Математический аппарат решения задач оптимизации

Рассмотренные в настоящей главе примеры использования метода множителей Лагранжа для решения задач оптимизации с ограничениями типа равенств или задач, сводимых к этому классу, показывают, что данный метод представляет собой достаточно удобный математический аппарат, позволяющий ставить и решать довольно сложные оптимальные задачи для процессов с сосредоточенными и распределенными параметрами. Как отмечено ниже (см. главу VII), метод множителей Лагранжа при отсутствии ограничений на переменные процесса типа неравенств приводит к уравнениям, которые иногда совпадают с основными уравнениями методов, специально созданных для решения широкого класса задач оптимизации, таких, например, как принцип максимума. [c.200]

В книге описываются современные методы оптимизации отдельных аппаратов и химико-технологических систем (ХТС). В ней рассмотрены два класса оптимизационных задач химической технологии к первому классу относятся задачи оптимизации ХТС фиксированной структуры, ко второму — задачи выбора оптимальной структуры ХТС (синтез ХТС). Эти задачи возникают как при интенсификации действующих, так и при создании новых химико-технологических процессов, в том числе при разработке автоматизированных систем управления технологическими процессами (АСУ ТП). Несмотря на то, что методы решения задач синтеза ХТС начали развиваться в самое последнее время, их разработка стала одной их важнейших проблем математического моделирования химико-технологических процессов. Решение задач обоих классов должно стать неотъемлемой частью создания высокоэффективных химико-технологических процессов. [c.5]

При решении задач оптимизации химико-технологических процессов очень часто ограничения на управляющие переменные являются линейными. Часто они имеют характер простых ограничений на максимальные и минимальные значения соответствующих управляющих переменных (1,9). В схемах, как правило, имеются делители потоков, на коэффициенты деления которых налагаются линейные ограничения вида (1,7). Особенно много таких ограничений будет в задачах синтеза при применении метода структурных параметров (см. гл. VI). Конечно, для решения задачи оптимизации с линейными ограничениями, можно использовать общие методы, разработанные для случая произвольных ограничений. Однако этот случай можно рассматривать отдельно по двум причинам. Первая из них состоит в том, что в задачах, где имеются только линейные ограничения, удается построить более эффективные алгоритмы, используя линейный характер ограничений. Вторая причина состоит в следующем. Математические модели отдельных аппаратов часто могут работать только в некоторой допустимой области. Скажем, если во время оптимизационной процедуры концентраций какой-либо компоненты на входе реактора примет [c.149]

В учебнике описаны методы моделирования и области их применения, а также принципы построения и виды математических моделей. Подробно изложена методика составления кинетических и гидродинамических моделей. Рассмотрены математические модели химических реакторов и вопросы перехода от лабораторных опытных установок к промышленным аппаратам. Приведены примеры построения математических моделей некоторых аппаратов химической технологии. Отражены особенности статистических математических моделей, описана методика их составления как на основе пассивного, так и активного эксперимента. Изложены основные положения оптимизации химико-технологических процесссов, даны примеры решения задач оптимизации детерминированных и стохастических процессов. Учебник предназначен для студентов химико-технологических специальностей вузов. Его смогут использовать в своей практической работе также инженеры-химики. [c.2]

Ниже приведен ряд примеров применения математического аппарата геометрического программирования к решению конкретных задач оптимизации. Представленные задачи, которые с успехом могут быть решены и другими методами, естественно не претендуют на то, чтобы показать все возможности рассматриваемого метода, а являются лишь иллюстрацией основных аспектов его использования. [c.557]

Математический аппарат решения задач оптимизации [c.14]

Решение задачи оптимизации (7.13) по критерию (7.17) с использованием математической модели статики контактного аппарата и учетом ограничения на температуру слоя катализатора методом поочередного [c.314]

Для решения задач оптимизации, в которых все или некоторые оптимизируемые переменные могут принимать только целые или дискретные значения, применяют математический аппарат, [c.248]

Доступность изложения, сравнительная простота используемого математического аппарата, наглядность приводимых примеров и подробное описание результатов практического решения разнообразных задач исследования, обеспечения, повышения и оптимизации надежности различных объектов дают возможность читателю получить как общее представление, так и активно овладеть основными понятиями, принципами, способами и методами теории надежности, а также применить ее в практической работе. [c.8]

При решении задачи оптимизации надежности проектных решений предполагается, что проектный расчет технологического объекта (ХТС или аппарата) проводится по математической модели, которая с точностью до значений параметров адекватно описывает его функционирование. Это означает, что модель точно отражает вид функциональной связи между переменными, характеризующими поведение объекта. Рассогласование, или несовпадение, расчетных и реальных значений переменных объекта объясняется неточностью числовых значений некоторых параметров математической модели. В то же время это рассогласование не нарушает критерия адекватности математической модели объекта, поскольку оно находится в некоторой доверительной области. [c.229]

Построение комплекса математических моделей, который служит инструментом для решения задач оптимизации различных аппаратов и адсорбционной установки в целом. [c.9]

Принцип максимума (см. главу VII) применяют для решения задач оптимизации процессов, описываемых системами дифференциальных уравнений. Достоинством математического аппарата принципа максимума является то, что решение может определяться в виде разрывных функций это свойственно многим задачам оптимизации, например задачам оптимального управления объектами, описываемыми линейными дифференциальными уравнениями. - [c.33]

Основная идея в применении метода неопределенных множителей для оптимизации рассмотренного выше многостадийного процесса состоит в том, что при решении задачи оптимизации соотношения (IV, 90), характеризующие связь входных и выходных параметров и управляющих воздействий на всех стадиях процесса, принимаются как ограничивающие условия, имеющие вид равенств, наложенные на переменные процесса д , часть из которых входит в выражение критерия оптимальности (IV, 88). Это, в свою очередь, позволяет использовать для решения оптимальной задачи математический аппарат метода неопределенных множителей Лагранжа (см. стр. 148). [c.165]

При оптимизации дискретных многостадийных процессов использование математического аппарата принципа максимума зачастую оказывается более эффективным, чем применение метода динамического программирования. В особенности это относится к решению оптимальных задач, где размерность отдельных стадий затрудняет использование вычислительной процедуры динамического программирования [11]. [c.386]

Математический аппарат принципа максимума, рассмотренный в настоящей главе, является весьма мощным средством решения задач оптимизации. Как правило, решение оптимальной задачи при этом сводится к решению краевой задачи для системы дифференциальных уравнений или для системы конечных уравнений, соответствующих математическому описанию многостадийного процесса. Само по себе решение краевой задачи также может представлять определенные трудности, однако их "преодоление во многом компенсируется теми результатами, получение которых еще более осложняется при использовании иных методов оптимизации. В этом смысле принцип максимума оказывается одним из универсальных средств решения оптимальных задач для процессов, описываемых [c.404]

К задачам оптимизации [65] в технической диагностике применимы математические методы линейного, нелинейного и динамического программирования, теорий массового обслуживания, сетевого планирования и т.д. Применение сложного математического аппарата для решения задач, связанных с технической диагностикой оправдано, поскольку использование методов оптимизации позволяет в ряде случаев существенно снизить затраты на техническое обслуживание и ремонт аппаратов [33]. [c.38]

В настоящее время в связи с системным подходом к рещению проблем управления ставится задача оптимального управления не отдельным аппаратом, а всем производством в целом. Повышаются требования к адекватности модели и увеличивается количество используемых в научных исследованиях новейших математических методов и вычислительной техники как для планирования эксперимента и обработки результатов, так и для решения задач оптимизации и управления технологическими процессами. Весьма актуальной для управления является разработка математических моделей содового производства [69]. [c.218]

Следует отметить, что значение линейного программирования не исчерпывается решением задач только указанных типов. Сообщается , что в методах решения задач так называемого выпуклого программирования существенным образом используется вычислительный аппарат линейного программирования. Кроме того, иногда при рассмотрении сложного нелинейного объекта иногда удается представить его математическое описание в некоторых локальных областях изменения независимых переменных приближенными линейными соотношениями. Это позволяет свести исходную задачу оптимизации к задаче линейного программирования. Тем самым становится возможным применять его математический аппарат, который в настоящее время разработан достаточно подробно и при наличии цифровой вычислительной машины обеспечивает решение оптимальных задач весьма высокой размерности. [c.413]

Математическое описание в локальной области сложного химического процесса, протекающего в аппарате с перемешиванием в объеме, можно также выполнить на вычислительной машине, использовав рассмотренный алгоритм решения этой задачи аналитическим методом. На основании полученного математического описания можно построить математическую модель и провести исследование процесса для решения задач масштабирования, автоматизации и оптимизации процесса в выбранной локальной области или даже по отысканию направления оптимума методами направленного эксперимента. [c.183]

Выше уже отмечалось, что решением задачи отыскания экстремали функционала является некоторая функция (или совокупность функций) одной или нескольких независимых переменных. Следовательно, математический аппарат вариационного исчисления может быть использован для оптимизации процессов, в которых переменные состояния изменяются непрерывным образом. К числу таких процессов прежде всего можно отнести процессы [c.206]

Математические модели статики типа (1-2) находят широкое применение при решении задач планирования (оптимального планирования) работы объекта, а также для оптимизации статических режимов. Для решения задач оперативного планирования и оперативного управления помимо моделей типа (1-2) или (1-2а) иногда бывает необходимо знать уравнения динамики (1-3), учитывающие изменения запасов в автоматизированном комплексе. ММ динамики (1-3) применяют и для оптимизации переходных режимов объекта, например операций пуска — останова аппаратов, а также для решения задач автоматической стабилизации косвенных координат и вычисления текущих значений техникоэкономических показателей объекта. [c.26]

На стадии внедрения технические средства АСУ устанавливаются одновременно с монтажом технологических аппаратов или сразу же после него. При наладке и испытаниях этих аппаратов производится сбор данных, необходимых для проверки адекватности математической модели и ее идентификации (уточнение части параметров или изменение структуры уравнений). Затем уточняются результаты решения задач, касающихся оптимального конструирования аппаратов, оптимизации установившегося технологического режима, выбора эффективной структуры ТП, оптимального управления, синтеза технической структуры системы управления кроме того, вносятся необходимые исправления и добавления в рабочие проекты технологического процесса и АСУ. [c.46]

Аналитический вид кривой здесь не приводится — даже для такой простой схемы реакции это потребовало-бы применения достаточно сложного математического аппарата. В случаях же, когда химизм еще более сложен, аналитическое решение вообще получить не удается задачу оптимизации приходится решать моделированием на ЭВМ. [c.188]

Задачами второго и третьего уровня являются соответственно определение концентрационных и манометрических режимов работы отдельных МВУ, а также графика остановок на промывки выпарных аппаратов линии. Расчеты выполняют на основе математической модели цеха выпарки (см. ра[здел 2 гл. VI). Решение задачи второго уровня проводят один раз в неделю, а третьего — раз в смену. Результаты решения задач верхнего уровня используют при решении задач нижнего уровня. Общая структура алгоритма оптимизации цеха выпарки приведена на рис. Ш-5. При решении задач месячного и квартального планирования первого уровня использовано математическое ожидание затрат от технологических и функциональных отказов ХТС. Функция цели первого уровня может быть получена следующим образом. Обозначим 1 то/[Ат, Ощ/(т)] случайную величину удельных затрат греющего пара в результате технологического отказа одной из линий по истечении времени Ат от последнего ремонта. Тогда [c.197]

Использование современных вычислительных средств и аппарата экономико-математических исследований способствовало успешному решению ряда задач оптимизации систем, постановка которых ранее казалась нереальной. Наибольший прогресс в теории технико-экономических методов исследований систем подачи и распределения жидкости достигнут при использовании ЭЦВМ. [c.143]

Среди инструментальных систем целесообразно выделить несколько разновидностей. Одной из них являются системы оптимизационного типа. Они основаны на математических моделях исследуемых объектов, процессов или явлений и предназначены для поиска оптимальных значений параметров объектов или процессов с точки зрения некоторого набора формализованных критериев их оценки. Существуют и совершенствуются достаточно мощный математический аппарат и алгоритмы решения подобных задач. Системы оптимизации, например весовых и прочностных параметров, диспетчеризации маршрутов и т.п., достаточно широко и эффективно используются в технических приложениях. [c.3]

Затруднения, связанные с наличием большого числа переменных и сложностью математического описания процесса ректификации, чрезвычайно усложняют применение методов математического программирования (динамического, линейного или нелинейного) при решении задач моделирования и оптимизации ректификационных процессов на стадии их проектирования. Даже при существенном упрощении математического описания ХТС применение современных методов математического программирования сопровождается значительными вычислительньпйи трудностями. Только с использованием быстродействующих ЭВМ третьего поколения стало возможным решение оптимизационных задач в качественно новой постановке - оптимизация ХТС, состоящих из большого числа различных аппаратов (реакторов, ректификационных колонн, теплообменников и т. п.). [c.107]

В качестве примеров математических моделей теплообменных аппаратов ниже проанализированы модели теплообменников простейших типов, в которых осуществляется передача тепла между двумя потоками — теплоносителем и хладоагентом. Во всех математических описаниях предполагается, что движение потоков теплоносителя и хладоагента характеризуется простейшими гидродинамическими моделями идеальное смешение и идеальное вытеснение . Кроме того, допускается, что коэффициент теплопередачи через стенку, разделяющую теплоноситель и хладоагеит, является постоянной заданной величиной, которая не зависит от их объемных расходов. Последнее допущение, строго говоря, неточно однако оно принято в дальнейшем для упрощения математических выкладок при решении задач оптимизации. [c.62]

Метод геометрического программирования сравнительно недавно стал применяться для решения задач оптимизации и в настоящее время находит все более широкое применение к решению самых различных задач. Геометрическое программирование представляет собой весьма удобный математический аппарат для решения целого ряда задач оптимизации в области техники, экономики и химической технологии. С некоторыми возможностями этого метода можно более детально познакомиться по опублико-ваннцм работам [1—4]. , [c.562]

Поиски оптимальных решений привели к созданию специальных математических методов и уже в XVIII в, были заложены математические основы оптимизации (математический аппарат бесконечно малого, вариационное исчисление, численные методы и др.). Однако до второй половины XX в. методы оптимизации во многих областях науки и техники применялись очень редко, поскольку практическое использование математических методов оптимизации требовало огромной вычислительной работы, которую реализовать без быстродействующей вычислительной техники было крайне трудно, а в ряде случаев и невозможно. Особенно большие трудности возникали при решении задач оптимизации процессов в химической технологии. [c.241]

Ряд методов оптимизации, как, например, динамическое программирование, дает достаточную информацию о чувствительности оптимума уже в процессе их использования для решения оптимальных задач. Другие методы менее приспособлены к анализу чувствител ,-ностн оптимума. Лишь для задач линейного программирования имеется до некоторой степени разработанный математический аппарат (параметрическое линейное программирование), позволяюи1Ий изучать поведение оптимального решения при измеиенпи коэффициентов математического описания . [c.39]

И. Следуег развивать исследования путем аппроксимации совершенных, но громоздких комплексных технико-экономичес-ких моделей с привлечением математического аппарата, например теории сплайнов и других методов. Реализация этой задачи позволит подойти вплотную к корректному и простому решению более сложных задач оптимизации технологических, энергетических и транспортных установок на основе простых и надежных технико-экономических аппроксимативных моделей, адекватных их более сложным аналогам — исходным моделям. [c.317]

Алгоритмизация этого этана состоит в разработке математических моделей типовых процессов химической технологии. Необходимо не только качественное, но и количественное описание явлений, определяющих процесс. К настоящему времени известно большое количество алгоритмов расчета типовых процессов, отличающихся степейью детализации отдельных составляющих модели, но, по сути, предназначенных для решения систем уравнений материального и теплового балансов, нельнейность которых зависит от точности описания равновесия, химической кинетики, кинетики тепло- и массопереноса, гидродинамики потоков. Объем входной информации зависит от точности модели, однако выходная информация подавляющего большинства алгоритмов практически одинакова профили концентраций, потоков и температур по длине (высоте) аппарата, составы конечных продуктов. Правда, соответствие результатов расчета реальным данным будет определяться тем, насколько точно в модели воспроизведены реальные условия. И все же, несмотря на обилие алгоритмов, нельзя сказать, что проблема разработки моделей (и соответственно расчета) решена — по мере углубления знаний об объекте модели непрерывно совершенствуются. Тем более что до сих пор в определенном классе процессов отсутствуют алгоритмы, обеспечивающие получение решения в любой постановке задачи и обладающие абсолютной сходимостью. Надо учесть еще, что задача в проектной постановке часто решается как задача оптимизации с использованием алгоритмов в проверочной постановке. [c.120]

Методы структурной оптимизации. Они предполагают на первом этапе определение способов реализации химического производства (выбор альтернативных способов ведения процесс на отдельных стадиях) и создание на их основе некоторой интегрально-гипотетической технологической схемы, включающей все возможные варианты распределения материальных и энергетических ресурсов. Оптимизация ведется по специально определенным структурным параметрам распределения потоков, значения которых обычно задаются в диапазоне от О до 1 и характеризуют разделение или разветвление некоторого выходного потока. Конечные значения параметров и определяют технологическую схему. Нулевые значения отдельных из них свидетельствуют об отсутствии соответствующей связи аппаратов. С математической точки зрения задача синтеза представляет собой решение систем нелинейных уравнений, соответствующих описанию отдельных элементов (подсистем), и уравнений, отражающих структурные взаимосвязи между этими элементами (подсистемами). Основными методами решения являются методы нелинейного программирования. В виду высокой размерности системы уравнений поиск оптимального решения (технологической схемы) представляет определенные трудности вследствие многоэкстремальности и нелинейности задачи. [c.438]

Для сложной схемы превращения при определении максимальной интенсивности следует добавить ограничение на селективность процесса по компоненту, который далее обозначен R S > "niin. В рассматриваемых здесь последовательной и параллельной схемах превращения частные реакции необратимые, и максимальная интенсивность процесса будет при Т ах- Но ограничение на селективность при этом может не выполниться. Процесс связанный - два его показателя (х и 5) взаимосвязаны в течение процесса. Корректное решение этой задачи оптимизации возможно с применением специального математического аппарата. Здесь приведем только конечный результат и объясним характер изменения оптимальной температуры с глубиной превращения. [c.151]

В книге рассмотрены типовые задачи оптимизации схем н математические модели их основных аппаратов (реакторов, абсорберов, ректификационных колонн, экстракторов, теплообменников и смесителей). Приведены расчет и алгоритмы программирования схем. Изложены различные методы решения задач оптимального проектирования сложных схем и управления производственными комплексами (методы первого и второго порядков, принцип максимума, динамическое программирование, подоитими-зация и др.). [c.4]

После выполненного исследования процессов, оценки возможностей математических моделей можно поставить эти задачи в форме, приемлемой для их решения определение оптимального уровня анолита в электролизере и оптимального расхода щелочи с целью оптимального управления процессом определение оптимального срока вывода электролизера на ремонт определение оптимального времени замены диафрагмы. Большое число одновременно работающих аппаратов в одном отделении приводит к тому, что по технологическим. причинам решение ряда задач оптимизации может быть осуществлено только на уровне всего отделения. К ним относится, прежде всего, оптимизация температурного режима электролизеров и оптимизация вывода их на ремонт. Первая задача не может быть решена на уровне единичного аппарата из-за технологической и экономической нецелесообразности питания электролизеров рассолом с индивидуальной тем1пературой. Вторая — вследствие ограниченных возможностей ремонтного участка по максимальному числу электролизеров, которые могут быть отремонтированы за день. [c.93]

Использование современных вычислительных средств и аппарата экономико-математических исследований способствовали успешному решению ряда задач оптимизации систем, постановка которых ранее казалась нереальной. Наибольший прогресс в теории техникоэкономических методов исследований систем подачи и распределения жидкости достигнут при использовании ЭЦВМ. В связи с этим в первую очередь должны быть упомянуты работы Л. Ф. Мошнина, [c.73]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология