Возмущение разложение по возмущениям

Ньютоновские жидкости в верхнем (I) и нижнем (2) объемах считаются несжимаемыми,несмотря на специфическое распределение в них растворенного вещества. Общие решения линеаризованных гидродинамических уравнений для малых возмущений в жидких объемах получаются при помощи стандартных приемов, классическое описание которых можно найти, например, в прекрасной книге Чандрасекара [I]. Решая уравнение Навье — Стокса в каждой из объемных фаз (I) и (2) при помощи разложения возмущения нормальной компоненты скорости (координата 2 ) по фурье-компонентам, получаем [c.46]

Асимптотические разложения при S ->-oo, Рг->-0. В этом случае вновь применяется метод возмущений при использовании разложений, примененных в разд. 3.8 для жидких метал-лов (Рг->0). Соотношения (3.8.31) — (3.8.37), описывающие изменение функции тока и температуры во внутренней и внешней областях, дополняются следующим разложением, описывающим поле концентрации во внутренней области [c.384]

Исследованиями разлагателя амальгамы как объекта регулирования [39, 71, 72] установлено, что параметром регулирования для разлагателя является концентрация получаемого каустика, которую необходимо поддерживать постоянной. Регулирующим воздействием в данном случае является расход воды, поступающей на разложение, возмущением — количество натрия в амальгаме, которое определяется токовой нагрузкой и коэффициентом выхода по току. [c.20]

Методы возмущений заключаются в разложении зависимых переменных в ряд по степеням известной величины, считающейся малой. В зависимости от того, является ли известная величина параметром или координатой, метод носит соответственно название параметрического или координатного возмущения. Разложенная в ряд зависимая переменная подставляется в основное дифференциальное уравнение. Приравнивая члены с одинаковыми степенями известной величине, получают систему дифференциальных уравнений для решений последующих порядков. [c.28]

В квантовой механике мы сталкиваемся с тем, что уравнение Шредингера невозможно решить точно для подавляющего большинства систем, за исключением простейших. Поэтому мы вынуждены удовлетвориться получением приближенных решений этого уравнения и попытаемся сделать их настолько близкими к точным решениям, насколько это возможно. Наиболее общий подход заключается в том, чтобы написать решение в виде разложения по известному набору функций, согласно выражению (6.39), и затем изменять коэффициенты С до тех нор, иока не получится наилучшая волновая функция. Существует два общих метода получения приближенных решений волнового уравнения — метод возмущений и вариационный метод. [c.103]

Б работе [ 54] приведены выражения для моментов переходов двухатомной молекулы с Аи- 147, полученные о использованием шестого порядка теории возмущений. Разложение дипольного момента взято до седьмой степени нормальных координат [32]. Рассчитаем вклады а величину момента перехода основного колебания от всех производных, вплоть до пятой для молекулы H L (первое слагаемое - вклад Р ,второе - Р - и т.д.), Д [c.43]

Регулирующим воздействием в данном случае является расход воды, поступающей на разложение, возмущением количество натрия в амальгаме, которое определяется токовой нагрузкой электролиза. [c.104]

При исследовании жидкостей и растворов методами теории возмущений исходят из того, что свойства некоторой стандартной системы известны различие в термодинамических функциях исследуемой и стандартной систем связывают с различиями в потенциалах межмолекулярного взаимодействия. Эти различия и выступают в роли параметров возмущения, по которым разлагают термодинамические функции исследуемой системы около свойств стандартной. Точность теории зависит от того, насколько хорошо выбрана стандартная система (желательно чтобы ее свойства были близки к свойствам исследуемой) и насколько быстро сходится рассматриваемое разложение. За последние годы заметный прогресс достигнут как в изучении систем, которые могли бы служить стандартными, так и в нахождении эффективных, быстро сходящихся разложений [13]. [c.57]

Указанные правила отбора и поляризации выводятся с помощью квантовой механики, но могут быть также более элементарно обоснованы с точки зрения принципа соответствия ( 8). Разложение возмущенного движения на гармонические компоненты выражается формулой [c.378]

Линеаризация нелинейных членов в уравнениях. При методе малых возмущений предполагается, что отклонение от стационарного состояния невелико. Поэтому все нелинейные члены принимаются постоянными или находящимися в линейной зависимости от независимых переменных. При кусочной линеаризации диапазон отклонения разбивается на области, и для каждой из областей записываются линейные формы нелинейных членов при этом предполагается, что указанные формы применимы в пределах данной области. Иногда нелинейные члены разлагаются в ряды различного вида и в пределах рассматриваемой области используются первые члены ряда линеаризация разложением в ряд). [c.106]

