Оператор собственного момента электрона

Определим вид собственных функций оператора для одного электрона. Таких функций существует две а(т]) и Р(т]). Область изменений выбранного переменного ц = состоит только из двух точек т = и т] = — /2. Если электрон находится в состоянии а(т]), проекция его спинового момента s г равна /2 (в единицах /г/2л), а значение т) = = l/g невозможно. Поэтому функция а(т]) имеет вид (l/g) = 1 и (—Va) = 0. По аналогичным соображениям получим (1/2) = О, а Р(—1/2) = 1. Если спин s частицы равен единице, = = 1,0, —1, необходимо ввести три спин-функции a(i]), Р(т)), -f(Ti). Значения этих функций существуют только в точках т) =1, т] =0 и т] = —1. Так, например, функция a(ri) будет иметь вид а(1) = 1, а(0) = 0 и а(—1) =0. Так определяются спин-функции для одной частицы. Если система состоит из нескольких частиц, спин-функцию всей системы 5(ti) можно представить с достаточной точностью в виде произведения спин-функций, составляющих систему частиц [c.19]

В пространстве (и/) (л/) . .. ф (л/) полный базисный набор уровней может быть получен последовательным применением теоремы о сложении двух моментов. При этом попутно возникает естественная нумерация уровней квантовыми числами промежуточных моментов Но каким бы способом ни производилось сложение моментов, собствен ные функции результирующего момента лишь в исключительных слу чаях будут антисимметричными относительно перестановок координат Как правило, они будут представлять собой смесь разрешенных и запре щенных принципом Паули состояний . Отсюда второе осложнение, которое возникает в случае эквивалентных, электронов, - потеря генеалогической классификации. Операторы промежуточных моментов не коммутируют с оператором антисимметризации и потому не могут рассматриваться в пределах конфигурации. [c.130]

Исключение составляют два оператора - полный орбитальный момент количества движения Ь и полный спиновой момент количества движения 8. Они симметричны, коммутируют между собой, с оператором Но и поэтому могут быть использованы для классификации базисных состояний конфигурации. Особое значение такой классификации связано с тем, что операторы Ь и 8 коммутируют не только с оператором Но, но и с оператором кулоновского взаимодействия электронов. Любой базис конфигурации, в котором операторы и 8 оказываются диагональными, носит название схемы А5-связи, здесь конфигурация представляет собой прямую сумму Г/, 5-подпространств совместных собственных функций операторов и 8 . Схема 15ч вязи - это такой базис конфигурации, который получается объединением базисов, представляющих подпространства Г/,5. На базис / 5 никаких ограничений не наклады- [c.130]

Спин-спиновое взаимодействие собственных магнитных моментов электронов и ядер, а также ядер с ядрами представляется такого же типа операторами, что и (11) с частичной или полной заменой [c.399]

Поэтому кроме оператора з для полного описания свойства спина вводят еще оператор собственного магнитного момента электрона [c.48]

Частным случаем (26.6) являются также волновые функции — собственные функции операторов V, 5 , и (через У обозначается полный момент электрона /=/- -5). Используя общее правило построения волновых функций, при сложении моментов получаем [c.291]

Соотношения (34.14), (34.19) и (34.23) являются частными случаями принципа детального равновесия ). Часто при вычислении эффективных сечений (34.21), (34.22) бывает удобно перейти от функций д1 х.т К какой-либо НОВОЙ системе взаимно ортогональных и нормированных функций описываюш.их состояния системы, в которых электрон непрерывного спектра имеет импульс я угловой момент Х. В частности, такими функциями могут быть собственные функции операторов полных моментов системы атомный остаток + электрон 5, I, J, Используя известные свойства унитарных преобразований, легко получить ) [c.428]

Полные собственные функции системы двух электронов. Полная собственная функция электрона должна учитывать его спин. С достаточной степенью точности ее можно представить в виде произведения собственной функции обычных координат, которую иногда называют орбитальной функцией, или орбитой, и собственной функции спина. Орбитальная функция является собственной функцией оператора Гамильтона (оператора энергии). Последний мало зависит от магнитного взаимодействия между спиновым магнитным моментом и орбитальным магнитным моментом, и этим оправдывается представление полной собственной функции в виде произведения двух множителей. Так как собственной функции координат а, зависящей только от квантовых чисел п, I и от , соответствуют две возможных собственных спиновых функции а и р, то полной функцией может являться либо аа, либо ар. [c.64]

Эту задачу можно упростить, воспользовавшись тем, что молекулы такого типа обладают аксиальной симметрией. Создаваемое ядрами поле, в котором двигаются электроны, остается неизменным при вращении вокруг линии, соединяющей оба ядра. Угловой момент электронов относительно этой оси должен быть постоянной движения в классической механике, поскольку силы, действующие. между электронами и ядрами, не могут изменить эту компоненту их полного углового момента. Обозначим эту ось 2, тогда волновая функция молекулы должна быть собственной функцией оператора М . Как было показано в разд. 4.5, в орбитальном пред ста вл ении это должно быть справедливо и для отдельных орбиталей. Если перейти к сферическим координатам, где в качестве полярной оси выбрана ось I, то каждая МО фр должна иметь вид [c.168]

Рассмотрим оператор 8/, соответствующий квадрату полного спинового момента электрона /. Спиновые функции а, и р являются собственными функциями оператора 8/ с собственными значениями Ь следовательно, [c.325]

В гл. 4 уже указывалось, что электрон обладает собственным (спиновым) моментом импульса. Если предположить, что операторы спинового момента импульса также подчиняются перестановочным соотношениям (9.3) и (9.5), то для одного электрона согласие с экспериментом наблюдается в том случае, когда I берется равным. Если [c.153]

Вводная полуклассическая теория явления магнитного резонанса была уже изложена кратко в разд. 6.1.6 (часть I). Дополним ее элементарным квантовомеханическим рассмотрением частицы со спином Vg (электрон или ядро со спином Va). До сих пор мы вообще не размышляли над квантовомеханическим обоснованием понятия спин . Теперь мы также не можем дать такое обоснование, поскольку для этого следовало бы заняться релятивистской квантовой механикой, ибо спин — это релятивистское явление. Ход наших рассуждений выглядит так. Предположим, что спин является физически наблюдаемым свойством, подобным уже известному нам орбитальному моменту количества движения, и постулируем для его квантовомеханической обработки (для записи соответствующих операторов, собственных функций и собственных значений) некоторые факты, которые мы просто позаимствуем из строгой теории. Это следующие факты. [c.267]

Как будет показано в гл. 7, полученные выше волновые функции атома водорода являются собственными функциями оператора квадрата углового момента электрона относительно оси, проходящей через ядро. Собственное значение составляет / (/ + 1) атомных единиц. Это обстоятельство приводит к весьма точной картине движения электрона в атоме водорода. [c.168]

Нетрудно убедиться, что функции ф, являются не только правильными функциями нулевого приближения, но и точными собственными функциями оператора Яо + Н о(после умножения их на одну и ту же радиальную функцию К Кроме того, функции ф2, Фз, Ф4 и Ф5 не являются собственными для операторов 4 и 5 , т.е. несмотря на симметрию поля, в котором находится электрон, в этих состояниях проекция углового момента не сохраняется. Можно проверить, однако, что эти функции являются собственными для операторов полного момента [c.396]

Рассмотрим теперь более детально, что представляют собой энергетические уровни многоэлектронного, атома. Слэтеровский детерминант, составленный из спин-орбиталей, является Л -электронной функцией, удовлетворяющей принципу Паули и соответствующей определенным проекциям Л -электронных орбитального и спинового моментов, определяемых квантовыми числами М и М . Однако однодетерминантная волновая функция необязательно будет собственной для операторов квадрата полного орбитального и полного спинового моментов. Собственные функции этих операторов представляются линейными комбинациями детерминантов Слэтера, соответствующих одним и тем [c.95]

Но перевод атома в валентное состояние не сводится только к его возбуждению (промотированию). Следует учесть также неопределенность в ориентации спинов неспаренных электронов, участвующих в образовании химических связей. А если говорить точнее, то необходимо принять во внимание, что волновая функция валентного состояния атома не является собственной функцией операторов квадрата полного спина атома (5 ) и его проекции на ось квантования 2 Зг) — равно как она не является и собственной функцией операторов квадрата полного орбитального момента количества движения ( ) и его проекции [c.172]

Функция Хд(ф) можно показать, является собственной для оператора проекции = -гЭ/Эф электронного орбитального момента на ось молекулы с собственным значением Л и имеет обычный для таких операторов вид Хл(ф) = Ае Р. При этом функции, отвечающие значениям Л, вырождены по энергии (оператор Гамильтона зависит от ) и преобразуются по двумерным вещественным представлениям, нумеруемым по значению [c.221]

Следует заметить, что в отсутствие сферической или цилиндрической симметрии электронные волновые функции уже не будут собственными для операторов моментов импульса fi, s wp-). Классифицировать же состояния при малом возмущении, вносимом спин-орбитальным взаимодействием, можно по типам симметрии, добавляя при необходимости дополнительные индексы, например а<2 и [c.408]

Нормальный эффект Зеемана наблюдается для некоторых СОСТОЯНИЙ сложных атомов. Как будет показано в 78, состояние сложных атамов, содержащих несколько электронов, в некотором приближении можно характеризовать собственными значениями операторов суммарного спина всех электронов S = суммарных орбитальных моментов количества движения L = и полного момента J — L -j- S. Изменение энергетических состояний таких атомов в слабом однородном внещнем магнитном поле также определяется формулой [c.322]

Аналогичное определение вводится и для двух остальных компонент углового момента, 2 х и S y. Используя коммутационные соотношения (4.65), которым подчиняются операторы отдельных электронов, можно вывести коммутационные соотношения и для операторов компонент полного момента. На основании сказанного мы будем считать в общем случае угловым моментом любой вектор, подчиняющийся коммутационным соотношениям (4.65). Для полноты добавим, что оператор квадрата полного углового момента определяется аналогично приведенному выше выражению (4.66), т. е. как сумма квадратов трех его компонент типа (4.76), и что для многоэлектронного атома существуют три взаимно коммутирующих оператора ye, и S z, которые соответствуют трем постоянным движения. Для решения вопроса об измеряемых значениях полного углового момента следует прежде всего выяснить, как выразить эти величины через известные собственные значения слагающихся моментов-Подход, который применяется при сложении двух моментов, [c.64]

Оказывается, что можно построить четыре детерминанта, которые одновременно являются собственными функциями оператора г-компоненты полного спинового момента 9 г, и что, кроме того, спиновые функции в связывающих орбиталях являются подходящими для образования связей. Из этих четырех детерминантов построим волновую функцию ВС если же из детерминантов построить такую линейную комбинацию, чтобы результирующая функция ф была антисимметрична к перестановке спинов, соответствующих орбиталям 2рх) и (1 )ц, а также к перестановке спинов, соответствующих орбиталям 2ру) и (1 )у, то в области связей образуется локальное синглетное состояние электронов. Следовательно, в общем случае должно выполняться соотношение [c.266]

В этом разделе мы установим смысл векторной связи в случае антисимметричных состояний и степень применимости к этим состояниям матричного метода гл, III. Положение дел, грубо говоря, таково. Пусть антисимметричное состояние характеризуется квантовыми числами п" m mi,. .., и т. д. Спрашивается, собственным значением какого оператора является mil Ясно, что не оператора первого электрона (за исключением того случая, когда mi равны друг другу). Но если V отлично от всех других значений III в данной конфигурации, то данное состояние является собственным состоянием оператора .-электрона и /Ч Если также отлично от всех других п1, то мы можем, сложив эти два оператора L, получить результирующий L и Ml и, сложив два оператора 5, получить результирующий 5 и Ms для электронов п 1 и пЧ по формулам раздела 14 гл. III. Матрицы Z, и 5 электронов и пЧ будут выражаться для таких состояний по формулам (3.81) и (3.82). Но если п 1 = то мы не можем больше определить оператор L электрона пЧ , потому что никакой оператор не может различить два электрона, находящихся в антисимметричном связанном состоянии. Однако имеет смысл определить результирующий оператор L для двух иЧ -электронов, но этот оператор не будет суммой двух коммутирующих моментов количества движения, и его разрешенные значения не определятся сложением вектора с вектором Р. Таким образом, если в конфигурации встречается группа эквивалентных электронов, то мы должны довольствоваться оперированием в нашей схеме векторной связи со всей этой группой как с целым, не пытаясь определять момент количества движения системы меньшей, чем вся группа. Эти представления уточняются следующим рассмотрением связи двух неэквивалентных групп электронов. [c.207]

Обычно принимают, что в начальный момент времени t- —(хз) система состоит из невзаимодействующих, пространственно разделенных молекул. Назовем их А и В. Это условие приводит к тому, что из гамильтониана Н следует убрать часть оператора взаимодействия, соответствующую парным взаимодействиям ядер и электронов из разных наборов А я В. Оставшийся гамильтониан обозначим Н и будем называть гамильтонианом начального состояния. Собственные функции и собственные значения Я,, которые являются решениями уравнения [c.33]

Отг — магнитное квантовое число /-го электрона). Поэтому каждый такой слейтеровский определитель автоматически оказывается собственной функцией оператора М . Это, однако, неверно для оператора V, соответствующего квадрату полного электронного углового момента атома. нельзя записать в виде простой комбинации одноэлектронных операторов Ьь и ф не обязательно будет собственной функцией и. Однако эту трудность можно обойти следующим образом. Известно, что любое состояние атома с полным угловым моментом [см. [c.151]

В рассматривавшихся до сих пор примерах атома Не и молекулы Hj не возникало никаких серьезных трудностей при составлении линейных комбинаций детерминантов, дающих собственные функции операторов полного спина и S эти собственные функции можно было выразить в виде функций-произведений, составляемых из пространственных и спиновых функций, каждая из которых оказывалась симметричной или антисимметричной при перестановках пространственных или спиновых электронных координат симметричные спиновые функции соответствовали состоянию 5 = 1, М=0, 1 (триплет) и антисимметричные — состоянию 5=Л1=0 (синглет). Мы говорим, что спины электронов векторно связаны в результирующий спиновый угловой момент 5 = 1 или 5=0 в зависимости от того, параллельны или антипараллельны оба связываемых спина, каждый из которых имеет значение [c.83]

Полученные результаты показывают, что рассматриваемый электрон ведет себя как квантовомеханическая система, обладающая только спином, причем ее эффективный магнитный момент зависит от взаимной ориентации поля и оси симметрии исследуемого комплекса. Такая фиктивная система описывается некоторым спиновым гамильтонианом, который содержит только спиновые операторы и некоторые числовые параметры значения этих параметров выбираются из того условия, что собственные значения [c.279]

Энергетические состояния атомов принято обозначать буквами в зависимости от собственных значений, получающихся при действии на волновую функцию оператора М1, т. е. оператора углового момента электронов, движущихся ио орбитам вокруг ядра (обычно называемого орбитальным угловым моментом). Это собственное значение всегда имеет вид L(L+ 1) /Г-, где L—положительное целое число. Такой вид выражения для собственного значения доказан в книге Эйринга, Уолтера и Кимболла [1]. Принято, что при = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и т. д. состояния обозначаются буквами соответственно [c.197]

Нормированные и ортогонализованные волновые функции для низших состояний водорода приведены для справок в приложении III. Для общности принято, что заряд яд -ра равен не единице, а Z. Все расстояния и энергии выражены в атомных единицах. Все эти функции являются собственными функциями операторов углового момента электрона ЛГ- и Л1, с собственными значениями, соответственно I (I -l 1) /Г- и mh. [c.214]

Если a была собственной функцией операторов 8 , Sy и 8 , это означало бы, Что можно одновременно и абсолютно точно измерить три составляющих спинового момента электрона. В свою очередь такие измерения точно определили бы ось спина. Рассмотрим ось, проходящую под прямым углом к оси спина. Угловая координата электрона относительно этой оси была бы точно иавестна, так же как и соответствующий угловой момент (равный 0). Поскольку эти величины представляют собой сопряженную пару пространственных координат и импульсов, такой результат нарушал бы принцип неопределенности. [c.325]

Как обычно, мы пренебрегаем спин-орбнтальным взаимодействием, так что оператор Гамильтона Н — функция только пространственных координат [уравнение (2.43)]. Поэтому Н коммутирует с операторами 5 и и, следовательно, любая собственная функция оператора Н должна быть одновременно собственной функцией операторов и а также собственной функцией операторов углового момента Мг и М . Далее, компонента полного спинового момента вдоль оси 2 равна сумме вкладов отдельных электронов то же справедливо для соответствующей компоненты Мг полного углового момента. Каждое микросостояние на рис. 9.1 является собственной функцией операторов Мг и 8г с собственными значениями, которые могут быть легко найдены сложением соответствующих значений для отдельных электронов. Рассмотрим, например, микросостояние /. В нем электроны имеют противоположные спины, так что их вклады в 8г равны - -Ь 2 и —Й/2 соответственно и 5г-компонента полного спинового момента равна -)-й/2 — й/2, т. е. нулю. Аналогично один электрон занимает 2ро-АО с Мх = О, а второй — 2р 1-А0 с Мг = —Ь. Компонента Мг полного углового момента равна, таким образом. О, й или —Ь. [c.461]

Согласно правилам квантовой механики, изложенным в гл. 4, процедура включения понятия спина в квантовую механику должна заключаться в нахождении классического аналога этого свойства, выражении его через координаты и импульсы и замене координат и импульсов на соответствующие операторы. При этом мы получим операторы спина, для которых можно найти обычным путем правила коммутации и собственные функции и зате.м обращаться с ними в соответствии с законами квантовой механики. К сожалению, при попытке осуществления этой программы мы оказываемся не в состоянии начать действовать, так как спин электрона не имеет классического аналога. Спиновый угловой момент электрона, очевидно, не является обычным угловым моментом, так как наблюдаются всего два собственных состояния и они соответствуют полуцелым квантовым числам. Поэтому мы вынуждены постулировать некоторый формализм для обращения со спином, без какой-либо апелляции к классическим аналогам. Это можно сделать различными путями, но для наших целей наиболее пригодны следующие три постулата. [c.233]

Магнитное поле напряженности Н буцет взаимодействовать с собственным магнитным моментом электрона, что приведет к появлению в гамильтониане члена, пропорционального s, Н, т.е. ж, (Е>ф ) . Подобного типа выражения возникают и в квантовомеханическом операторе Гамильтона при переходе от уравнения Дирака-Кулона (см. 5 гл. II) к нерелятивистскому пределу и представлении оператора релятивистского уравнения в виде ряда по степеням pim , где / -импульс электрона, т - его масса. При этом члены, которые зависят от спина и появляются в гамильтониане помимо фигурирующих в обычном уравнении Шредингера, будут иметь вид [c.392]

Здесь 8 и I — операторы дипольного и ядерного спиновых моментов, — тензор фактора расщепления для электрона ( -фак-тор анизотропен), f — тензор дипольного взаимодействия электронного и ядерного спинов, — ё -фактор ядра N 1 Первый член (5,169) представляет взаимодействие электронного спинового момента с внешним полем, второй — сверхтонкое взаимодействие электрона и ядра, третий — взаимодействие ядра азота с внещним полем. Наблюдаемые спектральные линии соответствуют разрешенным переходам между собственными состояниями этого гамильтониана. [c.342]

Если не учитывать спин-орбитальное взаимодействие, то функция будет собственной функцией операторов проекции и квадрата полного спинового момента. Иначе говоря, проекция и квадрат полного спинового момента являются интегралами движения системы электронов. Значения этих величин лежат в основе классификации многоэлектронных состояний молекул — молекулярных термов. [c.28]

Волновая механика Шредингера дает точное объяснение орбитального углового момента как в одноэлектронных, так и в многоэлектронных системах, но она не способна объяснить явление электронного спина. При формальном подходе обычно задаются искусственным спиновым оператором и уравнением типа шредингеровского (по аналогии с операторами и уравнениями для орбитального углового момента) и затем налагают некоторые ограничения на собственные значения, чтобы они, насколько это возможно, соответствовали экспериментальным данным. Хотя этот метод весьма прост, он требует, однако, пространных пояснений вместо этого ниже приводится ряд правил, достаточных для изучения таких состояний, в которых обычно заинтересованы химики-органики (т. е. молекулярных состояний низкой мультиплетности) и которые могут быть адекватно представлены произведением волновых функций. Правила достаточны для определения разнип л между функциями различной мультиплетности и содержат меньше неопределенности, чем другие более формальные подходы. Проиллюстрируем их применение на примере хорошо известных нам функций Гейтлера — Лондона и молекулярноорбитальной функции для молекулы водорода. [c.37]