О методах решения задач динамики сорбции

В то же время становилась очевидной ограниченность аналитических методов решения краевых задач динамики, особенно в связи с практическими приложениями сорбционных процессов. Внедрение ЭВМ в последние годы не только расширило классы решаемых задач и ускорило получение результатов, но и создало качественно новую ситуацию. Во-первых, развитие численных методов применительно к динамике сорбции позволяет в настоящее время решать практически любую краевую задачу как в однокомпонентном, так и многокомпонентном варианте. Во-вторых, методом математического эксперимента могут быть исследованы физико-химические особенности различных сорбционных систем. В-третьих, были сформулированы и частично решены принципиально новые задачи динамики сорбции, в том числе оптимизационные. Одновременно происходит смещение сферы приложения аналитических методов если ранее они имели целью получить расчетные формулы, то теперь целесообразнее расчет перепоручить ЭВМ, а методы прикладной математики направить на некоторые новые проблемы динамики адсорбции (продоль- [c.152]

Статистический метод решения задачи динамики сорбции так же, как и феноменологический метод, позволяет определить функции распределения сорбируемых веществ в хроматографических колонках [105, 146-150, 163-165]. [c.44]

Послойный метод решения задачи динамики сорбции (хроматографии) совпадает со способом приближенного решения дифференциального уравнения материального баланса болонки совместно с уравнением изотермы сорбции при помощи аппарата конечных разностей [4]. Уравнение материального баланса колонки без учета продольной диффузии записывается в виде [c.12]

Г. М. Панченков пренебрегает продольной диффузией. Он показал, что послойный метод решения задачи динамики сорбции (хроматографии) совпадает со способом приближенного решения дифференциального уравнения материального баланса колонки совместно с уравнением изотермы адсорбции при помощи метода конечных разностей. В динамике сорбции одновременно имеют место два процесса 1) диффузионная доставка противоионов к зерну ионита и 2) доставка сорбируемых противоионов потоком подвижной фазы. Скорости внешней диффузии и потока могут находиться в различном соотношении или скорость внешней диффузии намного больше скорости подвода вещества потоком, или скорость внешней диффузии мала или сравнима со скоростью потока раствора. В первом случае ионный обмен (сорбция) определяется потоком. При решении задачи динамики равновесной сорбции послойным методом можно учитывать или внешнедиффузионную, или поточную кинетику. Для колонки, упакованной шарообразными зернами радиуса, [c.99]

Численные методы решения уравнений с частными производными различных задач динамики сорбции приобретают все большее значение, особенно в связи с постановкой различных технологических и оптимизационных задач. [c.42]

Как уже отмечалось, методами математической физики можно пока получать наиболее простые (например, для линейных изотерм) и, как правило, асимптотические решения задач динамики сорбции. При действии факторов размытия (кинетических и квазидиффузионных) происходит сложный процесс формирования фронтов динамической сорбции. Расчет распределения веществ в сорбционных колонках на стадии формирования фронтов может осуществляться методами исчисления конечных разностей, в частности с помощью послойного метода расчета хроматограмм. Автором был усовершенствован [48, 49] метод послойного [c.81]

За последние годы наблюдается заметное расширение исследований в области теории динамики сорбции и хроматографии, о чем свидетельствуют материалы третьей части данного сборника. Наряду с методами математической физики в решении задач динамики сорбции продолжают использоваться методы численного анализа с привлечением электронно-вычислительной техники. [c.3]

Сорбционные (в широком понятии) процессы реализуются преимущественно динамическим способом — направленным пропусканием исходного раствора или газа через неподвижный или противоточно движущийся слой сорбента. Такой способ обеспечивает глубокое удаление вредного (или извлечение полезного) компонента вследствие последовательного контакта раствора со свежими, неотработанными слоями сорбента. Естественно поэтому, что изучение динамических сорбционных процессов давно и постоянно привлекает внимание исследователей. Со времени классической работы Н. А. Шилова, четко выявившей влияние равновесных и кинетических факторов на динамику сорбции, интенсивно разрабатывались методы решения сорбционных задач, различающихся видом изотерм, а также кинетическими (преимущественно диффузионными) механизмами. Ранние работы ограничивались преимущественно однокомпонентными системами и характеризовались поиском точных аналитических или асимптотических, приближенных решений. Революционизирующее значение имело решение задач динамики сорбции с помощью современных быстродействующих электронно-вычислительных машин. Тем не менее именно по динамике сорбции до настоящего времени почти нет специализированных работ обобщающего характера. По-видимому, это во многом обусловлено многообразием опубликованных оригинальных исследований, различающихся постановкой задачи и методами их решения. [c.3]

Рассмотрим случай гиперболических систем, т. е. когда в точке Сю, Сзо выполняется условие (1.75). Положим < Яа-Соотношения на характеристиках следуют из (1.77). В этих соотношениях коэффициенты при дифференциалах постоянны, поэтому допустимо проинтегрировать их. Интегралы носят название инвариантов Римана. Для конкретных видов изотерм, используя инварианты Римана, можно найти распределение концентраций в окрестности (t). Этот метод широко применяется для решения задач динамики сорбции, когда число компонентов больше двух. [c.41]

Применение статистического метода в решении задач динамики сорбции в данной работе не рассматривается, так как это не было предметом исследований автора. [c.45]

В настоящее время в хроматографии сложилось два основных направления теоретических исследований. Первое направление характеризуется тем, что для решения задач динамики сорбции и хроматографии используются методы дифференциальных уравнений, второе — применением методов исчисления конечных разностей. Несмотря на общность цели, исследователи, придерживающиеся того или другого направления при построении теории хроматографии, исходят фактически из различных физических предпосылок. Рассмотрим кратко физические предпосылки, лежащие в основе указанных двух направлений. [c.5]

В заключение подчеркнем основные тенденции применения математических методов в теории динамики сорбции. Необходимо более широкое применение численных методов, реализуемых на ЭВМ, для решения смешанно-кинетических задач динамики с произвольными краевыми условиями для изотерм любого вида математическое моделирование и анализ средствами прикладной математики новых, более сложных сорбционных систем внедрение упрощенных (агрегированных) моделей, в том числе послойной, для расчета динамики смесей (как в изотермических, так и в неизотермических условиях и с дополнительными химическими ш другими взаимодействиями) расчет процессов динамики сорбции с учетом технологических особенностей, оптимизация режимов и схем. [c.157]

Рассмотрим, как применяется метод характеристик для решения других задач динамики сорбции. [c.41]

Задачи динамики сорбции принадлежат к классу задач математической физики, и поэтому для их решения используются самые различные математические методы. Точные решения, как указывалось выше, допустимы лишь для ограниченного круга задач. Остановимся на некоторых методах поиска приближенных решений. [c.46]

Один из наиболее распространенных методов решения уравнений в частных производных — это метод характеристик. В некоторых случаях удается получить аналитические решения методами операционного исчисления [97]. Когда не удается получить аналитических решений уравнений динамики сорбции, прибегают к численным методам их решения [31—33, 53, 61, 94—95, 110, 121]. В связи с этим в настоящее время уже переходят к решению уравнений динамики сорбции при помощи электронно-вычислительных машин. В нашу задачу не входит рассмотрение математических основ решения уравнений в частных производных, к которым относятся уравнения динамики сорбции. Для подробного изучения теории уравнений в частных производных необходимо обратиться к специальной литературе [15, 80, 91, 101, 102, 133]. В процессе изложения конкретных вопросов теории динамики сорбции и хроматографии будем пользоваться различными приемами решения уравнений динамики сорбции. [c.41]

ПОСТАНОВКА И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ РАВНОВЕСНОЙ СОРБЦИИ И ХРОМАТОГРАФИИ ПОСЛОЙНЫМ МЕТОДОМ [c.11]

Данная статья посвящена краткому обзору 25-летних исследований автора и его коллег в области теории и применения хроматографии. Эти исследования охватывают следующие основные направления общая теория динамики сорбции и хроматографии разработка теории ионообменной, осадочно-ионной и радиальной хроматографии вопросы теории бумажной и тонкослойной хроматографии разработка радиохроматографического метода применение теории динамики сорбции и хроматографии к решению задач хроматографической технологии, почвоведения и мелиорации применение различных разновидностей хроматографии в биологических исследованиях. [c.80]

Бойд и Матесон [17] показали, что число элементарных слоев в колонке эквивалентно параметру у так называемой теории переноса массы . Эта теория динамики сорбции в неравновесных условиях была разработана Бойдом, Мейерсом и Адамсоном [24] па основе применения уже давно известного метода решения задач теплопередачи. [c.11]

Наиболее ясно вопрос о постановке и решении задачи динамики равновесной сорбции и хроматографии послойным методом в связи с диффузией был рассмотрен Г. М. Панченковым и В. С. Голубевым. Исследована кинетика сорбции и ионного обмена во внешнедиффузионной области при ламинарном перемещении жидкой фазы и дана физическая интерпретация послойного метода расчета динамики равновесной сорбции и хроматографии. Закономерности динамики сорбции и хроматографии определяются равновесными и диффузионными факторами. Предполагается, что вещество через адсорбент движется скачками в первый скачок заполняется первый слой, во второй—второй слой и т. д. Это соответствует опытам Ф. М. Шемякина, показавшего, что капля воды или раствора разливается или испаряется скачками. Опыты Н. Ф. Ермоленко подтвердили эти данные. [c.99]

Общий математический метод решения этой системы уран-нений, так же как и обоснованные уравнения кинетики сорбции, Б настоящее время отсутствуют. Даже в простейшем случае, когда рассматривается динамика сорбции одного вещества, окончательного решения задачи получить еще не удалось. Те немногие положительные результаты, которыми располагает сейчас теория хроматографии, относятся главным образом к отдельным частным случаям. [c.52]

В книге рассмотрены общие проблемы динамики сорбции, изложены методы решения типичных задач динамики (аналитические, приближенные, численные). В сочетании с обобщением работ по физическим основам кинетики гетерогенных процессов описаны физические и математические модели одно- и многокомпонентных задач, приведены их решения преимущественно с использованием ЭВМ. Даны примеры расчета различных задач динамики ионного обмена и фильтрационного осветления суспензий. [c.2]

Приближенные методы, которые используются в динамике сорбции, в основном связаны с применением разложений по малому параметру, а также аппроксимацией некоторых функций или уравнений более простыми. В гл. 3 при изложении решений конкретных задач будут указаны также соответствующие методы. [c.49]

Развитие теории динамики сорбции позволило перейти к методам расчета, основанным на использовании статики и кинетики процессов и на полученных решениях различных задач динамики. В силу того, что для процессов сорбции параметры динамики-, определяющие равновесие и тип кинетики (например, константы обмена, коэффициенты диффузии), являются физическими константами, эти методы получили широкое применение. [c.213]

Для количественного, математического описания процесса динамики сорбции используются две группы методов, обычно применяемых при теоретическом решении физических и химических проблем,— феноменологические и статистические методы. Феноменологические методы устанавливают функциональные зависимости между величинами, характеризующими физическое явление с макроскопической точки зрения. При феноменологическом описании процесса не ставится задача дать молекулярно-кинетическую, [c.26]

В физике и технике в тех случаях, когда невозможно получить точные аналитические решения возникающих физических и технологических задач, широко используют методы теории подобия и моделирования [74, 81—84, 141]. Остановимся на ряде общих вопросов применения метода подобия в теории динамики сорбции и хроматографии. [c.41]

Решение дифференциальных уравнений динамики сорбции представляет большие математические трудности. Поэтому наряду с нримене-ниед[ методов математической физики в теории динамики сорбции и хроматографии используются методы исчисления конечных разностей, ( днидг из таких методов является так называемый послойный метод решения задач динамики сорбции. В развитие работ Мартина и Синжа, а также работ Ганона автором рассмотрена общая теория послойного метода расчета хроматограмм [15—19]. Эта теория может служить основой для численного расчета хроматограмм с помощью ЭВМ. [c.80]

Системы дифференциальных уравнений динамики сорбции с большим трудом поддаются решению в закопченной аналитической форме. Лишь в частных случаях и к тому же при упрощающих допущениях удается получить полные аналитические решения. В тех случаях, когда методы математической физики не позволяют получить решение задач динамики сорбции, прибегают к численному интегрированию дифференциальных уравнешгй, т. е. используют для решения методы исчисления конечных разностей [100, 101]. [c.27]

Рассмотренный здесь метод получения асимптотического решения задачи динамики сорбции при выпуклой изотерме был развит Я. Б. Зельдовичем [63] и О. М. Тодесом [139, 140]. Этот метод имеет общее значение для решения задач динамики сорбции при выпуклой изотерме и действии факторов размытия сорбционного фронта. Поэтому в дальнейшем будем его называть методом Зельдовича — Тодеса. [c.69]

Этот метод обобщен и использован для расчета молекулярной и ионообменной хроматографии В. В. Ра-чинским [3], давшим теоретическое описание динамики обменной сорбции однозарядных ионов при стационарном режиме и указавплим на возможность использования этого метода для решения задач динамики обменной сорбции с разной зарядностью нонов [17—19]. [c.147]

Оба способа решения уравнения динамики в литературе обычно носят названия послойного метода . Впервые его использовали Мартин и Спндж . Из советских ученых послойный метод первыми применили Е. Н. Гапон и Т. Б. Гапон для расчета ионообменной равновесной хроматограммы . Этот метод был обобщен и использован для расчета молекулярной и ионообменной хроматограмм В. В. Рачпнским , давшим теоретическое описание динамики обменной сорбции однозарядных ионов при стационарном режиме и указавшим на возможность использования этого метода для решения задач динамики обменной сорбции с разной зарядностью ионов . [c.15]

В книге уделено большое внимание физическим аспектам процессов кинетики и динамики, последовательно рассмотрены математические модели динамики сорбции на феноменологической основе, указана связь моделей различной степени агрегирования, изложены математические методы решения разнообразных задач. Весьма подробно рассмотрены впервые численные методы, реализуемые на ЭВМ, в частности, для решения задач динамики с учетом смешанного механизма кинетики и нелинейных изотерм. На этой основе выявлены лимитирующие стадии кинетики в смешан-но-диффузионном процессе, рассмотрено влияние дополнительных физико-химических механизмов (диссоциации в растворе, ионизации функциональных групп ионита), влияние многоком-понентности состава в процессах сорбции и фильтрации и т. д. Наряду с этим сформулированы принципы применения теории динамики для расчета конкретных практических задач. Все это позволяет надеяться, что книга по динамике сорбции окажется полезной для специалистов и с интересом будет прочитана научными и инженерно-техническими работниками, занимающимися собственно сорбционными процессами в их технологических и аналитических применениях или работающими в смежных отраслях науки и техники. [c.4]

Задачи динамики сорбции являются краевыми задачами математической физики. Определенная сложность их решения связана с многокомпонентпостью, нелинейностью, многомерностью. Эт . предопределяет особую важность методов вычислительной математики, а также применимость асимптотических и приближенных методов прикладной математики. [c.7]

В качестве примера возьмем задачу Коши для системы (1.67), когда С заданы на некоторой кривой х = I) в плоскости х, I (рис. 1.9). Поскольку система (1.67) нелинейна, аналитическое решение поставленной задачи в обш,ем виде невозможно. Поэтому сузим задачу будем искать решение поставленной задачи в окрестности кривой Хо 1). Для ее решения используем метод характеристик. Поскольку этот метод применяется для численного решения многих задач динамики сорбции, остановимся на нем подробнее. Рассмотрим систему уравнений с двумя независимыми переменными х, 1 [c.37]

Погрешности полученного приближенного решения, как показано в [59], для коротких слоев X С. X = — 1) не превышают 7, а для длинных — что находится в пределах ошибки эксперимента. На рис. 4.4. приведены теоретические кривые и экспериментальные данные. ]Иетод совмеш,ения в билогарифмиче-ских координатах теоретических и экспериментальных кривых (см. разд. 3.1) позволяет рассчитать параметры модели. Этот метод подробно будет рассмотрен далее в разд. 4.5. Одно из важнейших свойств рассмотренной модели — существование волнового решения [60] в системе, учитывающей наличие обеих форм осадка (4.15) — (4.17). Отметим, что линейная модель фильтрации (см. разд. 4.1) не имеет волнового решения (эта система совпадает с задачей динамики сорбции при линейной изотерме и внешне-диффузионной кинетике). [c.200]

Необходимо подчеркнуть важность развития теории расчета хроматограмм с использованием метода исчисления конечных разностей. При ремении дифференциальных уравнений, описывающих хроматографические процессы, встречаются значительные математические трудности. Например, не удается получить решения в аналитической форме для начальных стадий динамики сорбционного процесса. Методы исчисления конечных разностей — универсальные, позволяюпще решать практические задачи динамики сорбции. Технические трудности расчета могут быть преодолены при помощи электронных счетных машин. [c.24]

Покажем, что при решении задачи динамики равновесной сорбции (хроматографии) послойным методом [1—3] может быть учтена либо внешнедиффузионная кинетика сорбции, либо кинетика, обусловленная потоком, при соответствующем выборе величины элементарного слоя Ах. Рассматривая динамику равнонесной сорбции (хроматографии) послойным методом, мы моделируем процесс как перенос.вещества из (1 — 1)-го слоя колонки в г-й слой без адсорбции плюс равновесная адсорбция в -м слое без переноса. Таким образом учитывается дискретность поглощающей среды сорбента. Считается, что равновесие в каждом слое устанавливается мгновенно тогда скорость внешней диффузии намного больше скорости подвода адсорбируемого вещества потоком, а — время, необходимое для того, чтобы вещество, равновесное с (г — 1) слоем сорбента, было перенесено к слою г 1 == 1, 2,. . . ). Следовательно, условие (9) выражает тот факт, что скорость доставки адсорбируемого вещества от одного сорбирующего слоя к другому конечна и равна скорости потока. Легко видеть, что для учета кинетики, обусловленной потоком, необходимо выбрать величину слоя, равную усредненному по потоку расстоянию между двумя соседними зернами сорбента плюс усредненное значение толщины зерна сорбента. Для колонки, упакованной шарообразными зернами радиуса г о, как показывают вычисления, [c.14]

Исследование количественных закономерностей равновесия, кинетики и динамики ионного обмена с учетом структуры ионитов и с использованием операционных методов решения задач и машинного способа расчетов приводит к возможности выбора и обоснования наиболее эффективных ионообменных методов, в частности режимов технологических процессов для гетерогенных ионообменных систем в реакторах с перемешиванием и в колоночных установках, а также для хроматографических элюцион-ных процессов. Использованные модели учитывают здесь диффузию ионов в растворе и в зернах ионитов, а также возникновение электрического потенциала при массообмене. Анализ медленной диффузии органических и других сложных ионов в сетчатых сополимерах и других пористых и проницаемых зернах сорбентов привел к установлению новых представлений о неравновесной динамике сорбции и хроматографии. С помощью критериальных зависимостей в этих случаях возможно установить условия перехода к процессам полного насыщения колонок сорбируемыми веществами и полному выходу десорбируемых веществ в зависимости от радиуса зерен сорбентов, скорости протекания растворов, коэффициентов диффузии, констант ионного обмена и высоты колонки. [c.3]

Совершенно недостаточно разработаны методы решения так называемых обратных задач динамики адсорбции и хроматографии в случае нелинейных изотерм, когда по известным из опыта выходным кривым требуется определить параметры изотермьг сорбции и коэффициенты массопереноса. В силу некорректности многих таких обратных задач необходимо применение специальных методов их решения [15]. [c.89]

Решение задачи (3.1) методом характеристик применительно к динамике сорбции впервые было рассмотрено в работах Вильсона [1], Вайсса [2], Де Во [3] и развито в работах [4—9]. [c.134]

А. А. Жуховицкий, Я. Л. Забежипский и А. Н. Тихонов [53, 61, 137] разработали теорию динамики неравновесной молекулярной сорбции газов и паров. В качестве изотерм сорбции были взяты уравнения линейной изотермы и изотермы Ленгмюра, в качестве уравнения кинетики сорбции — уравнение диффузионной кинетики сорбции. Для начальных стадий динамической сорбции оказалось невозможным получить точное аналитическое решение задачи. Поэтому динамические кривые распределения для стадии формирования фронта рассчитывали методом конечных разностей. Для стадии параллельного переноса фронта было получено асимптотическое решение в аналитической форме. [c.22]

И. А. Мясников и К. А. Гольберт [97] попытались решрть задачу неравновесной динамики сорбции, используя в качестве уравнения кинетики сорбции точное уравнение внутридиффузи-онной кинетики и в качестве изотермы сорбции — уравнение линейной изотермы сорбции. При решении задачи использовано операционное исчисление. Однако для поставленной задачи указанные авторы не смогли получить этим методом решение в аналитической форме. Им пришлось использовать метод численного интегрирования и представить решение в виде безразмерных графиков. [c.23]

Решение этой системы будем искать методом замены переменных аналогично тому, как это было сделано при решении задачи равновесной динамики сорбции одного вещества. Тогда нам необходимо подобрать новую переменную, при помопщ которой можно было бы преобразовать систему уравнений в частных производных в систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Будем искать решение системы в виде некоторых функций от нового параметра г = X — где V — некоторая величина, имеющая физический смысл скорости движения концентрационных точек. Относительно характера этой величины скорости — будет ли она общей для какой-либо совокупности концентрационных точек — мы пока ничего сказать не можем. Ответ на эти вопросы должно дать само решение поставленной задачи. [c.82]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология