Использование производных уравнений

Использование производных уравнений [c.140]

Другой характеристикой процесса является способ распределения параметров (например, ввода сырья, управления температурным режимом трубчатого реактора) — сосредоточенный или распределенный. Этим определяется использование дифференциальных уравнений в частных производных или обыкновенных. [c.257]

Рассмотрим следующий пример приближенного использования полного уравнения (V.14). Давление водяного пара при температурах 99,5 и 100,5° С равно соответственно 746,52 и 773,69 мм рт. ст. Используем эти данные для расчета производной [c.102]

Методы исследования функций классического анализа (см. главу III) представляют собой наиболее известные методы решения несложных оптимальных задач, с которыми инженер знакомится при изучении курса математического анализа. Обычной областью использования данных методов являются задачи с известным аналитическим выражением критерия оптимальности, что позволяет найти не очень сложное, также аналитическое выражение для производных. Полученные приравниванием нулю производных уравнения, определяющие экстремальные решения оптимальной задачи, крайне редко удается решить аналитическим путем, поэтому, как правило, применяют вычислительные машины. При этом надо решить систему конечных уравнений, чаще всего нелинейных, для чего приходится использовать численные методы, аналогичные методам нелинейного программирования (см. главу IX), [c.30]

Расчеты количества катализатора с использованием кинетических уравнений, различающихся по виду или значениям констант, но с одинаковой точностью описывающих скорость реакции, показывают близкие результаты. Для оптимизации процесса используют производную от скорости по температуре, которая сильнее, чем скорость, зависит от вида кинетической модели. Поэтому вид кинетической модели влияет на оптимальный режим. [c.11]

Очевидно, что, несмотря на широкую распространенность трехмерных внутренних течений, до настоящего времени они остаются сравнительно мало исследованными. Вместе с тем интерес к такого рода задачам переноса постоянно растет. В большинстве опубликованных работ обычно проводится численное решение уравнений сохранения в их основной форме, т. е. когда они записываются относительно скорости, давления и температуры, а не соответствующих производных уравнений, записываемых через завихренность и и функцию тока 1 з. Такого рода подход применялся для решения трехмерной нестационарной задачи естественной конвекции в прямоугольных полостях [42]. Этот метод был использован также для расчета течений в полостях различной формы, причем полученные с его помощью результаты показали хорошее соответствие с уже имеющимися экспериментальными и расчетными данными. [c.302]

Другой метод с использованием производных основан на реакции трихлоруксусного эфира изоциановой кислоты со спиртами с последующей регистрацией спектра резонанса на протонах, находящихся в а-положении по отношению к атому кислорода [81 Уравнение соответствующей реакции имеет вид [c.67]

Отдельно рассматриваем методы определения градиентов скорости как производных уравнений распределения скоростей для использования реологических кривых при расчетах одночервячных прессов. Общее уравнение градиента скорости в конической щели (зоне компрессии червяка) имеет вид [c.238]

Как и в предыдущем разделе [12], для описания зависимости давления насыщенных паров углеводородов от температуры принято уравнение типа Антуана. Для более полного использования приведенных в настоящей главе значений констант А, В vi С уравнения зависимости давления насыщенного пара углеводородов от температуры приводим различные формы этого уравнения и некоторых производных уравнений. [c.9]

Для расчета малых изменений концентрации пигмента, необходимых для внесения незначительных изменений в спектрофотометрическую кривую, существует два метода. Первый состоит в непосредственном применении вышеприведенных уравнений для расчета воспроизведения цветов, а второй — в использовании производных от этих уравнений. [c.135]

Приступая к рассмотрению развитых турбулентных течений, следует сделать ряд важных замечаний. Первое из них касается уравнений движения жидкости. В первой главе мы получили уравнения Навье-Стокса, как основные уравнения, с помощью которых мы описываем в дальнейшем все течения жидкости. Снова подчеркнем, что мы действительно продолжаем считать, что эти уравнения описывают течения жидкости и в турбулентном режиме, даже при экстремально больших значениях безразмерных параметров (более того, мы будем рассматривать только случай несжимаемой жидкости). Уверенность в том, что это возможно, держится на результатах многочисленных успешных попыток использования этих уравнений для турбулентных течений. Сама возможность приложения уравнений Навье-Стокса к турбулентности совсем не очевидна (и продолжает подвергаться критике), так как при их выводе было сделано достаточно сильное предположение о том, что тензор вязких напряжений включает в себя только линейные комбинации первых производных поля скорости. В ламинарных и слабо надкритических течениях это предположение кажется разумным и прекрасно работает, но в сильно нелинейных режимах нельзя исключить, что тензор вязких напряжений будет иметь более сложную зависимость от структуры поля скорости. Оправданием использованию уравнений движения в принятой форме может служить только сопоставление результатов их решения с экспериментальными данными. [c.92]

В этом состоит сущность метода прямых, который мы фактически только что рассмотрели. Преимущество его заключается в том, что решать обыкновенные дифференциальные уравнения, в принципе, значительно проще, чем уравнения в частных производных. Эти преимущества особенно проявляются в том случае, когда область решения имеет прямоугольную форму, а уравнения являются линейными с постоянными коэффициентами. Если же форма области решения оказывается достаточно сложной, а уравнения имеют переменные коэффициенты или являются нелинейными, использование метода прямых вызывает серьезные затруднения. [c.385]

Следует отметить, что решение систем уравнений (IV,46) и (IV,41) иа практике может оказаться достаточио сложным. Однако вывод, сделанный относительно равенства производных (IV,46) при оптимальном распределении иотоков сырья, сам ио себе представляет практический интерес и может быть использован для организации управления производством. [c.148]

Наличие малого параметра при старшей производной для больших значений Ре создает значительные математические трудности при численном решении уравнения (4.42) даже при использовании современных быстродействующих ЭВМ. [c.180]

Другой задачей, возникающей при проведении расчетов на аналоговых машинах, является моделирование систем с распределенными параметрами. Эти системы представляются дифференциальными уравнениями в частных производных или большим числом обыкновенных дифференциальных уравнений. Их решение требует применения крупных аналоговых машин. Однако если предварительные результаты можно запомнить в ходе решения, то задача такого типа может быть решена на значительно меньших по размерам машинах при использовании легко программируемой методики последовательного приближения. Эти устройства разрабатываются фирмами, выпускающими вычислительные машины. [c.19]

Приближение первой производной имеет аналогичный вид. При использовании выражений, подобных выражениям для радиальных производных, и при приближении осевой производной с помощью центральной разности разностное уравнение, соответствующее дифференциальному уравнению [c.195]

При выводе уравнения (1.12) сделан ряд допущений. Одно из них предполагает возможность пренебрежения членами, в которые входят парные произведения Zj, (из-за симметрии кривых распределения Zi, 22,...), а также производными высших порядков. Поэтому соотношение (1.12) не является строгим. Как будет показано ниже, строго оценка дисперсии величины у может быть получена только для линейной зависимости (1.10). Однако использование уравнения (1.12) оказывается полезным при выборе метода определения сложной величины. [c.18]

Метод Ньютона — Рафсона хорошо сходится во многих случаях, легко программируется он часто входит в стандартное математическое обеспечение современных ЭВМ. Но объем вычислений при использовании этого метода большой приходится вычислять в нескольких точках функции (для расчета каждой из них в исходной точке и численного расчета производных), а кроме этого требуется решение системы линейных уравнений. [c.107]

Составлена система дифференциальных уравнений в частных производных применительно к балансу растворимого вещества в процессе его переноса молекулярной диффузией из застойной поры в проточную и перемещения с промывной жидкостью по проточной поре. С использованием граничных условий, когда застойные поры целиком заполнены фильтратом, получено решение этой системы уравнений, которое здесь приведено в несколько измененном виде [c.253]

Дана замкнутая система дифференциальных уравнений в частных производных с использованием величины / для гидродинамической, промежуточной и диффузионной стадий промывки, причем уравнения для последней стадии могут быть сведены к ранее [c.258]

При переходе к системам с распределенными параметрами импульсное воздействие приводит к возникновению в среде волновых явлений акустических импульсов, ударных волн. Анализ импульсных волновых явлений и ударных волн в воде при давлении на фронте до 102 па может проводиться в линейном приближении, т.е. с использованием аппарата линейных гиперболических уравнений в частных производных. В общем же случае анализ ударных волн относится к классу нелинейных волновых явлений акустики и газодинамики и требует специального рассмотрения. В последнее время для этих целей широко используют представления волн в виде солитонов [34]. [c.65]

В частности, методы разделяются по количеству иерархических уровней (одноуровневые и многоуровневые), по порядку производных, используемых в процессе поиска решения и т. д. Наиболее широкое распространение в задачах анализа и синтеза ХТС находят методы нулевого (без вычисления производных) и первого порядков. Наряду с ними все более широкое применение получают и многоуровневые методы (в частности, двухуровневые), в основе которых лежит идея декомпозиции исходной задачи на ряд подзадач меньшей размерности. Использование линеаризации уравнений математического описания на первом уровне позволяет эффективно применять хорошо разработанный аппарат линейной алгебры. На первом уровне подсистемы рассчитываются независимо друг от друга, а второй уровень служит для координахщи оптимальных решений с целью достижения общего оптимума системы. Стратегия координации решений в целом может осуществляться с использованием алгоритмов явной или неявной декомпозиции. Одно из важных преимуществ метода многоуровневой оптимизации заключается в том, что с его помощью можно существенно сократить время решения общей задачи и требуемый объем оперативной памяти. Сокращение времени расчета может быть достигнутю за счет одновременной оптимизации подсистем с помощью параллельна работающих продессов ЭВМ. Однако следует отметить, что мыо-гоуровневые методы обеспечивают сходимость итерационного процесса только при определенных условиях, налагаемых как на целевую функцию и математическое описание, так и на декомпозицию исходной ХТС на подсистемы (4, 53]. К тому же доказательств условной сходимости многоуровневых методов практически нет. [c.143]

Однако поскольку был использован блочный метод при решении задачи линеаризации, то полоса заполнения Якобиана не ифает существенной роли. В-матрицы на блочной диагонали Якобиана или матрицы, которые замещают их в ходе блочной факторизации, могут быть факторизованы скалярно-элементным способом. Поэтому на диагональ помещались основные производные уравнений энергетических балансов по температуре, что позволяет устранить ненужные перестановки при решении задачи линеаризации. В результате уравнения были упорядочены в следующей последовательности Л/, 1,. .., Л/д с, Е Q, I,. .., Qi и затем продифференцированы. [c.250]

Использования производных в рассматриваемом сяучае можно избежать, если дважды проинтегрировать уравнение (У.23) по времени от О до / с учетом того, что при I б, й [Р 1(И к [А],) [c.190]

Замыкание кольца в 1, 4-дикетонах (например, VI), в результате внутримолекулярной альдольной конденсации является широко распространенным методом, так как кетоны этого типа легко доступны. В качестве примера можно привести синтез по схеме IV-> IX [78] и получение 4,5-бензазулена, согласно уравнению СХ- СХ1П [72], с использованием производных ацетилена. [c.296]

Здесь б,у = 1 при г = / и = О при г Ф / две звездочки означают, что при вычислении производных учтены ограничения, накладываемые полной системой уравнений стационарности. Производные кинетического уравнения и д,г1/с1к1 должны быть определены с учетом системы = О (см. выше). В методе анализа концентраций ключевых веществ выполнены требования регрессионного анализа. Поэтому получаемые таким методом оценки кинетических параметров правильнее, чем в случае использования кинетических уравнений для обработки неравноточных экспериментальных данных. Однако расчеты по указанному методу более сложны и трудоемки, поскольку полная система уравнений стационарности всегда нелинейна. Кроме того, неявное задание расчетных аналогов наблюдаемых величин затрудняет применение преобразований параметров типа центрирования. [c.207]

Этот метод основывается па использовании дифференциального уравнения изотерм-изобар в форме (V-61). Производная, стоящая в левой части этого уравнении, оирвдвляет направление хода изотермы-изобары в каждой точке, если изотерма-изобара построена при использовании в качестве независимых переменных концентраций компонентов в паре и если для каждой точки известен состав равновесной жидкости. Рассчитанные по уравнению (V-61) направления хода изотерм-изобар представляются на треугольной диаграмме для каждой точки пара в виде отрезков прямых, являющихся касательными к изотермам-изобарам в рассматриваемых точках. Эти отрезки касательных, взятые в совокупности, характеризуют расположение изотерм-изобар на диаграмме равновесия, построенной в переменных, выражающих состав пара. Найденные расчетным путем направления хода изотерм-изобар могут быть сопоставлены с изотермами-изобарами, определенными экспериментально по температурам кипения смесей. Необходимо отметить, что этот способ оценки надежности опытных данных может быть применен для обработки данных о равновесии как при постоянной температуре, гак и при постоянном давлении, поскольку независимо от условий экспериментального исследования равновесия каждая точка может рассматриваться как принадлежащая некоторой изотерме-изобаре. [c.308]

К родственным методам активации спиртов по отношению к 5лг2-замещению галогенид-ионами можно отнести использование производных, близких к применяющимся в реакции Пиннера [уравнения (187), (188)], интермедиатов Мукаямы (86) и (87) [c.86]

Если рассматривать тиолы как производные сульфана HgS, то их в принципе можно получать алкилированием или арнлирова-нием простых производных двухвалентной серы. При тщательном соблюдении условий эксперимента простые тиолы могут бЫть получены с хорошими выходами при реакции KSH с алкилброми-дами [28]. В препаративных методах, основанных на использовании НгЗ (уравнения 13, 14, 15 [29] и 16 [30]), в большей или меньшей степени всегда имеется опасность полиалкилирования H2S, приводящего к образованию сульфидов и сульфониевых солей. Дополнительные осложнения могут также возникать из-зй побочных реакций элиминирования [34]. [c.135]

Диспропорционирование несимметричных дисульфидов происходит в различных условиях. Раньше считали, что диспропорционирование в кислом растворе проходит с образованием в качестве интермедиата сульфениевого иона R8+, но результаты реакции с кислотой, анион которой не является сильным нуклеофилом, лучше всего объясняются осуществлением процесса по цепному механизму (уравнения 117—120) реакции 119 и 120 являются реакциями переноса цепи с участием ионных интермедиатов [111]. Как и в описанном ранее примере, реакция катализируется дибутилсуль-фидом. При использовании кислоты, анион которой достаточно нуклеофилен, диспропорционирование, как полагают, происходит с участием в качестве интермедиата сульфенильного производного (уравнения 121 — 123) [112]. [c.455]

Для мета- и пара-замещенных фенильных производных уравнение (V, 19) практически ничего не добавляет к корреляциям по схеме Юкава — Цуно с использованием постоянных и ст°, а также, по необходимости, резонансных постоянных типа (а+ — ст°) и (о — ст°) для учета прямого резонансного взаимодействия заместителей с реакционным центром. Как уже было показано, разделение параметров и ст на индукционную и резонансную составляющие целесообразно выполнять в общем виде. [c.218]

Использование вышеприведенных уравнений для определения изотерм адсорбции п- и ж-ксилолов из диизо-октилсебацината на поверхности диметилдиоктадецилам-мониевого производного вермикулита Ковдорского месторождения описано в работе [102]. Результаты, полученные статическим и хроматографическим методами удовлетворительно совпадают (см. рис. IV-11). [c.109]

Сильная зависимость К от геометрической и электронной структуры молекулы адсорбата создает принципиальную возможность определения некоторых структурных параметров молекул на основании экспериментальных значений этой константы. Однако для практического осуществления таких структурных определений необходимы математические уравнения, связывающие / 1 с химическим составом, геометрической и электронной структурой молекул адсорбата. Такие уравнения уже получены для адсорбции углеводородов и кислородсодержащих их производных на ГТС, а также для адсорбции углеводородов на некоторых цеолитах (см. гл. 5—7). Значения Ки рассчитанные при использовании этих уравнений для адсорбции на ГТС углеводородов, молекулярная структура которых достаточно хорошо известна, совпадают с соответствующими экспериментальными значениями в пределах погрешности последних (см. гл. 7). Рассчитанные аналогичным путем значения К Для адсорбции углеводородов на цеолитах также находятся в удовлетворительном согласии с соответствующими экспериментальными значениями (см. гл. 7). Все это вместе взятое, т. е. сильная зависимость константы К от структуры молекулы адсорбата и наличие уравнений, дающих связь между этой константой и структурой молекул с погрешностью, не превышающей погрешность экспериментальных значений Кг, создает возможность для решения обратной задачи молекулярной теории адсорбции, т. е. для определения некоторых структурных параметров молекул на основании экспериментальных значений К для адсорбции рассматриваемой молекулы на однородном адсорбенте известной структуры. Этот адсорбционный метод определения структуры молекул был назван также хроматоструктурным или хроматоскопическим методом, поскольку при этом основным источником получения экспериментальных значений К1 является хроматография. [c.129]

Точное решение этой задачи, приведенное Карслоу и Егером [1], идентично соотношению (35), за исключением того, что вместо коэффициента /3/8=0,602 в решении стоит множитель)/1/я = 0,564. Этому соответствует ошибка около 7%. Для решения подобной задачи Рейнольдс и Долтон [16] также использовали интегральный метод, но их результат отличается от приведенного за счет различия в условиях, налагаемых на кубический профиль температур. Вместо использования производного условия плавности (18) авторы, дифференцируя соотношение (32) и подставляя результат в уравнение (1), вывели другое граничное условие. В результате решения получено выражение для теплового потока на поверхности д = О, совпадающее по форме с уравнением (35). Численный коэффициент решения оказался равным )/9/32=0,530, т. е. ошибка в этом случае составила около 6%. Такое различие в методике решения наглядно показывает общее свойство интегрального метода, суть которого состоит в том, что в этом методе выбор температурного профиля не однозначен и до некоторой степени произволен, а ошибка получаемого решения в значительной мере определяется разумным выбором профиля. Таким образом, имеется некоторая неопределенность, присущая самому методу, и эта неопределенность может быть разрешена только при строгом математическом исследовании. Схема итераций Шамбре в применении к исследованным задачам обладает необходимой строгостью, так как благодаря наличию доказанной сходимости имеется гарантия того, что, независимо от первоначально выбранного профиля, окончательное решение может быть получено с любой желаемой точностью. Можно считать, что в рассмотренном нами частном случае итерация сходится на протяжении одного шага, ибо, подставляя выражение (35), которое имеет ту же форму, что и точное решение, в уравнение (31), мы видим, что температура поверхности действительно постоянная величина, но только значение этой величины взято нами неправильно. Исправив данное значение, мы тем самым завершим процесс итерации. [c.48]

В табл. 82 приведены величины —AG°, которые, за исключением специально оговоренных случаев, являются наиболее надежными [3] или единственными. Если в таблице представлены два значения, то первое из них относится к апротонным растворителям, второе — к протонным. Большинство данных определено методом спектроскопии ЯМР при комнатной температуре. По этому методу величины —ДС° обычно вычисляются с использованием следующего уравнения К = (8а — б)/(б—бе), где б — химические сдвиги яд-ер или ядра в смесн конформеров, между которыми происходят быстрые переходы (например, протона, имеющего геминальное расположение относительно группы X), тогда как ба и бе — химические сдвиги для стереохимически гомогенных соединений с группой X в аксиальном и экваториальном положениях соответственно. Последние значения обычно определяются для жестких в стереохимическом отношении 4-т рет-бутильных производных или измеряются при низких температурах, когда обмен практически невозможен. Константы равновесия К, приведенные в табл. 82, вычислены с использованием значений —ДС°. Прямой пересчет —ДС° в процентное содержание экваториального изомера осуществляется с помощью табл. 83. [c.178]

Простейшим способом оценки lg Р является использование корреляционных уравнений вида (1), связывающих их значения с / (ВЭЖХ), коэффициенты которых вычисляют по данным для известных веществ. Однако рассматриваемые объекты относятся к ранее не охарактеризованному классу пестицидов (фосфорсодержащие производные амино- и карбаминовых кислот). Поэтому в качестве разумного приближения для вычисления параметров линейной регрессии lg (/) целесообразно выбрать данные а) только для ФОП и б) для тех же ФОП в сочетании с карбаматами. [c.140]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология