Применение волнового уравнения

Частица в ящике. Простым примером применения волнового уравнения, результаты которого будут рассмотрены в гл. Vni, является применение его к системе, называемой обычно частицей в ящике. Представим себе отдельную частицу, [c.42]

Волновое уравнение для твердого тела выводят [1] путем применения второго закона Ньютона к элементарному объему [c.15]

Используемые приближения ограничивают точность, достигаемую при определении полной энергии в молекулярных расчетах. Наиболее распространенный предел этой точности обусловлен применением волновых функций в рамках приближения независимых частиц. Если бы используемая волновая функция обладала достаточной гибкостью, позволяющей получить точное рещение уравнений Хартри — Фока (так называемый хартри-фоковский предел), то при этом результат расчета все равно включал бы еще ошибку, поскольку волновая функция не содержит межэлектронных расстояний. Разность энергий между хартри-фоковским пределом и истинной нерелятивистской энергией системы называется корреляционной энергией [c.234]

Волновое уравнение для твердого тела выводят [219, 220] путем применения второго закона Ньютона к элементарному объему с1х< у 2. Разность сил, приложенных к противоположным его граням, приравнивают к произведению массы на ус- [c.16]

Соответствующее волновое уравнение, полученное применением оператора (V + ), имеет вид [c.162]

При малых значениях относительной скорости и, когда борновское приближение неприменимо, может быть применен метод искаженных-волн. Сущность этого метода состоит в следующем. В отличие от метода Борна, в котором электрон рассматривается как свободно движущаяся частица, в методе искаженных волн в волновые уравнения вводится средняя энергия атомного поля, в котором находится электрон до его столкновения с атомом и п = и после столкновения [c.345]

Предыдущая глава была посвящена главным образом обзору результатов применения квантовой механики к исследованию строения атома. В данной главе мы покажем, как были получены эти результаты, и дадим сведения, необходимые для последующего обсуждения строения молекул. Разумеется, основное внимание будет уделено волновому уравнению. Мы не можем вывести этого уравнения, так как такого вывода не существует точно так же, как не существует вывода ньютоновских уравнений движения. Однако между квантовой механикой и классической механикой имеется аналогия, которую следует отметить потому, что с ее помощью легко воспользоваться многими положениями хорошо известной классической механики при трактовке менее знакомой квантовой механики. [c.57]

Собственные величины и волновые функции, данные в табл. 1, получены применением к уравнению Шредингера (20) стандартных математических методов решения дифференциальных уравнений с несколькими переменными. Здесь эти методы не будут рассматриваться, так как помимо необходимости очень длинного описания, они обычно применимы лишь для одноэлектронных систем и совсем не типичны для определения волновых функций и энергий многоэлектронных систем. Хотя волновые функции для многоэлектронных систем могут быть рассчитаны, в принципе, с любой желаемой степенью точности, они не могут быть выражены в точной аналитической форме, как в табл. 1, и, соответственно, получены прямым решением уравнения Шредингера поэтому следует искать другой способ, чтобы связать волновые функции с энергией. [c.23]

Подставив этот результат в волновое уравнение (29), получаем уравнение Шредингера, лежащее в основе применения волновой механики к проблеме строения атома [c.120]

Для некоторых переходов в одновалентных атомах лития и натрия расчеты сил осцилляторов и вероятностей переходов проделаны ) с применением волновых функций, полученных численным интегрированием уравнений самосогласованного поля с обменом. Сравнение результатов расчета с опытом показывает большие расхождения в абсолютных значениях сравниваемых величин. Относительный ход вероятностей переходов вдоль серий линий теория предсказывает достаточно хорошо. Интересно, например, что зависимость вероятности переходов от квантового числа п в главной серии лития пр—>-2sV, в отличие от всех остальных щелочных атомов, имеет немонотонный ход 2). Оказалось, что вычисление с применением табличных функций самосогласованного поля с обменом приводит к точно такому же относительному ходу зависимости вероятности перехода от п для лития, в то время как применение функций самосогласованного поля без обмена не дает максимума на кривой указанной зависимости. Для натрия же в согласии с опытом теория предсказывает монотонную кривую. [c.426]

Эти простые идеи были сформулированы до появления волновой механики. Показано, что квантовая теория не только подтверждает их полезность, но позволяет усовершенствовать и расширить их. Большая трудность применения волновой механики к химическим проблемам заключается в том, что уравнения оказываются очень сложными для решения их аналитическим и точным путем. Поэтому основной функцией молекулярной квантовой механики являются поиск приблизительных решений этих уравнений и на базе этих приближений выявление действующих факторов и их относительной важности без попыток количественных расчетов. [c.76]