Аналогично выражению (1) можно записать неравенство, выполнение которого будет определять область несущественного влияния того илп иного фактора, например эффективной диффузии или теплопроводности внутри пористого зерна катализатора, на нестационарный и в частном случае на стационарный режим. Что касается исследования близости решений щ и Um в окрестности начальных точек для сингулярно возмущенных систем, то выбор начальных условий, являющихся решением стационарной задачи, позволяет избежать рассмотрения временного пограничного слоя и сращивания внешнего и внутреннего асимптотических разложений [13]. [c.8]

Остановимся далее на экспериментальных оценках величин масштабов времени переходного процесса на поверхности катализатора. Подобранные данные по исследованию методом отклика [16] каталитических процессов [35—69] сведены в табл. 1.1. Некоторые реакции, в частности окисление СО [35—42] и пропилена [29, 61], разложение N 0 [43—45], изучались на разных катализаторах и при различных условиях. В большинстве случаев возмущение создавали путем ступенчатого изменения концентрации реагентов на входе в реактор. Здесь же приведены оценки масштабов времени переходных режимов Л/к, рассчитанные по выражению (1.7), а также значения величин М/, определяющих динамику каталитического цикла. Значение Л// оценивалось из выражения Л// /[4И (оо)] [69], в котором Ь = 10 —10 ам/м — это число активных мест адсорбции на поверхности катализатора, а И (< ) определяет скорость реакции в стационарном режиме, отнесенную к единице поверхности катализатора [И (оо)] = [молек./(м - с)]. [c.23]

Эффект неаддитивности имеет место и при рассмотрении возмущений второго порядка в том случае, когда электронные оболочки двух молекул перекрываются [73]. Все представленные выше результаты для дальнодействующих сил в действительности справедливы лишь в пределе при очень больших расстояниях. Это объясняется двумя причинами. Во-первых, в выводах используется простое произведение волновых функций без обмена во-вторых, мультипольное разложение, используемое для возмущенной части оператора Гамильтона, справедливо лишь для точек пространства, расположенных вне области распределения заряда. [c.204]

А. Одномерные системы. Разложение в ряд решений для температурного поля. Нестационарные распределения температуры всегда можно рассматривать как следствия возмущения первоначально стационарного распределения. В общем случае возмущение происходит из-за изменения состояния окружающей среды в определенный момент времени (/= , ). Для удобства примем = 0. Тогда температурное распределение будет полностью определенным для любого времени >0, если известно первоначальное распределение [c.217]

Аналитическое решение подобных задач в настоящее время сопряжено с трудностями, которые можно условно разделить на две группы. Трудности первой группы связаны с математической формулировкой задач физической и химической кинетики. Возникает вопрос о пригодности классического математического аппарата для описания интересующих нас физических явлений. Вторая группа трудностей связана с методами решения кинетических уравнений. Все аналитические методы так или иначе связаны с разложением искомых величин в ряд по малым параметрам. В целом ряде случаев, представляющих большой теоретический и практический интерес, отсутствуют возможности выделения таких параметров. Однако более серьезным является, по-видимому, вопрос об обоснованности самой теории возмущений. При процедурах разложения в ряд часто не учитываются члены высших порядков, что может привести к сильному искажению реальной физической картины. [c.201]

Таким образом, полученные данные показывают, что использовать эффективный сферически симметричный потенциал в теории возмущений для полярных жидкостей необходимо с осторожностью, предварительно анализируя пределы его справедливости. Например, в случае ацетона, потенциальная энергия для которого характеризуется следующими параметрами з = 4,600 А, //г = 560,2°К и [А = 2,90 D, приведенный дипольный момент имеет значение л = = 1. Следовательно, разложение (9) справедливо при значениях г от 1 до 3 для температур до 280°К (низшая температура) при значениях г > 1 температурный интервал расширяется вплоть до тройной точки ацетона (178 °К). [c.45]

