Численное решение уравнений сохранения

Очевидно, что, несмотря на широкую распространенность трехмерных внутренних течений, до настоящего времени они остаются сравнительно мало исследованными. Вместе с тем интерес к такого рода задачам переноса постоянно растет. В большинстве опубликованных работ обычно проводится численное решение уравнений сохранения в их основной форме, т. е. когда они записываются относительно скорости, давления и температуры, а не соответствующих производных уравнений, записываемых через завихренность и и функцию тока 1 з. Такого рода подход применялся для решения трехмерной нестационарной задачи естественной конвекции в прямоугольных полостях [42]. Этот метод был использован также для расчета течений в полостях различной формы, причем полученные с его помощью результаты показали хорошее соответствие с уже имеющимися экспериментальными и расчетными данными. [c.302]

Численное решение уравнений сохранения 137 [c.137]

Рассмотрим теперь детали численного решения уравнений сохранения. Без потери общности можно вернуться к математической модели одномерного ламинарного пламени, развитой в гл. 3. Эти уравнения сохранения имеют общий вид [c.137]

Как и в случае пламен предварительно перемешанной смеси, даже при том, что физические основы явления достаточно просты, включение в уравнения сохранения всех необходимых членов, описывающих термодинамику, диффузионный перенос и химические реакции, приводит к системе дифференциальных уравнений в частных производных, которая лишь в редких случаях может быть решена аналитически. Поэтому основной темой данной главы будет обсуждение численного решения уравнений сохранения для пламен предварительно не перемешанной смеси. Исторически сложилось так, что все используемые пламена подразделяются на пламена предваритель- [c.152]

Как при вынужденной, так и при естественной конвекции процесс передачи тепла описывается системой дифференциальных уравнений, состоящей из уравнений сохранения массы, импульса и энергии. Однако интегрирование этой системы сопряжено с большими математическими трудностями. В настоящее время имеются аналитические решения только для нескольких простейших случаев. Численное решение этой системы также очень сложно, поэтому появление ЭВМ не привело к сколько-нибудь значительным успехам в этой области. До настоящего времени наиболее плодотворным для решения этих задач является подход, основанный на сочетании теоретических и экспериментальных исследований. [c.98]

Ниже будут подробно описаны некоторые модели химических реакторов. Все они основаны на фундаментальных законах сохранения массы и энергии. Эти законы приводят к моделям в виде дифференциальных уравнений, каждое из которых содержит первые производные по времени и первые или вторые производные по координатам (в зависимости от геометрии реактора и от физического механизма процесса). Численное решение этих уравнений явилось значительным вкладом в понимание свойств химических реакторов. Однако такая информация полезна, но недостаточна. Инженеру необходимо иметь возможность описать набор решений для некоторой области граничных условий или параметров. В принципе, такие результаты может дать и численное решение, но на практике оказывается, что эти расчеты требуют слишком много машинного времени. Поэтому полезно иметь сведения о так называемой структуре решения. Ясно, что аналитические или качественные методы и методы численного решения не являются взаимоисключающими. В конечном счете качественные оценки облегчают расчеты на ЭВМ, и наоборот. [c.13]

Выведенные в предыдущих разделах уравнения предназначены для того, чтобы получить численные оценки тех факторов, которые необходимы для расчета газофазных каталитических реакторов с неподвижным слоем твердого катализатора. В результате такого анализа выявилось относительное значение химической реакционной способности, массопередачи диффузией и теплопередачи. Цель анализа заключалась в объединении соответствующих уравнений скорости реакции с уравнениями сохранения массы и тепла. Совместное решение групп таких уравнений дает возможность вычислить концентрационные и температурные профили внутри реактора с неподвижным слоем и, следовательно, оценить размер реактора, в котором можно достичь заданной степени превращения. В этом разделе дается краткое описание подхода к решению расчетных задач, возникающих при конструировании реакторов непрерывного действия. [c.420]

Решение задачи (3.10) (3.14) осуществлялось численным методом. Порядок расчета параметров газа в приведенной пленке следующий. Вначале из уравнения состояния определяется плотность как функция температуры и концентраций газовых компонентов. Затем из уравнения сохранения массы - скорость потока. Относительная массовая концентрация инертного компонента находится из соотношения 3 =1- 1) - 12- Далее решаются уравнения нестационарного тепломассообмена. [c.228]

Основная идея численного решения состоит в том, что оно записывается не для всей области интегрирования сразу, а для дискретной, малой ее части — контрольного объема (имеется в виду трехмерное пространство). В частности, если контрольный объем мал, то в его пределах искомая величина (у нас — температура) практически не изменяется и, следовательно, характеризуется численным значением, которое приписывается фиксированной точке внутри этого объема — узлу или полюсу. Связь же между численными значениями искомой величины в соседних контрольных объемах устанавливается через дискретный аналог дифференциального уравнения теплопроводности, что позволяет охватить всю область интегрирования. Как было отмечено выше, уравнение теплопроводности отражает закон сохранения энергии. Применительно к контрольному объему при стационарном температурном поле этот закон может быть сформулирован так Изменение во времени энтальпии контрольного объема равно нулю, так как в любой момент времени количество теплоты, выделившейся в контрольном объеме в связи с действием в нем внутренних источников (стоков) теплоты, плюс количество теплоты, поступившей в контрольный объем через часть его границ, равно количеству теплоты, покинувшей контрольный объем через другие его границы в процессе теплообмена с окружающими телами (соседними контрольными объемами) . [c.70]

Обеспечить точное выполнение законов сохранения химических элементов па промежуточных итерациях возможно различными способами. Одип из них заключается в том, что N неизвестных концентраций находятся в результате численного решения соответствующих им N уравнений (2.7), а остальные концентрации исключаются. Очевидно, что в качестве последних необходимо выбирать концентрации тех компонентов, содержание которых в смеси наибольшее. [c.66]

Неявный алгоритм численного решения нестационарных уравнений сохранения лежит в основе наиболее общего и эффективного метода теоретического исследования ламинарных пламен предварительно перемешанных смесей произвольного (в принципе) химического состава. Действительно, по мере усовершенствования методов измерения профилей параметров в пламени возможность расчета таких систем открывает путь к исследованию механизма реакций даже в углеводородных пламенах. При моделировании процесса окисления углеводорода в пламени, требующего учета примерно 25 реагирующих частиц и около 80 элементарных реакций, особое значение имеет разумный компромисс между точностью вычислений и их объемом, определяющий выбор метода расчета и степень детализации описания процессов переноса. [c.99]

Рассмотрим свойства решений гамильтоновых систем уравнений движения сложных молекул. Эти решения, как правило, осцилляционные, имеют разброс характеристических времен и подчиняются законам сохранения аддитивных интегралов движения, что предъявляет строгие требования к процедуре численного расчета. [c.79]

В общем этот сложный комплекс взаимосвязанных процессов можно описать системой уравнений, включающей в себя законы сохранения массы, импульса, заряда и энергии, законы электромагнитного поля, зависимость термодинамических и кинетических свойств от параметров состояния системы, а также начальные и граничные условия. Если эту систему уравнений максимально упростить, отбрасывая путем численных оценок менее существенные процессы и оставляя только наиболее важные из них, то еще остается достаточно сложная система, решение которой связано со значительными математическими трудностями. Например, если для обдуваемых электрических дуг пренебречь трением, диффузионными потоками масс, объемным излучением, химическими реакциями, а диффузионный перенос энергии учесть в общем коэффициенте теплопроводности, то для стационарного ламинарного режима можно получить систему уравнений [1]. [c.158]

Отличительной чертой творческих поисков этого талантливого и эрудированного исследователя является стремление создать достаточно точный и надежный, универсальный метод расчета самого обширного круга задач конвективного переноса импульса тепла и массы, одинако-30 приемлемый как для научных работников, так и для инженеров, работающих в различных отраслях техники и производства (авиация, энергетика, химическая и пищевая технология и др.). В прошлом Д. Б. Сполдингу удалось разработать такой унифицированный инженерный расчетный метод, опирающийся на несложную модель потока Рейнольдса. Метод был по необходимости предельно упрощенным, поскольку его автор задался целью обойтись только средствами и приемами элементарной математики, отказавшись от привлечения аппарата математической физики и численного анализа. Вследствие этого Д. Б. Сполдингу тогда пришлось отказаться от решения сложных дифференциальных уравнений переноса и использования эффективной теории пограничного слоя. Расчеты базировались на алгебраических соотношениях интегральных балансов сохранения. Естественно, такой подход, несмотря на его универсальность, простоту и доступность для инженера, был все же ограниченным в своих возможностях и не позволял решать некоторые задачи совместного вынужденного тепло- и массообмена, представляющие интерес для новой техники. [c.3]

Моделирование включает решение уравнений сохранения в газовой фазе, в капле и на межфазной границе (см. [ ho et al., 1992 Stapf et al., 1991]). Эта система может быть реализована экспериментально, когда отдельные капли инжектируются в камеру сгорания, наполненную горячими продуктами сгорания. Для того чтобы избежать в эксперименте гравитационных эффектов, которые возмущают сферическую симметрию, газообразные продукты сгорания отводятся вниз со скоростью капли еще лучше, если камера сгорания располагается в башне на специальной падающей опоре, когда гравитация равна нулю на короткое время проведения эксперимента (см., например, [Yang, Avedisian, 1988]). (Отметим, что в численной модели эффект гравитации легко вводится для аналитических моделей учет этого эффекта — гораздо более трудная проблема.) [c.254]

Предлагаемый алгоритм численного решения системы дифференциальных уравнений основан на методе локальной линеаризации [140]. На каждом шаге интегрирования исходная ППЭ аппроксимируется квадратичной формой, возникающая при этом новая система дифференциальг ных уравнений является линейной и, следовательно, допускает точное решение. Улучшая аппроксимацию, можно добиваться сходимости нового решения к решению исходной задачи на всем интервале интегрирования. Так как близкие поверхности определяют практически одинаковые модели, то в смысле "траекторной нормы решения должны сходиться. Сохранение аддитивных интегралов движения исходной задачи на численных решениях обеспечивается специальным выбором аппроксимирующей ППЭ. [c.79]

Коэффициент вязкости в уравнении сохранен потому, что попже будет рассмотрен метод приближенного описания течения аномально-вязкой жидкости. Если известна функция Н (х), то приведсннос bhuj Дифференциальное уравнение можно разрешить аналитическим или численным методом относительно Р (х), не прибегая к МКЭ. Однако целью данного раздела является демонстрация метода МКЭ. Поэтому, следуя Мееру 1261, покажем шаг за шагом, как находится решение. [c.598]

Более высокие уровни усечения уравнений известны под названием методов локальной неавтомодельности. Они также сводятся к получению обыкновенных дифференциальных уравнений и локально-независимых решений. Но в уравнениях сохранения остаются неавтомодельные члены. В конце концов в выведенных дополнительных уравнениях выборочным образом отбрасываются различные члены, что необходимо для упрощения этих уравнений. В уравнения входит переменная аналогичная автомодельной переменной г] и зависящая от продольной координаты х. Переменная рассматривается как параметр численного решения. Точность метода улучшается с повышением уровня усечения и поэтому возникает метод оценки точности. В статьях [104, 102] обсуждается использование этого метода в задачах о естественной конвекции. Напомним полученные этим методом результаты Чжэня и Эйчхорна [9], описанные в разд. 3.11. Более подробно этот метод изложен в разд. 5.2. В следующих главах представлены также результаты исследования различных течений этим методом. [c.167]

В принципе численное решение для трехмерного течения газа можно получить путем совместного решения трех уравнений сохранения количества движения для газа, уравнения состояния, уравнений сохранения массы и состава смеси для шести неизвестных иг, Пву р, р, с. Даже с учетом того, что уравнение сохранения энергии не используется, решение такой системы сопряжено с определенными трудностями. Самая большая из них заключается в том, что дифференциальные уравнения в частных производных для газовой фазы — комбинированного параболическо-эллиптического типа, поэтому анализ затруднен из-за сложности решения начальной задачи Коши. Для решения такой системы уравнений, как задачи на отыскание собственных значений, необходимо полное описание неизвестных во всех точках (/, 0) границы с последующей зоной трубок тока. Но степень сгорания топлива на этой нижней границе зоны горения заранее не известна, поэтому неизвестны концентрации распыленной жидкости и скорости жидкости и газа, как и продольное распределение давления. [c.156]

Модуль основан на численном решении одномерного уравнения адвекции-дисперсии, описываюпдего закон сохранения массы растворенного или взвешенного материала [АтаЬНигт а/., 1971]. Уравнение адвекции-дисперсии решается с использованием неявной конечно-раз-ностной схемы, которая, как известно, является, устойчивой и имеет малую вычислительную погрешность. Схема позволяет рассчитывать профили концентрации с крутыми фронтами. Обозначим через С — концентрацию, О — коэффициент дисперсии, Л — площадь поперечного сечения, К — линейный коэффициент распада, С2 — концентрацию притока (оттока), д — боковой приток (отток), х — пространственную координату, I — время. Тогда уравнение имеет вид [c.308]

Вопросу выбора необходимой длины цилиндрической камеры смешения, в случае центрального расположения эжектирующего сопла, посвяш ено небольшое число работ, носяш пх, в основном, эмпирический характер. Предлагаемый в некоторых из них анализ нроцесса смешения в смесительной камере эжектора нам кажется физически недостаточно последовательным. Наиболее правдоподобной, по нашему мнению, является подмеченная Г. Н. Абрамовичем [1] аналогия между деформацией поля скоростей в свободной турбулентной струе и в камере смешения эжектора, выражающаяся в сохранении свойства аффинности полей скоростей. Известно, что свойство аффинности полей скоростей вообще характерно для турбулентного пограничного слоя. Это, естественно, приводит к мысли о возможности аппроксимации опытных данных соответствующими соотношениями из теории турбулентных струй. Хотя автор [1] и рассуждает подобным образом, однако для расчета длины камеры смешения он пользуется все же эмпирически подобранными численными соотношениями. В то же время, используя строгое решение уравнений для турбулентной затопленной симметричной струи несжимаемой жидкости [2] [c.254]

Уравнения сохранения (3.11) и (3.12) образуют систему дифференциальных уравнений, которая обычно решается численными методами. Однако можно получить ценную информацию и из аналитических решений, которые можно построить лишь после более или менее оправданного исключения ряда членов из полной системы уравнений сохранения. Модель теплового распространения пламени Зельдови- [c.135]

Структура пламени предварительно не перемешанной смеси в бунзеновской горелке показана на рис. 9.5. Результаты были получены путем полного численного решения двумерных уравнений сохранения (см. [Smooke et al., 1989]). Диаметр горелки, подающей горючее, составлял 1,26 см, а высота пламени, показанного на рисунке, равнялась 30 см. Шкала температуры и концентрации начинается с минимальных значений (светло-серый цвет), показанных справа максимальная температура достигает величины порядка 2000 К, максимальная массовая доля радикалов ОН равна 0,5 %. [c.158]

Подобный метод применен в работе [3], где в качестве Оо(г) выбраны значения Т(г), иДг), полученные для развитого пуазейлева течения в цилиндрическом дуговом канале [46]. Тепловая и электрическая задачи решаются отдельно от динамической. Уравнение сохранения энергии и тока преобразовываются в два связанных линейных уравнения в частных производных второго порядка, которые решаются аналитически и численно также с использованием линейной аппроксимации о=В(5—5]) и разделения переменных б1(г, 2) = 0 (/-)С1(2). Решение динамической задачи не доведено до конца. Анализ полученных решений содержится в [47]. [c.154]

Для составления уравнений химической кинетики, прежде всего, необходимо знать механизм химических реакций. После установления механизма превращения по (1.56) составляют систему дифференциальных кинетических уравнений, описывающих изменение состава реагирующих компонентов по координате движения газового потока. Обычно в эту систему включают уравнения не для всех реагирующих компонентов, а только для линейно независимых, в качестве которых используют молекулярные компоненты. Кон-н ентрации остальных компонентов определяются из алгебраических уравнений материального баланса, что позволяет в процессе численного решения дифференциальных уравнений строго выполнять условие сохранения массы в реагирующей системе. Папример, для ялазмохимического процесса взаимодействия метана с азотной плазмой (табл. 1.4) уравнения химической кинетики молекулярных компонентов СП4, N2, С2П2, С2П4, СПз, СП, П2, N, H N, С2 запишутся в виде [c.30]

Кинетический метод определения равновесного состава предложен Ваничевым. Описание метода приведено в работе [228]. Идея метода состоит в замене степенных алгебраических уравнений закона действующих масс дифференциальными уравнениями кинетики с последующим их численным решением. Линейные уравнения сохранения вещества и закона Дальтона используются совместно с дифференциальными. [c.38]

Роль анализа, основанного на куэттовской модели течения. Нами дана достаточная информация относительно начальных и граничных условий и законов переноса для решения (хотя бы в принципе) уравнений сохранения, приведенных в разд. 1.1-3. До обсуждения в 1.5 решения этих уравнений мы остановимся на трудностях исследования пристенной области течения. Как уже упоминалось ранее, зависимые переменные и коэффициенты эффективного обмена в этой области резко изменяются, поэтому, какой бы численный метод решения мы ие использовали, хорошая точность для этой узкой области обычно может быть достигнута лишь при больших затратах труда вычислителя. [c.30]

В нашем случае непосредственное решение СНАУ (2.483) и (2.484) может быть заменено на численное решение эквивалентной оптимизационной задачи. Температура в выходном коллекторе КЦ определяется после решения СНАУ (2.483) с помощью уравнения (2.474). Здесь следует особо подчеркнуть, что, с точки зрения физики, использование одной или другой группы уравнений эквивалентно, но илшются различия в численной реализации методов их решения. Результаты расчетов с использованием математических моделей на базе условия сохранения массового расхода через подводящий и отводящий ТГ в одной ветви и математических моделей на базе условия равенства напоров природного газа в параллельных ветвях совпадают [2]. [c.252]

Модель распространения. Определенная таким образом временная зависимость йг (X ) использовалась в качестве граничного условия в области источника в задаче эЬолюции взрывоопасного облака тяжелого газа, решение которой получено с помопц>ю трехмерной нестационарной газодинамической модели /5/, основанной на численном интегрировании полной системы уравнений сохранения массы, импульса и энергаи. Необходимость использования модели такого уровня объясняется прежде всего тем, что, как свидетельствуют экспериментальные данные, выделяющиеся в атмосферу пары сжиженного газа существенно изменяют характер атмосферной турбулентности и поле скорости в области источника. Следует также отметить, что процессы тепломассообмена и гидродинамики в распространяющемся облаке протекают в условиях сильной нестационарности. вызванной резкими изменениями во времени градиентов температуры, плотности, а также интенсивности поступления газа в атмосферу. Корректное описание возникающего турбулентного течения неизотермичного тяжелого газа в приземном [c.99]

Аналитические (формульные) решения краевых задач механики полимеров и композитов, примеры которых были приведены в гл. 3, удается получить только при очень жестких предполо-н<епиях относительно свойств матерпала и геометрии конструкции эти решения, как правило, дают только качественное описание исследуемого явления пли процесса. Ужесточение требованпй к уменьшенпю материалоемкости конструкцип при сохранении ее прочностных и жесткостных характеристик приводит на этапе проектирования к необходимости привлекать численные методы и ЭВМ, позволяющие получить подробную численную ппфо1 ыа цию. В настояш ей главе будут затронуты три вопроса, относящиеся к группам численных методов и их реализации иа ЭВМ. Отметим, прен- де всего, что наиболее широко распространенные в настоящее время численные методы по их внутренней структуре, определяющей характер их реализации на ЭВМ, условно можно разделить на две группы. Методы первой группы (методы конечных элементов (МКЭ) и некоторые варианты метода конечных разностей (МКР)) характеризуются тем, что в процессе пх использования формируются матрицы систем уравнений, как правило, большой размерности с применением специальных способов упаковки и хранения, с последующим обращением. Методы второй группы — шаговые, с преобразованием массивов искомых параметров в определенной иоследовательности, без формирования матриц систем, а по существу, с вычислением заново элементов этих матриц на каждом шаге — переходе с одного временного слоя иа другой или от одной итерации к следующей. [c.157]

В этой главе мы рассмотрим систему законов сохранения (гл. 1) и феноменологических законов, которые выражают потоки через обобщенные силы (гл. 3) и из них получим систему дифференциальных уравнений в частных производных, которые в случае интенсивных переменных, не зависящих от пространственных координат, сводятся к обыкновенным дифференциальным уравнениям. При этом мы имеем или краевую задачу (стационарное состояние), или задачу с заданными начальными условиями (зависящие от времени однородные процессы), или задачу, в которой заданы как начальные условия, так и условия на границах (зависящие от времени неоднородные процессы). Как правило, возникающие задачи очень сложны и, за исключением нескольких простых случаев, их точЕюе решение получить не удается. Поэтому приходится пользоваться приближенными методами или численными расчетами. [c.126]

При расчете методом начальных параметров двухточечная краевая задача для элемента или конструкции из последовательно сопряженных элементов сводатся к задаче Коши [2]. Начальные данные для нее определяются из системы алгебраических уравнений, порядок которой совпадает с порядком исходной системы дифференциальных уравнений и не зависит от числа элементов в конструкции. Хотя при относительно большой длине оболочек здесь также накапливается погрешность, однако структура метода начальных параметров позволяет, во-первых, анализировать скорость ее накопления и, во-вторых, указать удобньш способ снижения этой погрешности до требуемой величины. Анализ численной процедуры метода показывает, что начальный вектор для задачи Коши всегда получается с машинной точностью. Решение задачи Коши проводится путем последовательного перемножения матриц перехода для элементов конструкции на начальный вектор с получением нового начального вектора. Накопление погрешности происходит на этом этапе расчета конструкции при большой ее длине. Для сохранения требуемой точности расчет конструкции проводится последовательными участками, частично налегающими друг на друга. Длина каждого участка должна не более чем вдвое превышать длину, при которой в мантиссе машинного числа сохраняется достаточное число верных значащих цифр. Расчеты, выполненные на ЭВМ с различной разрядностью чисел, показьшают, что эта длина более чем на порядок превышает интервал I = V Л , которым оценивается качественное различие между короткой и длинной оболочками. При расчете каждого последующего участка используются начальные данные, полученные в расчете предьщущего участка. [c.46]

При численном расчете для пространственной аппроксимации системы уравнений (3.21) используется метод расщепления вектора потоков, предложенный Ван Лиром [113]. Для сохранения свойства монотонности решения в областях больших градиентов порядок аппроксимации понижается применением ограничителя minmod, используемого при построении TVD-схем [114]. При этом использовалась неявная аппроксимация правых частей системы (3.21), предложенная в [111], что позволило не увеличивать ограничение на временной шаг по сравнению с условием Куранта. [c.284]

При больших значениях числа Рг этот результат может быть улучшен, так как соответственно уменьшается ошибка, вследствие пренебрежения вторым слагаемым в уравнении (2. 103). Уже при Рг 10 эта ошибка (равная по относительной величине gVl4) становится меньше 1%. Поэтому множитель 1,03 в знаменателе может быть сохранен. Эта поправка приводит к возрастанию численного множителя в уравнении для ix (и Nti ) до 0,333 — в отличном согласии с точным решением. [c.185]