Математические трудности

Как уже отмечалось в предыдущей главе, реакторы с неподвижным слоем также могут быть адиабатическими. В других случаях тепло реакции может отводиться или подводиться через стенку реактора. В аппаратах с неподвижным слоем стенка не всегда соответствует стенке трубы. Например, в реакторе синтеза аммиака катализатор помещен между множеством узких трубок, параллельных оси большой трубы (диаметр 1,5 м) эта труба и является в данном случае трубчатым реактором . Такое устройство реактора дает возможность регулировать температуру по всему сечению аппарата, а не только по его периметру. При этом предположение об однородности условий но всему сечению реактора становится более оправданным. Мы будем исследовать только стационарные режимы такого рода одномерных реакторов, для которых единственной независимой переменной является расстояние от входа в реактор. Более сложные задачи связаны с чрезвычайными математическими трудностями и до сих пор изучены плохо. Действительно, в то время как реактор идеального смешения описывается алгебраическими или трансцендентными уравнениями в стационарном режиме и [c.255]

Метод спуска (метод Гаусса — Зейделя). В практике часто можно встретить случаи, когда вид зависимости хорошо известен исследователю, но неизвестные коэффициенты входят в нее нелинейно и никакими подстановками зависимость нельзя сделать линейной относительно коэффициентов. В этом случае при использовании метода наименьших квадратов мы получим нелинейную систему уравнений, решение которой обычно сопряжено с большими математическими трудностями. Если исследователь хочет непременно сохранить нелинейный вид зависимости для вычисления коэффициентов можно поступить следующим образом. [c.284]

Отметим, что решение уравнения энергии в трехмерной постановке встречает пока значительные математические трудности, в том числе из-за сложности расчета поля давлений и трудностей определения соответствующих эмпирических коэффициентов. [c.321]

Теория, которую мы развили относительно кинетической природы неравновесных систем, имеет два существенных недостатка. Первый недостаток заключается в том, что нам пришлось использовать равновесные функции распределения для упрощения математических расчетов. Это затруднение было в значительной степени снято методом, развитым Чепменом, Энскогом и другими, в котором ряд последовательных приближений позволяет получить неравновесные функции распределения, более соответствующие физической системе. Второй более важный недостаток до сих пор удовлетворительно не устранен он заключается в использовании искусственных моделей для представления о молекулах. Строго говоря, весь процесс столкновения молекул определяется силовым полем, окружающим каждую молекулу. Представляя силовое поле молекул искусственной моделью, мы обходим непреодолимые математические трудности, возникающие при строгом рассмотрении. Однако в результате вводится целый ряд новых параметров молекул, которые оказываются неопределимыми, исходя из простых свойств молекул. В случае жесткой сферической модели мы ввели молекулярный [c.172]

Приближенные модели переноса. При изучении экстракции и абсорбции расчет процессов массо- и теплообмена часто проводят, исходя из предположения, что гидродинамика существенно влияет на массо- и теплоперенос, в то время как тепловые и диффузионные потоки слабо меняют характер течения. Это облегчает задачу, но, к сожалению, не избавляет от математических трудностей, связанных с учетом сложных гидродинамических условий, в которых протекают массо- и теплообменные процессы. Развитие теории массо- и теплопереноса щло по пути учета влияния гидродинамических факторов с помощью построения различных приближенных моделей. [c.172]

Как при вынужденной, так и при естественной конвекции процесс передачи тепла описывается системой дифференциальных уравнений, состоящей из уравнений сохранения массы, импульса и энергии. Однако интегрирование этой системы сопряжено с большими математическими трудностями. В настоящее время имеются аналитические решения только для нескольких простейших случаев. Численное решение этой системы также очень сложно, поэтому появление ЭВМ не привело к сколько-нибудь значительным успехам в этой области. До настоящего времени наиболее плодотворным для решения этих задач является подход, основанный на сочетании теоретических и экспериментальных исследований. [c.98]

Наличие малого параметра при старшей производной для больших значений Ре создает значительные математические трудности при численном решении уравнения (4.42) даже при использовании современных быстродействующих ЭВМ. [c.180]

Последующее интегрирование этого уравнения в замкнутой форме невозможно, так что при решении уравнения даже этой простейшей реакции возникают серьезные математические трудности. [c.192]

Методы статистической физики охватывают как термодинамические состояния, так и кинетические явления, поэтому область ее применения шире, чем область применения термодинамики. Однако ввиду того, что свойства отдельных молекул н особенно законы их взаимодействия известны пока недостаточно, а также в связи с математическими трудностями, исходные положения статистической физики почти всегда включают в себя не полностью обоснованные предположения и существенные упрощения. Вследствие этого окончательные выводы статистической физики при их приложении к конкретным системам являются в общем случае неточными. Они оправдываются только для сравнительно простых систем. [c.28]

Трудности описания свойств жидкостей в рамках микроскопического подхода известны [335]. В первую очередь, они связаны с тем обстоятельством, что, несмотря на сильные межмолекулярные взаимодействия, для жидкостей характерна только локальная пространственная упорядоченность. Кроме того, развитые в статистической теории жидкостей аналитические методы не всегда позволяют из-за математических трудностей рассмотреть свойства жидкостей, потенциал межмолекулярного взаимодействия которых анизотропен. Поэтому наиболее прямым путем получения информации о свойствах водных систем в рамках статистической физики является вычислительный эксперимент. Рассмотрим его основные положения. Среднее значение некоторой величины А, которая характеризует состояние системы из частиц, определяется следующим образом [c.118]

Поскольку форма мембраны в процессе деформации неизвестна, то при решении указанной системы уравнений возникают значительные математические трудности. Поэтому решение подобных задач целесообразно произво- [c.107]

Реализация нестатистического подхода в случае существенно нелинейных многомерных задач наталкивается также на серьезные математические трудности [9, 10]. [c.54]

Расчет электронной структуры соединений, содержащих несколько электронов и ядер, на основе уравнения Шредингера наталкивается на математические трудности его решения. В связи с этим широкое развитие и распространение получили приближенные методы решения уравнения Шредингера. Большие успехи квантовомеханического описания сложных соединений достигнуты в настоящее время вследствие применения полуэмпирических методов, которые основаны на весьма общих теоретических соображениях и включают параметры, оцениваемые экспериментально с достаточной степенью точности. [c.51]

Рассмотренный способ описания систем с бесконечным рядом комплексов является приближенным. Во-первых, растворы линейных полимеров, как известно, характеризуются значительной отрицательной неидеальностью за счет энтропийных факторов, и более строгая теория должна последовательно учитывать это обстоятельство. Во-вторых, константа равновесия реакции удлинения цепи скорее всего не остается постоянной по всему ряду комплексов. Однако даже относительно простые предположения о характере изменения этой константы вдоль ряда наталкиваются на математические трудности. Пусть, например, каждая последующая константа присоединения отличается от предыдущей на множитель и. Тогда для рассматриваемого выше ряда, начинающегося от 1 2, соотношение (4) принимает вид [c.66]

При переходе к более сложным реакциям определение Е чрезвычайно усложняется. Но несмотря на то что квантовомеханический метод расчета поверхности потенциальной энергии элементарного химического акта для реакций с многоатомными молекулами практически пока не осуществим из-за математических трудностей этот подход является в принципе наиболее правильным. Поэтому приближенное решение проблемы ищут исходя из квантовомеханических представлений как путем упрощения физической картины процесса, так и путем упрощения математического аппарата теории. [c.571]

Если можно предсказать, как будут изменяться характеристики реакционной системы в различных условиях (скорость реакции и равновесные состояния при изменении температуры и давления), то удается сравнить результаты различного аппаратурного оформления процесса (адиабатический или изотермический процесс, единичный реактор или комбинация реакторов, проточная или периодически действующая система) и экономически оценить эффективность указанных вариантов. Только в этом случае можно надеяться, что достигнуто наилучшее оформление процесса для данных условий. К сожалению, в практике создания химических реакторов редко все бывает так просто. Часто мы не располагаем достаточными данными для сопоставления результатов расчета, не всегда можем преодолеть математические трудности или, что более вероятно, не имеем возможности тратить слишком много времени и усилий для решения математических задач. Кроме того, нельзя достаточно уверенно рассчитать реактор в отрыве от всего производства в целом. Таким образом, расчет реак/ора представляет собой некоторый компромисс между недопустимостью больших затрат труда и времени, с одной стороны, и экономическим риском принять плохое технологическое решение, с другой стороны. [c.105]

Теория кинетики флокуляции подробно изложена в литературе, часть материала обобщена Овербеком (1952). Здесь будут рассмотрены только основные моменты этой теории, так как вся проблема представляет большие теоретические и математические трудности. [c.106]

Общий случай нелинейной связи между напряжениями и деформациями, показанный на рис. 1, более точен, однако его применение связано с большими математическими трудностями. Если давление сжатия па образец увеличивать небольшими ступенями (по 0,1—0,3 МПа) и давать выдержку во времени на каждой ступени до полного затухания скорости деформаций, то с достаточной точностью можно принять отрезок 1—2 компрессионной кривой (см. рис. 1) за прямую. Запишем уравнение прямолинейного отрезка компрессионной кривой [c.30]

При расчете эффективного поля, созданного электронами и ядрами системы, приходится решать многоцентровую проблему, представляющую большие математические трудности. Поэтому для практического решения задачи необходимо ввести упрощения. Предполагается, что большинство электронов не участвует в образовании молекулярной орбитали, а локализованы вблизи отдельных ядер. В образовании молекулярных орбиталей участвуют лишь внешние валентные или часть валентных электронов. Волновая функция молекулярной орбитали представляется в виде линейной комбинации атомных орбиталей (приближение МО ЛКАО). [c.49]

В общем случае применение возрастной теории Ферми к системам конечных размеров с сосредоточенными источниками представляет сложную задачу. Чтобы избежать математических трудностей, связанных с решением задачи в том виде, как она поставлена выше, рассмотрим болое простую геометрию. Вместо блока, который можно реально использовать в эксперименте, возьмем бесконечную среду (из данного материала), в которой находится плоский источник, генерирующий нейтроны с энергией E . Эта геометрия удобна потому, что она значительно упрощает анализ, не искажая в то же время конечных результатов, а именно выражения для осевого распределения тепловых нейтронов вдали от плоского источника. Поэтому, несмотря на то что этот элементарный случай математически проще случая реальной геометрии, он дает достаточно хорошее описание физики процесса. [c.214]

Несколько расчетов простых систем показали, что теория возмущений второго порядка при правильно выбранных симметричных волновых функциях дает достаточно точные значения энергии [76, 93]. Однако из-за математических трудностей такие расчеты никогда не проводились для систем, которые были бы сложнее атомов гелия. С помощью метода, дающего почти такие же хорошие результаты, в исследуемую волновую функцию включали несколько корректирующих членов, выбранных с тем, чтобы удовлетворить Г дисперсионной энергии при предельно больших г, и после этого проводили вариационные расчеты [94]. Этот метод, обеспечивающий совместимые расчеты во всем интервале г, применялся к водороду [94] и гелию [92, 95], но распространить его на более сложные атомы, по-видимому, трудно. [c.209]

Вследствие встречающихся математических трудностей, точное решение проблемы взаимодействия двух двойных сферических электрических слоев невозможно из-за большого числа переменных (поверхностный потенциал, толщина двойного слоя, радиус частицы, расстояние между частицами). [c.39]

Решение задач в общем виде при меняющихся во времени температурных полях сопряжено со значительными математическими трудностями. Здесь рассмотрены лишь два простейших случая. [c.185]

Последняя стадия нестабильности, а именно проникновение слоев одной жидкости в другую, не учитывается уравнениями, написанными выше. Из этих уравнений получаются лишь линейные приближенные решения, основанные па допущении о малости и в сравнении с ид. Это, действительно, так в самом начале нестабильного течения, но вскоре амплитуда возмущения становится достаточно большой. Линейное приближение теперь уже неприемлемо, и требуется применить полностью нелинейное уравнение. Такая задача вызывает значительные математические трудности, и для растворов обычно не решается. Лучшее, что можно сделать, это дать приближенные решения точных уравнений. Нередко ограничиваются тем, что указывают на природу нестабильности. [c.29]

Первая задача состоит в определении уравнения потенциальной поверхности. Ее решение связано со значительными математическими трудностями, так как требует решения уравнения Шредингера для системы с большим числом электронов, что в настоящее время практически невозможно даже с применением электронных счетных машин. [c.65]

Из изложенного видно, что написание систем дифференциальных уравнений, описывающих кинетику неизотермических реакций, не представляет трудностей. Однако системы эти являются крайне сложными и даже в простейших случаях интегрирование их сопряжено со значительными математическими трудностями. [c.394]

Более детальная проверка и использование теории оказываются затруднительными из-за сложности процесса коагуляции и математических трудностей, которые возникают при попытках приложения теории к более реальным и тем самым более сложным случаям (например, для сферических частиц разного размера). [c.213]

Турбулизация межфазной границы может быть обусловлена- также возникающими при тепло- или массопередаче локальными изменениями поверхностного натяжения. Учет влияния концентрационных и температурных изменений поверхностного натяжения на гидродинамику вблизи межфазной границы представляет собой весьма сложную и в настоян1ее время еще не решенную задачу (необходимо исследовать устойчивость решения уравнения Навье — Стокса по отношению к малым возмущениям — локальным изменениям скорости). Пока сделаны лишь первые попытки решения этой задачи [72, 73]. В частности, показано [72], что возможность возникновения неустойчивости существенно зависит от знака гиббсовой адсорбции растворенного вещества в состоянии термодинамического равновесия, а также от соотношения между кинематическими вязкостями соприкасающихся фаз и коэффициентами диффузии веществ, которыми обмениваются эти фазы. Объяснено явление стационарной ячеистой картины конвективного движения, вызванного локальными градиентами поверхностного натяжения [73].. Дальнейшие исследования в этой области наталкиваются на серьезные математические трудности. [c.183]

Как видно из изложенного выше, значительная часть существующих в настоящее время теорий массопередачн (таких как теории проницания и обновления поверхности и их различные модификации) основана на слишком грубых упрощениях и подменяет учет конкретных гидродинамических условий введением не поддающихся расчету и ненаблюдаемых параметров. Перспективной представляется только теория диффузионного пограничного слоя, позволяющая путем физически обоснованных упрощений преодолеть математические трудности, связанные с решением уравнения конвективной диффузии, и разумно родойти к описанию турбулентного режима массопередачи. Несмотря" на [c.183]

Не останавливаясь здесь на математических трудностях исследования трехфазной фильтрации, обратим внимание на не менее важную и принципиальную проблему оснащение исходными дан- [c.287]

Во всех областях техники часто приходится довольствоваться практически допустимыми приближениями, так как справочные данные не всегда полны и точны, а математические трудности часто слишком велики и непреодолимы, если располагать ограниченным временем. Поэтому часто применяют приближенные методы решения кинетических уравнений. Даже в тех случаях, ко№ можно найти точное решение, бывает целесообразно воспользоваться приближенными методами. Последние, будучи в принципе довольно простыми, обычно весьма трудоемки. Однако все возрастающее применение электронно-счетных машин облегчает инженеру этот труд. Кроме того, электронные машины, давая возмсжнссть вести расчеты в очень малых интервалах изменения параметров, позволяют получить решения, не уступающие по точности аналитическим. [c.15]

Решение задачи идентификации модели нелинейного химико-технологического процесса [10]. Построение адекватной модели технологического процесса предполагает адекватное отражение гидродинамической структуры потоков в аппарате и адек-кватное описание кинетики процесса. В настоящее время решение первой задачи сводится в основном к обработке кривых отклика системы на типовое (импульсное, ступенчатое, гармоническое) или произвольное (детерминированное, случайное) возмущение по концентрации индикатора в потоке с использованием методов теории линейных систем автоматического регулирования. Эти методы, подробно рассмотренные выше, ограничиваются линейным случаем и не пригодны для решения нелинейных задач. Решение задачи идентификации линейных кинетических уравнений не представляет математических трудностей и ограничивается в основном использованием аппарата линейной алгебры. [c.461]

Аналитически решить эту систему уравнений невозможно даже если предположить, что прямо пропорционально нелинейная зависимость Н а от температуры, вероятно, вызовет ряд математических трудностей. Решение можно получить чпсленными методами с этой целью дифференциальные уравнения преобразуют в уравнения конечных разностей и производят ступенчатое решение, при котором на каждой ступени методом последовательных приближений решают уравнения (У,47) и (У,49), объединенные через [c.192]

Кулоновский и резонансный интегралы аир, как правило, не вычисляются из-за больших математических трудностей, а рассматриваются как параметры, т. е. служат единицами измерения для их оценки сравнивают результат расчета энергии в единицах р и экспериментальные данные к тому же частью интегралов полностью пренебрегают. Поэтому метод МОХ относится к полуэмпи-рическим. Перенос значений аир, полученных для одного класса соединении, в другой класс (например, из полиенов в ароматические продукты) недопустим и приводит к ошибкам. Внутри одного класса такой перенос возможен и дает при расчете энергий связей и спектров приемлемые результаты. [c.111]

При нахождении автомодельных решений обычно не рассматривается вопрос о времени выхода коалесцирующей системы на автомодельный режим. Это время будет зависеть не только от ядра коалесценции, но и от начального распределения в коалесцирующей системе. Для его определения необходимо ввести критерий сравнения автомодельного и начального решений, по величине которого можно было бы судить о их близости. Поскольку, как было показано выше, при определении полных решений кинетического уравнения как для начальной, так и для дальней асимптотики встречаются существенные математические трудности, кажется разумным построить критерий сравнения на основе моментов этих решений. [c.108]

Даймонд и Смит [140а] обобщили работы Лоули и Смита [140] на случай модели Леннарда-Джонса с нецентрально внесенными диполями. По существу эта модель является усовершенствованием потенциала Штокмайера, хотя в математическом отношении она является более сложной. Если удастся преодолеть математические трудности и применить модель к другим свойствам, например транспортным, то она может оказаться очень полезной. Используя разложение в ряд Тейлора, модель с нецентрально расположенным диполем можно свести к модели, полученной в результате суперпозиции центрально расположенных диполей, квадруполей и других моментов более высокого порядка. В тех случаях, когда диполь расположен достаточно далеко от центра, сходимость разложения достаточно слабая, однако, как показали расчеты, проведенные Сперлингом и Мейсоном [1406], такую модель (с диполем, вынесенным из центра) часто можно заменять эквивалентной центральной диполь-квадрупольной моделью, для которой легче выполнить все расчеты. И наконец, рассмотрим вопрос об учете мультиполей более высокого порядка и других зависящих от ориентации эффектов в схеме использования потенциала п—6). [c.229]

Следующий шаг в направлении уточнения может стать необходимым в том случае, когда локальные коэффициенты теплообмена изменяются также и в перпендикулярном потоку направлении, например по периметру трубы. В такой ситуации требуется знание локальных значений коэффициентов теплоотдачи, так называемых точечных коэ( х1)и-циентоБ. При этом объем необходимой экспериментальной информации возрастает еще больше и увеличиваются математические трудности. [c.80]

Таким образом, задача поиска минимума тесно связана с задачей интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений, причем "овражный" характер поверхности Ф(к) соответствует "жесткой" системе ОДУ, так как матрица Гессе Э Ф/Э ,Э/Гу целевой функции одновременно является якобианом системы обыкновенных дифференциальных уравнений, В том случае если эта матрица имеет различающиеся между собой на несколько порядков собственные значения, то возникают определенные математические трудности при численном решении задач минимизации и интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.163]

Абсолютн1)1Й расчет констант скорости элементарных реакций до сих пор осуществлен только в простейших случаях в первую очередь из-за огромных математических трудностей, с которыми связано определение поверхности потенциальной энергии реакции и, тем самым, величины энергии активации, В связи с этим существенное значение для вычисления констант скорости начинают приобретать так называемые корреляционные соотношения, которые связывают значения констант скорости в некотором ряду сходных реакций с какими-либо достаточно легко измеряем[ 1ми характеристиками реагента или реакции, иапример с термодинамическими характеристиками. В большом числе случаев удается связать линейной зависимостью логарифмы константы скорости и соответствующей константы равновесия /( , т. е. получить соотношение вида [c.126]