Собственные колебания функции

Подставив сюда выражения для функций Крылова (3.24) при аргументе, равном kl, получим после преобразований sh (kl) sin (kl) = = 0. Так как sh (kl) Ф О, получим частотное уравнение в виде sin kl) == 0. Его корни kl = пп, где п 1, 2, 3,. .. С использованием выражения (3.22) найдем частоты собственных колебаний [c.65]

Поскольку собственная частота трубы есть главным образом функция диаметра трубы и ее пролета, на рис. П6.7 показаны собственные колебания гладких труб при изгибе, соответствующие первой моде, в функции длины тру- [c.152]

Полученную расчетом переходную функцию линейной математической модели следящего привода целесообразно представить в виде графической зависимости, на которой наглядно показаны основные величины, характеризующие быстродействие и колебательность привода. Примерные графические зависимости переходных процессов следящих приводов при ступенчатом входном воздействии изображены на рис. 3.19, где обозначены Уд (оо) — установившееся значение координаты выходного звена Ауд их — максимальная динамическая ошибка (величина перерегулирования) буд — зона допустимой погрешности или нечувствительности 1с — время срабатывания следящего привода — период собственных колебаний пер время переходного процесса. [c.222]

Групповая скорость соответствует скорости распространения вершины импульса. Часть энергии распространяется со скоростью, превышающей групповую, и возможно частичное наложение сигналов, переносимых различными волнами. Поэтому особое значение приобретает рассмотрение нестационарных процессов, обусловленных импульсным возбуждением звукопровода. Соответствующая задача может быть решена применением к уравнениям движения, а также начальным и граничным условиям двойных интегральных преоб -разований - синус-косинусного преобразования Фурье для пространственных координат и преобразования Лапласа по времени. Решения в замкнутом виде получены лишь для простейших случаев, имеющих ограниченное практическое значение. Однако можно предположить, что на значительном расстоянии от места возбуждения для не слишком высоких частот характер возмущения практически не зависит от распределения возмущающей нагрузки по возбуждаемому сечению стержня. Показано, что если изменение возбуждающей функции/(0 происходит за время, которое велико по сравнению с наибольшим периодом собственных колебаний тела, эффекты, обусловленные пространственным распределением приложенной силы, затухают на расстояниях, сравнимых с размерами тела, определяющими наименьшую частоту собственных колебаний (динамический принцип Сен-Венана). [c.122]

Таким образом, функция распределения частот нормальных колебаний в трехмерной решетке прямо пропорциональна квадрату частоты Число ёзз собственных колебаний решетки, или трехмерного континуума, в интервале частот от V до v-f[c.114]

В теории Дебая [1281] (1912 г.) одноатомное кристаллическое тело рассматривается как непрерывная изотропная упругая среда, имеющая бесконечно большое число собственных колебаний с частотами от О до (Отах, причем принимается, что функция распределения частот в этом интервале имеет вид [c.139]

Таким образом, собственные колебания кристалла (1.30) нумеруются индексами (к, а). Собственные функции (1.30) часто называют нормальными модами колебаний. [c.35]

Обратим внимание прежде всего на то, что функция О (8, к), рассматриваемая как функция переменной е, имеет полюс в точке е = = со (к), т. е. в той точке, где со (напоминаем, что е = со ) совпадает с частотой одного из собственных колебаний. Таким образом, мы приходим к следующему важному свойству функции Грина полюсы компонент Фурье функции Грина определяют спектр собственных частот кристалла, или, другими словами, его закон дисперсии. [c.47]

Однако более интересен случай О < е < со , когда частота со попадает в интервал сплошного спектра. Отмеченное выше наличие полюса у компонент Фурье функции Грина должно привести нас к заключению, что интеграл (1.70) в этом случае не имеет смысла (он расходится). Точнее, он не имеет смысла при буквальном его понимании, когда параметр е считается вещественным. Но подобная особенность поведения колебательной системы характерна для любой резонансной ситуации, при которой пренебрежение затуханием (диссипацией) собственных колебаний всегда приводит к бесконечно большим амплитудам колебаний, как только частота возбуждающей силы совпадает с одной из собственных частот системы. [c.48]

Проанализируем (13.9), имея прежде всего в виду рассмотрение собственных колебаний типа плоских волн, т. е. коллективных возбуждений кристалла с точечными дефектами. Такие колебания характеризуются волновым вектором к и частотой ю. Закон дисперсии со == со (к), связывающий вещественные значения со и к, есть первичная характеристика элементарных возбуждений и, как было отмечено в 2, определяется полюсами функции Грина кристалла в (е, к)-представлении. Поэтому прежде всего обсудим вопрос о полюсах функции (13.9), т. е. о корнях уравнения [c.227]

Сначала рассмотрим основные колебания, которые соответствуют переходу между основным состоянием гро и первым возбужденным состоянием г1)1. В разделе 4Б показано, что функция полносимметрична, а г] принадлежит к тому же представлению, что и нормальная координата 11, т. е. собственно колебание. Поэтому произведение принадлежит тому же типу симметрии, что и само колебание. При перемножении типа симметрии этого произведения и типа симметрии или а,й мы получим выражения вида (76) или (77) соответственно. Если эти два типа симметрии одинаковы, то их произведение может принадлежать только к полносимметричному представлению. Для невырожденных типов симметрии это правило можно легко проверить, используя таблицу характеров оно остается справедливым также и для вырожденных типов [11]. Поэтому нормальное колебание может быть активно в ИК-или КР-спектре только в том случае, если оно принадлежит к тому же типу симметрии, что и компонент вектора дипольного момента М или тензора поляризуемости a h соответственно, так как только тогда произведения (76) и (77) полносимметричны. [c.97]

Определим функцию распределения числа колебаний по частотам, описывающую спектр собственных колебаний. Пусть g((u)u u дает число частот в интервале от со до oj + d(o, а W k)dk — число колебаний в интервале волновых чисел от k до k + dk. Тогда [c.375]

Исследование нестационарных моментов преследовало цель установить характер пульсаций момента, т. е. определить, являются ли эти пульсации чисто случайными или суммой случайных и периодических пульсаций, и выявить скрытые периодичности, т. е. определить амплитуды и частоты этих периодических пульсаций. Перед началом испытаний были теоретически и экспериментально определены частоты собственных колебаний измерительных устройств с учетом присоединенных моментов инерции воды. Были также определены экспериментально логарифмические декременты затухания, чтобы можно было вычислить частотные передаточные функции измерительных устройств. [c.256]

Появление пика Я (со) на частоте собственных колебаний измерительного устройства объясняется особенностями преобразования случайной функции линейным звеном, каковым является измерительное устройство. Известно, что спектральные плотности входной и выходной функции связаны соотношением [1061 [c.262]

Частотная передаточная функция измерительного устройства имеет при со = р (р — частота собственных колебаний) максимум, равный лЮ ф — логарифмический декремент затухания). Таким образом, измерительное устройство со слабым затуханием резко увеличивает спектральную плотность выходного сигнала в узкой полосе частот вблизи со = р. При изменении частоты собственных колебаний устройства за счет увеличения жесткости мерной балочки пик функции Я (со) отмечался на этой новой частоте. Следовательно, случайные пульсации момента занимают весьма широкую полосу частот, в которую обязательно попадут собственные частоты крутильных и изгибных колебаний направляющей лопатки натурной машины. Это означает, что в натурных условиях следует ожидать вибраций с частотой собственных колебаний. Чтобы ограничить амплитуды этих вибраций, нужно стремиться иметь сильное затухание. [c.262]

Исследование частот собственных колебаний и модуля упругости образцов из стеклопластиков при температурах до 350° С дано в [25]. Показано, что отношения частот, полученных соответственно при повышенной и нормальной температурах, не зависят от типа образцов, а являются функцией только температуры. Характер зависимости модуля упругости от температуры определяется изменениями, происходящими в связующем. [c.237]

Таким образом, квантование не влияет на спектр и поляризацию собственных колебаний, но затухание их испытывает гигантские квантовые осцилляции, описываемые функцией М Н). [c.325]

В прошлых лекциях мы рассмотрели вопрос о собственных колебаниях. Перед нами возник вопрос о том, как приспособить решение к начальным условиям. Дело сводится к тому, чтобы разложить заданную функцию, удовлетворяющую краевым условиям, в ряд по собственным функциям. Доказательство разложимости можно провести с помощью интегральных уравнений, пользуясь тем, что собственные функции удовлетворяют интегральному уравнению. [c.471]

Будем считать, что задача о собственных колебаниях решена, и, значит, функции ф,-(х) известны. Тогда С могут быть вычислены по формуле [c.484]

Если бы В этих уравнениях обратились в нуль правые части, то они описывали бы собственные колебания инерционной системы. Как всегда, квадрат собственной циклической части тут должен равняться множителю при самой функции в левой части уравнений. Следовательно, в данном случае циклическая частота свободных колебаний системы должна равняться 2оз = 2о) sin ф. [c.651]

Ниже этой граничной частоты волновой процесс в канале не возбуждается. Эта критическая частота соответствует частоте собственных колебаний в направлении, перпендикулярном к оси X с модой (т, п, 0). Если на грани х = О задано вынужденное распределение скоростей в виде ( , г), то после разложения этой функции в двойной ряд Фурье по собственным функциям для колебаний в направлении, перпендикулярном к оси канала, мы придем к выводу, что для симметричного распределения скоростей, относительно центра канала имеют место колебания с четными числами т, п, а также с модой (О, 0). Для несимметричного распределения моды будут нечетными. [c.61]

Поскольку коэффициенты а, вещественны, то из рис. 8 следует, что ПОЛЮСЫ функции a,( i ) совпадают с нулями и уравнение F ( lЮ = О дает характеристические числа )Х,(Х2- -для задачи собственных колебаний газа в цилиндрической трубе. Следовательно, случай з соответствует резонансу между [c.89]

Выражение (3.21) представляет собой уравнение гармонических колебаний с частотой со. Уравнение (3.22) определяет собственную форму колебаний балки. Его решение можно записать с использованием функций А. Н. Крылова [c.63]

Здесь v > — вектор v — линейная функция, переводящая произвольный вектор с в . Результат действия линейного отображения lv> или просто v. Из (3.192) видна самосопряженность К относительно скалярного произведения <я Ь> и ее отрицательная определенность в инвариантном подпространстве 5, являющемся линейной оболочкой векторов V . Все собственные значения К — отрицательные действительные числа, поэтому ТДР является устойчивой по первому приближению точкой типа узел , и вблизи нее невозможны затухающие периодические колебания. Такие колебания, однако, возможны, пока система находится вдали от ТДР. При этом концентрации некоторых веществ могут многократно, но ограниченное число раз, проходить через локальные экстремумы, общее число которых определяется как типом кинетики, так и механизмом сложного процесса. Для кинетики Аррениуса и линейного механизма общее число колебаний не превышает — 1 раз [85]. [c.242]

Таким образом, матрица констант скорости К подобна симметричной матрице Р. Известно, что собственные числа подобных матриц одинаковы, а собственные числа симметричных матриц действительны. Таким образом, все величины действительны и в рассматриваемой системе реакций первого порядка не может возникнуть колебаний, даже затухающих, и функции С ( ) могут иметь только конечное число экстремумов, не превышающее ранга матрицы констант скорости К- [c.72]

Функции к == [ ( 2) соответствуют четыре ветви, расположенные кососимметрично относительно осей О и к, поэтому можно рассматривать правую или верхнюю полуплоскость. Частотам собственных колебаний невращающегося вала соответствуют точки пересечений ветвей кривой с осью к. [c.367]

Более подробно это будет обсуждаться в разд. 2.4.) Такая формулировка средних величин поразительно схожа с формализмом квантовой механики, задаваемым через функцию состояния . Более того, как мы видели, уравнения, которым удовлетворяют и имеют одинаковую математическую структуру. Аналогия простирается и далее. Ранее мы нашли, что решение уравнения Лиувилля можно выразить через ряды по собственным состояниям оператора Л, т. е. по функциям ехр (— сОпО X X фп (р, ч) (см. уравнение (2.64)). Каждая такая функция, будучи решением уравнения Лиувилля, представляет возможное независимое состояние системы. Для многомерных периодических систем расширенные собственные состояния ехр ( Есог г )-фп (01,. . 0N) становятся связанными с собственными колебаниями такой системы. Задача с начальными данными, решение которой дается выражением (2.101), иллюстрирует значение элементов матрицы (п 1 бЛ 1 п ). Коэффициент — это распределение собственных состояний, характеризуемых вектором п. Элементы (п 1 бЛ 1 п ) пропорциональны вероятности того, что взаимодействие бЛ индуцирует переход от множества п к множеству п. Для очень слаб1ых взаимодействий, когда е, имеют место только переходы первого порядка тогда как если 8 значительно, то и переходы второго порядка будут вносить вклад в скорость изменения (0). В переходах второго порядка бЛ означала индуцирует изменение от п" до п, а затем от п до п. [c.77]

Первый член всегда равен нулю, кроме случая, когда о = и" вследствие ортогональности собственных волновых функций Следовательно, этот член не дает вклада в интенсивность колебательных переходов, однако именно он определяет интенсивность вращательного спектра. Второй член будет равен нулю всегда, кроме случая, когда хотя бы одно квантовое число v изменяется на единицу (т. е. Ду =. Ы) и производная да у1ддХ отлична от нуля. Следовательно, в приближении гармонического осциллятора в спектре комбинационного рассеяния могут проявляться только частоты основных колебаний. Более того, не все основные частоты будут разрешены, а именно проявляться будут только частоты, связанные с нормальными колебаниями, при которых происходит изменение поляри- зуемости. [c.133]

В последнее время в качестве рабочего органа буровых машин применяются гидравлические ударники, которые работают по схеме автоколебательных систем. Гидроударная машина состоит из возвратно-поступательно движушегося бойка — поршня и устройства для распределения жидкости, периодически возбуждаюшего гидравлический удар. Источником энергии является поток промывочной жидкости, протекаюшей в колонне бурильных труб, усредненный расход которой постоянен. При автоколебаниях гидроударника вид силовых функций задается автоколебаниями, т. е. зависит от координат и скоростей. Если период изменения этой силы при изменении какого-либо параметра системы (например, расхода жидкости) становится близким к периоду собственных колебаний системы диссипативного типа, то такие системы характеризуются как резонансные, автоколебательные. [c.149]

Теперь рассмотрим переходы между различными колебательными уровнями одного и того же электронного состояния, т. е. инфракрасную или КР-снектроскопию. Здесь правило отбора похоже на правила (6) или (7) за исключением того, что используются функции Хг и Xf. Как указывалось выше, каждая колебательная волновая функция должна принадлежать к одному из тиг пов симметрии точечной группы молекулы. В частности, первый возбужденный колебательный уровень (у = 1) имеет симметрию перемеш ений ядра, соответствуюпцих собственно колебанию. [c.13]

Собственные значения и собственные функции. Рассмотрим теперь некоторые существенные вопросы, возникающие в связи с уравнением (4.9). Нетрудно понять, что рещения f x) могут иметь смысл только для определенных конечных значений длины волны X. Эти длины волн соответствуют собственным колебаниям натянутой струны. Указанные значения называются иногда характеристическими значениями, но чаще всего, особенно в связи с аналогичными величинами, встречающимися в квантовой механике, применяется термин собственные значения. Соответствующие функции, являющиеся решениями уравнения (4.9), называются собственными функциями нли волновыми функциями. Эти функции должны удовлетворять определенным условиям, которые в рассматриваемом случае самоочевидны. Во-первых, на каждом конце струны f(x) должна равняться нулю, так как в зтих точках система является фиксированной, и, следовательно, амплитуда колебания в них равна нулю. Во-вторых, /(ж) должна быть однозначной и конечной между пределами х, соответствующим двум концам струны другими словами, в данный момент времени в каждой точке колеблющейся струны алшлит да имеет определенную величину. Важность этих соображений относительно X и /(ж) станет вскоре очевидной в связи с обсуждением основного уравнения волновой механики. [c.34]

Гистерезисные потери, свойственные резине, определяют ее способность к быстрому затуханию собственных колебаний, т. е. способность резинового амортизатора проявлять самоторможение. Большими гистерезисными потерями обладают высокоэластичные мягкие (низкомодульные резины), но амортизаторы из таких резин имеют большую осадку и значительное теплообразование. В существенно различных частотных режимах как жесткость, так и гистерезисные свойства резины оказываются р азпыми. При деформациях, протекаюпщх с большой частотой, способность резины гасить колебания будет меньшей. Для глушения периодических колебаний поршневых и роторных машин, приборных панелей и других целесообразно применять резиновые амортизаторы с возможно меньшей собственной частотой [53 ]. Для этого следует применять мягкую эластичную резину (типа № 1847). Поглощение же буферами ударного возбуждения связано с рассеянием больших количеств энергии. Для этой цели наиболее подходят высокомодульпые малоэластичные резины (типа № 2959). Однако практически обе эти функции нередко выполняются одними и теми же деталями, что и приходится учитывать при выборе типа резины. К числу немногих примеров лишь антивибрационных амортизаторов колебаний можно отнести подушки для опор двигателей. [c.198]

Функции к = f(Q) соответствуют четыре ветви (жирные линии на графике), расположенные кососимметрично относительно осей й и л, поэтому можно расс.матрнвать либо правую, либо верхнюю полуплоскость. Частотам собственных колебаний невращающегося вала соответствуют точки пересечений ветвей кривой с осью X. [c.378]

В дебаевском приближении твердое тело рассматривается как гомогенный унругоизотропный континуум. Внутренняя энергия такого континуума представляется как сумма энергий стоячих волн. Такой континуум обладает бесконечным числом собственных колебаний, но, поскольку реальное твердое тело построено из конечного числа частиц, спектр ограничивается максимальной частотой Утах, причем последняя находится из условия нормировки [ См. уравнение (11.1)]. Рассмотрев скорости распространения продольных и поперечных волн, Дебай получил функцию распределения частот в виде [c.46]

Основой для развития квантовой теории теплоемкости анизотропных структур послужили работы Тарасова [5—9]. Использовав континуумный подход Дебая, он теоретически рассмотрел законы распределения частот собственных колебаний для цепных и слоистых структур и показал, что эти законы различаются для линейного континуума частоты равномерно распределены по всему диапазону от О до Утах, а для двухмерного — линейно возрастают от О до Vmax. Обобщенная функция распределения частот для т-мерного континуума, по Тарасову, имеет следующий вид [c.47]

Второй максимум соответствует периоду собственных колебаний столба воды в центральной трубе он значительно меньше. Период собственных колебаний столба воды в центральной трубе буя является функцией длины трубы и может быть аппроксимирэван приближенной формулой [c.82]

На физическом язы1 е колебания нормальной компоненты скорости описывают собственные колебания внутри гидродинамического резонатора — сдвигового течения. Модуль амплитудной функции волны можно рассматривать как ее форму вдоль координаты у, тогда как фаза, которая тоже зависит от у, обозначает временные сдвиги колебаний и в различных слоях среды. При решении уравнения (1.19) с однородными краевыми условиями находятся такие значения а, и со, при которых имеется нетривиальное решение. В общем случае получается неявная зависимость между а, р ъ о>, задаваемая так называемым характеристическим или дисперсионным (вековым) уравнением [c.29]

Самоустанавливающиеся колодки уплотнительных колец служат дополнительной опорой валу и, с одной стороны, повышают частоту его собственных колебаний, а, с другой стороны, являясь источником гидродинамической силы, пошгают кольцу самоцентрироваться и облегчают отслеживание поперечных перемещений ротора. Для выполнения этих функций зазоры под колодками выбирают значительно меньшие, чем под уилотнительными кольцами, но достаточные для нормальной работы узла уплотнения. [c.138]