Массоперенос и уравнения диффузии

Если внутреннее сопротивление массопереносу определяется диффузией в порах или характеризуется эффективным коэффициентом диффузии в порах, то из уравнений (111.84) и (111.86) следует [c.66]

При анализе нестационарного процесса массопереноса к твердым частицам, движущимся в вязкой жидкости при больших числах Пекле, использованный выше метод вспомогательных функций непосредственно неприменим, поскольку зависимость функции тока вблизи поверхности частицы от поперечной координаты уя е не будет линейной. Однако можно применить общий приближенный метод интегрирования нестационарных уравнений диффузионного пограничного слоя [34], основанный на усреднении исходного уравнения диффузии по поперечной координате. Такой метод оказывается достаточно эффективным для исследования процессов массообмена капель, пузырей и твердых частиц, причем для капель и пузырей (а также для твердых частиц в идеальной жидкости) он сводится к обычному методу вспомогательных функций и обеспечивает точный результат. [c.315]

Свойства жидкости (вязкость и плотность) зависят от концентрации ее компонентов соответственно дифференциальные уравнения диффузии и движения являются взаимозависимыми, что затрудняет их решение. Поэтому всегда допускают, что свойства жидкости постоянны. Путем решения уравнения диффузии в ламинарном потоке при таком допущении удалось получить ценные зависимости для изучения массопереноса в движущейся капле. Некоторые из этих решений будут рассмотрены ниже. [c.189]

Существуют различные модели массопереноса, обзор и критический анализ которых приведен в [124. Эти модели здесь рассматриваться не будут, поскольку для данной задачи есть возможность вывести решение полного уравнения диффузии, а также использовать теорию диффузионного пограничного слоя. Оба подхода не требуют использования дополнительных предположений. [c.72]

Кинетика массопереноса в области 1 л 2 может быть определена на основании точного решения уравнения диффузии. Для области 2< X С 1з профиль скорости известен. Он определяется соотношением (2.103) и позволяет вычислить выражение для [200] [c.95]

В уравнениях (5.11)-(5.13) искомая функция - это нестационарное концентрационное поле целевого компонента в движущейся среде-носителе С(т х, у, г Z) w , w , wj, определяемое значениями независимых переменных % , х, у, г я параметров процесса D Wy, IV,. Значения параметров процесса массопереноса -коэффициента диффузии и проекции скорости потока на декартовы оси координат - должны быть известными. Если компоненты скорости неизвестны, то уравнение (5.12) следует рассматривать совместно с дифференциальным уравнением движения (1.29) вязкой жидкости, при этом уравнение (5.12) невозможно решить в общем виде аналитическими методами. Впрочем, даже при известных и постоянных величинах компонент скорости w , Wy и W, получить аналитические решения дифференциального уравнения в частных производных второго порядка относительно четырех независимых переменных в общем случае также невозможно. [c.350]

Массоперенос и уравнения диффузии [c.12]

В пределах диффузионного слоя массоперенос можно описывать уравнениями диффузии в неподвижной среде [103, 104], в [c.117]

Из существующих моделей и решений задачи массопереноса, лимитируемого диффузией вещества в сплошной фазе, для обработки опытных данных нами были выбраны следующие два уравнения для капель, эквивалентных твердым сферам [3] [c.126]

Чтобы привести уравнение (16.6) к каноническому уравнению нестационарной молекулярной диффузии, авторы разбираемых ниже. моделей произвольно принимают, что элемент жидкости на межфазной поверхносги остается неподвижным в процессе массопереноса, что позволяет записать уравнение (16,6) в виде [c.172]

Массоперенос при больших значениях Ре (метод диффузионного пограничного слоя). При Ре>10 процесс переноса с достаточной для практических целей точностью можно считать установившимся и рассматривать в приближении диффузионного пограничного слоя. Большие значения Ре наиболее характерны для процессов жидкостной экстракции и абсорбции. Это обусловлено весьма малыми значениями коэффициентов диффузии в жидкости для систем жидкость - жидкость или жидкость — газ. Коэффициенты диффузии О в таких системах имеют порядок 10 см /с, и для капель диаметром 2-3 мм значения Ре лежат обычно в интервале 10" -10. В приближении стационарного диффузионного пограничного слоя уравнение (4.42) принимает вид [c.196]

Ранее было получено уравнение (1.18) для коэффициента ускорения массопереноса, при этом предполагалось, что результирующий поток при сопряжении I и независимый поток /, сравниваются при одинаковой движущей силе X, равной разности химических потенциалов газа в напорном и дренажном каналах. Если использовать допущение о локальном равновесии фаз и выразить движущую силу поверхностной диффузии через состояние газовой фазы, то очевидно = Тогда коэффициент ускорения окажется функцией степени сопряжения у. и феноменологической стехиометрии 2 (см. уравнения (1.11)) [c.68]

Коэффициент ускорения массопереноса за счет поверхностной диффузии можно получить, используя обобщенное уравнение (2.66) [c.69]

Уравнения (2.74) и (2.75) удобны для анализа изменения проницаемости мембран различной структуры при различных давлениях газа в порах, соотношение (2.75) позволяет оценить влияние температуры и рода газа на относительную скорость массопереноса, определяемую величиной Ф . Уравнение (2.62) и, следовательно, соотношения (2.73) — (2.74) получены в предположении взаимной независимости потоков массы вследствие кнудсеновской и поверхностной диффузии, поэтому степень сопряжения и=0. Соотношение поверхностного и газового потоков при Х =Х определяется как [c.69]

Таким образом, вторые члены уравнений (2.73) — (2.75) представляют собой отношения коэффициентов проводимости собственно процессов поверхностной и кнудсеновской диффузии 88 и кк, в этом случае коэффициент ускорения массопереноса в мембране есть функция только феноменологической стехиометрии Ф = 1+22 (см. гл. I). [c.69]

В уравнении (2.76) константы аир учитывают взаимное влияние процессов кнудсеновской и поверхностной диффузии [17] следовательно, это модель сопряженного процесса массопереноса. Степень сопряжения двух векторных процессов можно вычислить, приравнивания левые части уравнений (2.72) и [c.69]

Из соотношений (3.45) и (3.46) следует, что по мере роста фкр все большая часть растворенного вещества фиксируется дисперсной фазой и не участвует в массопереносе. Чем выше доля свободного объема в аморфной фазе, тем больше растворимость и диффузия газа в матрице. Для некоторых полимерных материалов значения ф р и f приведены в литературе [6] там же проанализированы особенности диффузии в других полимерных системах, в том числе при высоких значениях фкр. Ограничившись линейной областью изотермы сорбции, можно оценить коэффициент растворимости газа в двухфазной матрице мембраны по уравнению [c.81]

Состояние сплошной движущейся среды описывается системой дифференциальных уравнений (включающей уравнения неразрывности, движения, энергии и диффузии) при определенных начальных и граничных условиях. Для каналов мембранных элементов граничные условия, помимо геометрических факторов, характеризуют входные профили скорости, концентрации и температуры, а также условия массопереноса через мембрану и пористую подложку. Кроме перечисленных соотношений, используют термическое уравнение состояния газовой смеси, а также дополнительные соотношения, позволяющие рассчитать коэффициенты вязкости, теплопроводности и диффузии как функции температуры, давления и состава смеси. [c.121]

Скорость внутреннего массопереноса зависит от скоростей диффузии в порах сорбента, на его внутренней поверхности, в самой твердой фазе (для ионообменных смол), а иногда и от скорости химического взаимодействия с сорбентом. Коэффициент диффузии в порах Лп меньше соответствующего коэффициента диффузии во внешней среде его можно определить из уравнения [251 [c.65]

Расчет экстракционных колонн часто проводят на основе коэффициентов массоотдачи для свободно осаждающихся одиночных капель. Такой метод расчета в наибольшей степени применим к распылитель, ным и тарельчатым колоннам, но на практике используется и для колонн других типов. Коэффициенты массоотдачи как в сплошной, так и в дисперсной фазе зависят от размеров капель. Для мелких капель, ведущих себя подобно жестким сферам, внутри которых массоперенос осуществляется лишь за счет молекулярной диффузии, коэффициенты массоотдачи можно рассчитать по уравнениям [8, 9] [c.140]

Уравнения (1.76)—(1.79) напоминают традиционные уравнения конвективного тепло- и массопереноса, однако существенно отличаются от них по своей структуре. Обычно уравнения конвективного теплопереноса и конвективной многокомпонентной диффузии записываются раздельно по фазам, а перенос тепла и массы через границу раздела фаз учитывается заданием соответствующих граничных условий на межфазной поверхности. Заметим, что постановка такой краевой задачи в условиях дисперсной среды обычно представляет сложную проблему. [c.66]

Перенос вещества из потока газов к внешней поверхности зерен происходит двумя. способами . нормальной (обычной молекулярной) диффузией и конвекцией. Промышленные процессы проводятся в условиях интенсивного движения реагирующего газа при этом в основной части потока нормальная диффузия играет пренебрежимо малую роль, а благодаря конвекции достигается выравнивание состава по сечению аппарата. Вблизи внешней поверхности зерен создается тонкий слой, внутри которого концентрация реагентов меняется от значений в основном потоке Ср до концентраций на внешней поверхности зерен С , определяемой соотношением скоростей тепло- и массопереноса и химической реакции. Эта область называется диффузионным пограничным слоем. Поток вещества сквозь диффузионный пограничный слой сферического зерна катализатора определяется из уравнения [c.53]

При анализе стационарного массопереноса к одиночной сферической частице или от газового пузыря в жидкость рассматривают уравнение конвективной диффузии в сферических координатах [c.39]

Из уравнения (П1.24) следует, что коэффициент массопереноса является функцией коэффициента диффузии, логарифма среднего парциального давления неабсорбирующего компонента и-л — расстояния, на котором проходит абсорбция, т. е. толщины пленки. Со стороны пленки жидкости коэффициент массопереноса может быть записан как [c.107]

Несмотря на то, что теория двух пленок, предложенная Уайтменом— Льюисом, полезна при разработке абсорбционных систем, она заранее предполагает неподвижные пограничные слои и установившийся режим массопереноса, что крайне редко существует в реальных условиях. Так, например, газ стремится разрушить неподвижный слой, и к поверхности жидкости подходит турбулентный поток, тогда как жидкость в поверхностной пленке постоянно заменяется свежей жидкостью снизу. Чтобы исключить проблему диффузии в неустойчивом режиме, в частности, когда взаимодействие газ — жидкость кратковременно, Хигби предложил воображаемую модель, используя уравнение Стефана для молекулярной диффузии в колонне бесконечной высоты. [c.109]

Уравнение (П1.54) показывает зависимость коэффициента массопереноса от скорости газа, а также от свойств газа-носителя и коэффициента диффузии адсорбируемого газа, тогда как коэффициент диффузии в порах [уравнение (1П.55)] является в основном функцией внутренней пористости х и общего коэффициента диффузии. Чтобы определить, какая стадия — первая или вторая — влияет на скорость всего процесса, необходимо знание свойств всей системы, что возможно только в редких случаях. Поэтому практически нельзя избежать эмпирических методов проектирования. Здесь будут рассмотрены наиболее распространенные адсорбенты и газы, для очистки которых они используются, а также типы установок. Адсорбенты могут быть разделены на три группы неполярные твердые вещества, где происходит в основном физическая адсорбция [c.158]

Часто скорость изотермической перегонки лимитируется скоростью диффузионного массопереноса в дисперсионной среде, которая следует закону Фика и зависит в данной среде (постоянный коэффициент диффузии) только от градиента концентраций или давлений (разности химических потенциалов). В свою очередь градиент концентраций (давлений) определяется различием раз- меров частиц, между которыми происходит массоперенос. Рассмотрим эту связь в системе с жидкой дисперсионной средой, в которой частицы разных размеров имеют различную раствори- мость (для газообразных сред соотношения останутся теми же, только вместо концентрации можно использовать давление)., В соответствии с уравнением Кельвина [применительно к растворам его часто называют уравнением Фрейндлиха — Оствальда, см. уравнение (II. 170)] растворимость с (г) связана с размером г сферических частиц следующим соотношением [c.277]

Проблему устойчивости реакторов детально исследовал Баркелью в уравнениях материального и теплового баланса им были приняты следующие упрощения. Тепло- и массоперенос посредством диффузии в продольном направлении считались пренебрежимо малыми по сравнению с конвекцией. Термическое сопротивление слоя в радиальном направлении считалось малым по сравнению с термическим сопротивлением в пространстве между слоем и стенкой реактора. Было принято, что зависимость скорости реакции от концентрации есть функция концентрации только одного компонента. Не учитывалось также сопротивление тепло- и массо-обмену в пространстве между потоком и частицами катализатора. [c.293]

С помощью гидродинамических уравнений, составленных из условий движения жидкости в диффузионных ячейках вбли и плоской поверхности, рассчитывали поле скоростей. Из уравнений диффузии вычисляли градиенты концентрации растворенных веществ, которые пропорциональны изменению поверхностного натяжения. На поверхности раздела происходят одновременно гидродинамический и диффузионный процессы, которые могут контролировать механизм массопереноса. В ряде случаев оба процесса идут в одном направлении, скорости движения частиц складываются, и результирующая скорость значительно возрастает. Такое состояние аналогично нестабильности Бенарда (см. стр. 30), что приводит к турбулентности. [c.64]

Анализ процесса разделения был развит в широко известных работах Бенедикта и Пигфорда [4.1с], Коэна [4.2], Шак-тера и др. [4.3], Грота [4.4], Пратта [4.5], Виллани [4.6], Эвери и Дэвиса [4.7]. Наиболее общепринятый подход состоит в разделении уравнений диффузии и гидродинамики и в приведении уравнения диффузии к виду, стандартному для уравнений дистилляционной колонны (или каскада для разделения изотопов). Далее расчеты разделения проводят в предположении, что три параметра подобия дистилляционной колонны высота единицы переноса, коэффициент массопереноса и величина восходящего (или нисходящего) потока — являются постоянными. Эффект разделения определяется значениями этих параметров, которые в свою очередь очень сильно зависят от гидродинамического профиля циркуляционного течения. Отмечая расхождения в результатах опз бликованных анализов течения и трз дность экспериментального исследования поля скоростей, Оландер в обзорной статье [c.185]

Процессы тепломассоперепоса в аппаратах вынесенного типа с плоской геометрией. за.зора описываются девятью уравнениями, которые включают в себя уравнения теплового баланса и теплоотдачи со стороны циркулирующего электролита и хладоагента, теплового баланса в. за.зоре, уравнение диффузии с учетом потока Стефана в пористой полупроницаемой мембране, массопереноса в газовом зазоре также с учетом потока Стефана и зависимости давления насыщенных паров над водой и раствором электролита. [c.253]

Решение уравнения диффузии (5.2.3.2), полученного на основе закона Фика (5.2.1.1), указывает на бесконечность скорости распространения концентрационных возмущений. Так, в решении задачи диффузии для по-луограниченного тела (5.2.3.3) функция ошибок erJ z) = О при г = О, а при 2 оо асимптотически 1фи-ближается к единице. Это означает, что при малых временах диффузии /, когда аргумент функции ошибок в формуле (5.2.3.3) стремится к бесконечности, концентрация с(х, t) всегда будет меньше Со даже на бесконечно большом расстоянии от границы х. В большинстве диффузионных задач пренебрежение этим фактом практически не сказывается на точности получаемых результатов. Однако существует ряд процессов диффузии, математические модели которых оказываются значительно точнее, если в них учитывается конечность скорости переноса. Прежде всего, это относится к процессам молекулярного массопереноса в твердых телах. К настоящему времени накоплено значительное коли- [c.296]

Формула (4.2.44) аналогична равенствам (4.2.28), (4.2.35), (4.2.39) в (4.2.40). Равенство (4.2.28) характеризует захват примеси при интенсивном массопереносе через террасы и при заметном поверхностном торможении перехода примеси из раствора в кристаллы. Формула (4.2.35) описывает захват при массопереносе через террасы без поверхностного торможения, а формулы (4.2.39) и (4.2.40) — при массопереносе только через торцы ступеней. Поверхностного торможения перехода стронция из раствора в кристаллы не обнаружено при изучении сорбции из насыщенного раствора Ва304. На ранней стадии такой сорбции кинетика перехода примеси в кристаллы описывается уравнением диффузии из поверхностного источника, формирующегося мгновенно, в полубесконечный кристалл (рис. 4.23). При заметном поверхностном торможе-НИИ ранние стадии сорбции были бы замедлены из-за длительного формирования поверхностного источника. Таким образом, сходство соотношений (4.2.28) и (4.2.44) является формальным. Остается решить, какое из соотношений (4.2.35), (4.2.39) и (4.2.40) совпадает с равенством (4.2.44) не только по форме, но и по существу, т. е. зависит ли захват от массопереноса через террасы или же сокристаллизация определяется только взаимодействием стронция с торцами ступеней. Чтобы ответить на этот вопрос, нужно сравнить численные значения коэффициентов уравнений (4.2.35) и (4.2.44). Сопоставляя эти уравнения, получаем (3.йГраЕ т.)/А = 4- 10 см/си = 7-10 сшУс. При таком значении условие -4 = ( // т) при котором применимо равенство (4.2.35), не выполняется при скоростях роста / — 1 10 см/с. Следовательно, сходство формул (4.2.35) и (4.2.44) также не следует принимать во внимание. Таким образом, увеличение коэффициента захвата стронция в интервале скоростей роста кристаллов Ва304 1 10 < / < 1 Ю см/с связано с процессами, протекающими на торцах ступеней. [c.109]

Помимо того, что эти уравнения могут успешно применяться к скорости роста кристаллов в условиях, когда влияние массопереноса путем диффузии очень незначительно, т. е. в быстродвижущемся потоке раствора, работа Картье и др. [751 представляет особый интерес, так как в ней описывается прибор для измерения роста кристаллов. [c.175]

В связи с тем, что до настоящего времени нет надежных расчетных методов определения различных коэффициентов диффузии и относительных интенсивностей процессов переноса за счет механизмов молекулярной, кнудсеновской и поверхностной диффузии для реальных пористых катализаторов, основную роль в теории играют методы, использующие понятие эффективного коэффициента диффузии. Эффективный коэффициент диффузии находится в результате решения обратных задач, т. е. определяется из условия применимости уравнений диффузии и теплопроводности с учетом химических реакций для описания процессов тепло- и массопереноса в пористых катализаторах. В качестве единственного параметра, определяющего массоперенос, коэффициент эффективной диффузии имеет ряд недостатков. Наиболее существенный из них — неоднозначность определения. Так, если провести экспериментальное определение эффективного коэффициента диффузии для одного и того же пористого катализатора, используя различные уравнения переноса, например в одном случае уравнение диффузии без источников, а в другом случае уравнение с источниками, учитывающими хихмические превращения, то чаще всего получаются совершенно различные значения. [c.69]

Альтернативный способ определения скорострг роста состоит в том, чтобы измерить эффективные коэффициенты распределения элемента меледу кристаллом и расплавом, а затем применить уравнение, выведенное Бартоном и др. 1[47]. Эти авторы решили одномерное стационарное уравнение диффузии, выражающее условие сохранения массы растворенного вещества в направлении, перпендикулярном границе кристалл — расплав. Граничные условия решения в жидком слое, непосредственно окружающем кристалл, диффузия представляет единственный процесс массопереноса, в то время как вне этого слоя концентрация элемента в л<идкости сохраняется иа одном и том л е уровне за счет конвективного перемешивания. Окончательный вид этого уравнения следующий [c.207]

На основании пленочной теории, согласно которой имеется линейная зависимость скорости массопередачн от коэффициента молекулярной диффузии, /п = 1. В соответствии же с теорией проникновения, независимо от вида функций распределения возрастов, элементов т — 0,5. Значит, из пенетрационной теории следует, что скорости массопереноса пропорциональны квадратному корню из коэффициента диффузии. Фридландер и Литт [13] при рассмотрении задачи массопереноса от твердой поверхности к ламинарному пограничному слою, при наличии мгновенной реакции, получили уравнение, напоминающее уравнение (5.14). При этом т= /з, чего и следовало ожидать, принимая скорость массопереноса в пограничных слоях пропорциональной величине коэффициента молекулярной диффузии в степени Va- [c.63]

В реакционно-диффузионных мембранах, где возникают, мигрируют и распадаются промежуточные химические соединения, массоперенос описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений, решение которых неоднозначно и сильно зависит от степени неравновесностн системы при этом в результате сопряжения диффузии и химической реакции возможно возникновение новых потоков массы, усиливающих или ослабляющих проницаемость и селективность мембраны по целевому компоненту. При определенных пороговых значениях неравно-весности, в так называемых точках бифуркации, возможна потеря устойчивости системы, развитие диссипативных структур, обладающих элементами самоорганизации. Это характерно для биологических природных мембран, а также для синтезированных полимерных мембранных систем, моделирующих процессы метаболизма [1—4]. [c.16]

Метод математического моделирования эаключается в том, что явления, протекающие в заданном объекте, и их взаимосвязь количественно описываются системой математических уравнений, которая п представляет собою математическую модель объекта. Для каталитических реакторов математическая модель в общем случае должна включать в себя всю систему уравнений кинетики, макрокинетики, гидродинамики и теплообмена, которым посвящены главы I —П1 и VI. Численные значения коэффициентов модели могут меняться при изменении масштаба реактора, но структура модели остается неизменной. Значения коэффициентов модели, таких, как кинетические константы, коэффициенты диффузии и тепло- и массопереноса могут определяться как экспериментальным путем при лабораторных или стендовых исследованиях, так и расчетно-теоретическим путем. При наличии модели и известных значениях коэффициентов с применением ЭВМ могут быть исследованы различные варианты реактора для заданного процесса и проведена его оптимизация. [c.260]

Решая краевую задачу массопереноса с учетом выделения энергии и ее потребления на фазовый переход жидкость—газ и процессов термо-, баро- и концентрационной диффузии, авторы получили уравнение для рокальной концентрации адсорбата в единичном зерне. Графическое отображение профилей массосодержания адсорбата в различные моменты времени показано на рис. 7.9. [c.169]

Основным законом, описывающим все типы контактного теплообмена, является закон теплопроводности Фурье (см. уравнение (4) из 2.1.2). Основным законом п теории массопереноса является закон диффузии Фика, описываемый уравиеиием (5) 2.1.2. Это уравнение, однако, применимо только п том случае, когда коэффициенты диффузии всех компопемтов равны, а полный поток массы [c.88]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология