциональна первой степени нормальной скорости распространения пламени и пульсационной скорости в степени 0,6. В расчете использована двумерная схема, что дает возможность вычислить координаты границ факела, а следовательно, — и полноту выгорания в каждой точке. Таким образом, по поводу работы К. П. Власова можно сделать следующие замечания. [c.291]

С точки зрения функционального анализа искомые решения задач теплопроводности можно рассматривать как элемент (вектор) функционального пространства, координатным базисом которого является система собственных функций соответствующей задачи Штурма—Лиувилля. При этом собственные функции не зависят от поведения внутренних и внешних тепловых воздействий, которые проявля-ются через внутренние источники теплоты в самом уравнении теплопроводности и через внешние тепловые воздействия в граничных условиях. По этой же причине температурные поля в твэлах при неоднородных граничных условиях найденные известными классическими методами, ча сто приводят к функциональным рядам, которые плохо схо дятся вблизи границы. Такие замечания к методам приме нения интегральных преобразований в задачах математи ческой физики были высказаны Г. А. Гринбергом [41] а также П. И. Христиченко [128]. Тепловой расчет с по мощью частичной суммы точного решения без дополни тельных исследований может привести к значительным ошибкам, особенно для соответствующих предельных задач. Поэтому определение других базисных координат в функциональном пространстве которых приближенны( решения дают лучшую сходимость, а за переходным режи мом совпадают с точным решением, имеет важное практи ческое значение. Ниже приводится метод оптимального выбора базисных координат при комплексном применени интегральных преобразований и ортогональной проекци к задачам нестационарной теплопроводности в твэлах. [c.130]