Численное решение интегрального уравнения

В последнее время методы, основанные на решении интегральных уравнений и групповых разложениях, получили дальнейшее развитие. Эти методы приводят к результатам, как правило, только в численном виде. Кроме того, выполняются расчеты по методу Монте-Карло. [c.13]

Численное решение интегрального уравнения [c.255]

Метод статистической регуляризации. Разработаны методы решения некорректных задач [66—71], которые позволяют подойти к проблеме решения интегрального уравнения (2.25) с обш их позиций, т. е. независимо от вида ядра Р (р, р). При численном решении уравнения (2.25) его обычно сводят к системе линейных алгебраических уравнений [58] [c.35]

Ранее было установлено, что теплофизические свойства полимеров (к, р, Ср) существенно зависят от температуры. Следовательно, исходное дифференциальное уравнение (9.3-1) нелинейно. Известно только несколько аналитических решений нелинейного уравнения теплопроводности, поэтому приходится применять численные методы решения (метод конечных разностей и метод конечных элементов). Тем не менее существует некоторое количество приближенных аналитических методов, включая интегральный метод Гудмана [5]. [c.261]

При решении прямой задачи для эквивалентных генераторов любой сложности не возникает принципиальных трудностей, хотя результат может 1ть получен в аналитическом виде только для простейших моделей генератора и объемного проводника. Для более сложных моделей необходимо численное решение интегральных уравнений типа (3.153) и (3.164). [c.264]

Аналитическое выражение для времени разрушения получить не удается. Однако численное решение интегрального уравнения (3.64) особых затруднений не вызывает. [c.90]

Решение интегральных уравнений для корреляционных функций, расчеты численными методами, применение теории возму- [c.40]

Метод интегральных тождеств. Опишем метод построения разностных уравнений на основе интегральных тождеств, которым удовлетворяет точное решение дифференциального уравнения. Впервые метод интегрального тождества был предложен Г. И. Марчуком [1, 3] для численного решения диффузионного уравнения с разрывными коэффициентами. В работе [7] дан более общий метод построения интегральных тождеств, использующий вспомогательные дифференциальные операторы, которые допускают обращение в явном виде на каждом интервале разностной сетки и учитывают те или иные особенности дифференциального оператора исходной задачи. Частный случай такого подхода применялся в [10] при построении схем высокого порядка точности для одномерного уравнения теплопроводности. [c.145]

Мы видели, что даже на простейшей — гомогенной — стадии процесса они весьма громоздки и в сущности требуют применения численных методов для решения интегральных уравнений типа (6. 44). Еще значительно сложнее получились бы точные выражения для функции g (М). Напротив, приближенный статистический метод, использованный в 2 и 3, позволяет получить весьма полную качественную информацию о механизме гетерофазной полимеризации, основанную на анализе числа максимумов МВР и изменения их положений со степенью конверсии или при наличии гидродинамического поля. [c.233]

Соотношение (4.124) называется уравнением Прандтля для пограничного слоя. Численные решения этого уравнения найдены для весьма многих задач [16, 19]. Указанные решения называются точными решениями задач пограничного слоя . С другой стороны, приближенных решений, т. е. решений, которые получают, задаваясь формой профилей для в уравнениях (4.125)—(4.127), записанных через толщину пограничного слоя, значительно больше. Подобные решения иллюстрируются помещенными выше примерами. Уравнение (4.125) обычно называют интегральным соотношением Кармана. [c.140]

Анализ эффектов ХПЯ в слабых магнитных полях на основе численного решения кинетических уравнений для матрицы плотности РП (см. главу 2, 3) был предпринят в работе [86]. Было проанализировано влияние величины спина ядра на знак эффекта ХПЯ. Согласно [86], без учета обменного взаимодействия знак интегральной поляризации ядра со спином / в продукте геминальной рекомбинации РП определяется знаком произведения величин [c.123]

При применении методов, связанных с решением интегральных уравнений, часто пользуются приближениями, получая, например, численные решения путем итераций, проводя численное интегрирование, либо основываясь на использовании вариационных методов, разложения в ряд Тейлора и др. [c.29]

С целью выполнения расчетов и конструктивно-геометрической и электрической оптимизации реальных электродных систем разработаны математическая модель, алгоритм и программы для численного моделирования процессов электризации капель [25,37,72,75]. Модель использовала численное решение эллиптических уравнений по методу интегральных уравнений. При этом была обеспечена высокая точность расчетов (погрешность не выше 1-3%) при незначительном объеме вычислений и [c.61]

Однако, как указали впоследствии сами авторы [ ], интегральное уравнение, соответствующее уравнению (6.268), было решено в их первой работе неверно. Численное решение этого уравнения дало вместо (6. 269) [c.309]

В ряде случаев течения в свободноконвективном пограничном слое точное решение определяющих уравнений методом автомодельности невозможно. Тогда можно обратиться к методам возмущений или локальной автомодельности или к численному решению методами конечных разностей или конечных элементов. В большинстве случаев эти методы достаточно сложны, поэтому в качестве альтернативы можно воспользоваться интегральными методами, дающими простые приближенные решения уравнений пограничного слоя с приемлемой точностью. [c.161]

До сих пор мы говорили об использовании интегрального преобразования для получения аналитического решения той илм иной краевой задачи. Однако для достижения конечной цели интерпретации опытно-фильтрационных работ, т. е. для определения значений опытно-фильтрационных параметров, обратный переход от решения интегрального уравнения-аналога к решению исходного уравнения (от изображения к оригиналу), не является обязательным искомые параметры могут определяться непосредственно из полученного решения в изображениях [3]. Для этого необходимо лишь предварительно рассчитать значе-ния функции-изображения 15" (или Q), используя известные из наблюдений графики функций 9 (1) или Q t). Для численного определения изображения, отвечающего интегральному преобразованию Лапласа—Карсона вида (2.26), может использоваться следующая приближенная формула [10] [c.53]

Выявим основное отличие разностной методики восстановления граничного условия от полу аналитической, рассмотренной в гл. 4. Алгебраическое решение интегральных уравнений 1-го рода, соответствующих краевой постановке ОЗТ в области с неподвижными границами, соответствовало минимальному количеству дискретных переходов, а именно, аппроксимировались лишь краевые условия. При этом само уравнение теплопроводности конечно-разностной аппроксимации не подвергалось. В то же время численные алгоритмы решения ОЗТ предполагают дискретизацию не только условий на границе рассматриваемой пространственно-временной области, но и разностное представление уравнения теплопроводности как по координате, так и по времени. [c.91]

Описанные результаты относятся к наиболее простым случаям течения в ламинарном пограничном слое. При более сложной форме обтекаемой поверхности и произвольном распределении параметров внешнего потока необходимо решать систему уравнений в частных производных (31), (32) численными методами. Наряду с разработкой численных методов были сделаны попытки создать приближенные методы расчета, основанные на решении интегральных соотношений, составленных для всего пограничного слоя. Составим интегральное соотношенпе импульсов при установившемся течении в пограничном слое сжимаемой жидкости. Применяя уравнение количества движения к элементу пограничного слоя длины dx и единичной ширины, получим ( 5 гл. I) [c.299]

Сопоставление результатов численного решения точных интегральных (2.2) — (2.4), (2.7) и приближенных алгебраических (2.4), (2.10), (2.11) уравнений для целого ряда характерных случаев показало удовлетворительную точность метода локальной равнодоступной поверхности [104, ИЗ, 125] (для сравнительно простых реакций ошибка, как правило, не превышала 20%). Довольно хорошее совпадение приближенного и точного решений не следует переоценивать, так как приближенные уравнения (2.4), [c.181]

При больших числах Пекле (в приближении диффузионного пограничного слоя) в случае изотермической реакции порядка х = 1/2, 1, 2 проверка пригодности интерполяционного уравнения (5.6) проводилась во всем диапазоне изменения параметра к путем сравнения его корня Sh с точными результатами, полученными в 4, 5 для среднего числа Шервуда численным интегрированием соответствующ,их интегральных уравнений в случае поступательного стоксова обтекания сферы, кругового цилиндра, капли и пузыря. Результаты сопоставления точных и приближенных значений числа Шервуда показывают, что максимальное отклонение корня уравнения (5.6) от точного решения наблюдается при к Ре" = 1 -г- 5 и пе превышает 10%. [c.190]

Решение Соответствующего интегрального уравнения было получено численным методом в работе [23], причем при расчете авторы ограничились первым приближением по малому параметру Результаты расчета полного [c.294]

Выражения (1.26)-(1.28) используются и при расчете потенциала методом интегральных уравнений. Решение таких уравнений производится численными методами [32]) оно может быть выполнено и в тех случаях, [c.37]

С физической точки зрения речь идет о разбиении общей задачи о неизотермическом потокораспределении на последовательность из трех подзадач 1) попарного численного решения замыкающих интегральных уравнений (10.2) и (10.3) для каждой из ветвей цепи 2) изотермического расчета для увязки расходов и давлений (при фиксированных температурах) по всем элементам цепи 3) пересчета температурного поля цепи. [c.142]

Расчеты выполняли с использованием трехцентрового Ш5М-уравнения Орнштейна-Церни-ке с приближением Перкуса-Йевика в качестве уравнения замыкания. При численном решении интегральных уравнений использовали итерационную процедуру, предложенную в [17], основная идея которой состоит в использовании на текущем шаге итерации линейной комбинации результатов, полученных на нескольких (в нашем случае 6-8) предыдущих шагах. По сравнению с методом простых итераций, эта вычислительная схема обеспечивает более высокую скорость сходимости и позволяет глубже продвинуться в критическую область при выполнении расчетов. [c.37]

В методических указаниях рассмотрен общий подход построения интегральных кривых кислотпо-осповпого титрования с использованием уравнения электронейтральности. Онисан вариант численного решения общего уравнения кривой титрования. [c.2]

По изотермам адсорбции паров бензола, полученным при температурах 25 и 80°С весовым методом [8], были рассчитаны функции распределения объема микропористого пространства адсорбентов по размерам микропор (рисунок) путем численного решения интегрального уравнения ТОЗМ [9]. На рисунке в качестве характеристических размеров приняты радиус инерции к и полуширина щелевидной микропоры х [4]. [c.157]

Принципы, применяемые для получения уравнения сонолимериза-ции, могут быть распространены на системы, содержащие болео двух мономеров [3] действительно, было получено решение для общего случая системы, содержащей любое число мономеров 152]. Решение этого уравнения дает состав получающегося многокомпонентного сополимера с учетом состава сырья и отношений реакционных способностей сырья для всех комбинаций мономеров, входящих в систему. Таким образом, по дап-НЫЛ1, полученным для достаточного количества пар мономеров, может быть вычислен состав продукта, получающегося в любой многокомпонентной системе. Экспериментальное подтверждение довольно сложных уравнений было получено для ряда трехкомпонентных систем и одной четырех-компоиентной [30, 152], и были описаны численные методы для приближенного решения интегральных уравнений [131, 152]. [c.144]

В общем случае при = /оо (т) Ф onst нельзя получить точное аналитическое решение интегральных уравнений для поверхностной концентрации (2.2) — (2.4), (2.7). Поэтому приходится использовать методы численного или приближенного интегрирования этих уравнений. [c.180]

Интегральными называют уравнения, содержащие искомую функцию под знаком интеграла. Метод интегральных уравнений - один из наиболее эффективных численных методов решения задач по расчету потенциала и тока при контактной коррозии и электрохимической защите металлов. Он позволяет перейти от решени(=1 рассмотренных граничных задач при любых (в том числе и переменных по поверхности) значениях без-размериого параметра поляризации к в граничных условиях (1.25) к решению интегрального уравнения вида [c.264]

При решении задачи о контакте шероховатых тел рассматриваются в основном бесконечные тела и численная процедура сводится к итерационному решению интегрального уравнения типа Гаммерштейна [27]. [c.142]

Прежде чем рассматривать кинетические закономерности. х -рактерные для импульсного микрореактора, отметим, что в этом реакторе часто не достигается условие стационарности процесса. Этот факт можно использовать для получения дополнительной информации однако результаты, полученные в импульсном реакторе, могут оказаться нетипичными при работе в стационарных условиях. Если реагенты адсорбируются на катализаторе слабо и обратимо, импульс проходит через реактор со скоростью газа-носителя. При линейной изотерме адсорбции время просто умножается на константу закона Генри [14]. Для реакций первого порядка концентрационный профиль импульса и его размывание, происходящее при прохождении через реактор, не имеют значения. так как в единицу времени расходуется постоянная доля реагента независимо от концентрационного профиля [14]. На скорости реакций других порядков и типов, например реакций, подчиняющихся кинетическому уравнению Ленгмюра — Хиншелвуда, оказывают влияние концентрационные профили и размывание в реакторе, и простой анализ зависимости степени превращения от скорости потока газа-носителя может привести к неверным кинетическим уравнениям. Меррил и др. [59] дают численные решения дифференциальных уравнений потока и реакции в импульсном реакторе для распределения типа Гаусса и других концентрационных профилей и для нескольких типов кинетических уравнений. Из данных по гидрогенизации этилена на окиси алюминия в импульсном реакторе при использовании численных решений получено то же кинетическое уравнение типа уравнения Ленгмюра — Хиншелвуда, что и для проточного интегрального реактора. Бассет и Хебгуд [14] провели детальный анализ реакции первого по- [c.19]

Скорость движения сплошной фазы в окрестности частицы вследствие флуктуаций также является случайным процессом ш(х). Коэффициенты тепло- и массоотдачи а,, которые входят в (3.47), зависят от относительной скорости и оказываются тем самым также случайными функциями времени. Характер зависимости коэффициентов тепло- и массоотдачи от времени может быть определен либо в результате решения интегральных уравнений теплового и диффузионного потоков через пограничный слой с учетом случайного характера зависимости скорости обтекающего частицу потока от времени, либо при помощи полуэмпирических уравнений, связывающих коэффициенты тепло- и массоотдачи со скоростью обтекающего частицу потока. Первый путь является более общим, однако решение интегральных уравнений для тепловых и диффузионных потоков в условиях случайных распределений скоростей в пограничном слое представляет собой достаточно сложную в математическом отношении задачу и выигрыш в общности и точности может быть потерян при неизбел ных упрощениях в процессе численного решения этих уравнений. [c.184]

Если теперь сравнить отмеченные особенности ошибок численного решения с аналогичными ошибками в полуаналитическом методе, можно заметить характерные отличия. Алгебраическое решение интегрального уравнения остается возмущенным в любой момент времени, начиная с появления импульсной ошибки во входной температуре. При этом, если в области устойчивости ДРо > ДРо р, погрешность решения быстро затухает с течением времени, то при ДРо< ДРо1 р происходит интенсивное нарастание ошибок. В то же время численное продолжение температурного поля характеризуется конечной областью влияния исходной ошибки на восстанавливаемое граничное условие. Поэтому можно ожидать, что вследствие дискретизации уравнения теплопроводности по временной переменной практическая устойчивость разностного решения ОЗТ будет наблюдаться при меньших значениях ДРо, нежели в случае интегральной формы задачи. Данный вывод подтверждается результатами решения методических примеров. [c.93]

В настоящее время метод математического моделирования получил широкое распространение в различных областях науки и техники. Это объясняется большим развитием численных методов и вычислительной техники. Достаточно полно и подробно разра1бо-таны численные методы решения трансцендентных, дифференци альных, интегральных уравнений и систем, уравнений в частных производных и многих других задач, встречающихся в практике, [c.261]

Существует два способа расчета параметров жидкости в пограничном слое. Первый способ заключается в численном решении системы дифференциальных уравнений пограничного слоя, впервые полученных Прандтлем, и основывается на использева-пии вычислительных машин. В настоящее время разработаны различные математические методы, позволяющие создавать рациональные алгоритмы для решения уравнений параболического типа, к которому относится уравнение пограничного слоя. Такой подход широко используется для определения характеристик ламинарного пограничного слоя. Развиваются приближенные модели турбулентности, применение которых делает возможным проведение расчета конечно-разностными численными методами и для турбулентного потока. Второй способ состоит в нахождении методов приближенного расчета, которые позволяли бы получить необходимую информацию более простым путем. Такие методы можно получпть, если отказаться от нахождения решений, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям для каждой частицы, и вместо этого ограничиться отысканием решений, удовлетворяющих некоторым основным уравнениям для всего пограничного слоя и некоторым наиболее важным граничным условиям на стенке и на внешней границе пограничного слоя. Основными уравнениями, которые обычно используются в этих методах, являются уравнения количества движения и энерпш для всего пограничного слоя. При этом, однако, необходимо задавать профили скорости и температуры. От того, насколько удачно выбрана форма этих профилей, в значительной степени зависит точность получаемых результатов. Поэтому получили распространение методы расчета параметров пограничного слоя, в которых для нахождения формы профилей скорости и температуры используются дифференциальные уравнения Прандтля или их частные решения. Далее расчет производится с помощью интегрального уравнения количества движения. [c.283]

Общие результаты в области строгих методов, полученные Майером и Мак-Милланом, Кирквудом и Баффом (40-е, 50-е годы), оказали существенное влияние на развитие теории разбавленных растворов. Большие успехи связаны с применением интегральных уравнений для функций распределения в растворах. В частности, найдено решение уравнения Перкуса—Йевика для смесей твердых сфер, получены численные решения уравнения для смесей леннард-джонсовских жидкостей. Эти результаты, важные сами по себе, оказали, кроме того, сильное влияние на развитие теории возмущений для растворов, поскольку теория получила удобные стандартные системы с известными свойствами. Данное обстоятельство, а также разработка эффективных, быстро сходящихся разложений обусловили очень большие успехи в теории возмущений для растворов (как и для жидкостей) за последнее десятилетие. По-видимому, теория возмущений является в настоящее время наиболее плодотворным методом в статистической [c.398]