Амплитуда волны возмущения экспоненциально увеличивается с течением времени. Поэтому через некоторое время одна из волн — компонент разложения Фурье — с данной величиной к станет преобладающей среди всех остальных компонент. Такие возросшие до максимума колебания слоев жидкости происходят повсюду в рассматриваемом объеме, и первоначально ровная поверхность жидкости полностью разрушается. [c.33]

Малость потенциала возмущения по сравнению с кТ обеспечивает, очевидно, более быструю сходимость разложения для свободной энергии, и поэтому важно, чтобы стандартная система не очень сильно отличалась от исследуемой. В то же время требуется, чтобы стандартная система была достаточно изучена, чтобы для нее имелась достаточно строгая теория. С учетом этих двух обстоятельств в современных вариантах теории возмущения для простых жидкостей в качестве стандартной системы выбирают обычно флюид твердых сфер. Действительно, [c.384]

Так как возмущение Я (О есть функция времени, коэффициенты разложения также должны зависеть от времени. Итак, [c.96]

Специфической особенностью полимерных систем является то, что при их статистическом описании каждой молекуле полимера можно поставить в соответствие определенную диаграмму. При этом О-потенциал (П1.12) равновесного ансамбля макромолекул может рассматриваться как сумма бесконечного числа таких диаграмм. Эта сумма представляет собой ряд теории возмущений, сходящийся в области достаточно высоких температур Г, который получается при разложении логарифма статистической суммы, если ее представить в виде функционального интеграла. Здесь наблюдается явная аналогия с разложением по диаграммам Фейнмана, которое возникает при теоретико-полевом подходе в статистической механике многочастичных систем [180—183]. По образному выражению Фрида [2, с. 110], ящик с разветвленными и сшитыми молекулами полимера представляет собой ящик, наполненный фейнмановскими диаграммами . [c.248]

Указанного недостатка лишены континуальные модели полимеров, в которых используется аналогия между конфигурациями полимерных молекул и фейнмановскими диаграммами теории поля. Ее лагранжиан выбирается из условия воспроизведения при диаграммном разложении в ряд высокотемпературной теории возмущений правильных значений статистических весов (вероятностей) отдельных молекул в полимерном ансамбле. [c.288]

В последние годы было показано, что графы весьма полезны для представления некоторых важных в химической физике процессов и явлений. Они полезны при описании взаимодействий (квантовомеханических и статистически-механических), взаимопревращений изомеров, частичного упорядочивания молекулярных свойств, механизмов химических реакций и т, д. После опубликования книги Балабана [1], стимулирующей интерес к этой области, появились многочисленные работы, посвященные дальнейшим впечатляющим применениям теории графов в химии. Графы дают возможность конкретных описаний многих абстрактных величин, применяемых в хи-мии или физике. Классическими примерами использования графов в химической физике являются диаграммы Фейнмана, применяемые в диаграммной теории Возмущений для многочастичных систем [2], и графь Майера — Майер для представления интегралов в методе кластерного разложения. Таким образом, изучение этих графов дает некоторое представление о таких абстрактных проблемах. [c.278]

Изложение материала подчинено теории возмущений разложение оператора энергии на нулевое приближение и возмущение, исследование задачи в нулевом приближении, выбор базиса, вычишение матричных элементов секулярной матрицы, ее диагонализация. Таким образом, сразу вводим рассмотрение приближения промежуточной связи. Приближения 5- и //-связей возникают на последнем этапе как предельные случаи секулярной задачи, когда становится возможным ее приближенное решение. Такой способ компановки материалов имеет некоторое преимущество перед традиционным, когда к теории возмущений прибегают трижды в сочетании с приближением Х5-связи, в сочетании с приближением//-связи и, наконец, в схеме промежуточной связи. [c.116]

При использовании теории возмущений ценным оказывается применение теории групп (см. гл. 6). Анализ симметрии позволяет отобрать равные нулю интегралы. Например, таким способом можно установить, равна ли нулю поправка первого порядка к энергии и какие коэффициенты в разложении первого порядка для волновой функции или в разложении второго порядка для энергии оказываются равными нулю. Подобные данные фактически составляют основу подхода Бэйдера—Пирсона (см. разд. 5.7) или эффекта Яна— Теллера второго порядка, определяющего форму симметричных молекул. [c.25]

Если возмущение скорости роста кристалла задано выражением (III.88), то из рещения уравнения (III.86) с граничными условиями (III.87), которое здесь не приводится в силу его громоздкости, следует, что наложение синусоидальных колебаний с произвольно выбранной частотой на среднюю скорость кристаллизации приводит к установлению колебаний концентрации примеси на поверхности раздела фаз той же частоты, что и колебания скорости роста. Это вызывает неравномерное поступление легирующих примесей в кристалл, которые вследствие малой дифузии образуют в нем примесные полосы. Решение показывает, что на величину стационарной концентрации примеси в твердой фазе, равной Рпр, накладываются колебания от каждой фурье-компоненты разложения возмущения скорости роста, определяемые равенством [c.91]

Следует иметь в впду, что уравнение (14) выведено на основе квантовой теории возмущений и суммирование является математическим следствием разложения возмущенной волновой функции в бесконечный ряд невозмущениых волновых функций. По этой причине переходы, которые, как подразумевается, произойдут через промежуточные состояния, обозначают как виртуальные переходы [135]. Хотя уравнение (14) применяли [c.361]

Помимо установления факта адекватности анализа в терминах белого шума, развитая теория возмущений дает также явные выражения, по крайней мере для важного случая ОУ-шума, для количественных поправок, обусловленных конечностью вре мени корреляции шума. Отметим, что теория возмущений строится как систематическое разложение по е, т. е. по корреляционному времени или по обратной спектральной ширине, и поэтому, при желании, поправки могут быть определены с точностью до произвольного порядка. В заключение прокомментируем один технический момент разложения по теории возмущения сходимости (х) и р (х) в общем случае неоднородны. На [c.286]

Это выражение действительно совпадает с формулой, полученной с помощью теории возмущений, разложением по малому спектральному параметру (8.106), т. е. в линейном по Ткорр приближении метод разложения по параметру спектральной ширины и немарковская приближенная схема Санчо и Сан Мигуэля эквивалентны. Отсюда следует, что использование приближенного оператора типа ФП дает в общем случае хорошее приближенное выражение (в первом порядке от Ткорр) для стационарной плотности вероятностей немарковской системы. Этот результат апостериори оправдывает те процедуры, которые использовались при выводе выражения для оператора типа ФП. Провести сравнение при учете членов более высокого порядка оказывается невозможным. Оператор эволюции в этом случае отличается от фоккер-планковского типа, и функция р1(х) явно не вычисляется. [c.298]

В нестабильной с точки зрения гермоцинамики области меньше нуля и система является нестабильной по отношению к малым возмущениям, чьи волновые числа меньше критического значения. Существование конечного критического волнового числа предполагает наличие доминантного волнового числа, при котором коэффициент роста достигает максимального значения. Такое динамическое рассмотрение помогает выяснить значение понятий стабильной и нестабильной системы. Такое рассмотрение позволяет также оценить пространственный и временной масштабы, с псж10-щью которых можно получить дополнительную информацию о системе. Действительно, обратная величина коэффициента роста для Д1>-минантного волнового числа является параметром характеризующим временной масштаб, а обратная величина доминантного волнового числа характеризует пространственный масштаб. Для того чтобы получить выражение дпя временного масштаба, разложим функцию зшрг в рад и оставим только два первых члена разложения. Уравнение (23) перепишется в следующем виде [c.458]

При граничных условиях (11.71) уравнение (11.70) не имеет аналитического решения даже в простейшем случае обтекания сферы в стоксовом режиме при Ке < 1. При условии Ре О и Ке < 1 задача была решена методом возмущений [59—б2[. Акривос [61] получил решение для случая малых, но конечных Ре, используя метод сращпвания ассимптотических разложений по Ре [63]. Этот метод использовали также Гупало и Рязанцев [64], решая задачу для случая конечных значений Ке и приняв в качестве компонентов скорости величины, полученные Прудманом и Пирсоном [65]. [c.208]

Для изучения процесса смешения в рассматриваемой системе, описываемой произвольной топологической ячеечной структурой, проследим поведение меченых частиц, введенных с питающим потоком в виде ступенчатого возмущения. Будем характеризовать процесс смешения вектором F (т) с координатами (тп) — вероятностью полного заполнения мечеными частицами г-й ячейки. Как и в случае изменения состояния системы, примем, что частицы с некоторой вероятностью могут перейти только из i-й ячейки в /-Ю, соединенную с i-й ячейкой потоком остальные переходы за малый промежуток времени At невозможны. Тогда вероятность изменения концентрации меченых частиц в -й ячейке за счет /-й, при разложении в ряд Тейлора и выделении первого члена, составт Pj = QjJVf) At, а вероятность того, что концентрация не изменится, с учетом выражения (4.49) можно представить в виде Pii=i+(QiilVf) At. [c.263]

Методом сращиваемых асимптотических разложений [121 в работах [13, 14] получены первые приближения разложений по малому параметру решения системы (2), возмущенной одним и упомянутых выше факторов. Доля ненревращенпого реагента на выходе из слоя выражается формулой, аналогичной (3) [c.49]

Расчеты по теории возмущений с учетом членов второго порядка малости дали значения термодинамических функций, хорошо согласующиеся с результатами вычислений по методу Монте-Карло и с экспериментальными данными для плотного аргона причем согласие оказалось лучше, чем при расчетах по уравнению Перкуса — Йевика. Более быстрая сходимость разложения наблюдалась при высоких плотностях, когда стандартный флюид твердых сфер почти несжимаем и изменения в структуре затруднены. [c.386]

Общие результаты в области строгих методов, полученные Майером и Мак-Милланом, Кирквудом и Баффом (40-е, 50-е годы), оказали существенное влияние на развитие теории разбавленных растворов. Большие успехи связаны с применением интегральных уравнений для функций распределения в растворах. В частности, найдено решение уравнения Перкуса—Йевика для смесей твердых сфер, получены численные решения уравнения для смесей леннард-джонсовских жидкостей. Эти результаты, важные сами по себе, оказали, кроме того, сильное влияние на развитие теории возмущений для растворов, поскольку теория получила удобные стандартные системы с известными свойствами. Данное обстоятельство, а также разработка эффективных, быстро сходящихся разложений обусловили очень большие успехи в теории возмущений для растворов (как и для жидкостей) за последнее десятилетие. По-видимому, теория возмущений является в настоящее время наиболее плодотворным методом в статистической [c.398]

Заметим, что разложения (XIV.41) и (XI.42) по форме аналогичны разложениям (XIII.75), (XIII.76), рассмотренным ранее в теории возмущений для,чистых жидкостей. Различие состоит в том, что для растворов стандартной системой выбрана беспорядочная смесь, а в качестве потенциала возмущения выступает величина U — <(/>, т. е. разность между потенциальной энергией раствора заданной конфигурации и средним потенциалом (XIV.38). [c.409]

Представление статистической суммы в виде функционального интеграла (IV.18) удобно для построения диаграммной техники теории возмущений. Выражение в квадратных скобках в правой части формулы (IV. 18) после разложения экспоненты в степенной ряд приводится к стандартному для теории поля полиномиальному виду. Произвольному члену этого ряда будет отвечать определенная диаграмма, по которой восстанавливается его аналитическая формула с помощью следующих правил. Каждой из вершин диаграммы в соответствии с ее координатой Г сопоставляется множитель Z (г ), а соединяющему находящиеся в точках г,- и г, верпшны ребру приписывается множитель [—7(г — г )/Г]. После этого по координатам всех вершин производится интегрирование. [c.261]

Основная идея использования решеточных моделей заключается в выборе такого гамильтониана, чтобы соответствующие ему высокотемпературные ряды теории возмущений и отвечающие им диаграммы в точности воспроизводили диаграммное разложение для рассматриваемой полимерной системы. Это означает совпадение вероятностной меры па множестве диаграмм решеточной модели (ребра которых выделены штриховыми линиями) физического взаимодействия. Кроме того, предполагается выполненным суммирование но внутренним степеням свободы (например, поттсовским переменным О гамильтониана (1.60)) с вероятностной мерой на множестве молекул полимера различных конфигураций и конформаций. Такое соответствие получается при использовании тех или иных вариантов модели Поттса с произвольным числом компонент дис последующим предельным переходом по параметру д, предельное зиаче-ние которого определяется спецификой рассматриваемой модели. Для получения конкретных результатов в решеточных моделях обычно используется их теоретико-полевая формулировка. [c.286]

Для создания синусоидальных колебаний применяют специальные устройства, которые достаточно сложны. Поэтому обычно подают периодическое возмущение типа прямоугольная волна . Тякое колебание может быть разложено в ряд Фурье Л( ) и ф(оз) определяют, как сказано выше, используя первую гармоническую составляющую этого разложения. [c.697]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология