Решение задач оптимизации и линейного программирования

Линейное программирование — это метод для решения задач оптимизации с линейными выражениями для критерия оптимальности и линейными ограничениями на область изменения переменных. Такие задачи часто встречаются при оптимальном планировании производства с ограниченным количеством ресурсов, для обеспечения оптимального использования оборудования или экономичных перевозок (транспортная задача) и др. [c.249]

В настоящее время для решения оптимальных задач применяют в основном следующие методы 1) исследование функций классического анализа 2) метод множителей Лагранжа 3) вариационное исчисление 4) динамическое программирование 5) принцип максимума 6) линейное программирование. Однако общего метода, пригодного для решения всех без исключения задач, возникающих на практике, нет. Вместе с тем каждый из перечисленных выше методов имеет предпочтительные области применения. Так, метод динамического программирования наилучшим образом приспособлен для решения задач оптимизации многостадийных процессов. Такие задачи чаще всего возникают при проектировании процессов ООС и СК, осуществляемых либо в многоступенчатых реакторах, либо в каскадах реакторов. Поэтому мы в сжатой форме рассмотрим основные положения метода динамического программирования. [c.191]

Решение задач оптимизации и линейного программирования [c.76]

Для выполнения операций рассматриваемого этапа процедуры оптимизации адсорбционной установки в условиях неполноты исходной информации кроме изложенного может быть применен и другой подход, базирующийся на представлении всей используемой информации (кроме детерминированной) как случайной. Должно быть намечено несколько вариантов наиболее вероятных законов ее распределения. Для решения такой задачи стохастического программирования в принципе могут применяться такие же методы, что и для решения задач оптимизации в детерминированной постановке. Однако систематизированные конструктивные проработки алгоритмов имеются лишь для задач линейного и квадратичного стохастического программирования. Существенным недостатком такого подхода является большая трудоемкость расчетов, что, естественно, ограничивает область применения строгих методов решения задач и вызвало появление приближенных методов, например метода статистических испытаний (метод Монте-Карло). Значительный интерес для решения стохастических задач представляет использование итерационной многошаговой процедуры, в основу которой положены идея стохастической аппроксимации для учета случайных величин и метод штрафных функций для учета ограничений [51]. При использовании любого из указанных методов следует помнить, что решение задачи всегда будет иметь погрешность вслед- [c.163]

Для решения описанной задачи можно использовать различные методы математического программирования. В частности, задача оптимизации ХТС, содержащей шесть типовых стадий и два рециркулируемых потока, была решена методами динамического [41, с. 37—48] и линейного [68, с. 3—6] программирования. Кроме алгоритмов линейного и динамического программирования для решения различных по степени сложности задач технико-экономической оптимизации элементов действующей ХТС в настоящей работе применены описанные в главе 2 алгоритмы случайного поиска с адаптацией и многокритериальной оптимизации. Результаты решения этих задач приведены ниже. [c.72]

Системы управления процессами переработки углеводородных систем включают использование комбинированных моделей, полученных исходя из материальных и тепловых балансов теории дистилляции нефти и состоящих из уравнений парожидкостных равновесий, уравнений кинетики превращения отдельных компонентов и фракций, уравнений тепло- и массопереноса. В процессах первичной переработки нефти за критерии оптимизации принимается минимум энергозатрат или максимум выхода светлых нефтепродуктов. Решение задачи оптимизации осуществляется по специальным алгоритмам с использованием квадратичного программирования при наличии возмущения в технологическом процессе установки. Строгие модели включают в качестве первого принципа термодинамику процесса. В результате точно моделируется реальный нелинейный характер процесса. Линейные (или регрессионные) модели описывают отклик системы при помощи линейных приближений и являются точными только в очень узком диапазоне условий. Преимущество строгих моделей заключается в том, что производственный персонал может полагаться на предсказания (оптимизацию) и может доверять тому, что модель точно описывает процесс. [c.494]

Для решения задач оптимизации в технологическом проектировании используют математические модели и такие методы математического программирования, как линейное, целочисленное, динамическое, геометрическое и др. [c.219]

Функция желательности. Задачу оптимизации процессов, характеризующихся несколькими откликами, обычно сводят к задаче оптимизации по одному критерию с ограничениями в виде равенств или неравенств. В зависимости от вида поверхности отклика и характера ограничений для оптимизации предлагается использовать методы неопределенных множителей Лагранжа, линейного и нелинейного программирования, ридж-анализ [10] и др. К недостаткам этих способов решения задачи оптимизации следует отнести вычислительные трудности. В частности, при описании поверхности отклика полиномами второго порядка решение задачи на условный экстремум с применением неопределенных множителей Лагранжа приводит к необходимости решать систему нелинейных уравнений. Поэтому одним из наиболее удачных способов решения задачи оптимизации процессов с большим количеством откликов является использование предложенной Харрингтоном [23] в качестве обобщенного критерия оптимизации так называемой обобщенной функции желательности О. Для построения обобщенной функции желательности О предлагается преобразовать измеренные значения от- [c.207]

Задача оптимизации сводится к блочной задаче линейного программирования. Для ее решения в составе АСУ НПП разработан пакет прикладных программ [58], который эксплуатируется на ряде предприятий отрасли. С его помощью на ЭВМ рассчитан оперативный план при оптимизации его на максимум выпуска товарной продукции в стоимостном выражении и минимум энергозатрат для конкретного НПЗ. [c.133]

Линейное программирование — используется для решения задач оптимизации с линейными уравнениями для критерия оптимальности и линейными ограничениями на область изменения переменных (ограничения задаются в виде равенств и неравенств). [c.175]

К задачам оптимизации [65] в технической диагностике применимы математические методы линейного, нелинейного и динамического программирования, теорий массового обслуживания, сетевого планирования и т.д. Применение сложного математического аппарата для решения задач, связанных с технической диагностикой оправдано, поскольку использование методов оптимизации позволяет в ряде случаев существенно снизить затраты на техническое обслуживание и ремонт аппаратов [33]. [c.38]

Следует отметить, что значение линейного программирования не исчерпывается решением задач только указанных типов. Сообщается , что в методах решения задач так называемого выпуклого программирования существенным образом используется вычислительный аппарат линейного программирования. Кроме того, иногда при рассмотрении сложного нелинейного объекта иногда удается представить его математическое описание в некоторых локальных областях изменения независимых переменных приближенными линейными соотношениями. Это позволяет свести исходную задачу оптимизации к задаче линейного программирования. Тем самым становится возможным применять его математический аппарат, который в настоящее время разработан достаточно подробно и при наличии цифровой вычислительной машины обеспечивает решение оптимальных задач весьма высокой размерности. [c.413]

В том случае, когда для получения требуемых целевых про-дуктов-все технологические процессы в структуре НПЗ необходимы, задача оптимизации сводится к решению обычной задачи линейного программирования. [c.209]

При разработке технологической схемы завода требуется детально изучить все возможные варианты производства необходимого количества товарных нефтепродуктов при наименьших капитальных и эксплуатационных затратах. Многовариантность и трудоемкость расчетов, связанных с выбором оптимальной технологической схемы, стали основной причиной привлечения к решению этой задачи математических методов оптимизации. В качестве основного метода решения задачи по выбору оптимальной технологической схемы НПЗ используется линейное программирование. Работы по применению ЭВМ при разработке технологи-ческих схем НПЗ были начаты в 1960 годах и продолжаются в настоящее время. [c.61]

Кроме подобных задач, все еще относящихся к отдельным элементам ВХС, на этапе продвинутой автоматизации появляются комплексные задачи, затрагивающие проблемы водохозяйственного комплекса в целом. При этом целостный подход осуществлялся на уровне общего планирования с использованием методов оптимизации (как правило, линейного и целочисленного программирования) на базе уже существовавших стандартных программ, реализующих соответствующие алгоритмы. Результат решения таких задач оптимизации интерпретировался в некоторой экономико-математической форме. Применение пакетов стандартных программ оптимизации к этим задачам осложнялось трудоемким процессом подготовки исходной информации и интерпретации результатов решения. Это потребовало разработки специальных средств автоматизации ввода данных и вывода результатов, для чего были созданы [c.30]

Раздельное решение задач не обеспечивает нахождения оптимальных плановых решений, и это нашло отражение в структуре системы моделей оптимального текущего планирования нефтеперерабатывающего производства [1], включающей отраслевую модель оптимизации производства и распределения нефтепродуктов, модель линейного программирования комплекса НПП и модель линейного программирования НПП, обеспечивающих расчет производственной программы отдельных предприятий, распределение плановых заданий между комплексами предприятий. [c.12]

Возможности применения моделей с переменными технологическими коэффициентами при решении задач планирования и управления комплексами непрерывного действия освещены также в работах [21-25]. В частности, в [22] рассматривается нелинейная задача статической оптимизации непрерывного производства. Предлагаются кусочно-линейная аппроксимация переменных коэффициентов и замена исходной нелинейной задачи некоторой приближенной задачей, для решения которой могут быть использованы методы линейного программирования. [c.16]

В целом же задачи схемно-структурной оптимизации при относительной простоте их постановки являются весьма трудным объектом для приложений математических методов оптимизации из-за их многоэкстремального характера, большой размерности и важности учета конкретных ограничений. Здесь могут оказаться полезными в зависимости от объекта опитимизации и целей расчета различные подходы, в том числе и упрощенные. Наиболее развитыми и весьма эффективными инструментами для постановки и решения задач перспективного планирования и развития сетевых объектов являются математические модёли и методы линейного, кусочно-линейного программирования, а также нелинейные транспортные задачи, особенно в их сетевой интерпретации. [c.166]

Проблеме оптимизации процессов в химических реакторах посвящен ряд монографий [8—10], поэтому мы ограничимся рассмотрением и обоснованием решения задачи А. Применим для решения этой задачи аппарат динамического программирования при условии соблюдения достаточной общности в постановке задачи. Эти условия сводятся к следующим четырем требованиям 1) управление процессом осуществляется s-вектором 2) процесс описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка при этом порядок исследуемых реакций может быть произвольным, и, следовательно, система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (1) в общем случае не линейна 3) исследуемый процесс является многомерным, т. е. число реагентов может быть произвольным 4) на переменные управления и фазовые переменные наложены ограничения. [c.145]

Выбор нефтей для переработки. Эта задача сходна с задачей оптимизации производственной программы, но отличается от последней тем. что должны удовлетворяться требования целой группы нефтеперерабатывающих заводов не только в части выбора перерабатываемых нефтей, но и определения оптимального соотношения количеств разных нефтей для каждого завода. Подобное использование метода линейно го программирования представляет особую ценность в тех случаях, когда два нефтеперерабатывающих завода имеют или общие взаимно-перекрывающиеся рынки сбыта продуктов, или общие источники снабжения нефтями. Решение этой задачи должно устанавливать для каждого завода наиболее дешевые источники снабжения, обеспечивающие получение всех продуктов в необходимых количествах и надлежащего качества. [c.21]

Решение этой задачи составляет содержание математической теории оптимизации. Часть математических методов оптимизации — в первую очередь, дифференциальное исчисление и вариационное исчисление — возникли на классическом этапе развития математики. В середине XX века создан целый ряд новых методов линейное программирование, динамическое программирование, нелинейное программирование, принцип максимума. С ними можно познакомиться по работам [23—26]. [c.182]

Обычно с увеличением числа шагов дискретности продолжительность решения динамической задачи оптимизации растет еще быстрее. Дело в том, что в модели ХТС число ограничений по шагам дискретности, пропорциональное числу шагов, обычно значительно превосходит число интегральных ограничений, не зависящих от числа шагов дискретности. Поэтому приближенно можно считать, что общее число ограничений динамической задачи планирования почти пропорционально числу шагов дискретности при известном горизонте планирования. Тогда, например, при решении динамической задачи планирования методами линейного программирования время решения задачи будет приблизительно пропорционально кубу числа шагов дискретности N [63], т. е. обратно пропорционально кубу величины шага дискретности А Г. [c.65]

Итак, возможности целенаправленного вмешательства в ход технологического процесса увеличиваются при группировке технологических факторов по их производственным особенностям степени влияния на результирующий признак, степени контролируемости и регулируемости. Чтобы достигнуть максимального результата, необходимо все положительно влияющие на исследуемый параметр переменные поддерживать на верхней границе диапазона их вариаций, а отрицательно влияющие — на нижней границе. Однако такой простой выход из положения допустим лишь в случае оптимизации одного конечного результата. В реальных же условиях производства это далеко не так. Тогда задачи оптимизации удобнее решать с помощью методов мате.матического программирования, используя линейное программирование. Собственно, пример такого решения и был показан, но на корреляционной модели. [c.221]

Синтез методом прямой оптимизации. Методы прямой оптимизации предполагают использование на этапе синтеза таких известных методов как динамическое, линейное и нелинейное программирование [10]. В частности, эти методы использовались при решении задач синтеза схем проведения реакторных процессов, построения оптимальных схем разделения многокомпонентных смесей [13, 93—96]. Метод заключается в том, что определяется конфигурация синтезируемой системы, в которую входят все возможные варианты объединения отдельных групп оборудования или единиц оборудования. При этом каждой возможной взаимосвязи между отдельными элементами системы ставится в соответствие некоторый коэффициент, величина которого лежит в пределах от О до 1. Тогда задача синтеза оптимальной системы сводится к определению оптимальных величин этих коэффициентов для каждой возможной взаимосвязи элементов системы совместно с определением оптимальных проектных параметров для каждого элемента системы. [c.10]

Разработано достаточное количество пакетов, предусматривающих реализацию основных задач планирования, оперативного управления, контроля. В частности, широко внедряются ППП по годовому планированию, планированию ресурсов, оптимизации размеров партий запуска, учету и анализу производства и др. Пакеты такого типа называются проблемно-ориентированными. Разработаны и методо-ориентированные пакеты, реализующие различные математические методы, которые используются при решении задач управления, например ППП Линейное программирование в АСУ , Целочисленное программирование , Математическое программирование , Сетевое планирование и др. [c.66]

Симплексный метод — один из основных методов линейного программирования. Он универсален и наиболее приспособлен к решению широкого круга экономических задач. С его помощью можно провести оптимизацию производственной программы, и уровня использования производственной мощности, осуществить оптимальную загрузку оборудования, оптимальное составление смесей, оптимальное оперативно-календарное планирование и др. [c.122]

Существенным преимуществом метода является то, что ов позволяет свести сложную задачу оптимизации нелинейного соотношения к решению системы линейных алгебраических уравнений. Кроме того, в результате вычисления чисел 6 сразу определяется минимальное значение критерия оптимальности без вычисления значений переменных, определяющих этот минимум. Более подробно о геометрическом программировании см. в работах [11—13]. [c.209]

В задачах линейного программирования находит решение идея оптимизации условий эксплуатации производственного оборудования, комплексного использования сырья и материалов, осуществления научной организации снабжения и сбыта, более экономичного проведения ремонта и многих других вопросов экономики и организации производства. [c.187]

Задача оптимизации с агрегированным подходом решается путем последовательного решения нескольких задач линейного программирования меньшей размерности. [c.223]

Затруднения, связанные с наличием большого числа переменных и сложностью математического описания процесса ректификации, чрезвычайно усложняют применение методов математического программирования (динамического, линейного или нелинейного) при решении задач моделирования и оптимизации ректификационных процессов на стадии их проектирования. Даже при существенном упрощении математического описания ХТС применение современных методов математического программирования сопровождается значительными вычислительньпйи трудностями. Только с использованием быстродействующих ЭВМ третьего поколения стало возможным решение оптимизационных задач в качественно новой постановке - оптимизация ХТС, состоящих из большого числа различных аппаратов (реакторов, ректификационных колонн, теплообменников и т. п.). [c.107]

Методы линейного программирования широко применяют для решения задач оптимизации. Основы этих методов были разработаны Канторовичем еще в 1939 г. С большим уснехом линейное программирование было использовано при нахождении оптимальных решений в проблемах планирования производства и транспортных задач. В последние годы этот метод начали применять для оптимизации ХТС. [c.181]

Приведенные выше задачи оптимизации надежностп ХТС являются задачами целочисленного нелинейного программирования с линейными или нелинейными ограничениями в виде неравенств. Предложены различные методы решения основных задач оптимизации резервирования технических систем, которые рассмотрены в разделе 8.2. Все указанные методы решения основных задач оптимизации резервирования ХТС и различных технических систем [2, 7, 231, 237] являются одноуровневыми. Они учитывают влияние включения резервных элементов на повышение надежности системы без использования обобщенных технико-экономических показателей. В качестве КЭ оптимального резервирования в данных методах используются лишь капитальные затраты на резервные элементы системы или величина Р(Х). [c.204]

Функция желательности. Задачу оптимизации процессов, характеризующихся несколькими откликами, обычно сводят к задаче оптимизации по одному критерию с ограничениями в виде равенств или неравенств. В зависимости от вида поверхности отклика и характера ограничений для оптимизации предлагается использовать методы неопределенных множителей Лагранжа, линейного и нелинейного программирования, ридж-анализ и др. К недостаткам этих способов решения задачи оптимизации следует отнести вычислительные трудности. В частности, при описании поверхности отклика полиномами второго порядка решение задачи на условный экстремум с применением неопределенных множителей Лагранжа приводит к необходимости решать систему нелинейных уравнений. Поэтому одним из наиболее удачных способов решения задачи оптимизации процессов с большим количеством откликов, является использование предложенной Харрингтоном в качестве обобщенного критерия оптимизации так назьгааемой обобщенной функции желательности В. Для построения обобщенной функции желательности Г) предлагается преобразовать измеренные значения откликов в безразмерную шкалу желательности й. Построение шкалы желательности, которая устанавливает соотношение между значением отклика у и соответствующим ему значением с1 (частной функцией желательности), является в своей основе субъективным, отражающим отношение исследователя (потребителя) к отдельным откликам. [c.205]

Более широкие возможности имеет пакет Стохастическая оптимизация , созданный на базе ППП Линейное программирование в АСУ (ППП ЛП АСУ) [102]. ППП ЛП АСУ предназначен для решения и анализа задач линейного программирования (ЛП), нелинейного программирования (НЛП) с нелинейными функциями сепарабельного вида, целочисленного программирования (ЦП) и задач специальной узкоблочной структуры. Размерность решаемых задач составляет для ЛП до 16000 строк, для ЦП — до 4095 целочисленных переменных и 60 000 строк для задач узкоблочной структуры. Пакет может быть использован также для решения задач стохастического программирования (СТП) при построчных вероятностных ограничениях. В последнем случае необходимо предварительно построить детерминированный аналог. [c.179]

Чтобы определить, какие конкретно параметры должны быть занесены в матрицу линейного программирования па текущем шаге решения задачи оптимизации, используется информация о номере шага из справочного массива К14М и типе процедуры решения и массива К7М. [c.277]

Решение задачи оптимизации профинплана сельскохозяйственного предприятия с помощью методов линейного программирования дает лишь принципиальный ответ на вопрос об оптимальном использовании хозяйством выделенных ему средств химизации. После решения такой задачи специалистам хозяйства еще потребуется довести полученное решение применительно к территориально сложившимся в хозяйстве полям севооборота при условии соблюдения их целостности. [c.366]

Ряд методов оптимизации, как, например, динамическое программирование, дает достаточную информацию о чувствительности оптимума уже в процессе их использования для решения оптимальных задач. Другие методы менее приспособлены к анализу чувствител ,-ностн оптимума. Лишь для задач линейного программирования имеется до некоторой степени разработанный математический аппарат (параметрическое линейное программирование), позволяюи1Ий изучать поведение оптимального решения при измеиенпи коэффициентов математического описания . [c.39]

Перечисленными соображениями объясняется тот факт, что многие оценочные модели реализуются с применением различных модификаций методов линейной оптимизации. Так, например, в схемы линейного программирования (ЛП) удачно вписываются задачи оптимизации производственной структуры мелиорируемых земель, выбора типа очистных сооружений и некоторые другие. Если в задачах присутствуют альтернативы с ярко выраженной дискретностью, то применяются методы частично целочисленного Л П. В зонах неустойчивого увлажнения велика роль как случайных природных факторов (речной сток, осадки), так и потребности в воде на орошение. Это обуславливает целесообразность явного их включения в формулировки соответствующих задач. При этом многие модели приобретают форму задач стохастического ЛП со случайными переменными и/или ограничениями. Например, можно отметить применение стохастического программирования (линейного и нелинейного соответственно) в задачах оптимизации орошаемого земледелия в зонах неустойчивого увлажнения [Прясисинская, 1985 Математическое моделирование..., 1988] и при решении агрегированных задач управления качеством вод [ ardwell, [c.64]

Еще Дж. Данциг показал [56], что симплекс-метод для сетевой задачи линейного программирования (ЛП) сводится к целенаправленному перебору деревьев этой сети. А теоретические основы построения и алгоритмизации сетевых потоковых моделей изложены в известной книге Л. Форда и Д. Фалкерсона [237], которые, в частности, раскрыли двойственность задач о максимальном потоке и минимальном разрезе сети. Имеется ряд монографий отечественных и зарубежных авторов, в которых рассматриваются различные вопросы теории и методов решения нелинейных сетевых транспортных и других экстремальных задач на графах [35, 66, 257]. Применительно к трубопроводным системам (ТПС) наиболее полное истолкование сетевых потоковых моделей (на примере задач оптимизации развития, текущего и перспективного планирования работы газотранспортных систем и Единой системы газоснабжения страны) дано в монографии [228]. [c.166]

Для оптимизации по более сложным зависимостям, входящим в состав экономико-математических моделей, или же при наличии нескольких возможных критериев оптимальности используются поисковые методы оптимизации, принципы векторной оптимизации, линейного, нелинейного, геометрического и динамического программирования. На основе указанных принципов разрабатываются алгоритмы решения задач технико-экономической оптимизации отдельных типовых процессов и их более сложных сочетаний. Ниже приводится описание некоторых из этих алгоритмов, которые нашли практическое применение в ЕСТЭО-ХТС [41, 42]. [c.44]

Задача оптимизации состоит в отыскании минимума (максимума) критерия оптимальности, который является функцией варьируемых переменных. В связи с тем, что зависимость критерия оптимальности от параметров оптимизации нелинейна и не может быть выражена аналитически и, кроме того, имеются линейные и нелинейные ограничения, задача сводится к задаче нелинейного программирования и решается поисковым методом на ЭВМ [4]. Решение заключается в том, что при известных исходных данных критерий оптимальности вычисляется для каждого сочетания значений варьируемых переменных. ЭВМ проверяет, укладываются ли переменные в дозволенные ограничения, осуществляет путь нахождения наилучшего варианта внутри допустимой области. [c.172]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология