Средние собственные функции

Функция из (3.57), для которой средняя энергия атома углерода, вычисленная согласно (1.34), имеет наименьшее значение, определяет электронную конфигурацию основного сосгояния. При этом необходимо следить, чтобы исполь емые функции были собственными функциями операторов 8 и (см. разд. 3.6 и 3.7). Расчеты такого типа достаточно трудоемки, однако они выполнены в настоящее время для всех наиболее существенных электронных конфигураций атомов периодической системы, в том числе и для еще не синтезированных сверхтяжелых элементов. Анализ этих результатов позволяет перейти к формулировке квантовых чисел многоэлектронных атомов. [c.75]

Пусть имеется ансамбль систем, описываемых одной и той же волновой функцией. При измерении в нем значения такой величины, которая не является собственной функцией оператора, мы получим разные значения для всех членов ансамбля систем. Нам останется только попробовать вычислить среднее значение этой величины в том смысле, какой придают термину математическое ожидание . [c.38]

Для определения средних значений функцию системы разлагают в ряд по собственным функциям оператора данной величины. Квадраты коэффициентов разложения суть вероятности найти при измерении для данной величины одно из собственных значений оператора этой величины. [c.58]

Расчет Е по выражению, дающему среднее значение, оправдан тем, что, как правило, мы не знаем разложения Е по собственным функциям и вынуждены пользоваться пробными . [c.96]

Решая уравнение Ьг ) = В ф, мы находим собственные функции ( ) и собственные значения оператора (В). Оказывается, что уравнення квантовой механики могут записываться как уравнения классической механики, если заменить величины, фигурирующие в этой механике на операторы. Это положение, описывающее соответствие квантовой и классической механики, позволяет определить операторы для различных физических величин. Определение средних значений физических величин (М) производится на основе использования оператора М, отвечающего этой величине [c.549]

Таким образом, собственные функции эрмитова оператора всегда можно считать взаимно ортогональными, независимо от того, принадлежат ли они разным или одинаковым собственным значениям. Для дискретного спектра они к тому же могут быть выбраны нормированными на единицу. Средние значения оператора Л на таких функциях, как уже было сказано, равны соответствующим собственным значениям А на исходных функциях, [c.50]

Из соотношений типа (19) для следует к тому же, что средние значения этих операторов на функциях, собственных для равны нулю. Действительно, коль скоро - эрмитов оператор, его собственные функции взаимно ортогональны. С другой стороны, оператор действует согласно соотношению (19), так что [c.98]

Это неравенство носит название вариационного принципа квантовой механики среднее значение оператора Гамильтона на любой функции ф из класса допустимых нормированных функций всегда больше минимального значения энергии Е для рассматриваемой квантовомеханической системы оно становится равным ему тогда и только тогда, когда функция ф совпадает с собственной функцией Н, относящейся к собственному значению Е . [c.145]

Очень важным свойством собственных значений самосопряженных операторов является то, что они всегда действительны. Собственные значения совпадают со средними значениями соответствующих физических величин в состояниях, описываемых собственными функциями этих операторов. Поскольку средние значения действительны ( 7), то действительны и собственные значения. В действительности собственных значений самосопряженных операторов можно убедиться и непосредственно из уравнения (8,5). Для этого умножим уравнение (8,5) на функцию ф , комплексно сопряженную к г ), и вычтем из полученного уравнения ему комплексно сопряженное. Интегрируя полученное выражение по всем значениям независимых переменных, находим [c.35]

При условии большого различия средних скоростей быстрой и медленной подсистем естественно ожидать, что волновые функции нулевого приближения быстрой подсистемы могут быть найдены в предположении, что медленная система вообще не движется, т. е. координаты Q фиксированы. Такие волновые функции, называемые адиабатическими, определяются как собственные функции гамильтониана Н при Г (( ) = О в результате решения волнового уравнения [c.97]

Главное квантовое число п, оно определяет среднее расстояние от ядра до вероятной области нахождения электрона и принимает значения 1, 2, 3,. .., так как лишь в этом случае величина Н жт, может быть собственной функцией. [c.17]

Если А — оператор рассматриваемой переменной, а гр — функция ее состояния, то, раскладывая эту функцию в ряд по собственным функциям оператора, легко убедиться, что среднее значение будет равно [c.54]

Показано, что при решении задач теплообмена такое допущение для модели Кессона приемлемо, если а < 0,25. Собственные числа и собственные функции определялись по приближенному асимптотическому решению. Для области О С а < 0,225 приведены результаты расчета температурного поля, местного и среднего чисел Нуссельта. Показано, что с увеличением а числа Nu и Nu, а также и приведенная длина начального термического участка возрастают. [c.81]

Следует отметить, что вследствие спин-орбитального взаимодействия собственные функции основного состояния уже не являются чистыми спиновыми функциями, а средняя величина углового момента для них отлична от нуля. [c.343]

В довольно широких предположениях вариант амплитудного уравнения предложили Кросс [51] и Кузнецов и Спектор [52]. Кросс рассматривал слой, симметричный относительно средней плоскости, допуская как свободные, так и жесткие граничные условия на обеих границах слоя. Кузнецов и Спектор учли асимметрию слоя. Нижняя граница слоя считалась либо жесткой, либо свободной, но не деформируемой. Верхняя поверхность была свободной, и либо на ней допускался термокапиллярный эффект (температурная зависимость поверхностного натяжения), либо учитывалась ее деформация. Кроме того, вязкость могла зависеть от температуры. Авторы работ [51, 52] не пользовались модифицированным (модулированным) нейтральным решением, а оперировали фурье-преобразованием по ж и / для низшей (по г) гармоники каждой физической переменной (считая к близким к с)- Уравнение получается путем проектирования исходной системы на низшую собственную функцию линейной задачи с инкрементом (2.39). Для симметричного слоя оно имеет вид [c.44]

НОГО отклонения от среднего значения некоторой величины (критерий того, что любая величина А, соответствующая оператору А, будет иметь определенное значение) означает, что соответствующая волновая функция должна быть собственной функцией А, т. е. должна удовлетворять уравнению [c.337]

Наблюдаемые величины, характеризующие атомные системы, могут быть двух типов 1) величины, значения которых определены точно, например энергия, которая для любой ограниченной системы имеет только дискретные (квантованные) значения, и 2) величины, для которых в результате любого измерения можно определить по распределению вероятности лишь среднее значение ). Если наблюдаемая величина, характеризуемая оператором относится к первому типу, то это означает, что волновые функции системы, являющиеся собственными функциями гамильтониана, есть так ке и собственные функции оператора т. е. [c.97]

Значение операторов момента импульса в атомной спектроскопии определяется тем, что они коммутируют друг с другом и с оператором Гамильтона. Если какой-либо оператор коммутирует с гамильтонианом, то волновые функции, описывающие систему (собственные функции гамильтониана), могут быть выбраны так, чтобы они были собственными функциями этого оператора. Например, если оператор коммутирует с (Ш, то квантовое число Ь можно использовать для характеристики волновых функций так, чтобы каждая волновая функция соответствовала определенному значению Ь. Если же оператор не коммутирует с то волновые функции не характеризуются определенным значением Ь и могут быть измерены только средние значения орбитального момента. Даже еслп не известен точный вид волновой функции, можно [c.155]

Бы, по-видимому, знакомы со стандартными свойствами эрмитовых операторов и матриц, а также со свойствами их собственных функций и собственных значений — что они могут быть диагонализованы унитарным преобразованием, что собственные функции ортогональны, что собственные "Г1 . иия вещественны и т. д. Если же нет, то посмотрите, пожалуйста, почти любой курс квантовой механики университетского уровня. Кроме того, вам должен быть известен тот факт, что среднее значение любого эрмитова оператора больше его наименьшего собственного значения или равно ему. [c.13]

На мировом рынке имеются вертикально интегрированные нефтяные компании, с одной сторо> ы, и независимые компании по производству смазочных материатов — с другой. Естественно, имеется громадное разнообразие типов поставщиков 7 сестер , другие крупные транснациональные или частные национальные компании с блоками очистки масляных фракций или без них, а также государственные или контролируемые государством компании, независимые компании с очисткой масляных фракций, независимые компании с компаундированием масел и производством пластичных смазок, независимые торговцы смазочными материалами. Особенно важно количество независимых поставщиков — 1700 со своими собственными предприятиями по компаундированию (за иск,тючением бывших соцстран и Китая). Только в одной Западной Европе несколько лет назад насчитывалось 267 таких заводов, но они в основном были мелкие или средние и функци-онировати на национатьном или региональном уровне. Только час1ь независимых компаний такого типа в Западной Европе, США и Японии имели международное значение. [c.124]

Смысл интегралов, входящих в секулярные уравнения, удобнее всего пояснить на примере иона Н . Прежде всего напомним, что выражение типа /ЯфЯс 1/ представляет собой среднее значение той величины, которая соответствует квантово-механическому оператору Я при этом функции ср, вообще говоря, не представляют собой собственных функций оператора. [c.103]

Итак, второй и третий детерминанты записываются в виде комбинации волновых функций термов и /), каждая из которых входит с вкладом 1/ 2. Волновая функгдая УЗа не является собственной функцией галМильтониаиа атома. Средн( с значспи энергии равно [c.177]

Пусть оператор ГамильтонаЯявно от времени не зависит. Поскольку он коммутирует сам с собой, его среднее значение <Ф IНI Ф> на любой функции состояния Ф от времени не зависит, а если к тому же Р(Гд) - собственная функция Н, то она сохраняется собственной и в любой другой момент времени / Н 1) = Ф(/), что свидетельствует о законе сохранения энергии системы. [c.193]

Рассмотрим теперь одну из особенностей поиска приближенных решений Предположим, что нашли некоторую функцию Уприбп, которая оказывается достаточно близкой к истинной функции основного состояния /о Покажем, что тогца среднее значение оператора Н, найденное с такой приближенной функцией, всегда больше, чем Другими словами, приближенный метод решения позволяет найти лишь верхнюю оценку энергии основного состояния Следует отметить, что любая приближенная функция может быть представлена в виде линейной комбинации ряда точных собственных функций, т е в виде [c.76]

Получганое выражение дает правило выбора потенциала для решения задачи об относительных движениях В самом деле, вцдно, что выражение для Н максимально упрощается, если принять и А з(0 Более того, оказывается, что при таких условиях значение Н становится наименьшим Ниже будет доказана правильность этого утверждения Значит наилучшее решение электронно-ядерной задачи (наиболее близкое к точному, при котором для основного состояния достигается абсолютный минимум средней энергии электронно-ядерных движений) в случае, когда собственная функция имеет простейший вид (/ = М э( >0М я(0 > лучается, если функция )/з удовлетворяет уравнению ЙэЧ э( б) = при любых значениях относительных ядер- [c.150]

Вспомним замечание к га 1 о том, что при наличии сопряжения связей некоторые общие результаты можно получить, пользуясь металлической моделью, или моделью одномерного потенциального ящика Обратим внимание на то, что собственные функции соответсг ющей задачи по свойству симметрии чередуются при п = 1 получается симметричная относительно средней линии функция, при л = 2 — антисимметричная, при л = 3 — снова симметричная итд [c.331]

Проанализировав п образцов, мы получим выборку из п независимых случайных величин Хг,Х2,... Хп, характеризующихся некоторой функцией распределения. Из этих данных можно оценить значение некоторого параметра распределения т (например, среднего /х или дисперсии ст ), используя соответствующую функцию Т Х) от результатов измерений она называется оценша-телем. Величина Т(Х) — также случайная она имеет свою собственную функцию распределения, среднее и дисперсию. Примером оценивателя может служить выборочное среднее, описанное в разд. 2.4. Разумеется, для каждой конкретной выборки мы получим свое значение реализацию) величины Т она называется оценкой. От надежных оценок требуется, чтобы вероятность их близости к истинному значению оцениваемого параметра была высокой. В идеальном случае центром распределения Т должно быть значение т, т. е. Е(Т) = г. Оцениватель, удовлетворяющий этому требованию, называется несмещенным. Как отмечено выше, Е(Х) = /х и Е з ) = поэтому выборочные среднее и дисперсия — несмещенные оценки соответствуюш,их генеральных параметров. [c.429]

Интересно сравнить эти результаты с результатами, полученными другими методами, например с численными решениями полной системы гидродинамических уравнений. В качестве базового варианта для сравнения примем центрифугу, исследованную в разд. 4.2.4 и 4.3.4 при соответствующем скоростном параметре Л = 25, в которой поток возбуждается диском, расположенным на одной крышке и вращающимся с угловой скоростью, несколько меньшей, чем ротор. На рис. П.2 приведены радиальный профиль осевой скорости в среднем сечении центрифуги (2/а = 5), полученный численным методом, а также первая собственная функция по Гингу, умноженная на постоянную, которая выбрана из условия совпадения максимума скорости на оси ротора. Приведенные профили различаются значительно, но следует отметить, что осевое расстояние 2/а=5 от источника возмущения недостаточно, чтобы собственные функции Гинга более высоких порядков полностью затухли. С другой стороны, разделительный КПД согласно решению Гинга составляет 30%, в то время как наш метод оптимизации дает 43%. Это различие объяснимо, если принять во внимание механизм возбуждения в расчетах Гинга возбуждение затухает с удалением от крышки, а при методе оптимизации, описанном в разд. 4.3.4, различные типы возбуждения налагаются друг на друга и оптимизируются. [c.232]

Исключительная важность собственных значений линейных самосопряженных операторов, используемых в квантовой механике, состоит в том, что они определяют возможные значения соответствующих величин при их измерении. Если состояние системы описывается волновой функцией, совпадающей с одной из собственных функций тр оператора Р, то в этом состоянии физическая величина Р имеет определенное значение. Поэтому при ее измерении в этом состоянии мы должны получить с достоверностью значение Рп- Если же волновая функция г не совпадает ни с одной из собственных функций оператора Р, то в этом состоянии физическая величина Р не имеет определенного значения. При повторных измерениях физической величины р в одном и том же состоянии г мы будем получать различные значения Рп- Повторяя шюгократно эти измерения, мы сможем определить среднее значение Р) этой величины в данном состоянии. Это среднее значение должно совпадать со значением, полученным из соотношения [c.42]

Таким образом, собственные функции оператора среднего положения частицы не являются й-функцнями, а отличны от нуля в области пространсгва, линейные размеры которого (г 1) порядка комптоновской длины волны частицы НЦМс) [38]. [c.256]

Имеются два других способа формулировки проблемы скоростей реакции, которые полезней для некоторых целей. На практике получить точные собственные функции для системы из п тел, когда п больше 2, невозможно по той причине, что уравнения движения не разделяются. Их можно, однако, вычислить приближенно, рассчитывая сначала собственные функции для приближенного уравнения Шредингера, которое разделяется, и рассматривая потом члены, которыми пришлось пренебречь для того, чтобы произвести разделение переменных, как возмущение для этих приближенных решений. Тогда находят, что плотность систем, соответствующая какому-либо невозмущенному уровню, является периодической функцией времени. Возмущение вызывает переходы с одного приближенного уровня на другой, Для мономолекулярных разложений приближенными уровнями будут уровни молекулы, подвергающейся разложению. Продолжительность жизни богатой энергией молекулы определяется вероятностью индуцированных переходов на непрерывные уровни (соответствующие диссоциацин). Розен [72] применил этот метод для р1асчета средней про- [c.414]

ЗФ в. с.) (окт.). В среднем октаэдрическом кристаллическом поле состояние газообразного иона 3 расщепляется так, что низщим уровнем становится T2g (рис. 12-6 и 12-7). Случай сильного поля не представляет интереса, так как он соответствует диамагнитному основному состоянию. В случае слабого поля спин-орбитальное взаимодействие вызывает расщепление основного состояния, определяемое квантовым числом которое может принимать значения 3, 2 и 1. Действие [уравнение (12-7)] на собственные функции /, М ,) дает следующие значения энергии [c.352]

Примем теперь, что атомы различны, и рассмотрим молекулу АВ, состоящую из двух ядер А и В и двух электронов. Если последние обозначить (1) и (2), то совершенно ясно, что могут быть две электронные конфигурации А(1) В(2) и А(2) В(1) с одинаковыми значениями энергии. Соответствующие собственные функции будут тогда с равным весом участвовать в полной собственной функции системы. Далее могут быть также ионные структуры, такие как А+В и А-В+, в которых оба электрона соответственно связаны с атомом В или А. Как общее правило преобладание одной из двух ионных форм над другой определяется относительными электроотрицательностями обоих атомов. Чем больше различие в электроотрицательности, тем больше вероятность возникновения соответствующей ионной структуры. Следовательно, в общем случае, ионные состояния будут с ббльшим весом входить в собственную функцию молекулы, состоящей из двух различных атомов, чем в том случае, если она состоит из подобных или идентичных атомов, В связи с этим, как и можно было ожидать, энергия связи молекулы АВ будет, по крайней мере, равна или, большей частью, превышать среднее значение из энергий связей молекул АА и ВВ. Разность между действительной энергией диссоциации АВ и средним арифметическим или, лучше, средним геометрическим (см. параграф 21б) из энергий диссоциации симметричных молекул АА и ВБ носит название энергии резонанса с ионными состояниями молекулы АВ. Как можно было предвидеть, она оказывается связанной с относительными электроотрицательностямв атомов А и В. [c.110]

Таким образом, операция симметрии оставляет общее распределение электронной плотности неизменным. В представлении Хартри — Фока каждый электрон двигается в поле, которое складывается из притяжения к ядрам и среднего отталкивания 01 всех электронов системы. Уравнение (4.62) показывает, что усредненное поле всего электронного облака имеет такую же симметрию, как и поле, создаваемое ядрами. В соответствии с этим гальмитониан Хартри — Фока инвариантен относительно операции симметрии 8 его собственные функции, т. е. отдельные хартри-фоковские орбитали фр., также должны подчиняться тем же соотношениям симметрии, которые справедливы для полной электронной волновой функции [c.164]

С4>ормулированная задача на нахождение собственных функций и значений уравнения (1.1.1) является точной математической формулировкой физической проблемы описания движения электронов отдельной молекулы. Ее решения ... максимально полно описывают стационарные состояния молекулы, так что все электронные свойства молекулы, находящейся в некотором состоянии могут быть определены как средние значения соответствующих эрмитовых операторов. Прежде чем продолжить обсуждение указанной математической задачи, остановимся на важном вопросе об интерпретации решений уравнения (1.1.1) в связи с экспериментально наблюдаемыми электронными свойствами молекулы. [c.12]

В общем случае многоэлектронной системы формулы (3.6.6) дают удобный способ построения всех 25+1 спиновых собственных функций данного семейства с фиксированным 5 и М, равным 5, 5—1,.... .., —5 по известной одной такой функции. Так, например, мы можем сосредоточить все внимание на функции 0sлi при М=8. В случае необходимости все другие спиновые функции 0 можно получить из этой функции путем повторного действия оператора З . Практически, однако, этого не нужно делать, так как обычно достаточно рассматривать только функцию с каким-либо одним М, поскольку для бесспинового гамильтониана функции с разными М имеют одну и ту же энергию (для них одинаковы средние значения любого другого бесспинового оператора). В то же время для матричных элементов спиновозависимых операторов существует другой, более простой способ рассмотрения (см. гл. 8). Таким образом. [c.86]

НЫМИ и нормированными ) (назовем их функциями класса Q). Эти условия необходимо наложить на собственные функции для того, чтобы плотность вероятности была функцией, ведущей себя надлежащим образом. В результате измерений получаются действительные числа, поэтому надо такнте наложить соответствующее ограничение на операторы, т. е. потребовать, чтобы для всех квантовомеханических операторов средние значения, вычисленные по выражению (6.2), были действительными. [c.100]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология