Некоторые математические соотношения

НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ [c.569]

В то же время длину эллипса можно рассчитать только с помощью интегрирования или вычисления бесконечного ряда. Вспомним некоторые математические соотношения. Окружность можно задать в параметрической форме [c.84]

Рассмотрим некоторые математические соотношения. [c.21]

Если ввести некоторые постоянные соотношения между различными физическими величинами, то можно, изучая проведение одного процесса, исследовать другой, имеющий ту же структуру математического описания. Такое аналоговое моделирование на основе электро-механических, оптико-механических, электро-диф-фузионных и других аналогий используется очень широко. Естественным развитием метода аналогий является математическое моделирование, т. е. изучение процесса с помощью математической машины, осуществляющей расчеты по математическому описанию процесса. [c.75]

Наиболее Точный метод расчета равновесия основан па применении некоторого уравнения (уравнения состояния) ко всем фазам системы. Это уравнение является математическим соотношением между параметрами состояния системы — чистого вещества или смеси. С его помощью можно описать не только свойства фаз, такие, как давление, температуру, объем, но и рассчитать энтальпию, энтропию, фугитивности или химические потенциалы и, таким образом, определить равновесие. [c.98]

Некоторые из соотношений, к которым приводит эта теория, будут указаны в 159. В целом же теория при большой сложности математических соотношений применима только для растворов с концентрацией, не превышающей 0,01—0,05 н. В. К. Семенченко указал (1922), что при более высоких концентрациях может происходить ассоциация ионов, когда противоположно заряженные ионы сближаются и влияют друг на друга, хотя не так сильно, как при типичном образовании молекул. [c.393]

В настоящей главе в общих чертах поясняется порядок расчета с помощью изложенных ранее термодинамических соотношений и описываются некоторые математические методы вычисления равновесных параметров парожидкостных систем. Можно пользоваться и другими методами те, которые предлагаются в данной работе, были развиты и применены ее авторами. [c.54]

Благодаря точному математическому соотношению для плотности тока вращающийся дисковый электрод широко применяется при решении разнообразных практических задач. Так, зависимость предельного диффузионного тока от концентрации реагирующего вещества используется в аналитической химии. При помощи вращающегося дискового электрода можно определить число электронов п, участвующих в электродном процессе. Это особенно важно при установлении механизма электродных реакций, в которых участвуют органические вещества. При определении п обычно сравнивают предельные диффузионные токи для исследуемого вещества и для какого-либо другого близкого по строению (а следовательно, и по величине D ) вещества, механизм электровосстановления которого известен. Некоторые различия в коэффициентах диффузии при этом не играют роли, так как п имеет только целочисленные значения. Если же величина п известна, то уравнение (VIИ. 15) может быть использовано для точного расчета коэффициента диффузии реагирующего вещества. [c.178]

В основе этой теории лежит требование совпадения размерности обеих частей равенств, выражающих связь между физическими величинами. Целесообразнее всего удовлетворить это требование, если выражать физические законы в виде соотношений между безразмерными комплексами. Теория размерностей, таким образом, позволяет излагать законы природы в форме, не зависящей от выбранных единиц. Это обстоятельство, в частности, используется для контроля физических расчетов, поскольку в применяемых уравнениях должны совпадать размерности их правых и левых частей. Теория размерностей дает возможность предсказания некоторых физических соотношений, если заранее известно, какие величины могут влиять на изучаемое явление. Рассмотрим простой пример, относящийся к зависимости давления идеального газа Р от объема V. Молекулы такого газа можно считать математическими точками и давление должно зависеть от следующих величин массы одной молекулы т, средней скорости молекул от их числа п в единице объема п1У. Следовательно, Р = (т, и, п/У). Обозначим размерность длины через Ь, массы через М и времени через Т. Интересующие нас величины имеют размерности Р — Ь МТ , т — М, и — LT и п1У — Предполагая, что функция / степенная, введем пока неизвестные показатели степени [c.366]

В простейших случаях искомые теоретические закономерности удается представить в явной форме, позволяющей непосредственно определить взаимосвязи основных параметров объекта. Однако при изучении более сложных систем приходится прибегать к их существенной идеализации в виде определенных упрощений и ограничений, позволяющих без утраты основных свойств объекта описать его приемлемыми математическими средствами. Иными словами, реальный объект при его рассмотрении заменяется некоторой упрощенной моделью. Однако искомые зависимости далеко не всегда можно представить в явной форме, и они могут быть выражены лишь в неявном виде посредством одного или нескольких математических равенств, например интегральных уравнений. В подобных случаях принято говорить о математической модели объекта, подразумевая под ней совокупность математических соотношений с определенной идеализацией, но достаточно адекватно отображающих его основные свойства и позволяющих исследовать поведение объекта и его количественные характеристики в различ-268 [c.268]

Их применение имеет некоторый смысл и дает более или менее верные результаты в частных случаях, когда отсутствует эффект насыщения и полезность продукта линейно зависит от значений отдельных качественных характеристик. Такие условия выполняются для ряда видов продукции. Например, полезность угля почти пропорциональна его теплотворной способности, полезность шины — ее ходимости, полезность стали — ее прочности, хотя и в этих случаях значимость главного качественного свойства находится в сложном синергизме с другими (для угля — с содержанием серы, фосфора, влаги и т. п.). Но чаще указанные свойства не соблюдаются. Выход — в построении модели формирования интегрального уровня качества конкретного продукта с отображением реально складывающихся математических соотношений потребительского эффекта (полезности) продукта и его отдельных параметров. В первую очередь следует учитывать, что большинство качественных характеристик имеет так называемый порог насыщения, [c.405]

Хроматографический процесс, протекающий в колонке, описать с помощью математического уравнения в общем виде необычайно трудно, поскольку приходится учитывать одновременное действие многих факторов-Все теоретические выкладки, с помощью которых пытались выявить зависимость эффективности разделения от отдельных переменных, носят приближенный характер. Математические соотношения получены лишь при некоторых допущениях, упрощающих решение. Принимая такие допущения, постепенно пришли к представлению об идеальной хроматографии, которую можно охарактеризовать следующими наиболее общими положениями [c.16]

Анализ уравнения (24) показывает, что относительная ошибка измерения может быть уменьшена за счет увеличения и ф. Причем в случае измерения препарата с заданной точностью между величинами и должно существовать некоторое оптимальное соотношение, зависящее от п и Пф. Это оптимальное соотношение должно отвечать минимальному значению относительной ошибки в уравнении (24). С математической точки зрения этот вопрос сводится к нахождению минимума функции. Приравняв к нулю первую производную по времени в уравнении (25) [c.235]

Методика получения математических выражений, относящихся к индивидуальным вариантам метода добавки стандарта, не так проста, как для других методов, Вероятно, поэтому в литературе можно найти некоторые ошибочные соотношения, предложенные для вычисления при применении этого метода. Этот вариант подвергнут анализу [89]. [c.79]

Для общего случая, когда диффузионные ограничения могут оказывать влияние как на перенос газообразного реагента, так и на перенос жидких реагентов и продуктов, математические соотношения между скоростями и различными переменными не выводятся. Указаны только возможные эксперименты и их значение. Большая часть предложенных экспериментов ведет свое начало от оригинальных работ Юнгерса и его школы. Они применялись в основном в различных работах по катализу [3, 4, 59—62], в исследованиях, посвященных выщелачиванию [3] или электрохимическим процессам [63—65], а также были объектом систематического изложения в двух общих работах [3, 4] и в работе [66], не относящейся к школе Юнгерса. В последующем изложении мы хотим дать некоторого рода руководство по экспериментальному исследованию диффузионных процессов в реакторах с перемешиванием для всех случаев, когда процесс не соответствует простой модели, изложенной в предыдущем разделе, и когда отсутствует достаточно полная информация [c.177]

Некоторые из соотношений, к которым приводит эта теория, будут указаны в 186. В целом же теория при большой сложности математических соотношений обладает применимостью только при концентрациях, не превышающих 0 01—0,05 и. Выводы из этой теории находятся в хорошем согласии с экспериментальными данными для очень разбавленных водных растворов. Однако, как показывают многочисленные исследования разных авторов, при более высоких концентрациях эта теория оказывается недостаточно полной, чтобы объяснить опытный материал. В. К. Семенченко (1922) указал, что при более высоких концентрациях может происходить ассоциация ионов, когда противоположно заряженные ионы сближаются и влияют друг на друга, хотя не так сильно, как при типичном образовании молекул. [c.528]

Четкие закономерности в ходе изменения температур кипения и плавления в пределах различных рядов заставляют предполагать существование математических соотношений между молекулярным весом (или длиной цепи) и этими температурами в самом деле, некоторые эмпирические соотношения были предложены. Так, например, уравнение Остина log М = ВТ -f А связывает молекулярный вес М с температурой плавления Т вещества А ж В — константы для данного ряда). Предложено также несколько-уравнений, связывающих температуры кипения с другими молекулярными свойствами. Подобные уравнения обычно весьма точны в пределах более или менее широких границ. Используемые в них молекулярные свойства весьма различны (например, число атомов углерода или объем атомов, составляющих молекулу). Очевидно, что всеобъемлющее математическое уравнение должно быть очень сложным, поскольку весьма сложен характер сил. межмолекулярного взаимодействия. [c.126]

Мы постараемся здесь изложить в максимально сжатой форме основные положения теории групп, необходимые для понимания тех физических процессов, в которых симметрия может быть использована для упрощения математических соотношений или для предсказания возможности возникновения некоторых явлений в рамках физических представлений. [c.224]

Обычно Сц Сп Сг при низкой температуре, когда скорость химической реакции невелика, а подвод газообразного реагента из газовой фазы к поверхности частицы и по ее порам внутрь частицы обеспечивается при небольшом диффузионном напоре. С увеличением температуры или размера частиц выше некоторых пределов соотношение между скоростями диффузии и химической реакции может измениться это приведет к нарушению условия равенства концентраций. Реакция при этом переходит в область, для которой справедливы уравнения Сц < <Сп Сг, Сц>0, Сг (рис. 66, 6). в этой области, обычно называемой первой переходной, процесс в основном протекает на контурной поверхности частицы, но поскольку влияние скорости реагирования газа в порах частицы на суммарную скорость реакции еще значительно, то математическое описание процесса в этой области затруднено. [c.179]

Рассматриваются вопросы, связанные с использованием математических моделей для разработки прогнозов диффузного загрязнения рек и водоемов. Обсуждаются основные процессы, влияющие на интенсивность выноса загрязняющих веществ с водосборных территорий в водные объекты. Анализируются известные методы оценки вклада неточечных источников, приводятся некоторые регрессионные соотношения между характеристиками водосборов и величиной нагрузки на водные объекты, обусловленной поверхностным стоком. Описываются математические модели, предлагаемые отечественными и зарубежными авторами, а также комплексные компьютерные модели неточечных источников для урбанизированных и сельскохозяйственных территорий. [c.2]

Ответ. Я считаю, что теория резонанса не содержит в себе в принципе никаких расчетов, а является идеалистической интерпретацией некоторых математических соотношений. В основе ее лежит представление о несуществующих в действительности фантастических структурах и несу-ществую1цем явлении резонанса. [c.190]

Связь между Епор и Еа можст быть записана в виде некоторого математического соотношения лишь для конкретного вида функции распределения, а энергия активации зависит от нее [c.113]

Прямой метод описан в гл. 13 работы [3], и с ним необходимо познакомиться. Здесь же мы только укажем, что программа расчета прямых методов включает математическое соотношение, которое позволяет производить отнесение к сильным отражениям, основываясь на приближенных соотношениях между фазами групп отражений. Можно также оценить точность отнесения. Фазы можно приписать некоторым отражениям, а другие отражения получат фазы исходя из первоначального их набора. Если эту процедуру осуществить до того уровня, при котором фазы получают восемь или десять отражений одного независимого атома, то можно получить карту электронной плотности, показывающую содержимое ячейки. Как правило, процесс фазирования может требовать отнесения к некоторым точкам гипотетических значений, так что иногда находят до восьми возможных фазовых схем. Программа MULTAN 74 способна выбрать среди них наиболее вероятную. Она также включает алгоритм обработки данных, который учитывает предположительное число, тип и даже группировку атомов в элементарной ячейке (не их положения или ориентации, которые, естественно, неизвестны). Кроме того, MULTAN 74 облегчает поиск -карты для атомов в положении связывания, что приводит к согласованию предпола- [c.403]

Для кинетического описания даже простейшей двухстадийной односторонней мономолекулярной реакции требуется составлять и решать систему дифференциальных уравнений. Если число стадий превышает две и некоторые из них являются бимолекулярными или тримолекулярными, то математические соотношения усложняются. В связи с этим в химической кинетике используются приближенные методы, позволяющие упростить математические расчеты. Таким широко распространенным приближенным методом служит предложенный Боденштейном метод стационарных концентраций. [c.327]

На рис. 21 видно, что изотермы, полученные по уравнению БЭТ, имеют точку перегиба (допустим, У) при с > 2. Эта точка расположена близко к точке М (но не обязательно совпадает с ней), в которой х1хт=и т. е. где рассчитываемая по уравнению БЭТ адсорбция равна значению Хт- Получение соотношения между положениями точек М п У требует некоторых математических выкладок. [c.61]

Решетка — математическое понятие. Она может быть определена как группа точек, получающаяся при трехкратном пересечении трех семейств параллельных эквидистантных плоскостей. Пространство разделяется этими плоскостями на параллелепипеды, называемые примитивными элементарными ячейками. Одна ячейка приходится на каждую точку решетки. При некоторых особых соотношениях между расстояниями и ориентацией плоскостей решетка получает свойства симметрии, дополнительные к центрам симметрии, которыми любая решетка, в этом строгом смысле, всегда обладает. Так, если три ребра элементарной ячейки, пересекающиеся в одной вершине, равны и образуют равные углы друг с другом, пространственная диагональ ячейки, проходящая через эту вершину, является тройной поворотной осью симметрии и решетка называется ромбоэдрической. Если к тому же эти ребра проходят под прямыми углами по отношению друг к другу, симметрия является кубической. Это простая кубическая решетка. Но симметрия является кубической также, если углы между этими равными ребрами составляют 60 или 109,5°. Но тогда примитивная элементарная ячейка имеет более низкую симметрию, чем решетка, и мы используем элементарные ячейки иного рода, более чем с одной точкой решетки на ячейку. Эти непримитивные элементарные ячейки выбираются с целью выявить по возможности полную симметрию решетки. Первый из этих двух случаев дает нам гранецент-рированную кубическую решетку. Ее непримитивная элементарная ячейка представляет собой куб с точками решетки в центрах граней и в вершинах, а примитивная ячейка этой решетки имеет узлы в двух вершинах куба и в шести центрах граней. Второй случай представляет объемноцентрированную кубическую решетку, непримитивная элементарная ячейка которой есть куб с точками решетки в центре куба и в его вершинах. Примитивная ячейка этой решетки имеет атомы в четырех вершинах и в центре одного куба и еще в центрах трех смежных кубов, прилежащих к первому. Четырнадцать различных способов, которыми истинная решетка, т. е. такая, для которой возможен выбор примитивной ячейки с одной только точкой решетки, может получить специальные свойства симметрии такого рода операцией, были установлены Бравэ соответствующие элементарные ячейки приводятся во всех учебниках кристаллографии. Преимущества использования этих последних ячеек перед примитивными ячейками состоит в том. [c.12]

Для разделения весьма малых количеств многокомпонентных смесей на индивидуальные компоненты широко применяют методы хроматографии на бумаге и в тонком слое. Неизбежно, что с развитием этих методов должны предприниматься некоторые попытки количественного определения индивидуальных компонентов в зонах. Первые попытки такого рода сделаны в 1949 г. Фишером, Парсонсом и Холмесом, предложившими измерение размеров зон. Пэди и Тру-тер в 1962 г. ввели методы, основанные на математическом соотношении между площадью зоны и количеством присутствующего в ней вещества, которые успешно используются в настоящее время. Однако широкое распространение получили и физико-химические методы оценки зон при хроматографическом разделении на бумаге и в тонком слое. [c.7]

Обычно математическое соотношение, на котором основана теория метода, является уравнением некоторого физического процесса. В зависимости от того, какой физический процесс используют, методы исследований подразделены на газодинамические (наблюдения за движением газа), акустические (наблюдения за распространением звуковых волн, возникаюпщх при движении газа и жидкости в пористой среде) и геофизические (наблюдения за электрическим удельным сопротивлением, электрохимической активностью, тепловым сопротивлением, начальной восприимчивостью естественной радиоактивности и др.). [c.106]

Описание и изображение всех 230 пространственных групп, а также важнейшие математические соотношения, характеризующие пространственные группы с точки зрения рентгеност >уктурного анализа, приводятся в двух известных справочниках — Международных таблицах для определения кристаллических структур немецкого издания и английского изданияВ этих справочниках для обозначения пространственных групп используются так называемые международные символы, построенные из обозначений типа решетки и основных элементов симметрии соответствующих пространственных групп. С целью унификации и большей легкости чтения во втором (английском) издании Международных таблиц символы некоторых пространственных групп несколько изменены по сравнению с первым (немецким) изданием. [c.47]

Существуют две точки зрения. Согласно одной из них, теория резонанса есть результат неправильного, необоснованного истолкования тех математических соотношений, которые применяются в некоторых квантово-химических методах расчета молекул. Сами по себе методы расчета имеют право на существование как грубо приближенные, несовершенные способы. Из самих этих методов расчета никоим образом не следует ни идеалистическая теория резонанса Паулинга, ни идеалистическая теория мезомерии Ингольда. Обе эти теории ве вытекают из квантов о-химических методов расчета и не являются каким-либо следствием приблин енпых методов квантовой механики. Сравнение выводов, вытекающих из квантовой механики и ее приближенных методов, с основными положениями теории резонанса убеждает нас в этом. Изложенная точка зрения мне представляется единственно правильной. [c.185]

Что касается самой интерпретации, то вряд ли о ней нужно дальше распространяться. Свою точку зрения об этом я уже высказал. Эта теория безусловно несостоятельна ни в научном, ни в методологическом, ни в философском отношении. Теория резонанса является идеалистической, махистской теорией, потому что понятиям, не имеющим никакого реального смысла, понятиям, по существу и математически пеобоснован-иым, приписывается реальное существование. В рамки явления возводятся некоторые, весьма случайные математические соотношения, в данном случае ничего не отражающие. [c.234]

Ситовые материалы, используемые в колонках, обеспечивают эффективное удаление маленьких молекул из потока, позволяя более крупным молекулам беспрепятственно проходить через колонку. В табл. 21-2 перечисляется нескольрю веществ, адсорбирующихся некоторыми типами сит, выпускаемых одной из фирм. Очевидно, что этот тип разделения может иметь большое значение. Поскольку в данном случае разделение основано не на различии в коэффициентах распределения, математические соотношения, выведенные в гл. 19, не применимы, и метод, строго говоря, не является хроматографическим. [c.437]

Понятие об обесцененной энергии полезно также и при необратимых процессах. При таких процессах говорят, что некоторое количество энергии стало бесполезным для работы. Примем, что мерой бесполезного изменения энергии в процессе служит минимальное количество работы, необходимое для возвращения всей системы в состояние, существовавшее до необратимого изменения. Пусть эта работа равна До. Так как система возвращается к своему исходному состоянию, то Д(У=0, и поэтому работа должна равняться теплоте Ро в тепловом источнике. Единственный источник, которому мы можем продолжать отдавать любое количество теплоты без заметного изменения его температуры, это — атмосфера или большие массы воды при температуре Т . Между прочим, если бы эта теплота отдавалась источнику при ка1юй-либо температуре более высокой, чем наинизшая температура Т, окружающей среды, то можно было бы получать большее количество работы, а для минимальной работы получается отдача тепла при Тц. Возрастание энтропии этого источника равно ЛS = QQ/To, что также равно системы, поскольку обратный процесс считается обратимым. Следовательно, возвращенная работа равна QQ=ToAS. Таким образом, мы видим, что понятие обесцененной энергии приводит к тем же самым математическим соотношениям, как и полученные выше. [c.119]

Этот метод используется и для описания процесса распространения электромагнитных волн, и в частности рентгеновских лучей. В предыдущих главах комплексные функции не вводились, для того чтобы не затушевывать формальными математическими соотношениями физическую сущность дифракции рентгеновских лучей. В настоящей главе вопросы атомного рассеяния, рассеяния конечной совокупностью атомов и дифракции рентгеновских лучей кристаллом будут рассмотрены с новой, в математическом отношении, точки зрения, что позво-I лит вывести некоторые формулы, которые были приняты ранее без I доказательства (в частности, формулы интерференционного фактора, i температурного фактора и фактора интегральности), и ввести понятие I структурной амплитуды — одно из центральных понятий теории I рентгеноструктурного анализа. [c.81]

В своем знаменитом фарадеевском чтении Периодическая законность химических элементов (1889 г.) Д. И. Менделеев особо подчеркнул те достижения учения о химических элементах, которые непосредственно способствовали открытию закона периодичности. Менделеев выделил три основные частные предпосылки (9, стр. 210—213], три ряда данных, без которых нельзя было бы явиться периодической законности . К их числу относятся 1) уточнение понятия атомный вес в духе идей Канниццаро, ибо только такие истинные, а не какие-либо условные атомные веса могли подлежать обобщению 2) установление факта, что между атомными весами сходственных элементов существует некоторое общее простое соотношение . Менделеев характеризует работы в этом направлении Т. Гладстона, Л. Гмелина, А. Кремерса, А. Кука, Ф. Ленссена, М. Петтенкоффера, Ж. Дюма и А. Штреккера, которые обнаружили ряд математических соотношений между атомными весами элементов естественных групп. В этой связи весьма примечательно замечание, сделанное в 1859 г. А. Штреккером [10] и цитируемое Менделеевым ...отношения между атомными весами (или эквивалентами) химически сходственных элементов, конечно, едва ли могут быть приписаны случайности. Но ныне мы должны предоставить будущему отыскание законности, проглядывающей между указанными числами 3) накопление к концу бО-х годов таких новых сведений о редких элементах, которые открыли пх разносторонние связи между собой и с другими элементами . [c.228]

Применим этот взгляд на природу размерных постоянных к уже затронутой задаче об электромагнитной массе сферически распределенного электрического заряда. Это, разумеется, — электродинамическая задача, которую надо решать, пользуясь уравнениями поля. Уравнения поля содержат некоторые математические операторы, применяемые к определенным сочетаниям электрической и магнитной силы и к скорости света. В нашей частной задаче мы хотим решить уравнения в такой форме, чтобы определить электромагнитную массу. Это — объемный интеграл от некоторой постоянной, умноженной на плотность энергии, причем последняя определяется распределением сил, обусловливаемых распределением заряда. Если имеется соотношение, подозреваемой нами формы, то силы должны исключиться в окончательном результате. Нет, однако, оснований думать, что характеристическая постоянная с уравнений также элиминируется. Мы должны, следовательно, искать связи между общим зарядом, массой, радиусом и константой уравнения поля, т.е. скоростью света. Такое соотношение нами уже найдено и сверено с результатами детального решения уравнений поля, примененных к данной проблеме. [c.62]

Доменные печи и регенераторы. Для случая переменного движения горячих газов над более холодной насадкой, заполняющей некоторую камеру, или для случая периодического движения холодного воздуха через нагретую йасадку, математические соотношения оказываются весьма сложными. [c.180]