Применение постулатов квантовой механики к теории строения атомов позволило говорить о квантовомеханической модели явления периодичности. Ее основу составляет волновое уравнение, решение которого (с использованием приближенных методов) дает возможность теоретического вывода реальной схемы построения электронных конфигураций. Данная модель есть модель исключительно по отношению к электронной периодичности, построенная независимо от химической модели и, следовательно, не формальная. Здесь нужно заметить, что нередко употребляемое выражение квантовомеханическая теория периодической системы нельзя признать удачным. Вывод ре- [c.34]

Применение теории групп очень облегчает решение волновых уравнений. Поэтому символика теории групп широко применяется для классификации волновых функций и соответствующих им орбиталей, а также для классификации электронных переходов. [c.43]

Очевидно, что выражения (Б-6), (Б-9а) и (Б-96) не могут удовлетворить этим условиям, поэтому метод разделения переменных, использующий волновое уравнение в декартовых координатах, не может быть применен к этой задаче. Однако естественно применить этот метод к волновому уравнению в полярных координатах. Поэтому сначала мы предполагаем, что решение имеет вид [c.59]

Объем книги и общий уровень изложения в ней не дают возможности систематически изложить основы квантовой химии, на автор стремился познакомить студента с основными методами ее необходимыми для понимания выводов и квантовомеханических представлений, используемых в книге. В дополнениях дана характеристика волнового уравнения Шредингера, основы квантовомеханической теории атома водорода и элементы квантовомеханической теории химической связи. Расширено рассмотрение молекулярных спектров. Значительное внимание уделено методам электронного парамагнитного резонанса, ядерного магнитного резонанса, нашедшим широкое применение при исследовании разных вопросов и уже на данной стадии развития подводящим к пониманию особенностей тонких и сверхтонких изменений в состоянии частиц. Введены основные сведения об элементах симметрии молекул и кристаллов. Описаны расчетные методы статистической термодинамики и основные понятия термодинамики необратимых процессов. Введено вириальное уравнение состояний и другие соотношения, используемые для расчета свойств неидеальных газов в широкой области температур и давлений. Приведен дополнительный материал, характеризующий особенности свойств веществ при высоких и очень высоких температурах. Описаны особенности внутреннего строения и свойств полимерных материалов. [c.12]

Основным уравнением квантовой механики является волновое уравнение Шредингера , Применение его к стационарному состоянию электрона в атоме приводит без дополнительных допущений к выводу о дискретности энергетических уровней электрона и к тому же набору главных квантовых чисел электрона, что и квантовая теория атома Бора. Решение этого уравнения для электрона атома водорода служит основой квантовомеханической теории атома водорода. Условия, вытекающие из нее для других квантовых чисел, были описаны в 9. [c.48]

В настоящее время нет единой теории химической связи. Основные разработки ее базируются на использовании выводов и методов квантовой механики. Волновое уравнение Шредингера, за единичными исключениями, не может быть решено строго для систем, содержащих более двух частиц. Поэтому все методы применения его дл5 расчета молекул основаны на использовании тех или других упрощающих допущений. Получили развитие главным образом два метода квантовомеханического расчета молекул — метод валентных связей (ВС) и метод молекулярных орбиталей (МО). Каждый из этих методов может применяться в различных вариантах в зависимости от вида рассматриваемых молекул и от постановки задачи. [c.59]

Таким образом, определение атомного фактора упирается в задачу решения волнового уравнения. Эта задача выходит за рамки круга вопросов, обсуждаемых в данной книге. Касаться ее мы не будем. Необходимо только отметить, что в применении к проблеме много- [c.86]

Проблема химической связи является фундаментальной проблемой в химий. Современные теории химической связи основаны на физико-математической теории атома, известной как квантовая или волновая механика и разработанной примерно в 1926 г. В основе этой теории лежит представление о том, что электрон обладает свойствами волны и в то же время в некоторых отношениях ведет себя как частица. Это положение не просто постулат теории, поскольку оно основано на вполне четких экспериментальных данных. Так, если пропускать пучок электронов через очень тонкую золотую фольгу, то происходит дифракция электронов и наблюдаются концентрические кольца дифракции, что может быть объяснено лишь с помош ью представлений о волновом характере этих частиц. Это волновое свойство электронов используется в электронном микроскопе. Поскольку волновые свойства электрона — это экспериментальный факт, то, следовательно, поведение электрона в атоме может быть описано при помощи волнового уравнения. Волновое уравнение Шредингера, примененное к трехмерной системе атома, в котором электрон движется вокруг ядра, является в этом случае исходной точкой для математической обработки, и это уравнение имеет следующую форму [c.32]

Уравнению для одномерной системы, написанному для колебаний струны и примененному для описания одномерного движения электрона, соответствует одно квантовое число. Рассматривая трехмерную систему (например, некоторую атомную систему), мы попытаемся разделить волновое уравнение на три отдельных уравнения, так чтобы в каждое из них входила одна независимая переменная. Если это удается, то каждому такому уравнению соответствует свое квантовое число. [c.34]

Такого рода представления появились лишь благодаря возникновению квантовой механики и применению ее к проблеме строения атома. Решение волнового уравнению для многоэлектронных атомов потребовало приближенных методов, которые не всегда приводили к удовлетворительным результатам. Во всяком случае, на основе квантовой механики был дан достаточно строгий вывод последовательности построения электронных оболочек и подоболочек в нейтральных невозбужденных атомах. В настоящее время стал возможным расчет на ЭВМ конфигураций основных состояний атомов с очень большими Ъ. [c.253]

Радиационное давление и звуковой ветер. Волновое уравнение (1) получено в предположении линейности уравнения движения элемента жидкости, которое верно для акустики малых интенсивностей, так как в этом случае нелинейный член этого уравнения мал (смещение намного меньше длины волны). При средней и тем более большой интенсивности излучения распространяющейся в жидкости ультразвуковой волны возникает искажение ее формы и связанные с этим радиационное давление и звуковой ветер. Эти эффекты играют существенную роль при применении ультразвука в некоторых химико-технологических процессах, например, в диффузионных. [c.27]

Одним из возможных путей применения метода КФР к нелинейным уравнениям является их линеаризация. Рассмотрим в качестве примера нелинейные волновые уравнения вида /42/ [c.264]

Тот факт, что системы малых частиц проявляют, по крайней мере при определенных условиях, волновые свойства, предполагает воз-люжность описания таких систем уравнениями, подобными тем, которые, как известно, описывают другие виды волнового движения, например волны, которые распространяются вдоль колеблющейся струны, или волновое движение, приписываемое электромагнитному излучению. Действительно, можно начать с волнового уравнения, соответствующего электромагнитным волнам, и путем определенных замен превратить его в уравнение, соответствующее нашему случаю хотя эти замены диктуются физическими причинами, они в основном произвольны и могут быть приняты только потому, что приводят к уравнению, которое, как показывает опыт, позволяет получить правильные решения физических задач. Поэтому следует принять волновое уравнение как постулат, так как у химиков основной интерес вызывает применение волнового уравнения к атомным и молекулярным системам, а не физические и математические соображения, которыми руководствовался Шредингер, впервые его предложивший. [c.19]

Для иллюстрации того, как возникают дискретные энергетические уровни рассматриваемой системы при применении волнового уравнения, обратимся к более простой задаче — определим энергию, отвечающую волновой функции в одномерной системе. Для этого случая уравнение (XVIII, ) принимает вид [c.703]

Не составляет труда записать волновое уравнение Шрёдингера для атома лития, состоящего из ядра и трех электронов, или атома урана, состоящего из ядра и 92 электронов. Однако, к сожалению, эти дифференциальные уравнения невозможно решить. Нет ничего утешительного в том, что строение атома урана в принципе может быть найдено путем расчетов, если математические (хотя отнюдь не физические) трудности препятствуют получению этого решения. Правда, физики и физикохимики разработали для решения уравнения Шрёдингера множество приближенных методов, основанных на догадках и последовательных приближениях. Проведение последовательных приближений существенно облегчается использованием электронно-вычислительных машин. Однако главное достоинство применения теории Шрёдингера к атому водорода заключается в том, что она позволяет получить ясную качественную картину электронного строения многоэлектронных атомов без проведения дополнительных расчетов. Теория Бора оказалась слишком упрошенной и не смогла дать таких результатов, даже после ее усовершенствования Зом-мерфельдом. [c.374]

Гамовым и независимо от него Гарнэем и Кондоном на основе методов квантовой механи-ки" . Следуя за их рассуждениями, можно показать, что в первом кваитозомеханиче-ском приближении потенциальную яму надо рассматривать как квадратную яму (рис. 11-9), в которой альфа-частица предполагается движущейся свободно. Хотя модель, допускающая наличие в ядре альфа-частицы как такозой и то, что ядро— простая потенциальная яма, является крайне упрощенной, ее применение оправдывается тем, что и такая модель дает вполне хорошие результаты. Рассмотрение альфа-частицы с энергией Е показывает, что существует конечная вероятность вылета частицы из ядра путем просачивания сквозь потенциальный барьер (так называемый туннельный эффект). Это подтверждается существованием решения волнового уравнения для частицы вне барьера. [c.397]

МЕТОД МОЛЕКУЛЯРНЫХ ОРБИТАЛЕЙ В ПРИМЕНЕНИИ К 1,3-БУТАДИЕНУ. Одним из методов описания распределения л-электроппой плотности в 1,3-бутадиене является метод молекулярных орбиталей. Выделим а-фраг-мент, содержащий электронные нары и четыре р-орбитали. Взаимодействие этих р-орбиталей (что можно представить комбинацией волновых уравнений) приводит к новым молекулярным орбиталяд (МО) интересующей нас сопряженной системы. Каждая из этих молекулярных орбиталей охватывает все четыре атома углерода. [c.498]

В. Я. Шкадов [108] предложил новый подход к анализу пленочного течения, основанный на методе преобразования Фурье. Путем представления профиля скорости в виде разложения в ряд Фурье оказалось возможным развить метод решения, отличный от общепринятого метода разложения в степенной ряд по малым волновым амплитудам. Однако в рамках этой методики два параметра из четырех, а именно числа Рейнольдса, толщины пленки, длины волны и фазовой скорости, остаются произвольными. Таким образом, в отличие от случая бесконечно малых амплитуд задача не может быть решена в замкнутой форме, без привлечения дополнительных физических гипотез. В качестве такой гипотезы было использовано условие минимума толщины пленки при заданной скорости расхода. Устанавливающийся в результате режим (для случая длин волн, значительно превышающих среднюю толщину пленки) был назван оптимальным волновым режимом на том основании, что, как это следует из проведенного тем же автором [108] анализа устойчивости методами нелинейной теории возмущений, он устойчив по отношению к возмущениям с основными волновыми параметрами, аналогичными таковым в начальном волновом режиме. Однако ряд строгих ограничений развиваемого метода имеет своей причиной использование уравнений пограничного слоя для описания распределения скорости в пленке. Можно показать, что применение системы уравнений пограничного слоя к пленочному течению обоснованно только в очень небольшом диапазоне чисел Рейнольдса [c.60]

Наиболее детальный анализ этого соотношения был сделан Эва>1сом и По.тяни 581], однако их вывод нельзя считать безупречным. Чтобы получить соотношение (10. 12), эти авторы постулируют, что теплота реакции и энергия активации линейно зависят от некоторого параметра %. Этот параметр по своему смыслу должен отражать особенности молекулярного взаимодействия в некотором ряду реакций в зависимости от структурных характеристик реагентов. Однако весьма сомнительно, чтобы в общем случае удалось найти параметр, который удовлетворял бы это.му требованию и в то же время имел столь простую связь с теплотой реакции и энергией активации. Если, например, в качестве параметра % выбрать значение потенциала поля в некоторой точке вблизи одной из молекул, то, поскольку в соответствующее волновое уравнение этот потенциал входит как функция координат, зависимость собственной энергии системы от X, вообще говоря, получится сложной. Получить при этом линейную связь между энергией и % можно было бы только в рамках теории возмущений. Излагаемый ниже вывод соотношения (10.12) по существу эквивалентен применению этого метода. [c.145]

Понятие о квантовомеханических расчетах и реакционных индексах. Ранее при-водачось волновое уравнение Шредингера и сведения о его применении для приближенного расчета электронных орбиталей (1х, 2 , 2р) простейших атомов. Для многоэлектронных атомов волновое уравнение точно решить невозможно. Еще более сложны подобные задачи в случае молекулярных орбиталей. Тем не менее разработаны крайне упрощенные приближенные методы расчета молекулярных орбиталей (МО). К числу этих методов определения МО относится метод линейных комбинаций атомных орбиталей (ЛК АО), впервые предложенный Хундом. В основе метода лежит допущение, что при наличии на молекулярной орбитали молекулы А — В двух электронов каждый электрон, проходя вблизи ядра атома А, следует по соответствующей орбитали А, точно так же каждый электрон, находясь в сфере атома В, следует по орбитале с функцией в- Таким образом, функция молекулярной орбитали получается из линейного сочетания атомных орбиталей [c.44]

Несмотря на недостаток знаний энергии возбуждения таких сложных молекул, как окрашенные органические соединения, и на невозможность строгого квантово-механического расчета молекул красителей, были достигнуты известные успехи в расчете спектров некоторых сопряженных систем, характерных для молекул красителей путем совместного применения индуктивных методов органической химии и квантово-механических принципов. Волновое уравнение механики подсказало выбор правил , которые разрешают или запрещают элмстронные переходы на разные уровни. [c.383]

Применение операторов для нахождения волнового уравнения. В основу вывода уравнения Шредингера были положены определенные постулаты, связанные с теорией распространения волн, но предварительно указывалось, что это уравнение может быть полечено на базе других постулатов, которые, повидимому, не имеют никакого отношения к волновом движению. Один из подобных методов получения основного зравнения приобрел особенное значение, и он 63 дет изложен ниже. Основное положение, с которым связаны все последующие, заключается в том, что каждой величине, рассматриваемой в классической механике, т. е. координате, импульсу, энергии и т. д., соответствует онределенпый математический оператор, вид которого постулируется квантовой механикой. Содержание отдельных постулатов сводится к следл ющему [c.39]

Общеизвестно, что существует некоторая аналогия между движением, группы электронов и распространением светового пучка. Луи де Бройль в своей теории ансамблей, известной под названием волновой механики, показал, что двойной аспект— корпускулярный (энергия, масса, скорость) и волновой (частота и длина волн) имеет место как в корпускулярных пучках, так и в электромагнитных излучениях (радиоволны, видимый свет, л -лучи и т. д.). Применение волновой функции -ф к электрону является удобным математическим. приемом, позволяющим рассчитать физические особенности группы электронов при помощи дифференциал ных уравнений волновых систем (см. р] стр. 119 иг [4] стр. 2). В то время как энергия фотона связана с элек-, тромагнитной частотой уравнением Е = hv, произведение массы на скорость электрона связывается с волно- вым числом й = 1Д примененной функции ф mv = М, где h — постоянная Планка = 6,55 эрг сек. = [c.18]

Этот параграф является модифицированным изложением соответствующих разделов нз кннг Березанского [18, 26]. Впервые идея метода доказательства само-сопряженностн, развиваемого здесь, появилась для случая оператора Шредннгера и волнового уравнения у Повзиера [П. Общая схема подобного подхода к вопросу самосопряженности предложена в работах Березанского [4, 5]. В п. 1 излагается модернизация и уточнение этой схемы сведения об эволюционных уравнениях см. в книге Крейна С. Г. [1]. Теорема 1.4 является абстрактным изложением схемы работ Левитана [1], Орочко [1], близкий результат получен также Орочко [10] без предположения о равенстве дефектных чисел оператора. Теоремы 1.5 и 1.6 принадлежат Березанскому [14—16]. Применение изложенного способа доказательства самосопряженности см. в работах Березанского [4, 5, 14, 16], Чауса [1, 2], Чумака [1], этот способ и его комбинации с другими приемами— у Орочко [1, 4, 5, 12] (другие работы Левитана и Орочко содержат ряд применений метода гиперболических уравнений к иным вопросам спектральной теории). Близкий прием доказательства самосопряженности, использующий гиперболические системы, применил Чернов [2, 4]. Развитие этого приема принадлежит Като Т. [3], Рауху, Тейлору [1]. [c.649]

История создания метода молекулярных орбиталей прослеживается со времени ранней квантовой теории Бора—Зоммер-фельда. Состояния отдельных электронов в атоме тогда характеризовали занимаемой электроном орбитой, а состояние атома как целого определяли указанием полного момента количества движения, вычисляемого как векторная сумма орбитальных моментов количества движения атомных электронов. К 1926 г., когда Шре-дингер открыл свое волновое уравнение, уже было известно, что кроме орбитального электрон имеет также спиновый момент количества движения, знали о рассел-саундерсовской спин-орбиталь-ной связи, был сформулирован принцип запрета Паули, согласно которому на одной орбите не может находиться более двух электронов, и существовала символика изображения электронных конфигураций атома, например Не (Ь) , Ы (15) (25), . ... Идея Бора—Зоммер4 льда об электронных орбитах оказалась очень плодотворной в применении к атомам, но попытка разместить по [c.10]